精品解析：2025年安徽省安庆市大观区三校（外国语、石化一中，二中南区）联考中考二模数学试题

2025届初三毕业模拟考试（二模） 数学试卷 （满分150） 一、单项选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 在，，0，这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 已知实数，，，下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 三棱柱 D. 圆 6. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 如图，某地修建一座高天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 9. 点E是矩形内一点，连接，已知，下列结论不正确的是（ ） A. 若面积等于的面积，则的面积等于的面积 B. 最小值为40 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在中，，D为上任一点，F为中点，连接，E在上，且满足，连接，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 1.5 二、填空题：本大题共4小题，共20分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 因式分解：_______________________． 13. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上．轴，过点A作轴于点D连接OB，与AD相交于点C，若，则k的值为________． 14. 二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为________． 三、解答题：本大题共9小题，共90分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 解不等式组： 17. 无人机是当下年轻人娱乐竞技的方式之一．某无人机兴趣小组在广场上开展竞技活动（如图），比赛谁测量某写字楼BC的高度精确，其中小明操作的无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者小明（点A）的俯角为37°，测得写字楼顶端点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，请帮助小明根据以上数据计算写字楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．（参考数据：，，） 18. 某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． （2）求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式） 19. 观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 20. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 21. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 22. 如图1，四边形ABCD对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB． （1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ； （2）求的值； （3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长． 23. 如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （2）连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届初三毕业模拟考试（二模） 数学试卷 （满分150） 一、单项选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 在，，0，这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 根据实数的大小比较方法，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，比较即可． 【详解】解：是负数，既不是正数也不是负数，和是正数． 所以最小． ， ． 因， 所以 ． 综上，，最大的数是， 故选：D． 2. 已知实数，，，下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由不一定有，例如，满足，但是，故此选项不符合题意； B、当时，无意义，故此选项不符合同意； C、由不一定有，例如，满足，但是，故此选项不符合题意； D、由可以得到，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 3. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例基本性质变形得到，整理后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：D 【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D． 【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、正确，该选项符合题意； D、原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键． 5. 如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 三棱柱 D. 圆 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，熟知常见几何体的三视图是解题的关键； 根据长方体的三视图即可求解. 【详解】解：长方体的主视图和左视图是长方形，俯视图可能是正方形，故该立体图形是长方体； 故选：A. 6. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义即可求解． 【详解】解：五名同学捐款数分别是，，，，（单位：元），后来每人追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，不变的是方差；平均数，众数，中位数都会发生变化， 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键． 7. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； ∴； 故选A． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 9. 点E是矩形内一点，连接，已知，下列结论不正确的是（ ） A. 若的面积等于的面积，则的面积等于的面积 B. 的最小值为40 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．根据及，得，即可判定A；连接，由勾股定理求得；，，则，可判断B；由，则有，，结合，则，从而可判断C；由，得，； 由可得；设，则，由勾股定理得，即可求得，从而得，即可判定D；最后可作出结论． 【详解】解：， 而的面积等于的面积，即， ∴， 即的面积等于的面积，故A正确； 如图，连接，由勾股定理得； ∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， 即的最小值为40，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故C正确； ∵， ∴，； ∵， ∴，即； 设，则，由勾股定理得， ∴， ∴，故D错误； 故选：D． 10. 如图，在中，，D为上任一点，F为中点，连接，E在上，且满足，连接，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 1.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形中位线定理，取的中点，连接，则由三角形中位线定理可得，解直角三角形可求出的长，则可求出的长，再证明，得到，则，据此可得，再由即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当三点共线的时，的值最小， ∴， 故选A．     二、填空题：本大题共4小题，共20分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 利用二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 12. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 13. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上．轴，过点A作轴于点D连接OB，与AD相交于点C，若，则k的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质；由点A在上，设，则；由轴，得，则得，则可得点B的坐标，代入中即可求得k的值． 【详解】解：∵点A上， ∴设， ∴，； ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 把点B的坐标代入中， 即， ∴； 故答案为：6． 14. 二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是利用根的判别式得出不等式及数形结合来求解，先确定二次函数与轴的交点，再分析直线经过特殊点以及与翻折后抛物线相切时的情况，从而确定直线与新图象有两个公共点时的取值范围． 【详解】解：如图： 对于二次函数， 令，即， 解得或 ， 所以该二次函数与轴交点为和 ． 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ； 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ． 由此可知，当时，直线与新图象有两个交点． 先将二次函数，其图象轴上方部分沿轴翻折到轴下方后，翻折后的抛物线为． 联立直线与翻折后抛物线的方程 ， ， ． ∵直线与抛物线相切时，方程组有一组解， ∴一元二次方程的判别式． 则，即， 解得 ． 由图象可知，当时，直线与新图象有两个交点． 综上，的取值范围是或． 三、解答题：本大题共9小题，共90分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【解析】 【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入即可得． 【详解】解：原式， ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别解出每个不等式的解集，再找解集的公共部分求不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①，②的解集在数轴上表示出来 ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查不等式组的计算，准确地计算能力是解决问题的关键． 17. 无人机是当下年轻人娱乐竞技的方式之一．某无人机兴趣小组在广场上开展竞技活动（如图），比赛谁测量某写字楼BC的高度精确，其中小明操作的无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者小明（点A）的俯角为37°，测得写字楼顶端点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，请帮助小明根据以上数据计算写字楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．（参考数据：，，） 【答案】13米 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，在Rt△ADE中，利用三角函数求出AE40，证明四边形BCFE是矩形，求出DF=CF17，即可求出BC． 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F， 由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°， 在Rt△ADE中，∠AEF=90°， ∴tan37°=， ∴AE40， ∵DE⊥AB，CB⊥AB，CF⊥DE， ∴四边形BCFE是矩形， ∴CF=BE57-40=17， 在Rt△DCF中，∠DFC=90°， ∴∠CDF=∠DCF=45°， ∴DF=CF=17， ∴BC=EF=DE-DF30-17=13， 答：教学楼BC的高度约为13米． 【点睛】此题考查了三角函数的实际应用，正确理解题意构造直角三角形以及熟练掌握各三角函数值的计算公式是解题的关键． 18. 某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． （2）求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列一次函数式与二次函数式，找到等量关系是解题的关键； （1）由题意知，设，当时，；当时，；代入解方程组即可求解； （2）根据利润等于单件利润乘销售量即可得到w关于x的函数关系式． 【小问1详解】 解：设，由题意知当时，；当时，； 则，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：． 19. 观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2） 解：猜想第个等式为：． 证明：左边， 右边， 左边右边， 猜想成立． 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． （1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第6个等式即可； （2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题． 小问1详解】 解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． 第六个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 【答案】（1）证明：如图1，连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了切线的判定． （1）连接，如图，先证明，然后利用得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）证明，然后利用相似三角形的性质得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）18，6， （2）480人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ， ， 文学类书籍对应扇形圆心角， 故答案为：18，6，； 【小问2详解】 解：（人）， 因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种， 因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 22. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB． （1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ； （2）求的值； （3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长． 【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1 【解析】 【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°； （2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy-x2=0，即，求出的值即可解决问题； （3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题； 【详解】解：（1）如图1中， 在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°， 又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB， ∴∠BAD+∠ACB=180°， 故答案为：∠BAD+∠ACB=180°． （2）如图1中，作DE∥AB交AC于E． ∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE， ∵OB=OD，∴△OAB≌△OED， ∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y， ∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°， ∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC， ∴，∴ ， ∴4y2+2xy﹣x2=0，∴， ∴（负根已经舍弃），∴ ． （3）如图2中，作DE∥AB交AC于E． 由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′， ∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°， ∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC， ∴△PA′D∽△PBC， ∴， ∴，即 ∴PC=1． 【点睛】本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构造方程解决问题，属于中考压轴题． 23. 如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （2）连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）存在， 【解析】 【分析】（1）①分别求出抛物线与坐标轴的三个交点，利用平行线分线段成比例定理即可求解； ②过点P作交BC于点Q；由B，C的坐标可求得直线的解析式；根据点P的横坐标为m，可得点P与Q的坐标，进而表示出，由平行线分线段成比例定理得到关于m的二次函数，即可求得最大值； （2）假设存在点P使得，即．过点C作轴交抛物线于点F，则由角的关系可得；延长CP交x轴于点M，易得为等腰三角形，求得点M的坐标，进而求得直线CM的解析式，与二次函数联立即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：①对于，令，则， ∴； 令，解得， ∴， 则； 轴，， ，解得或1， ， ， 轴， ． ②如图，过点P作交BC于点Q， 设直线BC的解析式为：． 把点B的坐标代入得：，解得， 直线BC的解析式为：． 设点P的横坐标为m， 则． ， ， ， 当时，最大值为． 【小问2详解】 解：存在满足题意的点P，且； 假设存在点P使得，即． 过点C作轴交抛物线于点F， ， ， 延长CP交x轴于点M， 轴， ， ， 为等腰三角形， ， ， ； 设直线CM的解析式为：， 把点M的坐标代入得：，解得， 直线CM的解析式为：， 令， 解得或（舍）， ∴存在点P满足题意，此时． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $