9.5相似三角形判定定理的证明（一大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（鲁教版）

9.5相似三角形判定定理的证明 题型一 相似三角形判定定理的综合应用 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 4．如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且．求证：． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 8．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 1．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·期中）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 3．（2024九年级上·山西·专题练习）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．（19-20九年级上·浙江温州·阶段练习）图1，图2均为的正方形网格，的三个顶点均在格点上， （1）请在图1中以为边画一个格点三角形，使它与相似（不全等）； （2）请在图2中以为边画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． 5．（18-19九年级上·福建泉州·期中）在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 6．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，为上一点，，，，，垂足为点，连接． (1)写出图中所有相等的线段，并加以说明； (2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由． 8．（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 9．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 10.如图，AB、CD相交于点0，AO=4，BO=2，CO=6，OD=3，则△AOD与△COB相似吗?为什么?   5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.5相似三角形判定定理的证明 题型一 相似三角形判定定理的综合应用 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 4．如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等腰梯形的性质对各个结论进行分析即可得到正确结论. 【详解】等腰梯形是轴对称图形，故①正确； 可证明△ABC≌△DCB ∴ , ∴△AOB≌△DOC，故③正确； AD∥BC ∴△AOD∽△BOC,故④正确. 故选B. 【点睛】本题综合性较强，综合考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定等知识点. 5．如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等腰梯形的性质对各个结论进行分析即可得到正确结论. 【详解】等腰梯形是轴对称图形，故①正确； 可证明△ABC≌△DCB ∴ , ∴△AOB≌△DOC，故③正确； AD∥BC ∴△AOD∽△BOC,故④正确. 故选B. 【点睛】本题综合性较强，综合考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定等知识点. 6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质可，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴ ∴． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作的平分线交于点即可； （2）由，得，由，，则，由，即可得证． 【详解】（1）解：作的平分线交于点， 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点即为所作； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查基本作图—作角平分线，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线是解题的关键． 8．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 1．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意， D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 2．（23-24九年级下·全国·期中）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查网格中的相似三角形，观察图形可知小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，正方形的边长为，分别求出每个三角形的边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，正方形的边长为， 图①三角形的三条边长分别为：， 图②三角形的三条边长分别为：， 图③三角形的三条边长分别为：， 图④三角形的三条边长分别为：， ∵， ∴图①和图④的两个三角形相似； 故选D． 3．（2024九年级上·山西·专题练习）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定；根据等腰直角三角形的性质得出，，进而可得，，根据两角相等即可得出，，，即可求解． 【详解】和是两个全等的等腰直角三角形 ， ，， ，，， 共有对． 故选：C． 4．（19-20九年级上·浙江温州·阶段练习）图1，图2均为的正方形网格，的三个顶点均在格点上， （1）请在图1中以为边画一个格点三角形，使它与相似（不全等）； （2）请在图2中以为边画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）如图，根据两组对应边成比例，夹角相等的两三角形相似作图； （2）如图，根据两组对应边成比例，夹角相等的两三角形相似作图； 【详解】解：（1）如图， ∵AB=2，BC=4， ∴当BE=1时， ∴ ∴Rt∽Rt， ∴为所求； （2）如图， ∵AF=， ∴为所求． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．此题灵活应用相似三角形的判定与性质． 5．（18-19九年级上·福建泉州·期中）在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 【答案】见解析 【分析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可． 【详解】证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18c m，B′C′＝24cm，A′ C′＝30cm， ∴，， ∴ ∴△ABC∽△A′B′C′． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 6．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，为上一点，，，，，垂足为点，连接． (1)写出图中所有相等的线段，并加以说明； (2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)有， 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形外角定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据余角的定义及直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可知，再根据等量代换即可得出，然后根据等边对等角及三角形外角的定义即可得出，即可得出； （2）两角对应相等的两个三角形相似则可判断． 【详解】（1）解：，．理由如下： ，， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）有．． ，， ． 8．（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）知：，根据平行四边形的判定即可得证； （3）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴； （2）由（1）知：，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵，，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 9．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据题意求得，，再根据相似三角形的判定证明即可． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 10.如图，AB、CD相交于点0，AO=4，BO=2，CO=6，OD=3，则△AOD与△COB相似吗?为什么?   【答案】不相似 【分析】根据“两边及其夹角法”(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)进行证明. 【详解】解: △AOD与△COB不相似.理由如下: ∵AO=4，BO=2，CO=6，OD=3， ∴AO:CO≠DO:BO, ∴△AOD与△COB不相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$