专题01 八下计算部分整体训练（7类题）（浙江专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 八下计算部分整体训练 （7题型） 二次根式的基础概念相关 1．（2024春•吴兴区期末）二次根式中x的取值范围是（　　） A．x＝2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＜2 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得不等式，解之即可． 【解答】解：由题意可得：x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 2．（2024春•拱墅区期末）在，，，0四个数中，最大的数是（　　） A． B． C． D．0 【分析】先运用二次根式的性质进行逐一计算，再进行大小比较． 【解答】解：∵2，2，2， 且﹣2＜0＜2， ∴在，，，0四个数中，最大的数是（）2， 故选：B． 【点评】此题考查了二次根式的计算和大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 3．（2024春•柯桥区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意； B．2，即的被开方数中含有能开方的因数，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，的被开方数中的因数不是整数，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．，即的被开方数中的因数不是整数，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义（满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式）是解此题的关键． 4．（2024春•镇海区期末）二次根式中，字母m的取值范围是 　m　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得：2m﹣1≥0， 解得：m， 故答案为：m． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 5．（2024春•慈溪市期末）当x＝1时，二次根式的值为 　2　 ． 【分析】将x＝1代入二次根式，即可求出结果． 【解答】解：因为， 所以当x＝1时，二次根式的值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简． 6．（2024春•拱墅区期末）函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x B．x C．x D．x 【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解． 【解答】解：根据题意得：2x﹣3≥0， 解得x． 故选：A． 【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 7．（2024春•温州期末）当x＝1时，二次根式的值是 　3　 ． 【分析】直接把x的值代入进而化简得出答案． 【解答】解：把x＝1代入时，3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 二次根式的性质与化简 1．（2024春•金东区期末）　1　 ． 【分析】根据二次根式的性质计算． 【解答】解：1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． 2．（2024春•钱塘区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质求出每个式子的值，再进行判断即可． 【解答】解：A、13，错误，不符合题意； B、13≠﹣13，错误，不符合题意； C、13≠±13，错误，不符合题意； D、13，正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简的应用，主要考查学生的计算能力． 3．（2024春•上城区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：A.3，故此选项不合题意； B．±±3，故此选项不合题意； C．9，故此选项不合题意； D.9，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键． 4．（2024春•北仑区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得． 【解答】解：A．|﹣2|＝2，此选项计算错误； B．，此选项错误； C．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； D．，此选项计算正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则． 5．（2024春•丽水期末）计算的结果是 　5　 ． 【分析】根据二次根式的性质解答． 【解答】解：|﹣5|＝5． 【点评】解答此题，要弄清二次根式的性质：|a|的运用． 6．（2024春•越城区期末）下列计算正确的是（　　） A．（1）（1）＝1 B． C． D． 【分析】A、根据平方差公式计算即可求解； B、根据合并同类二次根式的法则即可判定； C、根据二次根式的乘法法则计算即可求解； D、根据二次根式的加减法则计算即可判定． 【解答】解：A、原式＝（1）（1）＝﹣1，故选项错误； B、原式＝23，故选项错误； C、原式＝3，故选项正确； D、原式，故选项错误； 故选：C． 【点评】本题主要考查的是二次根式的运算法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 7．（2024春•鄞州区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式乘除法的计算方法，分母有理化以及二次根式的性质与化简，掌握二次根式乘除法的计算方法，分母有理化以及二次根式的性质与化简方法进行计算即可． 【解答】解：A.2，因此选项A不符合题意； B.，因此选项B不符合题意； C.|﹣5|＝5，因此选项C符合题意； D.，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式乘除法，分母有理化以及二次根式的性质与化简，掌握二次根式乘除法的计算方法，分母有理化以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的关键． 8．（2024春•吴兴区期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　） A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3 【分析】根据实数a，b在数轴上的位置判断a+1，b﹣2的符号，再根据二次根式的性质和化简方法进行计算即可． 【解答】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0＜1＜b＜2， ∴a+1＞0，b﹣2＜0， ∴原式＝|a+1|+|b﹣2| ＝a+1﹣b+2 ＝a﹣b+3． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，数轴与实数，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的关键． 二次根式的混合运算 1．（2024春•义乌市期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减法法则进行解题即可． 【解答】解：A、23，故该项正确，符合题意； B、55，故该项不正确，不符合题意； C、2，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2024春•诸暨市期末）（1）计算：； （2）计算：． 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先算括号内的，再算乘法，最后合并同类二次根式． 【解答】解：（1）原式＝263 ； （2）原式＝（2）2 ＝2﹣22 ＝2． 【点评】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 3．（2024春•金东区期末）计算：． 【分析】先去绝对值，计算二次根式的除法，然后化简，再算减法即可． 【解答】解： ＝3﹣2 ＝3﹣23 ＝﹣2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4．（2024春•新昌县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算； （2）先化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式 ＝4； （2）原式＝23 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 5．（2024春•柯桥区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据二次根式的除法法则，把写成的形式，再把除法化成乘法进行计算，最后合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则、完全平方公式和平方差公式． 6．（2024春•镇海区期末）计算：（）（）． 【分析】先算乘法，把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（）（） ＝26﹣5 ． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 7．（2024春•浦江县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式，再计算减法即可； （2）先计算二次根式的除法、利用平方差公式边形，再进一步计算即可． 【解答】解：（1）原式＝2 ； （2）原式22﹣（）2 ＝4+4﹣3 ＝5． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的性质． 8．（2024春•鄞州区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算除法，再算减法即可； （2）直接利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝32﹣（）2 ＝9﹣5 ＝4． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 9．（2024春•滨江区期末）计算：（1）（）； （2）（3）25． 【分析】（1）先算乘法，再算加法即可； （2）先算乘方，把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）（） ＝23； （2）（3）25 ＝9+5﹣62 ＝14﹣3． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 10．（2024春•西湖区期末）计算：（1）； （2）． 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）先利用多项式乘以多项式展开，然后合并即可． 【解答】解：（1） ＝（）2﹣（）2 ＝5﹣3 ＝2． （2） ＝6+434 ＝2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 11．（2024春•上虞区期末）解答下列各题： （1）计算：； （2）设实数的整数部分为a，小数部分为b，求（a+b）（a﹣b）﹣4b的值． 【分析】（1）先计算二次根式，再计算加减； （2）先运用算术平方根知识估算出a，b的值，再化简、代入、求解． 【解答】解：（1） ＝8﹣13+6 ＝1； （2）∵23， ∴实数的整数部分a为2，小数部分b为2， ∴． 【点评】此题考查了实数的混合运算和估算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 一元二次方程的解 1．（2024春•诸暨市期末）已知关于x的方程b2x2+abx+a2﹣3b2+1＝0（a，b为常数，且ab≠0），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（　　） ①x＝﹣2；②x＝﹣1；③x＝1；④x＝2． A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【分析】将x的值代入方程中进行判断即可． 【解答】解：当x＝﹣2时，4b2+﹣2ab+a2﹣3b2+1＝0， ∴a2﹣2ab+b2+1＝0， ∴（a﹣b）2+1＝0， ∴x＝﹣2不是方程的实数解； 当x＝2时，4b2+2ab+a2﹣3b2+1＝0， ∴a2+2ab+b2+1＝0， ∴（a+b）2+1＝0， ∴x＝2不是方程的实数解； ∴①④一定不是方程的实数解， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入方程中计算是解题的关键． 2．（2024春•衢州期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝﹣1，则代数式2024﹣a+b的值为（　　） A．﹣2023 B．﹣2025 C．2023 D．2025 【分析】利用一元二次方程解的定义得到a﹣b＝1，然后把2024﹣a+b变形为2024﹣（a﹣b），再利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a﹣b﹣1＝0， 所以a﹣b＝1， 所以2024﹣a+b＝2024﹣（a﹣b）＝2024﹣1＝2023． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（2024春•海曙区期末）若关于x的一元二次方程x2+x﹣2k＝0有一个实数根为x＝﹣2，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣2 【分析】将x＝﹣2代入原方程即可解决问题． 【解答】解：将x＝﹣2代入原方程得， （﹣2）2+（﹣2）﹣2k＝0， 解得k＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 4．（2024春•德清县期末）已知a是方程x2+5x﹣1＝0的根，则代数式a2+5a+2024的值为 　2025　 ． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得出a2+5a＝1，然后整体代入即可求值． 【解答】解：∵a是方程x2+5x﹣1＝0的根， ∴a2+5a﹣1＝0， ∴a2+5a＝1， ∴a2+5a+2024＝1+2024＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟知方程的解的定义是解题的关键． 5．（2024春•苍南县期末）方程x2+4x﹣5＝0的解是x1＝1，x2＝﹣5，现给出另一个方程（2x﹣1）2+4（2x﹣1）﹣5＝0，它的解是（　　） A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 【分析】令y＝2x﹣1，则方程为y2+4y﹣5＝0，由已知条件可以得到y的值；由y的值可以得到2x﹣1的值，即可求出x的值，问题即可解答． 【解答】解：令y＝2x﹣1，则方程为y2+4y﹣5＝0． 由方程x2+4x﹣5＝0的解是x1＝1，x2＝﹣5，得y2+4y﹣5＝0的解是y1＝1，y2＝﹣5， 所以2x﹣1＝1或2x﹣1＝﹣5， 所以x1＝1，x2＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，能够应用换元法解一元二次方程是解决问题的关键． 6．（2024春•拱墅区期末）已知一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠1）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等，若ax2+bx+1＝0的另一个根为4，则x2+bx+a＝0的两个根分别为（　　） A．﹣4，4 B．﹣4，1 C．，4 D．，1 【分析】根据根与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠1）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等， ∴ax2+bx+1＝x2+bx+a， 解得x2＝1， ∴正根为1， ∵ax2+bx+1＝0的另一个根为4， ∴4， ∴a， ∵方程x2+bx+a＝0有一个正根为1，设另一个根为m， ∴则1×m＝a， ∴m， ∴另一个根为， ∴x2+bx+a＝0的两个根分别为1，， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程和根与系数的关系的应用，注意：如果x1和x2是方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2． 一元二次方程的各种解法 1．（2024春•新昌县期末）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用配方法判断即可． 【解答】解：x2﹣x0， x2﹣x， x2﹣x， （x）2＝4． 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤． 2．（2024春•丽水期末）若方程x2+mx+9＝0经配方法转化成（x﹣3）2＝0，则m的值是 　﹣6　 ． 【分析】利用完全平方公式把（x﹣3）2＝0变形为一般式，从而得到m的值． 【解答】解：∵（x﹣3）2＝0， ∴x2﹣6x+9＝0， ∴m＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键． 3．（2024春•吴兴区期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论． 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是理解题意，判断出a，b，c的值． 4．（2024春•吴兴区期末）如表是某同学求代数式x2﹣3x的值的情况，根据表格可知方程x2﹣3x＝0的根是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … x2﹣3x … 10 4 0 ﹣2 ﹣2 0 … A．x＝3 B．x＝0 C．x＝0或x＝3 D．x＝1或x＝2 【分析】由表知，当x＝0或x＝3时，x2﹣3x＝0，据此可得答案． 【解答】解：由表知，当x＝0或x＝3时，x2﹣3x＝0， 所以方程x2﹣3x＝0的根是x＝0或x＝3， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 5．（2024春•德清县期末）解方程： （1）x2﹣81＝0； （2）x2﹣3x+1＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法对所给方程进行求解即可． （2）利用公式法对所给方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣81＝0， x2＝81， 则x＝±9， 所以x1＝9，x2＝﹣9． （2）x2﹣3x+1＝0， Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， 则x， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知公式法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 6．（2024春•新昌县期末）解方程： （1）x2+4x﹣12＝0 （2）3（x﹣5）2＝2（x﹣5） 【分析】（1）十字相乘法将左边因式分解，得到两个一元一次方程，进一步求解可得； （2）移项后提取公因式x﹣5，得到两个一元一次方程，进一步求解可得． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+6）＝0， ∴x﹣2＝0或x+6＝0， 解得：x＝2或x＝﹣6； （2）∵3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0， ∴（x﹣5）（3x﹣17）＝0， 则x﹣5＝0或3x﹣17＝0， 解得：x＝5或x． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7．（2024春•义乌市期末）解方程： （1）2x2﹣x＝0； （2）5x2+2x﹣3＝0． 【分析】（1）将方程左边进行因式分解，利用因式分解法即可解决问题． （2）将方程左边进行因式分解，利用因式分解法即可解决问题． 【解答】解：（1）2x2﹣x＝0， x（2x﹣1）＝0， 则x＝0或2x﹣1＝0， 所以． （2）5x2+2x﹣3＝0， （x+1）（5x﹣3）＝0， 则x+1＝0或5x﹣3＝0， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 8．（2024春•北仑区期末）小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 解方程：x2﹣6x+5＝0 x2﹣5x﹣x+5＝0…第1步 x2﹣5x＝x﹣5…第2步 （x﹣5）x＝x﹣5…第3步 ∴x﹣5＝0…第4步 ∴x＝5…第5步 （1）小明的解法从第 　4　 步开始出现错误； （2）请用适当方法给出正确的解答． 【分析】（1）第4步符合方程的同解原理； （2）先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）小明的解法从第4步开始出现错误； （2）正确的解答为： x2﹣6x+5＝0， （x﹣5）（x﹣1）＝0， x﹣5＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝5，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 一元二次方程根的判别式 1．（2024春•新昌县期末）若方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，然后解此方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0， 解得c＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 2．（2024春•德清县期末）若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k＜1且k≠0 D．k≥1 【分析】方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围． 【解答】解：由题意知，Δ＝4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 3．（2024春•吴兴区期末）关于x的一元二次方程x2+k＝0有实数根，则实数k的取值范围为 　k≤0　 ． 【分析】根据一元二次方程有实数根和根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+k＝0有实数根， ∴Δ＝02﹣4×1×k≥0， 解得：k≤0， 故答案为：k≤0． 【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 4．（2024春•金东区期末）对于实数a，b定义新运算：aΔb＝b2﹣ab，若关于x的方程6Δx＝k有两个相等实数根，则k的值为 　﹣9　 ． 【分析】根据Δ＝0，构建方程求解． 【解答】解：∵6Δx＝k， ∴x2﹣6x＝k， ∴x2﹣6x﹣k＝0， 由题意，Δ＝0， ∴36+4k＝0， ∴k＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 5．（2024春•金东区期末）设关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，已知①b＝2，c＝1；②b＝﹣2，c＝﹣3；③b＝1，c＝2．请在上述三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【分析】根据1根的判别式的意义，Δ＝b2﹣4c≥0时，一元二次方程x2+bx+c＝0有两个实数根，则可判断b＝2，c＝1时方程有两个实数根，然后利用公式法解方程即可． 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4c≥0时，一元二次方程x2+bx+c＝0有两个实数根， ∴当b＝2，c＝1时，这个方程有两个实数根 此时方程为x2+2x+1＝0， 解得x1＝x2＝﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 一元二次方程的韦达定理 1．（2024春•义乌市期末）已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到则x1+x2的值． 【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为x1，x2， x1+x2． 故选：D． 【点评】此题主要考查一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2． 2．（2024春•越城区期末）一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1+x2＝3 D．x1x2＝2 【分析】根据根与系数的关系找出“x1+x23，x1•x22”，再结合四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x23，x1•x22， ∴C选项正确． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键． 3．（2024春•诸暨市期末）已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 【分析】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，结合x1+x2﹣2x1x2＝0，得到关于m的一元一次方程，解之即可． 【解答】解：（1）根据题意得： Δ＝36+4m≥0， 解得：m≥﹣9， 即m的取值范围为：m≥﹣9， （2）根据题意得： x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m， ∵x1+x2﹣2x1x2＝0， ∴﹣6﹣2×（﹣m）＝0， 解得：m＝3（符合题意）， 即m的值为3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． 4．（2024春•钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0． （1）若该方程有一个根是﹣2，求k的值． （2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （3）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，求k的值． 【分析】（1）将x＝﹣2代入求解即可； （2）利用判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，然后解不等式即可； （3）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）＝5得到k2﹣（2k﹣1）+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值． 【解答】解：（1）x＝﹣2时，4﹣2（k﹣1）×（﹣2）+k2+3＝0， 整理得k2+4k+3＝0， 解得：k＝﹣1或﹣3． （2）根据题意得Δ＝（2k﹣2）2﹣4（k2+3）≥0， 解得k≤﹣1； （3）根据题意得x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2+3， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝14， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝14， 即k2+3﹣（2k﹣2）+1＝14， 整理得k2﹣2k﹣8＝0，解得k1＝﹣2，k2＝4， ∵k≤﹣1， ∴k＝﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 5．（2024春•西湖区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求b的值； （2）设x1，x2是方程的两个实数根，当b＝6时，求x2+x1的值． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到b2﹣4×5＝0，然后解关于b的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣6，x1x2＝5，再利用因式分解法变形x2+x1得到x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4×5＝0， 解得b1＝2，b2＝﹣2； 即b的值为2或﹣2； （2）b＝6时，方程化为x2+6x+5＝0， 根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣6，x1x2＝5， 所以x2+x1x1x2（x1+x2）＝5×（﹣6）＝﹣30． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 1．（2024春•上虞区期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，先设出两个方程，再求出它们共同的解，再根据根与系数的关系和分类讨论的方法，即可求得原方程两根的平方和． 【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0，则小马计算的方程为cx2+bx+a＝0， 令ax2+bx+c＝cx2+bx+a， 解得x＝1或x＝﹣1， 故两个方程相同的根为x＝1或x＝﹣1， 设原来的方程为ax2+bx+c＝0得一个根为x1，另一个根为x2， 则（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2， 当两个相同的根为1时， 则2+1，2×1， ∴，， ∴（）2﹣2（）2﹣2； 当两个相同的根为﹣1时， 则2+（﹣1），2×（﹣1）， ∴，， ∴（）2﹣2（）2﹣2×（）； 由上可得，原方程两根的平方和是， 故选：D． 【点评】本题考查根与系数的关系、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出它们相同的根，利用分类讨论的方法解答． 2．（2024春•海曙区期末）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，再利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根， ∴，， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．（2024春•柯桥区期末）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如[1，4]＝1，[﹣2，1]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，函数y＝[x]（0≤x＜2）的图象如图所示，则方程的根为（　　） A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x＝0 C． D．无实数根 【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x＜2时，x2+x＝1；当0≤x＜1时，x2+x＝0；然后分别解关于x的一元二次方程即可． 【解答】解：当1≤x＜2时，x2+x＝1，解得x＝﹣1或x＝﹣1，均不合题意； 当0≤x＜1时，x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2（舍去）； 所以方程[x]x2+x的解为0， 故选：B． 【点评】本题考查了函数的图象，根据新定义和函数图象讨论是解题的关键，也考查了实数的大小比较． 4．（2024春•钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 【分析】由一元二次方程的定义可得k﹣2±0，由题意又知k2﹣4＝0，联立不等式组，求解可得答案． 【解答】解：根据题意可得： ， 解得k＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程k2﹣4＝0和k﹣2≠0． 5．（2024春•慈溪市期末）方程x2﹣8x+7＝0配方后写成（x+m）2＝b的形式，则b的值为 　9　 ． 【分析】首先把常数项移到等号右边，然后方程两边加上一次项系数的一半，配方即可． 【解答】解：移项，得x2﹣8x＝﹣7， 配方x2﹣8x+16＝9， 则（x﹣4）2＝9， ∴b＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了配方法解方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 6．（2024春•越城区期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且b＞a，则　　 ． 【分析】根据，求出（3）（3）的算术平方根，即可求出的值． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“*”的运算法则． 7．（2024春•鄞州区期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 　　 ． 【分析】根据前4个等式发现的规律解答即可． 【解答】解：①； ②； ③； ④； …， 则第7个等式是：． 故答案为：． 【点评】本题考查了数字的变化规律，发现规律是关键． 8．（2024春•拱墅区期末）已知a，b为常数，若方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同，则b＝　﹣1　 ． 【分析】先求出方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的解，进而可求出a的值，据此可解决问题． 【解答】解：由方程（x﹣3）（x﹣b）＝0得， x1＝3，x2＝b． 因为方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同， 则将x＝3代入（x﹣1）2＝a得， a＝4， 解方程（x﹣1）2＝4得， x3＝3，x4＝﹣1， 所以b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 9．（2024春•北仑区期末）若实数a，b满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝3，且a≠b，则a2b+ab2的值为 　　 ． 【分析】利用2a2﹣5a＝3，2b2﹣5b＝3，a≠b，则可把a、b看作方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，根据根与系数的关系得到a+b，ab，再把a2b+ab2分解因式得到ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵2a2﹣5a＝3，2b2﹣5b＝3， 即2a2﹣5a﹣3＝0，＝2b2﹣5b﹣3＝0， 而a≠b， ∴a、b可看作方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根， ∴a+b，ab， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 10．（2024春•吴兴区期末）观察下列各式： ，，… 请运用以上的方法化简 　　 ． 【分析】将7+2写成（2+5）+2，进而得到（）2+2（）2，即（）2，由算术平方根的定义即可得出答案． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简方法是正确解答的关键． 11．（2024春•越城区期末）（1）计算：； （2）解方程：x2+6x+9＝2（x+3）． 【分析】（1）根据实数的运算法则，对所给二次根式进行运算即可． （2）利用因式分解法对所给方程进行求解即可． 【解答】解：（1）原式． （2）x2+6x+9＝2（x+3）， （x+3）2﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x+1）＝0， 则x+3＝0或x+1＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及二次根式的混合运算，熟知二次根式的化简、合并同类二次根式及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 12．（2024春•海曙区期末）（1）计算：2（）； （2）解方程：（x+1）2＝4（x+1）． 【分析】（1）根据二次根式的性质把哥哥二次根式化简，合并同类二次根式即可； （2）利用因式分解法解出一元二次方程． 【解答】解：（1）原式＝2×23 ＝4 ； （2）（x+1）2＝4（x+1）， 则（x+1）2﹣4（x+1）＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x+1＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． 【点评】本题考查的是解一元二次方程、二次根式的加减法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、二次根式的加减法法则是解题的关键． 13．（2024春•丽水期末）解方程 （1）（x﹣2）2＝2； （2）（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝2， ∴x﹣2＝±， ∴x＝2±，即x1＝2，x2＝2； （2）∵（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0， ∴（2y﹣1）（2y+2）＝0， 则2y﹣1＝0或2y+2＝0， 解得y1，y2＝﹣1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 14．（2024春•丽水期末）如图，P（x，y）是平面直角坐标系中的一点． （1）用二次根式表示线段OP的长． （2）若x，y，求OP的长． 【分析】（1）用勾股定理即可；（2）代入计算即可． 【解答】解：（1）OP；（2）OP4． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确计算． 15．（2024春•越城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，其中m为常数． （1）若x＝2是方程的一个根，求m的值； （2）当m＝﹣1时，求该方程的根； （3）若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【分析】（1）将x＝2代入原方程即可求出m的值； （2）根据因式分解法法即可求出方程的根； （3）先根据根的判别式求解m，再根据公式化求解即可． 【解答】解：（1）∵x＝2是该方程的一个根， ∴22﹣2×2+2m﹣1＝0， 解得：m； （2）当m＝﹣1时，原方程为x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （3）∵方程有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0， 解得m≤1， ∵m为正整数， ∴m＝1， 原方程为x2﹣2x+1＝0， ∴（x﹣1）2＝0， ∴x1＝x2＝1． 【点评】本题考查根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．（2024春•温州期末）已知一元二次方程x2+bx+c＝0． （1）当b＝2时，若方程的一个根为﹣3，求c的值以及方程的另一个根． （2）当时，请判别方程根的情况． 【分析】（1）将b＝2及x＝﹣3代入方程，可求出c的值，进而得出方程的另一个根． （2）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：（1）将b＝2，x＝﹣3代入原方程得， （﹣3）2﹣3×2+c＝0， 解得c＝﹣3， 所以原方程为x2+2x﹣3＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3， 所以方程的另一个根为1． （2）由所给一元二次方程可知， Δ＝b2﹣4c． 因为c+1， 所以b2＝4c+4， 所以Δ＝4c+4﹣4c＝4＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解及根的判别式，熟知解一元二次方程的步骤及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 17．（2024春•镇海区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣4＝0是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个波浪方程． 【分析】（1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为﹣1，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【解答】解：（1）是波浪方程． ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴3a+2b+c＝6+（﹣2）+（﹣4）＝0． 故此方程为波浪方程． （2）将x＝﹣1代入原方程得， a+2+c＝0①， ∵此方程为波浪方程， ∴3a+（﹣4）+c＝0②， 由①②得， ， ∴这个波浪方程为3x2﹣2x﹣5＝0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 八下计算部分整体训练 （7题型） 二次根式的基础概念相关 1．（2024春•吴兴区期末）二次根式中x的取值范围是（　　） A．x＝2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＜2 2．（2024春•拱墅区期末）在，，，0四个数中，最大的数是（　　） A． B． C． D．0 3．（2024春•柯桥区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•镇海区期末）二次根式中，字母m的取值范围是 　 　 ． 5．（2024春•慈溪市期末）当x＝1时，二次根式的值为 　 　 ． 6．（2024春•拱墅区期末）函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x B．x C．x D．x 7．（2024春•温州期末）当x＝1时，二次根式的值是 　 　 ． 二次根式的性质与化简 1．（2024春•金东区期末）　 　 ． 2．（2024春•钱塘区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•上城区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•北仑区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•丽水期末）计算的结果是 　 　 ． 6．（2024春•越城区期末）下列计算正确的是（　　） A．（1）（1）＝1 B． C． D． 7．（2024春•鄞州区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024春•吴兴区期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　） A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3 二次根式的混合运算 1．（2024春•义乌市期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•诸暨市期末）（1）计算：； （2）计算：． 3．（2024春•金东区期末）计算：． 4．（2024春•新昌县期末）计算： （1）； （2）． 5．（2024春•柯桥区期末）计算： （1）； （2）． 6．（2024春•镇海区期末）计算：（）（）． 7．（2024春•浦江县期末）计算： （1）； （2）． 8．（2024春•鄞州区期末）计算： （1）； （2）． 9．（2024春•滨江区期末）计算：（1）（）； （2）（3）25． 10．（2024春•西湖区期末）计算：（1）； （2）． 11．（2024春•上虞区期末）解答下列各题： （1）计算：； （2）设实数的整数部分为a，小数部分为b，求（a+b）（a﹣b）﹣4b的值． 一元二次方程的解 1．（2024春•诸暨市期末）已知关于x的方程b2x2+abx+a2﹣3b2+1＝0（a，b为常数，且ab≠0），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（　　） ①x＝﹣2；②x＝﹣1；③x＝1；④x＝2． A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 2．（2024春•衢州期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝﹣1，则代数式2024﹣a+b的值为（　　） A．﹣2023 B．﹣2025 C．2023 D．2025 3．（2024春•海曙区期末）若关于x的一元二次方程x2+x﹣2k＝0有一个实数根为x＝﹣2，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣2 4．（2024春•德清县期末）已知a是方程x2+5x﹣1＝0的根，则代数式a2+5a+2024的值为 　 　 ． 5．（2024春•苍南县期末）方程x2+4x﹣5＝0的解是x1＝1，x2＝﹣5，现给出另一个方程（2x﹣1）2+4（2x﹣1）﹣5＝0，它的解是（　　） A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 6．（2024春•拱墅区期末）已知一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠1）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等，若ax2+bx+1＝0的另一个根为4，则x2+bx+a＝0的两个根分别为（　　） A．﹣4，4 B．﹣4，1 C．，4 D．，1 一元二次方程的各种解法 1．（2024春•新昌县期末）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•丽水期末）若方程x2+mx+9＝0经配方法转化成（x﹣3）2＝0，则m的值是 　 　 ． 3．（2024春•吴兴区期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 4．（2024春•吴兴区期末）如表是某同学求代数式x2﹣3x的值的情况，根据表格可知方程x2﹣3x＝0的根是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … x2﹣3x … 10 4 0 ﹣2 ﹣2 0 … A．x＝3 B．x＝0 C．x＝0或x＝3 D．x＝1或x＝2 5．（2024春•德清县期末）解方程： （1）x2﹣81＝0； （2）x2﹣3x+1＝0． 6．（2024春•新昌县期末）解方程： （1）x2+4x﹣12＝0 （2）3（x﹣5）2＝2（x﹣5） 7．（2024春•义乌市期末）解方程： （1）2x2﹣x＝0； （2）5x2+2x﹣3＝0． 8．（2024春•北仑区期末）小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 解方程：x2﹣6x+5＝0 x2﹣5x﹣x+5＝0…第1步 x2﹣5x＝x﹣5…第2步 （x﹣5）x＝x﹣5…第3步 ∴x﹣5＝0…第4步 ∴x＝5…第5步 （1）小明的解法从第 　 　 步开始出现错误； （2）请用适当方法给出正确的解答． 一元二次方程根的判别式 1．（2024春•新昌县期末）若方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2024春•德清县期末）若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k＜1且k≠0 D．k≥1 3．（2024春•吴兴区期末）关于x的一元二次方程x2+k＝0有实数根，则实数k的取值范围为 　 　 ． 4．（2024春•金东区期末）对于实数a，b定义新运算：aΔb＝b2﹣ab，若关于x的方程6Δx＝k有两个相等实数根，则k的值为 　 　 ． 5．（2024春•金东区期末）设关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，已知①b＝2，c＝1；②b＝﹣2，c＝﹣3；③b＝1，c＝2．请在上述三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 一元二次方程的韦达定理 1．（2024春•义乌市期末）已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•越城区期末）一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1+x2＝3 D．x1x2＝2 3．（2024春•诸暨市期末）已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 4．（2024春•钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0． （1）若该方程有一个根是﹣2，求k的值． （2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （3）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，求k的值． 5．（2024春•西湖区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求b的值； （2）设x1，x2是方程的两个实数根，当b＝6时，求x2+x1的值． 1．（2024春•上虞区期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•海曙区期末）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•柯桥区期末）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如[1，4]＝1，[﹣2，1]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，函数y＝[x]（0≤x＜2）的图象如图所示，则方程的根为（　　） A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x＝0 C． D．无实数根 4．（2024春•钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 5．（2024春•慈溪市期末）方程x2﹣8x+7＝0配方后写成（x+m）2＝b的形式，则b的值为 　 　 ． 6．（2024春•越城区期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且b＞a，则　 　 ． 7．（2024春•鄞州区期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 　 　 ． 8．（2024春•拱墅区期末）已知a，b为常数，若方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同，则b＝　 　 ． 9．（2024春•北仑区期末）若实数a，b满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝3，且a≠b，则a2b+ab2的值为 　 　 ． 10．（2024春•吴兴区期末）观察下列各式： ，，… 请运用以上的方法化简 　 　 ． 11．（2024春•越城区期末）（1）计算：； （2）解方程：x2+6x+9＝2（x+3）． 12．（2024春•海曙区期末）（1）计算：2（）； （2）解方程：（x+1）2＝4（x+1）． 13．（2024春•丽水期末）解方程 （1）（x﹣2）2＝2； （2）（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0． 14．（2024春•丽水期末）如图，P（x，y）是平面直角坐标系中的一点． （1）用二次根式表示线段OP的长． （2）若x，y，求OP的长． 15．（2024春•越城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，其中m为常数． （1）若x＝2是方程的一个根，求m的值； （2）当m＝﹣1时，求该方程的根； （3）若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 16．（2024春•温州期末）已知一元二次方程x2+bx+c＝0． （1）当b＝2时，若方程的一个根为﹣3，求c的值以及方程的另一个根． （2）当时，请判别方程根的情况． 17．（2024春•镇海区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣4＝0是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个波浪方程． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$