专题02 一元二次方程应用题综合（5题型）（浙江专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 一元二次方程应用题综合 （5题型） 平均增长率类应用题 1．（2024春•苍南县期末）某品牌新能源汽车经过连续两次降价后，每台售价从20万元降为18.2万元，假设平均每次降价百分率为x，则可列方程（　　） A．20（1﹣x）2＝18.2 B．20（1﹣2x）2＝18.2 C．20（1﹣x）＝18.2 D．20（1﹣2x）＝18.2 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得，原价×（1﹣降价百分率）2＝现价，据此列方程即可． 【解答】解：由题意得，20（1﹣x）2＝18.2． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 2．（2024春•杭州期末）2021年杭州市某区的GDP（国内生产总值）为2502.2亿元．2023年该区的GDP为2936.43亿元，在杭州市各区县排名第一．设这两年该区GDP的平均增长率为x，根据题意可列出方程为（　　） A．2502.2（1+2x）＝2936.43 B．2502.2（1+x）2＝2936.43 C．2502.2（1+2x）2＝2936.43 D．2502.2x2＝2936.43 【分析】根据该市2021年及2023年该区的GDP，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得：2502.2（1+x）2＝2936.43． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024春•余姚市期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18万元，若设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则可列方程为（　　） A．23（1﹣2x）＝18 B．18（1﹣x）2＝23 C．18（1+x）2＝23 D．23（1﹣x）2＝18 【分析】利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价×（1﹣该款汽车这两月售价的月平均降价率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2024春•宁波期末）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（　　） A．1+x2＝111 B．（1+x）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．1+（1+x）+（1+x）2＝111 【分析】由一个主干长出x个支干且每个支干又长出同样数目的小分支，可得出共长出x2个小分支，再结合主干、支干和小分支的总数是111，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵一个主干长出x个支干，每个支干又长出同样数目的小分支， ∴共长出x2个小分支． 根据题意得：1+x+x2＝111． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2024春•鄞州区期末）鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021年到馆读者134万人次，2023年人数增长至289万，设这两年到馆人数的年平均增长率为x，可列方程（　　） A．134（1+2x）＝289 B．134（1+x）2＝289 C．289（1﹣x）2＝134 D．134（1+x）+134（1+x）2＝289 【分析】根据2021年到馆读者134万人次，2023年人数增长至289万，这两年到馆人数的年平均增长率为x，可得方程134（1+x）2＝289，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 134（1+x）2＝289， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 6．（2024春•金东区期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润． 【分析】（1）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可求出结论； （2）设每件商品降价m元，则每件的销售利润为（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要有利于减少库存，即可确定结论； （3）根据前三个月的总销量为285件，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，将其符合题意的值代入60（1+x），60（1+x）2中，可得出2月份、三月份的销售量，再利用该季度的总利润＝（该商品1月份的售价﹣该商品的进价）×1月份的销售量+（该商品2月份的售价﹣该商品的进价）×2月份的销售量+（该商品3月份的售价﹣该商品的进价）×3月份的销售量，即可求出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：（360﹣280）×60 ＝80×60 ＝4800（元）． 答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （2）设每件商品降价m元，则每件的销售利润为（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件， 根据题意得：（360﹣m﹣280）（60+5m）＝7200， 整理得：m2﹣68m+480＝0， 解得：m1＝8，m2＝60， 又∵要有利于减少库存， ∴m＝60． 答：每件商品应降价60元； （3）根据题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝285， 整理得：4x2+12x﹣7＝0， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（不符合题意，舍去）， ∴60（1+x）＝60×（1+50%）＝90（件），60（1+x）2＝60×（1+50%）2＝135（件）， ∴2月份这种商品的售价为360354（元），3月份这种商品的售价为360345（元）， ∴该季度的总利润为（360﹣280）×60+（354﹣280）×90+（345﹣280）×135＝20235（元）． 答：该季度的总利润为20235元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 其他杂类应用题 1．（2024春•北仑区期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A．x2+42＝102 B．（10﹣x）2+42＝102 C．（10﹣x）2+42＝x2 D．x2+42＝（10﹣x）2 【分析】根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长（10﹣x）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长（10﹣x）尺． 根据题意得：x2+42＝（10﹣x）2． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2024春•丽水期末）《九章算术》中有如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？该问题的意思是：今有门不知其高和宽，有竿不知其长短，横放竿比门宽长出4尺，竖放竿比门高长出2尺，斜放竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中门宽为 　6　 尺． 【分析】设BC＝x尺，则AC＝（x+4）尺，AB＝（x+4﹣2）尺，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程并解答即可． 【解答】解：设BC＝x尺（x＞0），则AC＝（x+4）尺，AB＝（x+4﹣2）尺，则： x2+（x+4﹣2）2＝（x+4）2． 解得x＝6． 答：门宽BC为6尺． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 3．（2024春•拱墅区期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（　　） A．（x﹣3）2+82＝x2 B．（x﹣3）2+x2＝82 C．x2+82＝（x+3）2 D．x2+（x+3）2＝82 【分析】设绳索长为x尺，则立木长为（x﹣3）尺，在Rt△中，根据勾股定理即可列出方程． 【解答】解：设绳索长为x尺，则立木长为（x﹣3）尺， 在Rt△中， 由勾股定理得，（x﹣3）2+82＝x2， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程及勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 4．（2024春•杭州期末）强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为x cm．（粘贴连接处忽略不计） （1）装裱后长方形书法作品的长为 　（80+2x）　 cm；正方形书法作品的面积为 　（1600+160x+4x2）　 cm2．（用含x的代数式表示） （2）若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为1100cm2，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积． 【分析】（1）根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：（80+2x）cm，正方形书法作品的边长为：（40+2x）cm，再计算其面积即可； （2）根据题意，可知装裱长方形书法作品所用彩纸的面积＝装裱后长方形书法作品的面积﹣未装裱长方形书法作品的面积，求得x＝5，再根据装裱正方形书法作品所用彩纸的面积＝装裱后正方形书法作品的面积﹣未装裱正方形书法作品的面积，代入计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：（80+2x）cm， 正方形书法作品的边长为：（40+2x）cm，面积为：（40+2x）2＝（1600+160x+4x2）cm2， 故答案为：（80+2x），（1600+160x+4x2）； （2）根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：（80+2x）cm，宽为：（20+2x）cm， ∴装裱后长方形书法作品的面积为：（80+2x）（20+2x）＝（1600+200x+4x2）cm2， ∴装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为1100cm2＝1600+200x+4x2﹣80×20， 即x2+50x﹣275＝0， 解得：x＝5或x＝﹣55（不符合题意，舍去）， 根据题意可知，装裱后正方形书法作品的面积为：（40+2x）2＝（1600+160x+4x2）cm2， ∴装裱正方形书法作品所用彩纸的面积＝装裱后正方形书法作品的面积﹣未装裱正方形书法作品的面积， 即装裱正方形书法作品所用彩纸的面积＝1600+160x+4x2﹣402＝160×5+4×52＝900（cm）2， 答：装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为900cm2． 【点评】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 销售类应用题 1．（2024春•义乌市期末）某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低a元，要使日盈利为800元，则可列方程（　　） A．（9﹣a）（100+25a）＝800 B．（9﹣a）（100+50a）＝800 C．（6﹣a）（100+25a）＝800 D．（6﹣a）（100+50a）＝800 【分析】设每捆衣架售价降低a元，根据一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆列方程即可得到结论． 【解答】解：设每捆衣架售价降低a元，根据题意得（6﹣a）（100+50a）＝800， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2024春•柯桥区期末）毛主席在《水调歌头•重上井冈山》上写道“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”，为我们描绘了科技发展的美好蓝图．如今，我国的航天航海事业飞速发展，取得了举世瞩目的成就2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某商家抓住这一商机，购进了某种航天模型玩具，每件进价30元．经市场预测，销售定价为50元时，每周可卖出300件；每降低一元，每周可多卖出20件．如果商家想在一周时间获利6080元，设每件玩具降价x元，则可列方程为（　　） A．（50﹣x）（300+20x）＝6080 B．（50﹣x﹣30）（300﹣20x）＝6080 C．（50﹣x）（300﹣20x）＝6080 D．（50﹣x﹣30）（300+20x）＝6080 【分析】设每件降价x元，则定价为（50﹣x）元，根据在一周时间获利6080元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设每件降价x元，则定价为（50﹣x）元， 由题意得：（50﹣x﹣30）（300+20x）＝6080， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024春•诸暨市期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元． （1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？ （2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明． 【分析】（1）设每篮樱桃的售价为x元，则每天可售出（140﹣2x）篮，利用销售总额＝销售单价×销售数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）假设该采摘基地每天所获得的销售额能达到2500元，设每篮樱桃的售价为y元，则每天可售出（140﹣2y）篮，利用销售总额＝销售单价×销售数量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元． 【解答】解：（1）设每篮樱桃的售价为x元，则每天可售出4010＝（140﹣2x）篮， 根据题意得：x（140﹣2x）＝2400， 整理得：x2﹣70x+1200＝0， 解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40． 答：当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额； （2）该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元，理由如下： 假设该采摘基地每天所获得的销售额能达到2500元，设每篮樱桃的售价为y元，则每天可售出4010＝（140﹣2y）篮， 根据题意得：y（140﹣2y）＝2500， 整理得：y2﹣70y+1250＝0， ∵Δ＝（﹣70）2﹣4×1×1250＝﹣100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，原方程没有实数根”． 4．（2024春•宁波期末）某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克． （1）若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？ （2）2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？ 【分析】（1）设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x，根据2023年土豆的平均亩产量达到1440千克，列出方程进行求解即可； （2）设增加土豆种植面积a亩，根据土豆种植的总成本不变，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x． 根据题意，得1000（1+x）2＝1440． 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2．（不合题意，舍去） 答：土豆平均亩产量的年增长率为20%． （2）设增加土豆种植面积a亩． 根据题意，得（100+a）（1200﹣10a）＝1200×100． 解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝20． 答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变． 【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 5．（2024春•海曙区期末）“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降x元，则每天能售出 　（150+3x）　 千克（用含x的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件否能达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【分析】（1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降x元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降m元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意可知，每天能售出：（1506）千克，即（150+3x）千克， 故答案为：（150+3x）； （2）设售价每千克下降x元， 由题意得：（60﹣x）（150+3x）＝9072， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， ∴60﹣x＝60﹣4＝56或60﹣6＝54， 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额； （3）按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降m元， 由题意得：（60﹣m）（150+3m）＝10000， 整理得：3m2﹣30m+1000＝0， ∴b2﹣4ac＝302﹣3×4×1000＝﹣11100＜0， ∴不能达到这个“小目标”． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 几何图形面积结合类应用题 1．（2024春•瓯海区期末）李师傅从市场上买了一块长100cm、宽60cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为3200cm2的无盖工具箱，根据题意可列方程为（　　） A．100×60﹣4x2＝3200 B．100×60﹣4x2﹣（100+60）x＝3200 C．（100﹣x）（60﹣x）＝3200 D．（100﹣2x）（60﹣2x）＝3200 【分析】根据题意可知：裁剪后的底面的长为（100﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可． 【解答】解：根据题意得，裁剪后的底面的长为（100﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm， ∴（100﹣2x）（60﹣2x）＝3200． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找出等量关系是解题关键． 2．（2024春•余姚市期末）如图，某学校有一块长为30米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道． （1）若设计人行通道的宽度为2米，那么修建的两块矩形绿地的面积共为多少平方米？ （2）若要修建的两块矩形绿地的面积共为216平方米，求人行通道的宽度． 【分析】（1）根据面积＝长×宽，分别计算两块矩形绿地的长和宽，即可得到答案， （2）设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地的长和宽用含有x的式子表示出来，根据“两块矩形绿地的面积共为216平方米”列出关于x的一元二次方程，解之即可． 【解答】解：（1）根据题意得： 两块矩形绿地的长为30﹣2×3＝24（米）， 宽为10﹣2×2＝6（米）， 面积为24×6＝144（米2）， 答：修建的两块矩形绿地的面积共为144平方米， （2）设人行通道的宽度为x米， 则两块矩形绿地的长为（30﹣3x）（米）， 宽为（10﹣2x）（米）， 根据题意得：（30﹣3x）（10﹣2x）＝216， 解得：x1＝14（舍去），x2＝1， 答：人行通道的宽度为1米． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系，列出一元二次方程式解决本题的关键． 3．（2024春•鄞州区期末）如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园ABCD． （1）如图1，利用墙围成矩形花园ABCD，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长； （2）如图2，用围栏补墙得到矩形花园ABCD，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出BC的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设AB＝x米，则BC＝（20﹣2x）米，根据围成的花园面积为32平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长4米，即可确定结论； （2）花园的面积能为36平方米，设AB＝y米，则BC（12﹣y）米，根据围成的花园面积为36平方米，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再将其代入（12﹣y）中，即可得出结论． 【解答】解：（1）设AB＝x米，则BC＝（20﹣2x）米， 根据题意得：x（20﹣2x）＝32， 整理得：x2﹣10x+16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8， 当x＝2时，20﹣2x＝20﹣2×2＝16＞4，不符合题意，舍去； 当x＝8时，20﹣2x＝20﹣2×8＝4，符合题意． 答：花园的边长为8米和4米； （2）花园的面积能为36平方米， 设AB＝y米，则BC（12﹣y）米， 根据题意得：y（12﹣y）＝36， 整理得：y2﹣12y+36＝0， 解得：y1＝y2＝6， ∴12﹣y＝12﹣6＝6． 答：花园的面积能为36平方米，BC的长为6米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2024春•衢州期末）实验基地有一长为10米的墙MN，研究小组想利用墙MN和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门． （1）小徐按图1的方案围成矩形种植园（AD为墙MN的一部分），当矩形种植园的面积为120m2时，求出矩形种植园一边AB的长． （2）小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙MN为边AD的一部分），能否围成面积为180m2的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）方案1：设AB的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可； （2）方案2：设AB的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可． 【解答】（1）解：设AB的长为x米， 则x（37+1﹣2x）＝120， 解得：x1＝4，x2＝15． ∵0≤38﹣2x≤10， ∴14≤x≤19， ∴x＝4舍去，x＝15． 答：矩形种植园一边AB的长15米． （2）解：设AB的长为x米， 则 ，化简得﹣x2+24x＝180， ∵b2﹣4ac＝242﹣4×180＝﹣144＜0， ∴不能围成， 答：不能围成面积为180m2的矩形种植园． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键． “素材类”应用题 1．（2024春•新昌县期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材一 试营业发现 每杯奶茶的盈利与卖出的数量构成一定关系，当卖出10杯时，每杯奶茶可盈利3元．以同样的材料制作，若每多卖出一杯，平均每杯奶茶盈利就增加0.1元． 探究一 若某天在卖出10杯奶茶的基础上，多卖出x杯奶茶，则当天每杯奶茶可盈利 　（3+0.1x）　 元．（用含有x的代数式表示） 探究二 某天该奶茶店总盈利为630元．则当日卖出了多少杯奶茶？ 【分析】探究一：根据当卖出10杯时，每杯奶茶可盈利3元．以同样的材料制作，若每多卖出一杯，平均每杯奶茶盈利就增加0.1元．即可得出结论； 探究二：根据某天该奶茶店总盈利为630元．列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：探究一：由题意可知，若某天在卖出10杯奶茶的基础上，多卖出x杯奶茶，则当天每杯奶茶可盈利（3+0.1x）元， 故答案为：（3+0.1x）； 探究二：由题意得：（10+x）（3+0.1x）＝630， 整理得：x2﹣40x﹣6000＝0， 解得：x1＝60，x2＝﹣100（不符合题意，舍去）， ∴10+x＝10+60＝70， 答：当日卖出了70杯奶茶． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 2．（2024春•丽水期末）为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 某款中央空调每台进价为20000元． 素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元． 规定：一个团的团购数量不超过11台． 问题解决 问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价． 问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价． 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元． 【分析】（1）根据题意原售价基础上减去500元即可； （2）原售价减去每台下降的部分即可得出答案； （3）根据总利润＝每台利润×销售数量列方程求解即可． 【解答】解：（1）当团购3台时，每台空调的团购价为30000﹣500＝29500（元）； （2）设团购数量增加x台，表示每台空调的团购价为30000﹣500x（元）； （3）根据题意，得：（﹣500x+30000﹣20000）（x+2）＝58500， 整理，得：x2﹣22x+117＝0， 解得x1＝11（舍），x2＝7， x+2＝7+2＝9（台）． 答：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元． 【点评】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的相等关系． 3．（2024春•上城区期末）综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求﹣2x2+4x+3的最大值，过程如下： ﹣2x2+4x+3＝﹣2（x2﹣2x+1）+3+2＝﹣2（x﹣1）2+5 ∴当x＝1时，﹣2x2+4x+3有最大值5． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为x cm的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形ABCD． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为x cm的正方形，再在中间裁掉一块正方形BCFE，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形ABCD． 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 　（40﹣2x）2　 cm2（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到900cm2． 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面AB边的长． 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 【分析】任务1：根据题意用含x的代数式表示出AB，即可表示出底面的面积； 任务2：首先用x的代数式表示出AD，根据中间的四边形BCFE为正方形可表示出AB； 任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大．因此比较两种方案种底盒的底面积即可，首先由任务1，2表示出两种方案纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较即可得到答案； 任务4：首先表示出方案2中纸盒的体积为含x的二次多项式，然后用配方法求二次多项式的最值即可． 【解答】解：任务1：根据题意得：在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为（40﹣2x）2cm2， 故答案为：（40﹣2x）2； 令（40﹣2x）2＝900， 解得：x1＝5，x2＝35（不符合题意，舍去）， 则此时底面积能达到900cm2； 任务2：根据题意得：AB[80﹣2x﹣（40﹣2x）]（80﹣2x﹣40+2x）40＝20（cm）； 任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大； 由任务1可知：方案1的底面积为：（40﹣2x）2 cm2； 由任务2可知：方案2的底面积为：20（40﹣2x）cm2； 根据题意知：，故0＜x＜20， 当（40﹣2x）2＞20（40﹣2x）时，解得0＜x＜10， 当（40﹣2x）2＝20（40﹣2x）时，解得x＝10， 当（40﹣2x）2＜20（40﹣2x）时，解得10＜x＜20； 故当0＜x＜10时，方案一的纸盒体积大；当x＝10时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当10＜x＜20时，方案二的纸盒体积大． 任务4：方案二中纸盒的体积为：20（40﹣2x）x＝﹣40x2+800x＝﹣40（x﹣10）2+4000； 当x＝10时，纸盒体积有最大值为4000cm3． 【点评】本题考查了列代数式以及配方法求二次多项式最值问题等知识的实际应用，根据题意列出代数式是本题的关键． 4．（2024春•义乌市期末）根据以下素材，探索完成任务． “脸谱扇”的制作、展示与包装 项目情境 脸谱，是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．某项目组的学生受此启发，准备设计制作“脸谱扇”，并进行展示与包装． 素材1 如图1，脸谱的长与宽分别为MN、EF（MN⊥EF），为制作大小适合的脸谱，该项目组的学生测量了如下五组数据，根据其平均数来确定脸谱的长与宽后，将一部分制作好的脸谱作品粘贴在纸片上（纸片大小即为矩形ABCD，且AB＝MN，AD＝EF）． 脸长/cm 17.2 18.4 17.3 18.1 19.0 脸宽/cm 12.8 13.1 13.3 12.7 13.1 素材2 如图2是一块矩形展板PQRS，学生在展板上放置了8个已粘贴在纸片上的脸谱扇作品，其中上、下四个作品分别与PS、QR的距离以及左右两边的作品分别与PQ、SR的距离均相等．已知两作品间的左右间距均为1.5cm，上下间距均为3.5cm． 素材3 如图3，将做好的脸谱扇粘上扇柄，其中露在扇面外的扇柄OH＝6cm．现有一块面积为672cm2的矩形纸板，在它的四个角上剪去四个边长相等的小正方形后折叠成一个无盖礼盒，再将带扇柄的脸谱扇平放入礼盒中，且摆放时扇柄保持与礼盒底边垂直． 任务1 结合素材1的信息，求出脸谱的长与宽． 任务2 记素材2中上面四个作品与PS的距离为x cm，若5PS＝7PQ，求x的值． 任务3 结合素材3的信息，求出被剪去的小正方形边长的最大值 【分析】（1）根据算术平均数计算脸长和脸宽即可； （2）根据题意，利用5PS＝7PQ列出关于x的方程，求出x值即可； （3）根据几何体底面是矩形，计算出底面积最小时剪去的正方形的边长最大即可． 【解答】解：任务1：根据题意，由平均数来确定脸谱的长与宽， 脸长：（17.2+18.4+17.3+18.1+19.0）＝18， 脸宽：（12.8+13.1+13.3+12.7+13.1）＝13， 任务2：根据题意，PS＝2x+4×13+3×1.5＝2x+56.5，PQ＝2x+2×18+3.5＝2x+39.5， ∵5PS＝7PQ， ∴5（2x+56.5）＝7（2x+39.5）， 解得：x＝1.5． 任务3：根据题意，带扇柄的脸谱扇平放入礼盒中所占面积为（18+6）×13＝312（cm2）， ∵放时扇柄保持与礼盒底边垂直：， ∴盒子的四个侧面总面积为：672﹣312＝360（cm2）， 设裁去四角小正方形的边长为x cm，则有2×24x+2×13x+4x2＝360， 解得：x＝4或x＝﹣22.5（舍去）． ∴被剪去的小正方形边长的最大值为：4cm． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体、算术平均数、矩形的性质，熟练掌握算术平均数的计算是关键． 1．（2024春•温州期末）去年10～12月，我国公共充电桩数量由252.5万台增长至272.6万台，设公共充电桩的月平均增长率为x，则可列方程（　　） A．252.5（1+x）2＝272.6 B．252.5（1+x2）＝272.6 C．252.5（1+2x）＝272.6 D．252.5x2＝272.6 【分析】根据增长率的定义构建方程即可． 【解答】解：由题意152.5（1+x）2＝272.6． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解增长率的定义． 2．（2024春•滨江区期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（　　） A．83% B．69% C．25% D．20% 【分析】设从5月份到7月份销售量的月增长率为x，根据某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设从5月份到7月份销售量的月增长率为x， 由题意得：144（1+x）2＝225， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）． 即从5月份到7月份销售量的月增长率为25%， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024春•钱塘区期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为60cm，宽为50cm的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是4200cm2，设纸边的宽为x（cm），则x满足的方程是（　　） A．（60+x）（50+x）＝4200 B．（60﹣2x）（50﹣2x）＝4200 C．（60+2x）（50+2x）＝4200 D．（60﹣x）（50﹣x）＝4200 【分析】如果设纸边的宽为x cm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）cm和（50+2x）cm，根据总面积即可列出方程． 【解答】解：设纸边的宽为x cm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）cm和（50+2x）cm， 根据题意可得出方程为：（60+2x）（50+2x）＝4200， 故选：C． 【点评】考查了一元二次方程的运用，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系． 4．（2024春•金东区期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（1丈＝10尺，1尺＝10寸）（　　） A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102 C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102 【分析】根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为（x+6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵矩形的门的高比宽多6尺8寸，且门宽为x尺， ∴门高为（x+6.8）尺． 根据题意得：x2+（x+6.8）2＝102． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2024春•西湖区期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元． （1）求2021年至2023年日租金的平均增长率； （2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元． ①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨y元，则每辆汽车的日租金为 　（121+y）　 元，实际能租出 　（300﹣2y）　 辆车． ②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？（日收益＝总租金﹣各类费用） 【分析】（1）设2021年至2023年日租金的平均增长率为x，利用2023年每辆汽车的日租金＝2021年每辆汽车的日租金×（1+2021年至2023年日租金的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①利用每辆汽车的日租金＝121+每辆汽车日租金上涨的钱数，可用含y的代数式表示出每辆汽车的日租金；利用实际能租出的数量＝300﹣2×每辆汽车日租金上涨的钱数，即可用含y的代数式表示出实际能租出的数量； ②利用日收益＝总租金﹣各类费用，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设2021年至2023年日租金的平均增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝121， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：2021年至2023年日租金的平均增长率为10%； （2）①根据题意得：在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨y元，则每辆汽车的日租金为（121+y）元， 实际能租出（300﹣2y）辆． 故答案为：（121+y），（300﹣2y）； ②根据题意得：（121+y）（300﹣2y）﹣31（300﹣2y）﹣10[300﹣（300﹣2y）]＝28200， 整理得：y2﹣50y+600＝0， 解得：y1＝20，y2＝30． 答：当每辆汽车的日租金上涨20或30元时，该租赁公司的日收益可达28200元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）①根据各数量之间的关系，用含y的代数式表示出每辆汽车的日租金及实际能租出的数量；②找准等量关系，正确列出一元二次方程． 6．（2024春•苍南县期末）综合实践：如何用最少的材料设计花园？ 【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设AB的长为x米． 【项目解决】 目标1：确定面积与边长关系． 当篱笆全部用完，且围成矩形花园ABCD的面积为32平方米时，求BC的长． 目标2：探究最少的材料方案． 现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米． （1）若m＝14米，能成功围成吗？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由． （2）若要成功围成，则m的最小值为 　18　 米，此时，AB＝　　 米． 【分析】目标1：由篱笆的总长及AB的长，可得出BC的长为（20﹣2x）米，根据围成矩形花园ABCD的面积为32平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为10米，即可取得结论； 目标2：（1）假设能围成面积为平方米的矩形花园，设AB的长为y米，则BC的长为（14﹣2y）米，根据围成矩形花园ABCD的面积为平方米，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣512＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为平方米的矩形花园； （2）设AB的长为a米，则BC的长为（m﹣2a）米，根据围成矩形花园ABCD的面积为平方米，可列出关于a的一元二次方程，由根的判别式Δ≥0，可求出m的取值范围，代入符合题意的m的最小值，可得出关于a的一元二次方程，解之即可求出结论． 【解答】解：目标1：∵可用的篱笆总长为20米，且AB的长为x米， ∴BC的长为（20﹣2x）米． 根据题意得：x（20﹣2x）＝32， 整理得：x2﹣10x+16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8， 当x＝2时，20﹣2x＝20﹣2×2＝16＞10，不符合题意； 当x＝8时，20﹣2x＝20﹣2×8＝4＜10，符合题意． 答：BC的长为4米； 目标2：（1）不能围成面积为平方米的矩形花园，理由如下： 假设能围成面积为平方米的矩形花园，设AB的长为y米，则BC的长为（14﹣2y）米， 根据题意得：y（14﹣2y）， 整理得：4y2﹣28y+81＝0， ∵Δ＝（﹣28）2﹣4×4×81＝﹣512＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即不能围成面积为平方米的矩形花园； （2）设AB的长为a米，则BC的长为（m﹣2a）米， 根据题意得：a（m﹣2a）， 整理得：4a2﹣2ma+81＝0， ∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×4×81≥0， ∴m≥18或m≤﹣18， ∴m的最小值为18米． 当m＝18时，原方程为4a2﹣36a+81＝0， 解得：a1＝a2， 当a时，18﹣2a＝18﹣29＜10，符合题意， ∴AB米． 故答案为：18，． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2024春•柯桥区期末）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当a≠0时，方程ax2+2a﹣1＝0可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：（x2+2）a﹣1＝0，这就是一个关于a的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0再利用根的判别式b2﹣4ac≥0来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求2x2+5x+3的最小值． 任务2 探索新知：若实数x、y满足x2﹣2x﹣4y＝5，求x﹣2y的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令x﹣2y＝k，则4y＝2x﹣2k，将4y＝2x﹣2k代入原式得 　x2﹣4x+2k﹣5＝0　 ．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得x﹣2y的最大值为 　　 ． 任务3 应用新知：如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，BD，记AB＝a，BC＝b，当3a+b最大时，求此时b的值． 【分析】任务1：直接利用素材2中的判别式法，令2x2+5x+3＝y，然后整理得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0来确定y的最小值． 任务2：根据题意把4y＝2x﹣2k代入x2﹣2x﹣4y＝5，整理得到关于x的一元二次方程，再根据判别式法求出k的最大值，即可得出答案． 任务3：过点B作DC的垂线交DC于点E，由60°角的三角函数易得BE和DE的长度关于b的表达式，然后在Rt△BDE中应用勾股定理即可得到BD2＝BE2+DE2，这样就得到关于a、b的等式．根据任务2中的方法，令3a+b＝k，观察题目所求为b的值，故消掉变量a，于是将a代入前面的等式，就可以得到一个关于b的一元二次方程，再由判别式法求出k的最大值，即可通过一元二次方程求出此时的b值． 【解答】任务1： 解：根据素材中的判别式法，令2x2+5x+3＝y，整理得2x2+5x+3﹣y＝0． 关于x的一元二次方程，Δ＝52﹣4×2×（3﹣y）≥0， 解得，y． 故y的最小值为． 任务2： 解：令x﹣2y＝k，则4y＝2x﹣2k． 将4y＝2x﹣2k代入x2﹣2x﹣4y＝5，得x2﹣4x+2k﹣5＝0． 把x2﹣4x+2k﹣5＝0看作是关于x的一元二次方程，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（2k﹣5）≥0， 解得，k， 则x﹣2y． ∴x﹣2y的最大值为． 故答案为：x2﹣4x+2k﹣5＝0；． 任务3： 如图，过点B作BE⊥DC，点E为垂足． 根据题意，AB＝DC＝a，BC＝b，BD． 在Rt△BEC中，EC＝BC•cos60°b，BE＝BC•sin60°b． ∴DE＝CD﹣EC＝ab． 在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2， 即（）2＝（b）2+（ab）2． 整理得，a2﹣ab+b2﹣39＝0， 令3a+b＝k，则a，代入上式得到一个关于b的一元二次方程：13b2﹣5kb+k2﹣351＝0． Δ＝（﹣5k）2﹣4×13×（k2﹣351）≥0， 解不等式得，﹣26≤k≤26，则k的最大值为26，即3a+b的最大值为26． 把k＝26代入13b2﹣5kb+k2﹣351＝0得，b2﹣10b+25＝0． 解方程得，b＝5． 故当3a+b最大时，b＝5． 【点评】本题考查了一元二次方程判别式的应用，通过等式灵活构建关于某个变量的一元二次方程，再由判别式法求极值是解答本题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程应用题综合 （5题型） 平均增长率类应用题 1．（2024春•苍南县期末）某品牌新能源汽车经过连续两次降价后，每台售价从20万元降为18.2万元，假设平均每次降价百分率为x，则可列方程（　　） A．20（1﹣x）2＝18.2 B．20（1﹣2x）2＝18.2 C．20（1﹣x）＝18.2 D．20（1﹣2x）＝18.2 2．（2024春•杭州期末）2021年杭州市某区的GDP（国内生产总值）为2502.2亿元．2023年该区的GDP为2936.43亿元，在杭州市各区县排名第一．设这两年该区GDP的平均增长率为x，根据题意可列出方程为（　　） A．2502.2（1+2x）＝2936.43 B．2502.2（1+x）2＝2936.43 C．2502.2（1+2x）2＝2936.43 D．2502.2x2＝2936.43 3．（2024春•余姚市期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18万元，若设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则可列方程为（　　） A．23（1﹣2x）＝18 B．18（1﹣x）2＝23 C．18（1+x）2＝23 D．23（1﹣x）2＝18 4．（2024春•宁波期末）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（　　） A．1+x2＝111 B．（1+x）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．1+（1+x）+（1+x）2＝111 5．（2024春•鄞州区期末）鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021年到馆读者134万人次，2023年人数增长至289万，设这两年到馆人数的年平均增长率为x，可列方程（　　） A．134（1+2x）＝289 B．134（1+x）2＝289 C．289（1﹣x）2＝134 D．134（1+x）+134（1+x）2＝289 6．（2024春•金东区期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润． 其他杂类应用题 1．（2024春•北仑区期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A．x2+42＝102 B．（10﹣x）2+42＝102 C．（10﹣x）2+42＝x2 D．x2+42＝（10﹣x）2 2．（2024春•丽水期末）《九章算术》中有如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？该问题的意思是：今有门不知其高和宽，有竿不知其长短，横放竿比门宽长出4尺，竖放竿比门高长出2尺，斜放竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中门宽为 　 　 尺． 3．（2024春•拱墅区期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（　　） A．（x﹣3）2+82＝x2 B．（x﹣3）2+x2＝82 C．x2+82＝（x+3）2 D．x2+（x+3）2＝82 4．（2024春•杭州期末）强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为x cm．（粘贴连接处忽略不计） （1）装裱后长方形书法作品的长为 　 　 cm；正方形书法作品的面积为 　 　 cm2．（用含x的代数式表示） （2）若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为1100cm2，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积． 销售类应用题 1．（2024春•义乌市期末）某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低a元，要使日盈利为800元，则可列方程（　　） A．（9﹣a）（100+25a）＝800 B．（9﹣a）（100+50a）＝800 C．（6﹣a）（100+25a）＝800 D．（6﹣a）（100+50a）＝800 2．（2024春•柯桥区期末）毛主席在《水调歌头•重上井冈山》上写道“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”，为我们描绘了科技发展的美好蓝图．如今，我国的航天航海事业飞速发展，取得了举世瞩目的成就2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某商家抓住这一商机，购进了某种航天模型玩具，每件进价30元．经市场预测，销售定价为50元时，每周可卖出300件；每降低一元，每周可多卖出20件．如果商家想在一周时间获利6080元，设每件玩具降价x元，则可列方程为（　　） A．（50﹣x）（300+20x）＝6080 B．（50﹣x﹣30）（300﹣20x）＝6080 C．（50﹣x）（300﹣20x）＝6080 D．（50﹣x﹣30）（300+20x）＝6080 3．（2024春•诸暨市期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元． （1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？ （2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明． 4．（2024春•宁波期末）某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克． （1）若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？ （2）2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？ 5．（2024春•海曙区期末）“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降x元，则每天能售出 　 　 千克（用含x的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件否能达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 几何图形面积结合类应用题 1．（2024春•瓯海区期末）李师傅从市场上买了一块长100cm、宽60cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为3200cm2的无盖工具箱，根据题意可列方程为（　　） A．100×60﹣4x2＝3200 B．100×60﹣4x2﹣（100+60）x＝3200 C．（100﹣x）（60﹣x）＝3200 D．（100﹣2x）（60﹣2x）＝3200 2．（2024春•余姚市期末）如图，某学校有一块长为30米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道． （1）若设计人行通道的宽度为2米，那么修建的两块矩形绿地的面积共为多少平方米？ （2）若要修建的两块矩形绿地的面积共为216平方米，求人行通道的宽度． 3．（2024春•鄞州区期末）如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园ABCD． （1）如图1，利用墙围成矩形花园ABCD，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长； （2）如图2，用围栏补墙得到矩形花园ABCD，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出BC的长；若不能，请说明理由． 4．（2024春•衢州期末）实验基地有一长为10米的墙MN，研究小组想利用墙MN和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门． （1）小徐按图1的方案围成矩形种植园（AD为墙MN的一部分），当矩形种植园的面积为120m2时，求出矩形种植园一边AB的长． （2）小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙MN为边AD的一部分），能否围成面积为180m2的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． “素材类”应用题 1．（2024春•新昌县期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材一 试营业发现 每杯奶茶的盈利与卖出的数量构成一定关系，当卖出10杯时，每杯奶茶可盈利3元．以同样的材料制作，若每多卖出一杯，平均每杯奶茶盈利就增加0.1元． 探究一 若某天在卖出10杯奶茶的基础上，多卖出x杯奶茶，则当天每杯奶茶可盈利 　 　 元．（用含有x的代数式表示） 探究二 某天该奶茶店总盈利为630元．则当日卖出了多少杯奶茶？ 2．（2024春•丽水期末）为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 某款中央空调每台进价为20000元． 素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元． 规定：一个团的团购数量不超过11台． 问题解决 问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价． 问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价． 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元． 3．（2024春•上城区期末）综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求﹣2x2+4x+3的最大值，过程如下： ﹣2x2+4x+3＝﹣2（x2﹣2x+1）+3+2＝﹣2（x﹣1）2+5 ∴当x＝1时，﹣2x2+4x+3有最大值5． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为x cm的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形ABCD． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为x cm的正方形，再在中间裁掉一块正方形BCFE，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形ABCD． 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 　 　 cm2（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到900cm2． 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面AB边的长． 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 4．（2024春•义乌市期末）根据以下素材，探索完成任务． “脸谱扇”的制作、展示与包装 项目情境 脸谱，是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．某项目组的学生受此启发，准备设计制作“脸谱扇”，并进行展示与包装． 素材1 如图1，脸谱的长与宽分别为MN、EF（MN⊥EF），为制作大小适合的脸谱，该项目组的学生测量了如下五组数据，根据其平均数来确定脸谱的长与宽后，将一部分制作好的脸谱作品粘贴在纸片上（纸片大小即为矩形ABCD，且AB＝MN，AD＝EF）． 脸长/cm 17.2 18.4 17.3 18.1 19.0 脸宽/cm 12.8 13.1 13.3 12.7 13.1 素材2 如图2是一块矩形展板PQRS，学生在展板上放置了8个已粘贴在纸片上的脸谱扇作品，其中上、下四个作品分别与PS、QR的距离以及左右两边的作品分别与PQ、SR的距离均相等．已知两作品间的左右间距均为1.5cm，上下间距均为3.5cm． 素材3 如图3，将做好的脸谱扇粘上扇柄，其中露在扇面外的扇柄OH＝6cm．现有一块面积为672cm2的矩形纸板，在它的四个角上剪去四个边长相等的小正方形后折叠成一个无盖礼盒，再将带扇柄的脸谱扇平放入礼盒中，且摆放时扇柄保持与礼盒底边垂直． 任务1 结合素材1的信息，求出脸谱的长与宽． 任务2 记素材2中上面四个作品与PS的距离为x cm，若5PS＝7PQ，求x的值． 任务3 结合素材3的信息，求出被剪去的小正方形边长的最大值 1．（2024春•温州期末）去年10～12月，我国公共充电桩数量由252.5万台增长至272.6万台，设公共充电桩的月平均增长率为x，则可列方程（　　） A．252.5（1+x）2＝272.6 B．252.5（1+x2）＝272.6 C．252.5（1+2x）＝272.6 D．252.5x2＝272.6 2．（2024春•滨江区期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（　　） A．83% B．69% C．25% D．20% 3．（2024春•钱塘区期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为60cm，宽为50cm的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是4200cm2，设纸边的宽为x（cm），则x满足的方程是（　　） A．（60+x）（50+x）＝4200 B．（60﹣2x）（50﹣2x）＝4200 C．（60+2x）（50+2x）＝4200 D．（60﹣x）（50﹣x）＝4200 4．（2024春•金东区期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（1丈＝10尺，1尺＝10寸）（　　） A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102 C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102 5．（2024春•西湖区期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元． （1）求2021年至2023年日租金的平均增长率； （2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元． ①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨y元，则每辆汽车的日租金为 　 　 元，实际能租出 　 　 辆车． ②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？（日收益＝总租金﹣各类费用） 6．（2024春•苍南县期末）综合实践：如何用最少的材料设计花园？ 【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设AB的长为x米． 【项目解决】 目标1：确定面积与边长关系． 当篱笆全部用完，且围成矩形花园ABCD的面积为32平方米时，求BC的长． 目标2：探究最少的材料方案． 现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米． （1）若m＝14米，能成功围成吗？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由． （2）若要成功围成，则m的最小值为 　 　 米，此时，AB＝　 　 米． 7．（2024春•柯桥区期末）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当a≠0时，方程ax2+2a﹣1＝0可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：（x2+2）a﹣1＝0，这就是一个关于a的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0再利用根的判别式b2﹣4ac≥0来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求2x2+5x+3的最小值． 任务2 探索新知：若实数x、y满足x2﹣2x﹣4y＝5，求x﹣2y的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令x﹣2y＝k，则4y＝2x﹣2k，将4y＝2x﹣2k代入原式得 　 　 ．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得x﹣2y的最大值为 　 　 ． 任务3 应用新知：如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，BD，记AB＝a，BC＝b，当3a+b最大时，求此时b的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$