第九讲 功能关系及能量守恒定律 期末复习讲义 -2024-2025学年高一下学期物理粤教版（2019）必修第二册

粤教版2019必修第二册期末复习讲义 第九讲 功能关系及能量守恒定律 一、功能关系 （1）功是能量转化的量度，不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。即做了多少功就有多少能量发生了转化。 （2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。 功和能的关系，一是体现到不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。 二、功能关系的理解与应用 1．对功能关系的理解 (1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的． (2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等． 2．常见的功能关系 几种常见力做功 对应的能量变化 关系式 重力 正功 重力势能减少 WG＝－ΔEp ＝Ep1－Ep2 负功 重力势能增加 弹簧等的弹力 正功 弹性势能减少 W弹＝－ΔEp ＝Ep1－Ep2 负功 弹性势能增加 电场力 正功 电势能减少 W电＝－ΔEp ＝Ep1－Ep2 负功 电势能增加 合力 正功 动能增加 W合＝ΔEk ＝Ek2－Ek1 负功 动能减少 除重力和弹簧弹力以外的其他力 正功 机械能增加 W其他＝ΔE ＝E2－E1 负功 机械能减少 一对滑动摩擦力做功 机械能减少 内能增加 Q＝Ff·Δs相对 ①物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功． ②势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、电场力等)做负功还是做正功． ③机械能增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功． 三、摩擦力做功与能量转化 1．摩擦力做功的特点 (1)一对静摩擦力所做功的代数和总等于零； (2)一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量； (3)说明：两种摩擦力对物体都可以做正功，也可以做负功，还可以不做功． 2．三步求解相对滑动物体的能量问题 (1)正确分析物体的运动过程，做好受力分析． (2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系，求出两个物体的相对位移． (3)代入公式Q＝Ff·x相对计算，若物体在传送带上做往复运动，则为相对路程s相对． 四、能量守恒定律的理解和应用 1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变． 2．表达式ΔE减＝ΔE增． 3．基本思路 (1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等； (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等． 4．应用能量守恒定律解题的步骤 (1)分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等． (2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式． (3)列出能量守恒关系式：ΔE减＝ΔE增． 考点1：功能关系的理解及应用 力做功 能的变化 定量关系 合力做的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力做的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力做的总功 机械能减少 内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝Ff·x相对 （1）牢记三条功能关系 ①重力做的功等于重力势能的变化，弹力做的功等于弹性势能的变化。 ②合外力做的功等于动能的变化。 ③除重力、系统内弹力外，其他力做的功等于机械能的变化。 （2）功能关系的选用原则 ①在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。 ②只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。 ③只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。 ④只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。 （3）功能关系问题的理解 ①运用功能关系解题时，应弄清楚重力做什么功，合外力做什么功，除重力、弹力外的力做什么功，从而判断重力势能或弹性势能、动能、机械能的变化。 ②能是物体运动状态决定的物理量，即状态量；而功则是和物体运动状态变化过程有关的物理量，是过程量。两者有着本质的区别。 ③做功可以使物体具有的能量发生变化，而且物体能量变化大小是用做功的多少来量度的。但功和能不能相互转化。 例1.如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为f，则（　　） A．f对木块做功为 B．f对子弹做功为 C．木块与子弹间一对摩擦力的总功为 D．该过程中系统动能的减少量为 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，木块在摩擦力作用下的位移为，则摩擦力对木块做正功 故A错误； B．子弹的位移为，则摩擦力对子弹做功 故B错误； C．木块与子弹间一对摩擦力的总功为 故C错误； D．由能量守恒得该过程中系统动能的减少量为摩擦力对木块和子弹做的总功的绝对值，所以该过程中系统动能的减少量为fd，故D正确。 故选D。 例2.2023年重庆市货运量、港口吞吐量双双实现21亿吨目标。其中，港口吞吐量历史性突破2.2亿吨，同比增长8.2%，物流公司为了提高工作效率会使用各种传送带装置，如图所示为一简化的传送带模型，传送带与水平面之间的夹角为30°，其中A、B两点间的距离为6m，传送带在电动机的带动下以v=2m/s的速度匀速运动。现将一质量为m=8kg的小物体〈可视为质点〉轻放在传送带的B点，已知小物体与传送带间的动摩擦因数为，则在传送带将小物体从B点传送到A点的过程中，下列说法不正确的是（　　） A．工件的动能增加最为16J B．工件的重力势能增加240J C．摩擦产生的热量60J D．电动机多消耗的电能为304J 【答案】C 【详解】A．物体刚放在B点时，受到的滑动摩擦力沿传送带向上，由于，物体做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得 代入数值解得 假设物体能与传送带达到相同速度，则物体加速上滑的位移为 假设成立，则小物体速度与传送带速度相同时，继续匀速运动，所以工件的动能增加量为 故A正确； B．工件增加的重力势能为 故B正确； C．设物块经过时间达到与皮带共速，则 则物块与传送带的相对位移为 则摩擦产生的热量为 故C错误； D．电动机多消耗的电能为故选C。 例3.某人（视为质点）在空乘逃生演练时，从倾斜滑垫上端A点由静止滑下，经过转折点B后进入水平滑垫，最后停在水平滑垫上的C点，A点在水平地面上的射影为点，该过程简化示意图如图所示。已知人与倾斜滑垫和水平滑垫间的动摩擦因数均为，、B两点间的距离为，B、两点间的距离为，人的质量为，重力加速度大小为，不计人通过转折点B时的机械能损失，下列说法正确的是（　　） A．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量大于 B．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量为 C．人从A点运动到点的过程中克服摩擦力做的功为 D．因为倾斜滑垫的倾角未知，所以不能求出人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功 【答案】C 【详解】AB．设倾斜滑垫的倾角为，对人分析有 故错误； CD．人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功 故C正确；D错误。 故选C。 例4.低空跳伞极限运动表演中，运动员从离地数百米高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完美结合。质量为m的跳伞运动员，由静止开始竖直下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度。重力加速度的大小为g，在运动员下落h的过程中（　　） A．运动员所受重力做功为 B．运动员克服阻力做功为 C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少 【答案】C 【详解】A．运动员下落h的过程，重力做功为 故A错误； B．根据牛顿第二定律有 可得 则运动员克服阻力做功为 故B错误； C．合外力做正功，运动员的动能增加，由动能定理有 故C正确； D．除重力以外的空气阻力做负功，导致机械能减少，有 故D错误。 故选C。 例5.（多选）质量为m的物体，在距地面h高处以的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法中正确的是（  ） A．重力做功 B．物体的机械能减少 C．物体的动能增加 D．物体的重力势能减少mgh 【答案】CD 【详解】AD．重力做功 物体的重力势能减少mgh，故A错误，D正确； B．物体除重力做功，阻力做负功，导致机械能减少，根据牛顿第二定律得 得 阻力做功 物体的机械能减少，故B错误； C．根据动能定理，物体的动能增加 故C正确。 故选CD。 例6.（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O上，另一端与套在粗糙固定直杆A处质量为m的小球（可视为质点）相连。 A点距水平面的高度为h，直杆与水平面的夹角为30°，OA=OC，B为AC的中点， OB等于弹簧原长。 小球从A处由静止开始下滑，经过 B处的速度为v，并恰能停在C处。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球通过B点时的加速度为 B．小球通过 AB段比 BC段摩擦力做功少 C．弹簧具有的最大弹性势能为 D．A到C过程中，产生的内能为mgh 【答案】CD 【详解】A．小球通过B点时，弹簧的弹力为零，小球受到重力、杆的支持力和滑动摩擦力，由牛顿第二定律得 可知 故A错误； B．根据对称性知，小球通过AB段与BC段关于B点对称位置受到的弹簧弹力大小相等，小球对直杆的正压力大小相等，小球与直杆的间的滑动摩擦力大小相等，则两段过程中摩擦力做功相等，故B错误； C．小球从A运动到B的过程克服摩擦力做功为Wf，AB间的竖直高度为，小球的质量为m，设弹簧具有的最大弹性势能为Ep。对于小球从A到B的过程根据能量守恒定律得 从A到C的过程根据能量守恒定律得 解得 ， 故C正确； D．从A到C过程中，产生的内能为 故D正确。 故选CD。 考点2：应用能量守恒定律解决多过程问题 1.内容：能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。这个规律叫做能量守恒定律。 2.确立能量守恒定律的两类重要事实： （1）确认了永动机的不可能性； （2）发现了各种自然现象之间能量的相互联系与转化。 3.含义： （1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等，即ΔE减＝ΔE增。 （2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增。 4.能量转化问题的解题思路 （1）当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。 （2）解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。 5.涉及弹簧的能量问题 两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点： （1）能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。 （2）如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。 （3）当水平弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。 6.应用能量守恒定律的解题步骤 （1）选取研究对象和研究过程，了解对应的受力情况和运动情况。 （2）分析有哪些力做功，相应的有多少形式的能参与了转化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能、电势能）、内能等。 （3）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。 （4）列出能量转化守恒关系式：ΔE减＝ΔE增，求解未知量，并对结果进行讨论 例1.滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜受。如图是滑板运动的轨道，AB和CD是两段圆弧形轨道，BC是一段粗糙的水平轨道。一运动员从AB轨道上的P点由静止滑下，经BC轨道后冲上CD轨道，到Q点时速度减为零。已知P、Q距水平轨道的高度分别为h与H，运动员的质量为m，不计圆弧轨道AB和CD上的摩擦，重力加速度为g，求： （1）运动员第一次经过B点时的速度大小； （2）运动员第一次经过C点时的动能大小； （3）运动员第一次从B点滑到C点过程中因摩擦产生的热量； 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）以水平轨道BC所在的平面是零势能面，运动员从P点运动到B点，由机械能守恒定律可得 解得运动员第一次经过B点时的速度大小为 （2）运动员从C点运动到Q点，由机械能守恒定律可得，运动员第一次经过C点时的动能大小 （3）由能量守恒定律可得，运动员第一次从B点滑到C点过程中因摩擦产生的热量 例2.如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B点，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0m，现有一个质量为m＝0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E距离h＝1.6m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。求： （1）小物体第一次通过C点时对轨道的压力； （2）要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面至少要多长； （3）若斜面已经满足（2）要求，请首先判断小物体是否可能停在斜面上。再研究小物体从E点开始下落后，整个过程中系统因摩擦所产生的热量Q。 【答案】（1）12.4N，方向竖直向下；（2）2.4m；（3）小物体不会停在斜面上，4.8J 【详解】（1）小物体从E点到C点，由机械能守恒定律得 在C点，由牛顿第二定律得 联立解得 FN＝12.4N 根据牛顿第三定律可知小物体对轨道的压力大小为12.4N，方向竖直向下。 （2）从E→D→C→B→A过程，由动能定理得 WG＋Wf＝0 联立以上各式式解得 LAB＝2.4m （3）因为 mgsin37°>μmgcos37°（或μ<tan37°） 所以，小物体不会停在斜面上．小物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动，从E点开始直至运动稳定，系统因摩擦所产生的热量等于重力势能的减少量 解得整个过程中系统因摩擦所产生的热量 Q＝4.8J 例3.如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直圆弧轨道在B点平滑连接，右端与一倾角为37°的固定光滑斜面轨道在C点平滑连接，斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量的滑块从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，第一次经过B点时的速度大小，之后经水平轨道BC后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点（弹簧未超过其弹性限度），水平轨道BC长为1m，滑块与水平轨道BC之间的动摩擦因数，CD长为1m，取，。求： （1）圆弧轨道的半径和滑块第一次经过B点时对轨道的压力大小； （2）整个过程中弹簧具有的最大弹性势能；      【答案】（1）1.8m，；（2）；（3） 【详解】（1）滑块从A到B的运动过程，根据机械能守恒定律有 解得 设滑块第一次经过B点时所受轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，滑块第一次经过点时对轨道的压力大小为。 （2）由于滑块每次经过水平轨道BC时都要克服摩擦力做功消耗机械能，所以只有第一次压缩弹簧时，弹簧弹性势能最大，根据能量守恒定律有 解得 例4.如图所示，粗糙水平面NQ右侧固定一个弹性挡板，左侧在竖直平面内固定一个半径、圆心角的光滑圆弧轨道MN。半径ON与水平面垂直，N点与挡板的距离。可视为质点的滑块质量，从P点以初速度水平抛出，恰好在M点沿切线进入圆弧轨道，滑块与弹性挡板碰撞不损失机械能。已知重力加速度g取，，。 （1）求滑块第一次经过N点时对圆弧轨道的压力大小； （2）若滑块与弹性挡板碰撞一次后恰好不能从M点滑出轨道，求滑块与水平面间的动摩擦因数（可用分数表示）； （3）若滑块与水平面间的动摩擦因数为0.2，则滑块最终停在什么位置？ 【答案】（1）24.4N；（2）；（3）挡板处 【详解】（1）依题意，滑块到达M点时，速度分解为水平和竖直两个方向，可得 滑块从M点运动到N点过程，由动能定理可得 滑块在最低点N时，由牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可知滑块经过N点时对圆弧轨道的压力大小为 （2）滑块恰好可以再次滑到M点，由动能定理可得 解得 （3）若滑块与水平面间的动摩擦因数为0.2，根据能量守恒 解得 即滑块最终停在挡板处。 考点3:功能关系中的传送带模型 1．模型条件 （1）传送带匀速或加速运动。 （2）物体以初速度v0滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传送带间有摩擦力。[来源:学&科&网Z&X&X&K] （3）物体与传送带之间有相对滑动。 2．模型特点 （1）若物体轻轻放在匀速运动的传送带上，物体一定要和传送带之间产生相对滑动，物体一定受到沿传送带前进方向的摩擦力。 （2）若物体静止在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，如果动摩擦因数较大，则物体随传送带一起加速；如果动摩擦因数较小，则物体将跟不上传送带的运动，相对传送带向后滑动。 （3）若物体与水平传送带一起匀速运动，则物体与传送带之间没有摩擦力；若传送带是倾斜的，则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用。 3．功能关系 （1）求传送带多做的功（或者多消耗的电能）包含：物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、增加的动能和重力势能等,功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。 （2）传送带做的功：WF＝Fx，其中F为传送带的动力，x为传送带转过的距离。 （3）产生的内能：ΔQ＝Ff x相对，其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。相对位移：一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和。 4．传送带模型问题的分析流程 相对运动方向→摩擦力方向→加速度方向→速度变化方向→v物初与v传同向（或反向，是否返回加速）→共速→Ff突变→匀速或变速→滑离。 例1.如图所示，水平传送带左边有一个与传送带等高的光滑平台，传送带始终以速度v=3m/s逆时针匀速转动，在平台上给物块一个水平向右的初速度v0=6m/s，物块从A点冲上传送带，已知物块的质量m=2kg且可视为质点，物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块刚好未从传送带B端滑落，求： （1）物块在传送带上运动的时间； （2）物块从冲上传送带到返回A点全过程，系统因摩擦产生的热量； （3）全过程电动机因物块在传送带上运动多消耗的电能。 【答案】（1）2.7s；（2）81J；（3）54J 【详解】（1）物块在传送带上做匀变速直线运动的加速度为 减速到零的时间为 传送带长度为 从B返回加速到与传送带共速时间为 反向加速距离为 匀速时间为 物块在传送带上运动的总时间为 （2）物块返回到A点时，有 解得 （3）根据能量守恒 代入数据解得 例2如图所示，某快递中转站里有一传送带与水平面之间的夹角为，其两端A、B两点间的距离为，传送带在电动机的带动下以的速度顺时针匀速运动。现将一质量为的快递包裹（视为质点）轻放在传送带上的A点，已知包裹与传送带之间的动摩擦因数，包裹在从A点到B点的运动过程中一直加速，且传送带速度始终不变。g取，求： （1）包裹获得的加速度大小； （2）包裹的机械能增加量； （3）电动机因运送该包裹而多输出的能量。 【答案】（1）2.5m/s2；（2）13.5J；（3）27J 【详解】（1）对包裹根据牛顿第二定律 解得 a=2.5m/s2 （2）到达B点时的速度 包裹的机械能增加量 （3）包裹与传送带之间由于摩擦产生的热量 电动机因运送该包裹而多输出的能量 例3.（多选）如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率v1=2m/s匀速向右运动，一质量为m=1kg的滑块从传送带右端以水平向左的速率v2=3m/s滑上传送带，最后滑块返回传送带的右端。关于这一过程，下列判断正确的有（　　） A．滑块返回传送带右端的速率为2m/s B．此过程中传送带对滑块做功为2.5J C．此过程中滑块与传送带间摩擦产生的热量为12.5J D．此过程中电动机对传送带多做功为10J 【答案】ACD 【详解】A．由于传送带足够长，滑块匀减速向左滑行，直到速度减为零，然后滑块在滑动摩擦力的作用下向右匀加速，由于 所以，当滑块速度增大到等于传送带速度时，物体还在传送带上，之后不受摩擦力，物体与传送带一起向右匀速运动，所以滑块返回传送带右端时的速率等于2m/s，故A正确； B．此过程中只有传送带对滑块做功，根据动能定理得，传送带对滑块做功为 故B错误； C．设滑块向左运动的时间为t1，位移为x1，则 该过程中传送带的位移为 摩擦生热为 返回过程，当物块与传送带共速时 物块与传送带摩擦生热为 则此过程中滑块与传送带间摩擦产生的热量为 故C正确； D．此过程中电动机对传送带多做功为 故D正确。 故选ACD。 例4.（多选）倾角的传送带以大小的速度顺时针转动，一质量的煤块（视为质点）无初速度地从传送带底端滑到的顶端，煤块与传送带间的动摩擦因数，取重力加速度大小，，，传送带的传送轮的大小不计，不考虑传送带的电机发热消耗的能量，则（　　） A．煤块加速阶段的加速度大小为 B．煤块在传送带上留下的痕迹长度为15m C．煤块到达传送带顶端时的速度大小为1m/s D．传送带因传送煤块而多消耗的电能为51.2J 【答案】ABD 【详解】A．煤块加速阶段对其进行受力分析，由牛顿第二定律有 解得 故A项正确； BC．由几何关系可知，传送带到顶端的距离为s，有 假设煤块在传送带上一直加速，设其到达传送带顶端时速度为v，有 解得 即满足提出的假设，煤块在传送带上加速的时间为t，有 解得 则该时间内，传送带运动的距离为L，有 则煤块在传送带上的划痕为 故B正确，C错误； D．由功能关系可知，传送带多消耗的电能转化为了煤块的动能、煤块增加的重力势能以及因摩擦而产生的热能，有 故D项正确。 故选ABD。 考点4：功能关系中的滑板模型 1.模型介绍：根据运动情况可以分成水平面上的滑块—木板模型和在斜面上的滑块—木板模型。 2.处理方法：系统往往通过系统内摩擦力的相互作用而改变系统内物体的运动状态，既可由动能定理和牛顿运动定律分析单个物体的运动，又可由能量守恒定律分析动能的变化、能量的转化，在能量转化方面往往用到ΔE内＝－ΔE机＝Ff x相对，并要注意数学知识（如图象、归纳法等）在此类问题中的应用。 3.功能关系中滑板问题的难点突破 质量为M的长直平板，停在光滑的水平面上，一质量为m的物体，以初速度v0滑上长板，已知它与板间的动摩擦因数为μ，此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动，长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动，最终二者将达到共同速度。其运动位移的关系如图所示。 物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用力， W物＝－μmg·x物 W板＝μmg·x板 很显然x物＞x板，滑动摩擦力对物体做的负功多，对长板做的正功少，那么物体动能减少量一定大于长板动能的增加量，二者之差为ΔE=μmg（x物—x板）=μmg·Δx，这就是物体在克服滑动摩擦力做功过程中，转化为内能的部分，也就是说“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积”。 例1.如图，一质量为的木板静止在水平地面上，一质量为的滑块（可视为质点）以的水平速度从木板左端滑上木板，木板始终保持静止。木板足够长，滑块与木板间的动摩擦因数为，木板与地面间的动摩擦因数为（未知），重力加速度大小取，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．地面对木板的摩擦力方向水平向右 B．地面对木板的摩擦力大小为 C．可能为0.12 D．整个过程中，滑块与木板间因摩擦产生的热量为 【答案】C 【详解】A．根据受力分析可知滑块对木板的滑动摩擦力方向水平向右，因此地面对木板的静摩擦力方向水平向左，故A错误； B．滑块对木板的滑动摩擦力大小 由于木板始终保持静止，故地面对木板的静摩擦力大小 故B错误； C．木板始终保持静止，即 解得 故C正确； D．整个过程中，滑块的动能全部转化为系统的内能，产生的热量 故D错误。 故选C。 例2如图所示，一质量为M的木板静止置于光滑的水平面上，一质量为m的木块（可视为质点），以初速度v0滑上木板的左端，已知木块和木板间的动摩擦因数为μ，木块始终没有滑离木板。求： （1）刚开始时，木块和木板各自的加速度大小； （2）木板最终的速度大小； （3）为使木块不掉下木板，板长至少多少； （4）因摩擦而产生的热量。 【答案】（1），；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）刚开始时，以木块为对象，根据牛顿第二定律可得 解得木块的加速度大小为 以木板为对象，根据牛顿第二定律可得 解得木板的加速度大小为 （2）木块始终没有滑离木板，设共同速度为，所用时间为，则有 ， 联立解得 ， （3）为使木块不掉下木板，板长至少为 （4）根据能量守恒可得 联立可得 例3.（多选）如图甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为的另一物体B（可看成质点）以水平速度滑上原来静止的长木板A的上表面。由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示。下列说法正确的是（g取10）（　　） A．木板A获得的动能为2J B．系统损失的机械能为2J C．木板A的最小长度为1m D．A、B间的动摩擦因数为0.01 【答案】BC 【详解】A．设木板A的质量为M。取水平向右为正方向，根据动量守恒可得 由图可知 v=1m/s 可得 则木板获得的动能为 故A错误； B．系统损失的机械能为 解得 故B正确； C．根据v-t图像与时间轴所围的面积表示位移，由v-t图像可得二者相对位移为 所以木板A的最小长度为 L=1m 故C正确； D．根据功能关系得 解得 故D错误。 故选BC。 例4.如图所示，小滑块A（可视为质点）静止在长木板B的左端，现给滑块A一个水平向右的初速度，最终滑块A刚好未从木板B上滑出。已知滑块A和木板B的质量均为，A、B间的动摩擦因数，B与水平地面间的动摩擦因数，设最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g取。 （1）求滑块A开始在木板B上滑动时，木板B的加速度大小； （2）求木板B的长度L；    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）在A、B相对运动过程中，对木板B有 代入数据解得 （2）设A、B相对运动过程中，经t时间A、B达到相等速度，滑块A的加速度大小为a，对滑块A有 代入数据解得 A、B共速时，根据速度—时间关系可得 木板B的长度 联立解得 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）如图是为了检验某防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01kg的小钢珠（可视为质点），假设某次发射的小钢珠沿轨道内侧经过M的上端点水平飞出，飞出时速度为4m/s，g取10m/s²，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为（　　） A．0.10J B．0.18J C．0.20J D．0.25J 【答案】B 【详解】小钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律得EP＝mgR＋mv2＝0.18J 故选B。 2．（23-24高一下·四川内江·期末）如图，为跳台滑雪的示意图。质量为m的运动员从长直倾斜的助滑道AB的A处由静止滑下，为了改变运动员的速度方向，在助滑道AB与起跳台D之间用一段弯曲滑道相切衔接，其中，最低点C处附近是一段以O为圆心、半径为R的圆弧。A与C的竖直高度差为H，起跳台D与滑道最低点C的高度差为h，重力加速度为g，不计空气阻力及摩擦。则下列说法正确的是（　　） A．运动员到达C点时的动能为mgh B．运动员到达C点时，对轨道的压力大小为 C．运动员从C点到D点时，重力势能增加了 D．运动员到起跳台D点的速度大小为 【答案】D 【详解】A B．运动员从A点到C点，由动能定理得 得 运动员到达C点时的动能 运动员在C点，由牛顿第二定律得 得 由牛顿第三定律得，运动员到达C点时，对轨道的压力大小 故AB错误； C．运动员从C点到D点重力做功 又 得 故运动员从C点到D点时，重力势能增加了，故C错误； D．从A点到D点由动能定理得 解得 故D正确。 故选D。 3．（23-24高一下·云南保山·期末）一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（    ） A．从x=0运动到x=2m过程中拉力的大小为12N B．在x=3m时，物体的动能为15J C．从x=0运动到x=2m，物体机械能增加了4J D．从x=0运动到x=4m的过程中，物体的最大速度为2m/s 【答案】C 【详解】A．由于拉力在水平方向，则拉力做的功为，可看出图像的斜率代表拉力F，则从x=0运动到x=2m过程中拉力的大小 故A错误； B．由图可知从x=0运动到x=3m，拉力做功为W=15J，根据动能定理有 可得x=3m时物体的动能为 故B错误； C．从x=0运动到x=2m，拉力做功 W=12J 物体克服摩擦力做的功为 根据功能关系 故C正确； D．根据图像可知在0~2m的过程中，2~4m的过程中，由于物体受到的摩擦力恒为f=4N，则物体在x=2m处速度最大，根据动能定理有 可得 故D错误。 故选C。 4．（2025高三·北京·专题练习）如图甲所示，绷紧的传送带与水平方向的夹角为37°，传送带的v­t图象如图乙所示。t＝0时刻质量为1 kg的楔形物体（可视为质点）从B点滑上传送带并沿传送带向上做匀速运动，2 s后物体开始减速，在t＝4 s时物体恰好到达最高点A。重力加速度为10 m/s2。对物体从B点运动到A点的过程，下列说法正确的是（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）（　　） A．物体与传送带间的动摩擦因数为0.5 B．物体的重力势能增加48 J C．摩擦力对物体做的功为12 J D．物体在传送带上运动过程中产生的热量为12 J 【答案】D 【详解】A．根据速度—时间图象的斜率表示加速度，可得传送带运动的加速度为a＝－1m/s2 t＝0时刻质量为1 kg的楔形物体从B点滑上传送带并沿传送带向上做匀速直线运动，说明物体受力平衡，由平衡条件可知μmgcos 37°＝mgsin 37° 解得物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.75 选项A错误； BC．2s末，传送带的速度为2m/s，物体开始减速，分析可知，物体做匀速直线运动的速度为2m/s，且2s后物体与传送带一起做加速度为a＝－1m/s2的匀减速运动，t＝4s时物体恰好到达最高点A，则传送带的长度lAB＝6m，对物体从B点运动到A点的过程，根据动能定理有0－mv2＝－mgh＋Wf 其中h＝lABsin37° 则物体的重力势能增加量为mgh＝36 J 摩擦力对物体做的功为Wf＝34J 选项B、C错误； D．物体在前2 s内与传送带有相对运动，二者间的相对位移为s＝2m，该过程中的滑动摩擦力f＝6 N，则物体在传送带上运动过程中产生的热量为Q＝fs＝12J 选项D正确。 故选D。 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图甲所示，可视为质点的物体以一定的初速度从倾角的斜面底端沿斜面向上运动。现以斜面底端为坐标原点，沿斜面建立坐标轴x，选择地面为零势能面。坐标原点处固定一厚度不计的弹性挡板，物体第一次上升过程中的动能和重力势能随坐标x的变化如图乙所示。g取，则（　　） A．物体的质量为0.8kg B．物体与斜面之间的动摩擦因数为0.2 C．物块从开始到停止运动的总路程为12.5m D．物体在第一次上升过程中机械能减少了15J 【答案】C 【详解】AB．设物体上滑的最大距离为l，则有 物体上滑距离为时，动能和重力势能相等，则有 又有， 解得， 故AB错误； C．物块从开始到停止，根据能量守恒 解得总路程为12.5m 故C正确； D．物体上升过程中机械能减少量为 故D错误。 故选C。 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）蹦极运动以其惊险刺激深得年轻人的喜爱，图示为某次蹦极运动中的情景，原长为l、劲度系数为k的轻弹性绳一端固定在机臂上，另一端固定在质量为m的蹦极者身上，蹦极者从机臂上由静止自由下落，当蹦极者距离机臂h时，下落至最低点。空气阻力恒为重力的，重力加速度为g。此过程中（　　） A．弹性绳增加的弹性势能为 B．蹦极者减少的机械能为 C．蹦极者的最大动能为 D．蹦极者和弹性绳组成的系统减少的机械能为 【答案】A 【详解】C．根据题意可知，蹦极者下落l的过程中，蹦极者受重力和空气阻力，根据动能定理可知蹦极者此时动能为 此时蹦极者所受合力向下，蹦极者继续加速，则蹦极者的最大动能大于，故C错误； B．蹦极者从静止开始运动到最低点的过程中，其动能变化量为0，所以其机械能的减少量为其重力势能减少量 故B错误； A．弹性绳增加的弹性势能为蹦极者减少的机械能去掉克服阻力做的功，即 故A正确； D．蹦极者和弹性绳组成的系统减少的机械能为整个过程克服阻力所做的功 故D错误。 故选A。 7．（2025高三·江苏·专题练习）如图所示，质量为m的物体（可视为质点）以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度大小为g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在这个过程中物体（　　） A．机械能损失了mgh B．机械能损失了mgh C．动能损失了mgh D．克服摩擦力做功mgh 【答案】B 【详解】ABD．加速度大小，解得摩擦力，机械能损失量等于克服摩擦力做的功，即，故B项正确，A、D项错误； C．动能损失量为克服合力做功的大小，动能损失量，故C项错误。 故选B。 二、多选题 8．（2025·福建·模拟预测）一长木板静止于光滑水平面上，一小物块（可视为质点）从左侧以某一速度滑上木板，最终和木板相对静止一起向右做匀速直线运动。在物块从滑上木板到和木板相对静止的过程中，物块的位移是木板位移的倍，设板块间滑动摩擦力大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．物块动能的减少量等于木板动能的增加量 B．摩擦力对木板做的功等于木板动能的增加量 C．因摩擦而产生的内能等于物块克服摩擦力所做的功 D．因摩擦而产生的内能是木板动能增量的倍 【答案】BD 【详解】A．根据能量守恒可知，物块动能减少量等于木板动能增加量与因摩擦产生的内能之和，故A错误； B．根据动能定理可知，摩擦力对木板做的功等于木板动能的增加量，故B正确； CD．设物块与木板之间的摩擦力为，木板的位移为，则物块的位移为；物块克服摩擦力所做的功为 对木板，根据动能定理可得木板动能的增加量为 因摩擦产生的内能为 可知因摩擦而产生的内能小于物块克服摩擦力所做的功；因摩擦而产生的内能是木板动能增量的倍，故C错误，D正确。 故选BD。 9．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）如图所示，质量为m0、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现有一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f。经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端（　　） A．此时物块的动能为 B．这一过程中，物块对小车所做的功为f（s＋l） C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs D．这一过程中，物块和小车产生的内能为fl 【答案】AD 【详解】A．对物块分析，物块的位移为s＋l，根据动能定理得 ＝Ek－0 所以物块到达小车最右端时具有的动能为 Ek =（F－f）（s＋l） 故A正确； B．对小车分析，小车的位移为s，所以物块对小车所做的功为fs，故B错误； D．物块和小车增加的内能 Q＝fs相对＝fl 故D正确； C．根据功能关系，外力F做的功转化为小车和物块的机械能和摩擦产生的内能，则有 F（l＋s）＝ΔE＋Q 则 ΔE＝F（l＋s）－fl 故C错误。 故选AD。 10．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图所示，用一水平向左的力将质量为0.4kg的滑块（视为质点）压在竖直墙面上，滑块从离地面的高度为5m处由静止开始滑下，当采用国际单位制时，力的大小F与滑块下滑的距离x之间的函数关系式为。已知滑块与墙面间的动摩擦因数为0.1，取重力加速度大小，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．滑块下滑过程中克服摩擦力做的功为8J B．滑块下滑过程中机械能的减少量为6J C．滑块下滑过程中动能的增加量为14J D．滑块滑到地面前瞬间的速度大小为10m/s 【答案】BC 【详解】AB．根据滑动摩擦力的公式 因为（N） 联立整理得（N） 根据图像 可得摩擦力做功为 滑块下滑过程中克服摩擦力做的功为6J，由功能关系可知，滑块下滑过程中机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，即滑块下滑过程中机械能的减少量为6J，故A错误，B正确； C．由动能定理有 其中，联立解得 故C正确； D．因为 代入题中数据，联立解得 故D错误。 故选BC。 三、解答题 11．（23-24高一下·福建漳州·期中）我国运动员闫文港在2022年北京冬奥会获得男子钢架雪车比赛铜牌，实现该项目的历史性突破，某同学看到该新闻后，设计了如下情景探究物块与轨道及滑板间的相互作用规律。如图所示，水平面上竖直固定一个粗糙圆弧轨道BC，圆弧轨道C端切线水平，长木板静止在光滑的水平面上，木板左端紧靠轨道右端且与轨道点等高但不粘连。从B的左上方A点以某一初速度水平抛出一质量m=2kg的物块（可视为质点），物块恰好能从B点沿切线方向无碰撞进入圆心角θ=53°的圆弧轨道BC，物块滑到圆弧轨道C点时速度大小为，经圆弧轨道后滑上长木板。已知长木板的质量M=4kg，A、B两点距C点的高度分别为H=1.2m、h=0.4m、R=1m，物块与长木板间的动摩擦因数。物块始终未滑出长木板，空气阻力不计，g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： （1）物块被抛出时的初速度大小； （2）物块从B滑到C的过程中克服摩擦阻力做的功； （3）在物块相对长木板运动的过程中，物块与长木板之间产生的内能。 【答案】（1）3m/s；（2）17J；（3） 【详解】（1）物块从A点到B点做平抛运动，则有 解得 则物块到达B点时的竖直分速度为 物块恰好能从B点沿切线方向无碰撞进入圆弧轨道BC，则有 解得物块被抛出时的初速度大小为 （2）物块滑入B点时的速度为 物块进入圆弧轨道后，根据动能定理有 解得物块从B滑到C的过程中克服摩擦阻力做的功为 （3）物块滑上长木板过程，对物块受力分析有 解得 对长木板受力分析有 解得 设经过时间物块与长木板达到共速，则有 解得 ， 该过程物块和长木板通过的位移分别为 ， 物块与长木板的相对位移为 物块与长木板之间产生的内能为 12．（23-24高一下·山西太原·期末）如图所示，倾角为、高为的斜面固定在水平地面上，其底端固定一垂直斜面的挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，另一端与质量为的物块接触但不粘连，与斜面的动摩擦因数。用外力将沿斜面缓慢下压，使弹簧上端压缩到A点，撤去外力后由静止沿斜面向上运动，脱离弹簧又运动一段距离，恰好到达斜面最高点。已知间距离为，重力加速度为，可视为质点。更换质量为、材料相同的另一物块，用仍将弹簧上端压缩到A点，由静止释放，求： （1）弹簧被压缩到A点时弹性势能的大小； （2）从离开弹簧到落地过程中的最小速度； （3）到达地面时的动能。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）物块由到，由能量守恒定律      解得 （2）物块到达点时的速度为，由能量守恒定律 解得 物块离开点后做斜上拋运动，在最高点时速度最小     解得 （3）物块离开B点，到达地面时的动能为，此过程，由机械能守恒定律     解得 13．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）如图为某建筑工地的传送装置， 传送带倾斜地固定在水平面上， 以恒定的速度v0=2m/s向下运动， 质量为m=1kg的工件无初速度地放在传送带的顶端P， 经时间t1=0.2s，工件的速度达到2m/s，此后再经过t2=1.0s时间， 工件运动速度为v=4m/s，重力加速度。g=10m/s2，工件可视为质点。求： (1)传送带与工件间的动摩擦因数为μ； (2)工件由P 运动到Q的过程中， 摩擦而产生的热量Q。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）工件在传送带上先加速运动，受到沿斜面向下的摩擦力，设斜面与水平面夹角为，有 速度达到2m/s后工件继续加速，受到沿斜面向上的摩擦力，有 联立，可得 ， （2）工件两次加速与传送带的相对位移分别为 因摩擦产生的热量分别为 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 粤教版2019必修第二册期末复习讲义 第九讲 功能关系及能量守恒定律 一、功能关系 （1）功是能量转化的量度，不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。即做了多少功就有多少能量发生了转化。 （2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。 功和能的关系，一是体现到不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。 二、功能关系的理解与应用 1．对功能关系的理解 (1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的． (2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等． 2．常见的功能关系 几种常见力做功 对应的能量变化 关系式 重力 正功 重力势能减少 WG＝－ΔEp ＝Ep1－Ep2 负功 重力势能增加 弹簧等的弹力 正功 弹性势能减少 W弹＝－ΔEp ＝Ep1－Ep2 负功 弹性势能增加 电场力 正功 电势能减少 W电＝－ΔEp ＝Ep1－Ep2 负功 电势能增加 合力 正功 动能增加 W合＝ΔEk ＝Ek2－Ek1 负功 动能减少 除重力和弹簧弹力以外的其他力 正功 机械能增加 W其他＝ΔE ＝E2－E1 负功 机械能减少 一对滑动摩擦力做功 机械能减少 内能增加 Q＝Ff·Δs相对 ①物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功． ②势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、电场力等)做负功还是做正功． ③机械能增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功． 三、摩擦力做功与能量转化 1．摩擦力做功的特点 (1)一对静摩擦力所做功的代数和总等于零； (2)一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量； (3)说明：两种摩擦力对物体都可以做正功，也可以做负功，还可以不做功． 2．三步求解相对滑动物体的能量问题 (1)正确分析物体的运动过程，做好受力分析． (2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系，求出两个物体的相对位移． (3)代入公式Q＝Ff·x相对计算，若物体在传送带上做往复运动，则为相对路程s相对． 四、能量守恒定律的理解和应用 1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变． 2．表达式ΔE减＝ΔE增． 3．基本思路 (1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等； (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等． 4．应用能量守恒定律解题的步骤 (1)分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等． (2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式． (3)列出能量守恒关系式：ΔE减＝ΔE增． 考点1：功能关系的理解及应用 力做功 能的变化 定量关系 合力做的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力做的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力做的总功 机械能减少 内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝Ff·x相对 （1）牢记三条功能关系 ①重力做的功等于重力势能的变化，弹力做的功等于弹性势能的变化。 ②合外力做的功等于动能的变化。 ③除重力、系统内弹力外，其他力做的功等于机械能的变化。 （2）功能关系的选用原则 ①在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。 ②只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。 ③只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。 ④只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。 （3）功能关系问题的理解 ①运用功能关系解题时，应弄清楚重力做什么功，合外力做什么功，除重力、弹力外的力做什么功，从而判断重力势能或弹性势能、动能、机械能的变化。 ②能是物体运动状态决定的物理量，即状态量；而功则是和物体运动状态变化过程有关的物理量，是过程量。两者有着本质的区别。 ③做功可以使物体具有的能量发生变化，而且物体能量变化大小是用做功的多少来量度的。但功和能不能相互转化。 例1.如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为f，则（　　） A．f对木块做功为 B．f对子弹做功为 C．木块与子弹间一对摩擦力的总功为 D．该过程中系统动能的减少量为 例2.2023年重庆市货运量、港口吞吐量双双实现21亿吨目标。其中，港口吞吐量历史性突破2.2亿吨，同比增长8.2%，物流公司为了提高工作效率会使用各种传送带装置，如图所示为一简化的传送带模型，传送带与水平面之间的夹角为30°，其中A、B两点间的距离为6m，传送带在电动机的带动下以v=2m/s的速度匀速运动。现将一质量为m=8kg的小物体〈可视为质点〉轻放在传送带的B点，已知小物体与传送带间的动摩擦因数为，则在传送带将小物体从B点传送到A点的过程中，下列说法不正确的是（　　） A．工件的动能增加最为16J B．工件的重力势能增加240J C．摩擦产生的热量60J D．电动机多消耗的电能为304J 例3.某人（视为质点）在空乘逃生演练时，从倾斜滑垫上端A点由静止滑下，经过转折点B后进入水平滑垫，最后停在水平滑垫上的C点，A点在水平地面上的射影为点，该过程简化示意图如图所示。已知人与倾斜滑垫和水平滑垫间的动摩擦因数均为，、B两点间的距离为，B、两点间的距离为，人的质量为，重力加速度大小为，不计人通过转折点B时的机械能损失，下列说法正确的是（　　） A．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量大于 B．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量为 C．人从A点运动到点的过程中克服摩擦力做的功为 D．因为倾斜滑垫的倾角未知，所以不能求出人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功 例4.低空跳伞极限运动表演中，运动员从离地数百米高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完美结合。质量为m的跳伞运动员，由静止开始竖直下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度。重力加速度的大小为g，在运动员下落h的过程中（　　） A．运动员所受重力做功为 B．运动员克服阻力做功为 C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少 例5.（多选）质量为m的物体，在距地面h高处以的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法中正确的是（  ） A．重力做功 B．物体的机械能减少 C．物体的动能增加 D．物体的重力势能减少mgh 例6.（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O上，另一端与套在粗糙固定直杆A处质量为m的小球（可视为质点）相连。 A点距水平面的高度为h，直杆与水平面的夹角为30°，OA=OC，B为AC的中点， OB等于弹簧原长。 小球从A处由静止开始下滑，经过 B处的速度为v，并恰能停在C处。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球通过B点时的加速度为 B．小球通过 AB段比 BC段摩擦力做功少 C．弹簧具有的最大弹性势能为 D．A到C过程中，产生的内能为mgh 考点2：应用能量守恒定律解决多过程问题 1.内容：能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。这个规律叫做能量守恒定律。 2.确立能量守恒定律的两类重要事实： （1）确认了永动机的不可能性； （2）发现了各种自然现象之间能量的相互联系与转化。 3.含义： （1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等，即ΔE减＝ΔE增。 （2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增。 4.能量转化问题的解题思路 （1）当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。 （2）解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。 5.涉及弹簧的能量问题 两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点： （1）能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。 （2）如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。 （3）当水平弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。 6.应用能量守恒定律的解题步骤 （1）选取研究对象和研究过程，了解对应的受力情况和运动情况。 （2）分析有哪些力做功，相应的有多少形式的能参与了转化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能、电势能）、内能等。 （3）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。 （4）列出能量转化守恒关系式：ΔE减＝ΔE增，求解未知量，并对结果进行讨论 例1.滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜受。如图是滑板运动的轨道，AB和CD是两段圆弧形轨道，BC是一段粗糙的水平轨道。一运动员从AB轨道上的P点由静止滑下，经BC轨道后冲上CD轨道，到Q点时速度减为零。已知P、Q距水平轨道的高度分别为h与H，运动员的质量为m，不计圆弧轨道AB和CD上的摩擦，重力加速度为g，求： （1）运动员第一次经过B点时的速度大小； （2）运动员第一次经过C点时的动能大小； （3）运动员第一次从B点滑到C点过程中因摩擦产生的热量； 例2.如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B点，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0m，现有一个质量为m＝0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E距离h＝1.6m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。求： （1）小物体第一次通过C点时对轨道的压力； （2）要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面至少要多长； （3）若斜面已经满足（2）要求，请首先判断小物体是否可能停在斜面上。再研究小物体从E点开始下落后，整个过程中系统因摩擦所产生的热量Q。 例3.如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直圆弧轨道在B点平滑连接，右端与一倾角为37°的固定光滑斜面轨道在C点平滑连接，斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量的滑块从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，第一次经过B点时的速度大小，之后经水平轨道BC后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点（弹簧未超过其弹性限度），水平轨道BC长为1m，滑块与水平轨道BC之间的动摩擦因数，CD长为1m，取，。求： （1）圆弧轨道的半径和滑块第一次经过B点时对轨道的压力大小； （2）整个过程中弹簧具有的最大弹性势能；      例4.如图所示，粗糙水平面NQ右侧固定一个弹性挡板，左侧在竖直平面内固定一个半径、圆心角的光滑圆弧轨道MN。半径ON与水平面垂直，N点与挡板的距离。可视为质点的滑块质量，从P点以初速度水平抛出，恰好在M点沿切线进入圆弧轨道，滑块与弹性挡板碰撞不损失机械能。已知重力加速度g取，，。 （1）求滑块第一次经过N点时对圆弧轨道的压力大小； （2）若滑块与弹性挡板碰撞一次后恰好不能从M点滑出轨道，求滑块与水平面间的动摩擦因数（可用分数表示）； （3）若滑块与水平面间的动摩擦因数为0.2，则滑块最终停在什么位置？ 考点3:功能关系中的传送带模型 1．模型条件 （1）传送带匀速或加速运动。 （2）物体以初速度v0滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传送带间有摩擦力。[来源:学&科&网Z&X&X&K] （3）物体与传送带之间有相对滑动。 2．模型特点 （1）若物体轻轻放在匀速运动的传送带上，物体一定要和传送带之间产生相对滑动，物体一定受到沿传送带前进方向的摩擦力。 （2）若物体静止在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，如果动摩擦因数较大，则物体随传送带一起加速；如果动摩擦因数较小，则物体将跟不上传送带的运动，相对传送带向后滑动。 （3）若物体与水平传送带一起匀速运动，则物体与传送带之间没有摩擦力；若传送带是倾斜的，则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用。 3．功能关系 （1）求传送带多做的功（或者多消耗的电能）包含：物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、增加的动能和重力势能等,功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。 （2）传送带做的功：WF＝Fx，其中F为传送带的动力，x为传送带转过的距离。 （3）产生的内能：ΔQ＝Ff x相对，其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。相对位移：一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和。 4．传送带模型问题的分析流程 相对运动方向→摩擦力方向→加速度方向→速度变化方向→v物初与v传同向（或反向，是否返回加速）→共速→Ff突变→匀速或变速→滑离。 例1.如图所示，水平传送带左边有一个与传送带等高的光滑平台，传送带始终以速度v=3m/s逆时针匀速转动，在平台上给物块一个水平向右的初速度v0=6m/s，物块从A点冲上传送带，已知物块的质量m=2kg且可视为质点，物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块刚好未从传送带B端滑落，求： （1）物块在传送带上运动的时间； （2）物块从冲上传送带到返回A点全过程，系统因摩擦产生的热量； （3）全过程电动机因物块在传送带上运动多消耗的电能。 例2如图所示，某快递中转站里有一传送带与水平面之间的夹角为，其两端A、B两点间的距离为，传送带在电动机的带动下以的速度顺时针匀速运动。现将一质量为的快递包裹（视为质点）轻放在传送带上的A点，已知包裹与传送带之间的动摩擦因数，包裹在从A点到B点的运动过程中一直加速，且传送带速度始终不变。g取，求： （1）包裹获得的加速度大小； （2）包裹的机械能增加量； （3）电动机因运送该包裹而多输出的能量。 例3.（多选）如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率v1=2m/s匀速向右运动，一质量为m=1kg的滑块从传送带右端以水平向左的速率v2=3m/s滑上传送带，最后滑块返回传送带的右端。关于这一过程，下列判断正确的有（　　） A．滑块返回传送带右端的速率为2m/s B．此过程中传送带对滑块做功为2.5J C．此过程中滑块与传送带间摩擦产生的热量为12.5J D．此过程中电动机对传送带多做功为10J 例4.（多选）倾角的传送带以大小的速度顺时针转动，一质量的煤块（视为质点）无初速度地从传送带底端滑到的顶端，煤块与传送带间的动摩擦因数，取重力加速度大小，，，传送带的传送轮的大小不计，不考虑传送带的电机发热消耗的能量，则（　　） A．煤块加速阶段的加速度大小为 B．煤块在传送带上留下的痕迹长度为15m C．煤块到达传送带顶端时的速度大小为1m/s D．传送带因传送煤块而多消耗的电能为51.2J 考点4：功能关系中的滑板模型 1.模型介绍：根据运动情况可以分成水平面上的滑块—木板模型和在斜面上的滑块—木板模型。 2.处理方法：系统往往通过系统内摩擦力的相互作用而改变系统内物体的运动状态，既可由动能定理和牛顿运动定律分析单个物体的运动，又可由能量守恒定律分析动能的变化、能量的转化，在能量转化方面往往用到ΔE内＝－ΔE机＝Ff x相对，并要注意数学知识（如图象、归纳法等）在此类问题中的应用。 3.功能关系中滑板问题的难点突破 质量为M的长直平板，停在光滑的水平面上，一质量为m的物体，以初速度v0滑上长板，已知它与板间的动摩擦因数为μ，此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动，长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动，最终二者将达到共同速度。其运动位移的关系如图所示。 物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用力， W物＝－μmg·x物 W板＝μmg·x板 很显然x物＞x板，滑动摩擦力对物体做的负功多，对长板做的正功少，那么物体动能减少量一定大于长板动能的增加量，二者之差为ΔE=μmg（x物—x板）=μmg·Δx，这就是物体在克服滑动摩擦力做功过程中，转化为内能的部分，也就是说“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积”。 例1.如图，一质量为的木板静止在水平地面上，一质量为的滑块（可视为质点）以的水平速度从木板左端滑上木板，木板始终保持静止。木板足够长，滑块与木板间的动摩擦因数为，木板与地面间的动摩擦因数为（未知），重力加速度大小取，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．地面对木板的摩擦力方向水平向右 B．地面对木板的摩擦力大小为 C．可能为0.12 D．整个过程中，滑块与木板间因摩擦产生的热量为 例2如图所示，一质量为M的木板静止置于光滑的水平面上，一质量为m的木块（可视为质点），以初速度v0滑上木板的左端，已知木块和木板间的动摩擦因数为μ，木块始终没有滑离木板。求： （1）刚开始时，木块和木板各自的加速度大小； （2）木板最终的速度大小； （3）为使木块不掉下木板，板长至少多少； （4）因摩擦而产生的热量。 例3.（多选）如图甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为的另一物体B（可看成质点）以水平速度滑上原来静止的长木板A的上表面。由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示。下列说法正确的是（g取10）（　　） A．木板A获得的动能为2J B．系统损失的机械能为2J C．木板A的最小长度为1m D．A、B间的动摩擦因数为0.01 例4.如图所示，小滑块A（可视为质点）静止在长木板B的左端，现给滑块A一个水平向右的初速度，最终滑块A刚好未从木板B上滑出。已知滑块A和木板B的质量均为，A、B间的动摩擦因数，B与水平地面间的动摩擦因数，设最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g取。 （1）求滑块A开始在木板B上滑动时，木板B的加速度大小； （2）求木板B的长度L；    一、单选题 1．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）如图是为了检验某防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01kg的小钢珠（可视为质点），假设某次发射的小钢珠沿轨道内侧经过M的上端点水平飞出，飞出时速度为4m/s，g取10m/s²，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为（　　） A．0.10J B．0.18J C．0.20J D．0.25J 2．（23-24高一下·四川内江·期末）如图，为跳台滑雪的示意图。质量为m的运动员从长直倾斜的助滑道AB的A处由静止滑下，为了改变运动员的速度方向，在助滑道AB与起跳台D之间用一段弯曲滑道相切衔接，其中，最低点C处附近是一段以O为圆心、半径为R的圆弧。A与C的竖直高度差为H，起跳台D与滑道最低点C的高度差为h，重力加速度为g，不计空气阻力及摩擦。则下列说法正确的是（　　） A．运动员到达C点时的动能为mgh B．运动员到达C点时，对轨道的压力大小为 C．运动员从C点到D点时，重力势能增加了 D．运动员到起跳台D点的速度大小为 3．（23-24高一下·云南保山·期末）一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（    ） A．从x=0运动到x=2m过程中拉力的大小为12N B．在x=3m时，物体的动能为15J C．从x=0运动到x=2m，物体机械能增加了4J D．从x=0运动到x=4m的过程中，物体的最大速度为2m/s 4．（2025高三·北京·专题练习）如图甲所示，绷紧的传送带与水平方向的夹角为37°，传送带的v­t图象如图乙所示。t＝0时刻质量为1 kg的楔形物体（可视为质点）从B点滑上传送带并沿传送带向上做匀速运动，2 s后物体开始减速，在t＝4 s时物体恰好到达最高点A。重力加速度为10 m/s2。对物体从B点运动到A点的过程，下列说法正确的是（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）（　　） A．物体与传送带间的动摩擦因数为0.5 B．物体的重力势能增加48 J C．摩擦力对物体做的功为12 J D．物体在传送带上运动过程中产生的热量为12 J 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图甲所示，可视为质点的物体以一定的初速度从倾角的斜面底端沿斜面向上运动。现以斜面底端为坐标原点，沿斜面建立坐标轴x，选择地面为零势能面。坐标原点处固定一厚度不计的弹性挡板，物体第一次上升过程中的动能和重力势能随坐标x的变化如图乙所示。g取，则（　　） A．物体的质量为0.8kg B．物体与斜面之间的动摩擦因数为0.2 C．物块从开始到停止运动的总路程为12.5m D．物体在第一次上升过程中机械能减少了15J 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）蹦极运动以其惊险刺激深得年轻人的喜爱，图示为某次蹦极运动中的情景，原长为l、劲度系数为k的轻弹性绳一端固定在机臂上，另一端固定在质量为m的蹦极者身上，蹦极者从机臂上由静止自由下落，当蹦极者距离机臂h时，下落至最低点。空气阻力恒为重力的，重力加速度为g。此过程中（　　） A．弹性绳增加的弹性势能为 B．蹦极者减少的机械能为 C．蹦极者的最大动能为 D．蹦极者和弹性绳组成的系统减少的机械能为 7．（2025高三·江苏·专题练习）如图所示，质量为m的物体（可视为质点）以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度大小为g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在这个过程中物体（　　） A．机械能损失了mgh B．机械能损失了mgh C．动能损失了mgh D．克服摩擦力做功mgh 二、多选题 8．（2025·福建·模拟预测）一长木板静止于光滑水平面上，一小物块（可视为质点）从左侧以某一速度滑上木板，最终和木板相对静止一起向右做匀速直线运动。在物块从滑上木板到和木板相对静止的过程中，物块的位移是木板位移的倍，设板块间滑动摩擦力大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．物块动能的减少量等于木板动能的增加量 B．摩擦力对木板做的功等于木板动能的增加量 C．因摩擦而产生的内能等于物块克服摩擦力所做的功 D．因摩擦而产生的内能是木板动能增量的倍 9．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）如图所示，质量为m0、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现有一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f。经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端（　　） A．此时物块的动能为 B．这一过程中，物块对小车所做的功为f（s＋l） C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs D．这一过程中，物块和小车产生的内能为fl 10．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图所示，用一水平向左的力将质量为0.4kg的滑块（视为质点）压在竖直墙面上，滑块从离地面的高度为5m处由静止开始滑下，当采用国际单位制时，力的大小F与滑块下滑的距离x之间的函数关系式为。已知滑块与墙面间的动摩擦因数为0.1，取重力加速度大小，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．滑块下滑过程中克服摩擦力做的功为8J B．滑块下滑过程中机械能的减少量为6J C．滑块下滑过程中动能的增加量为14J D．滑块滑到地面前瞬间的速度大小为10m/s量等于克服摩擦力做的功，即滑块下滑过程中机械能的减少量为6J，故A错误，B正确； 三、解答题 11．（23-24高一下·福建漳州·期中）我国运动员闫文港在2022年北京冬奥会获得男子钢架雪车比赛铜牌，实现该项目的历史性突破，某同学看到该新闻后，设计了如下情景探究物块与轨道及滑板间的相互作用规律。如图所示，水平面上竖直固定一个粗糙圆弧轨道BC，圆弧轨道C端切线水平，长木板静止在光滑的水平面上，木板左端紧靠轨道右端且与轨道点等高但不粘连。从B的左上方A点以某一初速度水平抛出一质量m=2kg的物块（可视为质点），物块恰好能从B点沿切线方向无碰撞进入圆心角θ=53°的圆弧轨道BC，物块滑到圆弧轨道C点时速度大小为，经圆弧轨道后滑上长木板。已知长木板的质量M=4kg，A、B两点距C点的高度分别为H=1.2m、h=0.4m、R=1m，物块与长木板间的动摩擦因数。物块始终未滑出长木板，空气阻力不计，g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： （1）物块被抛出时的初速度大小； （2）物块从B滑到C的过程中克服摩擦阻力做的功； （3）在物块相对长木板运动的过程中，物块与长木板之间产生的内能。 12．（23-24高一下·山西太原·期末）如图所示，倾角为、高为的斜面固定在水平地面上，其底端固定一垂直斜面的挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，另一端与质量为的物块接触但不粘连，与斜面的动摩擦因数。用外力将沿斜面缓慢下压，使弹簧上端压缩到A点，撤去外力后由静止沿斜面向上运动，脱离弹簧又运动一段距离，恰好到达斜面最高点。已知间距离为，重力加速度为，可视为质点。更换质量为、材料相同的另一物块，用仍将弹簧上端压缩到A点，由静止释放，求： （1）弹簧被压缩到A点时弹性势能的大小； （2）从离开弹簧到落地过程中的最小速度； （3）到达地面时的动能。 13．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）如图为某建筑工地的传送装置， 传送带倾斜地固定在水平面上， 以恒定的速度v0=2m/s向下运动， 质量为m=1kg的工件无初速度地放在传送带的顶端P， 经时间t1=0.2s，工件的速度达到2m/s，此后再经过t2=1.0s时间， 工件运动速度为v=4m/s，重力加速度。g=10m/s2，工件可视为质点。求： (1)传送带与工件间的动摩擦因数为μ； (2)工件由P 运动到Q的过程中， 摩擦而产生的热量Q。 18 学科网（北京）股份有限公司 $$