2024-2025学年人教A版（2019）高一下学期数学期末模拟卷

2024-2025学年高一下学期数学期末模拟卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版必修第二册 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则（   ） A． B．i C． D．1 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 故选：A 2．我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（    ） A．2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量 B．2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4% C．2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数 D．2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍 【答案】AB 【详解】2000年—2005年高中阶段毛入学率增量为， 1995年—2000年高中阶段毛入学率增量为，故A正确； 2015年—2020年高等教育毛入学率增加了，故B正确， 由图中只能知道入学率，没有人数基数，故CD错误. 故选：. 3．已知向量，，若存在实数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，所以有实数解， 令， 则， 因为，所以，所以， 解得. 故选：D. 4．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在一对异面直线，则 【答案】D 【详解】对于A，由，得直线与可能平行、可能相交，也可能在面内，A错误； 对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，要垂直于内的两条相交直线，才能推出，C错误； 对于D，过直线的平面，由，得，而，则， 由是异面直线，得直线相交，又，因此，D正确. 故选D， 5．袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（   ） A． B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250 C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256 D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252 【答案】D 【详解】对于选项A: 由频率直方图可知组距为则 化简得因此选项A是正确的. 对于选项B：从图中可以看出,频率最高的矩形对应的区间是[240, 260], 其中点为，即选项B是正确的. 对于选项C：易知 ，可得C是正确的. 对于选项D：从图中可以看出, 前两个区间的累计频率为， 前三个区间的累计频率为 因此中位数位于第三个区间，设中位数为 , 则可得 解得，即选项D是错误的. 故选：D. 6．记的内角的对边分别是的平分线交边于点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，的平分线交于点， 则，由， 得，即， 所以. 故选：A 7．已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为2，在该大正方体内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则a的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设正四面体的棱长为， 过A作底面BCD，连接并延长交CD于E， 则，， 设正四面体的外接球的半径为r，则， ，解得， 要使正四面体可以在棱长为2的正方体内任意转动， 则，得. 正四面体的棱长的最大值为. 故选：D. 8．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数z的模为5 C．复数z的虚部为 D．方程的另一个根为 【答案】AD 【详解】复数， 对于BC，，复数z的虚部为，BC错误； 对于AD，方程的另一个根为， ，AD正确. 故选：AD 11．甲､乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 则下列说法正确的是（    ） A．甲组数据的第80百分位数是249 B．乙组数据的中位数是251 C．从甲､乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是 D．乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲､乙两组的跳远平均成绩都有提高 【答案】BCD 【分析】利用百分位数计算公式即可判断选项A；根据中位数定义即可判断选项B；根据古典概型概率公式和独立事件的乘法公式即可判断选项C；求出两者平均数并比较即可判断选项D. 【详解】由题意得甲组数据共有10个数字，而， 则甲组数据的第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数， 即甲组数据的第80百分位数是，故选项A错误； 乙组数据共有12个数字，故乙组数据的中位数是第6个数和第7个数的平均数， 即乙组数据的中位数是，故选项B正确； 设“从甲组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件， ∵甲组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，∴； 设“从乙组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件， ∵乙组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，∴， 而从甲，乙两组各随机选取一个成员，则事件，事件相互独立， 所以由独立事件的概率乘法公式可知：“两人跳远成绩均在250厘米以上”概率为 ，故选项C正确； 甲组的跳远平均成绩为， 乙组的跳远平均成绩为， 则将乙组中跳远成绩为248厘米的成员调派到甲组后，甲，乙两组的跳远平均成绩都有提高，故选项D正确. 故选：BCD. 11．如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（    ） A．四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．若中点为为的四等分点（靠近），则三线共点 D．截面四边形的周长的最小值为10 【答案】BCD 【详解】 对于A，取中点，取靠近的三等分点， 则四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，则， 所以四点共面，故A错误； 对于，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半， 所以，故B正确； 对于C，若中点为为的四等分点（靠近）， 由已知，则， 延长，设它们交于点，则， 又，所以， 延长，设它们交于点，则， 则，即， 又，则，则， 所以点与点重合，即三线共点，故C正确. 对于D，由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将右面和后面相邻两面展开， 当三点共线时，最小，最小值为， 所以截面四边形的周长的最小值为10，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】依题意可得， 若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向， 所以，解得； 当两向量方向相反时可得，且，解得； 因此可得或； 即实数的取值范围为. 故答案为： 13．某班级男女生比例，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据平均值为3，方差为4，女生样本数据的平均值为5，方差为2，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差的值是 . 【答案】/ 【详解】由题，该班全体学生周末在家学习时长的平均数为， 所以方差. 故答案为：. 14．如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 . 【答案】 【详解】设，设对应的复数为，对应的复数为，则， ， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以， 又，所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1． (1)计算样本的平均数和方差； (2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）． 【详解】（1），------------------------2分 .-------------------------------6分 （2）因为，，--------------------------------10分 所以，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标．------------------------------------13分 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； (3)设与交于点，求证：平面平面 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，又底面是矩形，则，-------------------------------------------------2分 又，平面，平面， 所以平面，又平面，----------------------------------------------------------------4分 所以.------------------------------------------------------------------------------------------------------5分 （2）取的中点，连接，，因为、分别是、的中点，-------------------6分 所以且，又且，-----------------------------------------------7分 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，----------------------------------------------------9分 所以平面；-------------------------------------------------------------------------------------------10分 （3）因为为矩形，与交于点， 所以为的中点，且为的中点， 又、分别是、的中点， 所以，，----------------------------------------------------------------------------------------------12分 又平面，平面，所以平面，-----------------------------------------------------13分 平面，平面，所以平面，-------------------------------------------------------14分 又，平面，所以平面平面.--------------------------------------------15分 17．（15分）锐角中，角所对应的边分别为. (1)若，求和的面积； (2)求的取值范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理，得，解得，------------2分 ，-------------------------------------------------------------------------------------------------3分 所以 ，----------------------------------------------------------------------------------------5分 的面积.--------------------------------------------------7分 （2）由正弦定理得，------------------------------9分 由为锐角三角形，得，则，即，因此，----------11分 由余弦定理得，得， 则，----------------------------------------------------------------------14分 所以的取值范围是.-----------------------------------------------------------------------------------15分 18．每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【详解】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，．-----2分 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥，------------------------------3分 所以，当时， .----------------------------------------------------------------5分 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为.----------------------------------------------------------6分 （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则，------------------8分 ，-------------------------------------------------------------------------9分 则，解得，．----------------------------------------------------------------------12分 ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，，-------------------------------------------------------------------15分 ----------------17分 19．（17分）在锐角中，记的内角，，的对边分别为，，，，点为的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【详解】（1）由和正弦定理，可得，------------------------------------------------------1分 因为，所以，则， 又，所以，----------------------------------------------------------------------------------------------2分 由，可得， 即得，------------------------------------------------------------------------------------3分 则，即点为的外心， 由正弦定理得，，所以．-------------------------------------------------------4分 （2）因为，所以，且， 所以 ，----------------------------------------------------------------------------------------------6分 因为为锐角三角形，所以，解得，---------------------------------7分 则，结合余弦函数的图象可得， 从而， 故的取值范围为．--------------------------------------------------------------------------9分 （3）如图，取的中点，连接，则， 所以， 同理可得，---------------------------------------------------------------------------------10分 由平面向量数量积的定义可得， 由，可得，--------------------------------------------------11分 即，也即①， 又，即，也即②， 联立①②可得，， 所以，，------------------------------------------------------------------------------13分 由正弦定理，， 因为，所以，可得， 令，，-----------------------------------------------------------------------------------------14分 设函数，令， ， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以， ------------------------------------------------------------------------16分 即，故， 即的取值范围为．-----------------------------------------------------------------------------------------17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期数学期末模拟卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版必修第二册 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则（   ） A． B．i C． D．1 2．我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（    ） A．2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量 B．2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4% C．2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数 D．2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍 3．已知向量，，若存在实数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在一对异面直线，则 5．袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（   ） A． B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250 C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256 D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252 6．记的内角的对边分别是的平分线交边于点，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为2，在该大正方体内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则a的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数z的模为5 C．复数z的虚部为 D．方程的另一个根为 11．甲､乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 则下列说法正确的是（    ） A．甲组数据的第80百分位数是249 B．乙组数据的中位数是251 C．从甲､乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是 D．乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲､乙两组的跳远平均成绩都有提高 11．如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（    ） A．四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．若中点为为的四等分点（靠近），则三线共点 D．截面四边形的周长的最小值为10 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围 . 13．某班级男女生比例，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据平均值为3，方差为4，女生样本数据的平均值为5，方差为2，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差的值是 . 14．如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1． (1)计算样本的平均数和方差； (2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； (3)设与交于点，求证：平面平面 17．（15分）锐角中，角所对应的边分别为. (1)若，求和的面积； (2)求的取值范围. 18．每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 19．（17分）在锐角中，记的内角，，的对边分别为，，，，点为的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$