精品解析：甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2025年春学期期中考试 高一数学试卷 2025年5月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校有教师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，··· ，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为 A. B. C. D. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数满足，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 已知向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 以下关于统计学中数字特征的说法，正确的是（ ） A. 若一组数据的平均数为，给这组数据中的每个数都加上一个常数，新数据的平均数为 B. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，若数据的方差为，则的方差为 C. 众数是一组数据中出现次数最多的数.对于数据，众数是 D. 数据中位数是；对于数据中位数是 10. 如图，是正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 当时，函数的取值范围是 D. 将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的倍，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据，则这组数据第百分位数是______. 13. 已知复数满足，则______． 14. 在中，，点满足，点使得，直线与相交于点，则的坐标为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校从参加高一年级期中考试学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，，后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分； （3）若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线． 16. 如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： （1）AD的长； （2）的大小． 17. 复数，当实数m取什么值时， （1）实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数． 18. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角； （2）若的角平分线交于点，求. 19. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， （1）求； （2）求正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期期中考试 高一数学试卷 2025年5月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校有教师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据女学生的抽样比与总体的抽样比相等列方程即可求解． 【详解】由题得，，解得， 故选：B． 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标计算公式即可求解． 【详解】由题得，， 故选：C． 3. 在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，··· ，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果. 【详解】由题意可得：成绩在内的频率为， 又本次赛车中，共名参赛选手， 所以，这名选手中获奖的人数为. 故选A 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】， 故选：D． 5. 已知复数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算计算得，再根据复数模的计算公式即可求解． 【详解】， 所以， 故选：C． 6. 已知向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】由题得. 故选：B． 7. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系，商数关系及二倍角公式即可求解． 【详解】原式 ， 故选：B． 8. 已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点距离的最大值，数形结合即可求解． 【详解】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上， 则在以为圆心半径为1的圆上， 所以表示到点的距离， 数形结合得， 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 以下关于统计学中数字特征的说法，正确的是（ ） A. 若一组数据的平均数为，给这组数据中的每个数都加上一个常数，新数据的平均数为 B. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，若数据的方差为，则的方差为 C. 众数是一组数据中出现次数最多的数.对于数据，众数是 D. 数据中位数是；对于数据中位数是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义和性质，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于A选项，已知数据的平均数为，根据平均数的计算公式. 给这组数据中的每个数都加上一个常数，则新数据为， 其平均数为：，所以A选项正确. 对于B选项，若数据的方差为，根据方差公式. 对于数据（为非零常数），其平均数为，则方差为： ，所以B选项正确. 对于C选项，在数据，，，，，，中，数字出现的次数最多，所以众数是，C选项正确. 对于D选项，对于数据，，，，，，，从小到大排序为，，，，，，，数据个数为，是奇数，中间的数是，所以中位数是，而不是. 对于数据，，，，，，从小到大排序后，数据个数为，是偶数，中间两个数是和，则中位数为.所以D选项错误. 故答案为：ABC. 10. 如图，是正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A、B不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定C正确，结合向量的投影的定义与运算，可判定D正确. 【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得： 对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，设正六边形的边长为，可得，，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，连接，可得， 可得，所以在向量上的投影向量为，所以D正确. 故选：CD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 当时，函数的取值范围是 D. 将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的倍，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由辅助角公式及二倍角公式化简得到，进而由正弦函数性质逐个判断即可； 【详解】对A，因为， 所以的最小正周期为，故A正确； 对B，由，故B错误； 对C，当时，可得，可得，所以的取值范围是，故C正确； 对D，由题意得函数，因为，所以， 又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得，所以实数的取值范围是，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据，则这组数据的第百分位数是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义可解. 【详解】数据小到大排列为：12，25，30，42，50，68共6个数字，， 所以这组数据的第百分位数是第五个数50. 故答案为：50. 13. 已知复数满足，则______． 【答案】或， 【解析】 【分析】设，将代入方程列出方程组即可求解． 【详解】设，则， 将代入方程得，， 则，若则方程组无解，不合题意，故， 解得， 所以或， 故答案为：或． 14. 在中，，点满足，点使得，直线与相交于点，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出的坐标，由三点共线，设，进而用表示出的坐标，根据列出方程即可求解． 【详解】由题知，， ，则， 由三点共线设，则， 所以，， 因为点三点共线，所以， 则，解得， 所以，则， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，，后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分； （3）若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线． 【答案】（1）答案见解析 （2）71 （3）86 【解析】 【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图； （2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分； （3）由频率分布直方图可知：成绩在区间占5%，区间占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05， 所以第四小组的频率为：， 在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03， 补全频率分布直方图对应图形如图所示： 【小问2详解】 由频率分布直方图可得平均分为：； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知：成绩在区间占5%，区间占25%， 则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：． 16. 如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： （1）AD的长； （2）的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【小问1详解】 设，， 则. ， ． 【小问2详解】 设，则向量与的夹角为． ， ，即． 17. 复数，当实数m取什么值时， （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数． 【答案】（1）或 （2）且且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【小问1详解】 因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. 【小问2详解】 因为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. 【小问3详解】 因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 18. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角； （2）若角平分线交于点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理边化角后，借助两角和的正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理可得，利用等面积法结合三角形面积公式计算即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即有， 即，又，故， 即，又，故； 【小问2详解】 ，即， 即，即， 即， 由余弦定理可得， 即，故. 19. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， （1）求； （2）求的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【小问1详解】 由是上中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故 【小问2详解】 为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$