暑假作业10 分式的性质与运算（15大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 分式的性质与运算 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：分式的定义 】 1．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，而是整式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； B．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； C．的分母含字母，是分式，故符合题意； D．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； 故选C． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）在代数式中，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，分母中不含有字母则不是分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式中，分式有． ∴分式有4个． 故选：C． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）在下列各式中：、、、，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，理解“分母含有字母的式子叫做分式”是解题的关键． 【详解】解：、是分式，、是整式； 故分式有个； 故选：B． 4．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是分式的有 个 【答案】4 【分析】本题考查了分式的定义：式子（A、B是整式，B中含有字母）叫分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：分式有；；，，共4个， 故答案为：4． 5．（21-22八年级下·江苏南京·阶段练习）在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有 个． 【答案】4 【分析】根据分式的定义，形如(A、B是整式，且B中含有字母，B0)的式子叫做分式，紧扣定义，便可判断出有4个式子是分式． 【详解】解：①，②，④，⑤这4个式子都符合分式的定义， ③，⑥的分母都不含字母，不符合分式的定义， 综上，分式有4个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【题型二：分式有意义的条件 】 1．（2025·安徽宿州·模拟预测）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为零，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：要使得有意义， 则， 解得：， 故选：C． 2．（2025·河南商丘·模拟预测）下列分式中，无论取什么值分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．根据分式有意义的条件逐项判断即可． 【详解】解：A、当即时，该分式无意义，故本选项不符合题意； B、当即时，该分式无意义，故本选项不符合题意； C、因为，所以无论m取何值，该分式都有意义，故本选项符合题意； D、当即时，该分式无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025·安徽六安·三模）下列代数式中的取值范围为全体实数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件逐项判断即可． 【详解】解：A、有意义的条件是，即，故A选项不符合题意； B、有意义的条件是且，即，故B选项不符合题意； C、中的取值范围为全体实数，故C选项符合题意； D、有意义的条件是，即，故D选项不符合题意； 故选：C． 4．（2025·安徽六安·模拟预测）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式及分式有意义的条件可求解x的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．（2025·湖南衡阳·模拟预测）代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且； ∴且； 故答案为：且． 【题型三：分式无意义的条件 】 1．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）若分式 无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义，根据分式无意义分母为解答即可求解，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式 无意义， ∴， 解得， 故选：． 2．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）当时，下列式子没有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键． 根据分式的分母不能为0、二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、当时，，此式子有意义，此项不符题意； B、当时，的分母，此式子没有意义，此项符合题意； C、当时，，此式子有意义，此项不符题意； D、当时，的分母，此式子有意义，此项不符题意． 故选：B． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，无意义；当 时，这个分式的值为0． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴； ∵分式的值为0， ∴，且， ∴； 故答案为：；0． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义； 当，即时，分式无意义； 故答案为：，． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义和分式的值为零的条件，熟练掌握是解题的关键． 根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得，从而得到a，b的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵分式，当时，分式没有意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为零， ∴， ∴， ∴． 【题型四：分式的值为0 】 1．（2025·江苏无锡·二模）若分式的值为零，则的取值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】使分子等于0，分母不等于0，解方程求得．本题考查了分式的值为0 的条件，熟练掌握分子等于0，分母不等于0 ，是解决此类问题的关键． 【详解】∵分式的值为零， ∴ ， ∴， ∴． 故选B 2．（2025·云南楚雄·一模）若分式的值为，则的值为（   ） A．7 B． C．7或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为0，理解并掌握分式的值的计算是关键． 根据分式的值为0，得到，且． 【详解】解：分式的值为， ∴，且， 解得，，且， ∴， 故选：B ． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式的值为0，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件．掌握“分式的值为0的条件”是解本题的关键． 分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0，根据原理列方程与不等式，从而可得答案． 【详解】解：∵的值为0， ∴，且， ∴． A. ，不合题意； B. ，不合题意； C. ，不合题意； D. ，符合题意． 故选：D． 4．（2025·河南平顶山·一模）若分式的值为，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】根据对于一个分式，要使其值为0，需同时满足分子为0且分母不为0这两个条件，进进行求解．本题主要考查分式值为零的条件这一知识点．解题的关键在于清楚认识到分式值为0时，分子为0且分母不为0这两个必要条件，先通过分子为0求出x的可能值，再利用分母不为0这一条件进行筛选，确定x的准确值． 【详解】分式的值为0， ，且， 解得， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式值为0的条件：当分母不为0且分子值为0时，分式值为0． 根据分式值为0的条件求解即可． 【详解】解：分式的值为零，则且， ， ， 故答案为：． 【题型五：分式的求值 】 1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：． 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）已知，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查比分式的求值，由，令，，，代入，即可求值． 【详解】解：∵， ∴令，，， ∴． 故选：D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键．将分式变形为，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则代数式的值= ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用等知识，先求出，把变形为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）设，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查完全平方公式，分式的求值，根据，结合完全平方公式，求出的值，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【题型六：分式的基本性质 】 1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 2．（24-25八年级下·河南新乡·期中）下列式子中，从左往右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质“分式的分子分母同乘除一个不为的数或代数式，分式的值不变”逐项判断即可． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意； 故选：D． 3．（2025·广东·二模）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是关键； 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：， 分式的值扩大到原来的2倍； 故选B． 4．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 分式的分子分母都乘以10，可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型七：最简分式 】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式．根据最简分式的定义即可判断． 【详解】解：A. 是最简公式，故此选项符合题意； B. 还有公因式，故此选项不符合题意； C. 还有公因式，故此选项不符合题意； D. 还有公因式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2024秋•迁西县期中）下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简分式的定义判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，不符合题意； B、是最简分式．不符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最简分式，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可． 【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意； ，是最简分式，符合题意； 故选C． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式，，，，中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，约分的计算，掌握分式的性质是关键． 如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式，结合分式的性质即可求解． 【详解】解：是最简分式， ，原分式不是最简分式， 是最简分式， 是最简分式， ∴最简分式的有3个， 故选：C ． 5．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有 个 【答案】2 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 【题型八：分式的约分与通分 】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．根据分式的约分法则计算，判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，不能约分，故本选项结论不正确，不符合题意； B、，故本选项结论不正确，不符合题意； C、，结论正确，符合题意； D、，故本选项结论不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）下列约分错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了约分，直接利用分式的基本性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、，故不合题意； B、原式，故不合题意； C、原式，故不合题意； D、原式，故符合题意． 故选：D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）式子的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：式子的最简公分母是． 故选：D． 4．（2024春•原阳县月考）把，，通分过程中，不正确的是（　　） A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． C． D． 【答案】D． 【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案． 【详解】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确； B、，通分正确； C、，通分正确； D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4； 故选：D． 【点睛】根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等． 5．（2024春•玄武区校级期中）（1）通分：和； （2）约分：． 【答案】见详解 【分析】（1）通分时先分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，计算即可； （2）先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，计算即可． 【详解】解：（1）； ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查的是通分和约分，熟练掌握其定义和规律方法总结是解题的关键． 【题型一：由分式的值为正（负）求字母的取值范围 】 1．（2023上·山东日照·八年级统考期末）已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（   ） A．x＞0 B．x＞-4 C．x≠0 D．x＞-4且x≠0 【答案】D 【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵＞0， ∴x＋4＞0，x≠0， ∴x＞−4且x≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式． 2．（2023上·四川凉山·八年级统考期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由分式的值为正数，得到，，即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，， 解得且， 即x的取值范围是且． 故答案为：且 【点睛】此题考查了分式的性质，熟练掌握两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）若分式的值为正数，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】此题考查分式的值、解不等式组等知识，根据分式的值为正数得到或，解不等式组即可． 【详解】解：由题意可知：或， 解得，或， 故本题答案为：或． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式的值为负数，求的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 5．（2023上·江苏南通·八年级校考期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由题意首先根据绝对值的非负性，可知分式的分母为负、分子为正，然后根据一元一次不等式的解法，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴，解得且， ∴的取值范围是：且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查分式的值，熟练掌握分式的值的正负性的判断和绝对值的非负性的应用以及一元一次不等式的求解方法是解题的关键. 【题型二：分式的乘除运算 】 1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除法，整式的定义，根据每个选项中所给的条件计算，再根据结果判断即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，结果是整式，故选项符合题意； B、，结果不是整式，故选项不符合题意； C、，结果不是整式，故选项不符合题意； D、，结果不是整式，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·河北唐山·二模）已知，则整式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法和除法；根据题意可得，利用分式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行用了，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行的路程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式， 根据题意先表示出甲船的速度，进而得出乙船的速度，据此即可解决问题，熟知速度、路程和时间三者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， 甲船的速度为， 则乙船的速度为：， ∴乙船航行的路程为， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分数乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可； （2）根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可； （3）先转化为分式乘法，然后根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可； （4）先转化为分式乘法，然后根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 （4）解：原式 【题型三：分式的加减运算 】 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的加减法，熟知异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减是解答此题的关键． 根据分式的加减法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意； B. ，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）凸透镜在我们的生活中有着广泛的应用，如照相机等．凸透镜成像公式也称高斯成像公式，用表示，其中表示焦距，表示物距，表示像距．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）一项工程，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，甲、乙两人合做需要的天数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式除法的应用，把工作总量看做单位“1”，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，再用工作总量除以甲、乙两人的工作效率之和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，甲、乙两人合做需要的天数为， 故选；D． 4．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解决本题的关键． 由题意列出盖住部分的代数式，然后进行计算即可． 【详解】解：， 故选C． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （3）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型四：分式的乘方 】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可求解，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘方．熟练掌握分式乘方的法则，幂乘方法则，是解决问题的关键．分式乘方等于分子分母分别乘方，幂乘方底数不变，指数相乘． 运用分式乘方的法则和幂乘方的法则逐一判定，即得． 【详解】A、，∴A不正确； B、，∴B不正确； C、，∴C不正确； D、，∴D正确． 故选：D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法．先进行分式平方及立方的运算，然后约分，即可得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握分式的乘方运算．根据分式的乘方，等于分子分母分别乘方，即可求解． 【详解】解： ，， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型五：分式的混合运算 】 1．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先化除法为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：C 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用除法法则变形，因式分解，约分解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 故选A． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减计算： （1）先通分，再计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把另一个分式约分化简，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（2024上·山东菏泽·八年级统考期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用分式的加法计算即可． （2）利用分式的乘法计算即可． （3）利用分式的混合运算法则计算即可． （4）利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型一：分式的规律性问题 】 1．（2023上·贵州铜仁·八年级统考期末）已知一列分式，，，，,,…，观察其规律，则第n个分式是 ． 【答案】 【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子． 【详解】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为： 分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：= 分子规律为：x的次数为对应项的平方加1，故第n项为： 故答案为：． 【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律． 2．（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，， ，，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 【答案】 【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案． 【详解】解：由给出的式子的特点， 即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和， 由此可得第6个式子是． 故答案为． 【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理成为归纳推理． 3．（2023下·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）已知y1＝，y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2020＝ （请用含x的代数式表示）． 【答案】 【分析】通过计算发现运算结果，，循环出现，则y2020＝y1＝． 【详解】解：∵y1＝， ∴y2＝＝＝，y3＝＝＝，y4＝＝＝，……， ∴运算结果，，循环出现， ∵， ∴y2020＝y1＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键． 4．（2023上·江苏徐州·八年级校联考期末）观察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 ． 【答案】x+ ＝n+（n+1） 【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n（n+1），方程的右边的变化规律为n+（n+1）． 【详解】∵第1个方程为x+＝1+2， 第2个方程为x+＝2+3， 第3个方程为x+＝3+4， … ∴第n个方程为x+＝n+（n+1）． 故答案是：x+＝n+（n+1）． 【点睛】本题考查了分式的定义.该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么. 5．给定一列分式：，，，，…（其中x≠0，y≠0），那么第n个分式是　 　，这列分式中第n个分式除以第（n﹣1）个分式的商是　 　． 【答案】；． 【分析】观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为（﹣2）n﹣1乘以y的n次幂，据此得到第n个分式；用第二个分式除以第一个分式，第三个分数除以第二个分式，…，你能发现规律不难得到相除所得的商相等，至此问题便可迎刃而解了． 【详解】解：观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为（﹣2）n﹣1乘以y的n次幂， 所以第n个分式为； ， （）， …… 综上可知规律是：任意一个分式除以前面一个分式，商都为； 故这列分式中第n个分式除以第（n﹣1）个分式的商是． 故答案为：；． 【点睛】本题侧重考查知识分式的定义，掌握分式的化简是解题的关键． 【题型二：求使分式的值为整数时字母的的整数值 】 1．（2023下·湖南株洲·八年级株洲二中校考期末）使分式的值为整数的所有整数x的和为（    ） A．8 B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】由整除的性质可知，是7的因数，即可分别得出符合题意的值，再求和即可． 【详解】解： 的值为整数， 为7的因数， ，或． 又为整数， ，或，或，或， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 3．（2023上·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期中）当整数x＝ 时，分式的值为正整数． 【答案】2或3． 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出x-1的取值，从而得出x的值． 【详解】＝， 要使的值是正整数，则分母x﹣1必须是2的约数， 即x﹣1＝1或2， 则x＝2或3， 故答案为：2或3 【点睛】此题考查了分式的值，解题的关键是根据分式式的值是正整数，讨论出分母x-1的得数． 4．（2023上·上海浦东新·八年级校考期中）当满足 时，分式的值为整数． 【答案】 【分析】分当和时两种情况讨论，去绝对值符号即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，，是整数， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求分式的值，绝对值的性质，分类求解是解题的关键． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除，当时，因为，所以分母为零，分式无意义． 所以可取的值为，，1，2，相应的x的值为，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． (1)本题的解题思路是 　 　； (2)运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 【答案】(1)将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题 (2)、、、0、2、3、4、7 【分析】本题考查了分式的化简，分式的结果要化成最简分式的形式，解题思路为：一般是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． （1）先把分式化简成最简分式或整式，后利用分子是分母的倍数，分类计算即可，注意要保证分式有意义． （2）仿照样本题思路，解答即可． 【详解】（1）解：解题思路是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题； 故答案为：将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． （2）， 要使分式的值为整数， ①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， ⑤当时，， ⑥当时，， ⑦当时，， ⑧当时，， ∴使分式的值为整数的整数x的值、、、0、2、3、4、7． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业10 分式的性质与运算 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：分式的定义 】 1．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）在代数式中，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级下·重庆·期中）在下列各式中：、、、，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是分式的有 个 5．（21-22八年级下·江苏南京·阶段练习）在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有 个． 【题型二：分式有意义的条件 】 1．（2025·安徽宿州·模拟预测）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2．（2025·河南商丘·模拟预测）下列分式中，无论取什么值分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽六安·三模）下列代数式中的取值范围为全体实数的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·安徽六安·模拟预测）若式子有意义，则的取值范围是 ． 5．（2025·湖南衡阳·模拟预测）代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【题型三：分式无意义的条件 】 1．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）若分式 无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）当时，下列式子没有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，无意义；当 时，这个分式的值为0． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ． 【题型四：分式的值为0 】 1．（2025·江苏无锡·二模）若分式的值为零，则的取值为（　　） A．3 B．2 C． D． 2．（2025·云南楚雄·一模）若分式的值为，则的值为（   ） A．7 B． C．7或 D．0 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式的值为0，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南平顶山·一模）若分式的值为，则的值是 ． 5．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若分式的值为零，则 ． 【题型五：分式的求值 】 1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）已知，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则代数式的值= ． 5．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）设，，则 ． 【题型六：分式的基本性质 】 1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南新乡·期中）下列式子中，从左往右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东·二模）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 4．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 【题型七：最简分式 】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 2．（2024秋•迁西县期中）下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式，，，，中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有 个 【题型八：分式的约分与通分 】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，约分正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）下列约分错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）式子的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 4．（2024春•原阳县月考）把，，通分过程中，不正确的是（　　） A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． C． D． 5．（2024春•玄武区校级期中）（1）通分：和； （2）约分：． 【题型一：由分式的值为正（负）求字母的取值范围 】 1．（2023上·山东日照·八年级统考期末）已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（   ） A．x＞0 B．x＞-4 C．x≠0 D．x＞-4且x≠0 2．（2023上·四川凉山·八年级统考期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）若分式的值为正数，则x的取值范围为 ． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式的值为负数，求的取值范围 ． 5．（2023上·江苏南通·八年级校考期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【题型二：分式的乘除运算 】 1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北唐山·二模）已知，则整式 ． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行用了，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行的路程为 ． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三：分式的加减运算 】 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）凸透镜在我们的生活中有着广泛的应用，如照相机等．凸透镜成像公式也称高斯成像公式，用表示，其中表示焦距，表示物距，表示像距．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）一项工程，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，甲、乙两人合做需要的天数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型四：分式的乘方 】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五：分式的混合运算 】 1．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）计算的结果是（       ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算： (1)； (2) 5．（2024上·山东菏泽·八年级统考期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【题型一：分式的规律性问题 】 1．（2023上·贵州铜仁·八年级统考期末）已知一列分式，，，，,,…，观察其规律，则第n个分式是 ． 2．（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，， ，，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 3．（2023下·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）已知y1＝，y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2020＝ （请用含x的代数式表示）． 4．（2023上·江苏徐州·八年级校联考期末）观察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 ． 5．给定一列分式：，，，，…（其中x≠0，y≠0），那么第n个分式是　 　，这列分式中第n个分式除以第（n﹣1）个分式的商是　 　． 【题型二：求使分式的值为整数时字母的的整数值 】 1．（2023下·湖南株洲·八年级株洲二中校考期末）使分式的值为整数的所有整数x的和为（    ） A．8 B．4 C．0 D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 3．（2023上·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期中）当整数x＝ 时，分式的值为正整数． 4．（2023上·上海浦东新·八年级校考期中）当满足 时，分式的值为整数． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除，当时，因为，所以分母为零，分式无意义． 所以可取的值为，，1，2，相应的x的值为，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． (1)本题的解题思路是 　 　； (2)运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$