专题15【学案】圆与扇形

扇学科网·艇子学 www.2X×k.C0m 让学习更离效 【学案·专题15】圆与扇形 【思维导图】 【考点一】圆与扇形的基本衍生图形 【考点二】方中圆与圆中方 【考点三】容斥原理求阴影部分面积 圆与扇形 【考点四】同增同减差不变 【考点五】旋转与轨迹：求狐长 【考点六】旋转与轨迹：求面积 一、与圆有关的图形 圆的面积=π 扇形的面积=π2× 360 圆的周长=2π 扇形的弧长=2r× 360 二、基本模型 1.圆环面积：π（R2r2) 2弓形2-护（号圆-三角形 3.谷子（柳叶）： w- 4弯角形：r2-1π2（正方形-扇形） 4 5圆套圆、方套方 (1)圆套圆：设小圆半径为x,大圆半径为R,则小圆面积为π2。 正方形的面积为4r2(22)→大圆半径与小圆半径满足：R?=2xr2,即大圆面积为2π2 大圆面积、正方形与小圆面积之比：2π2：4r2:π2=2π：4：元 (2)方套方：大正方形面积为(2R)-4R?,小正方形面积为2 小正方形、圆与大正方形批为：2R2:R2:4R2=2:π：4 核心知识点 函学科网·随子学 www.zX×k.C0m 让学习更高效 【考点一】圆与扇形衍生的基本图形 【例1】求下图阴影分的周长与面积。（π≈3.14） 40cm 【思路分析】 1周长：通过旋转，阴影部分的周长=圆的周长×2 40m×2 =40×3.14×2 =251.2(厘米) 2.面积： 半径：40÷2=20（厘米） S=1mx2-r 4 =12-r2 2 1×π×202-202 =628-400 =228(平方厘米) 阴影部分的面积：228×4=912（平方厘米） 技巧点拨 解题方法： sew-f 3-D▣口 2 备学科网·艇子学 www.2X×k.C0m 让学习更离效 【考点二】方中圆与圆中方 【例2】长方形的长是宽的2倍，半圆的面积是628平方厘米，圆中长方形的面积 平方厘米。（π取3.14） 【思路分析】 1补全图形（圆中方） Ss:S=π2：2r2 =元：2 2.S-=6.28×2=12.56(平方厘米) 则S=12.56÷π÷2=8（平方厘米） S=8÷2=4(平方厘米) 【解答】4 技巧点拨 解题方法： 1.圆中方面积比：S:S=π：2 2.方中圆面积比：S:Sx=4:π 【例3】如图大正方形的面积是64m2,小正方形的面积是()m?。 【思路分析】 方法一： 3 态学科网·随子学 www.zX×k.C0m 让学习更离效 1大正方形的面积是64m2,则大正方形的边长是8m,即圆的直径是8m 2把圆内的小正方形用对角线平均分成2个三角形：三角形的底=圆的直径 三角形的高=圆的半径 3.三角形的面积=底×高÷2 =8×4-2 =16(平方厘米) 4小正方形的面积：16×2=32（平方厘米） 方法二： 直接利用方套方模型：大正方形与小正方形面积比为：2：1 S:S◆=2：1，则S4=64÷2=32(平方厘米) 技巧点拨 解题方法： 1圆套圆：大圆面积、正方形与小圆面积之比为：2π：4：元 2方套方：小正方形、圆与大正方形比为：2：π：4 图2 【考点三】容斥原理求阴影部分面积 【例4】下图长方形的长是10cm,宽为8cm。求图中阴影部分的面积。 【思路分析】 S=S大短5十S小幅带一S方s 4 态学科网·随子学 www.zX×k.C0m 让学习更离效 大扇形的半径→长方形的长(10cm) 小扇形的半径→长方形的宽(8cm) S=S大短等十S小希一S方污 =号×rx102+号××82-10x8 =314×1+200.96×1-80 =78.5+50.24-80 =128.74-80 =48.74(平方厘米) 技巧点拨 解题方法：利用容斥原理求解阴影部分的面积 1.明确阴影部分的组成图形：观察图形，判断阴影部分是由哪些基本图形组合或者重叠形诚的 2.分别计算各基本图形的面积 3.确定重叠部分的面积 4利用容斥原理计算阴影部分面积 【考点四】同增同减差不变 【例5】如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=10厘米，BC=6厘米，那么阴影 甲的面积比阴影乙的面积大多少？ 丙 B 【思路分析】 S:-Sz =(S=+S)-(Sz+S) =Sx一S三5 5 函学科网·随子学 www.2X×k.C0m 让学习更离效 ×mx(9):-号×10x6 2 =39.25-30 =9.25(平方厘米) 技巧点拨 解题方法： 同时增加或减去相同的面积，使阴影部分转化为两个规则图形的面积之差（或和） 【考点五】旋转与轨迹：求弧长 【例6】如下图所示，在长方形ABCD中，AB=3,BC-4,AC=5。从图中所示位置开始在直 线上转动（不滑动），每次转动90°，转动一周后，顶点A经过的痕迹的总长是多少？（π 取3.14) D B 【思路分析】 D 1第一次转动：以B点为中心转动90°，此时A点的运动轨迹是以AB=3为半径上圆的周长 弧长为×2×3.14×3 2第二次转动：以C点为中心转动90°，A点的运动轨迹是以AC=5为半径的圆上圆的周长 弧长为×2×3.14×5 3.第三次转动：以D点为中心转动90°，A点的运动轨迹是以AD-4为半径的圆上圆的周长 6 备学科网·阻子学 www.zX×k.C0m 让学习更高效 3弧长为×2×3.14×4 4总3弧长：号×2×3.14×3+×2×3.14×5+}×2×3.14×4 4 =1×2×3.14×(3+5+4) =1×3.14×12 =18.84(厘米) 技巧点拨 解题方法： 1确定转动中心和半径：每次转动时，观察顶点绕哪个点转动，这个点到顶点的距离就是 半径 2分析轨迹与圆的关系：如每次转动90°，轨迹就是对应圆周长的} 3利用公式计算 【考点六】旋转与轨迹：求面积 【例7】墙角0点处的一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4米，墙角两边的墙长2 米。这只羊能吃到草的面积是多少？ 2m 2m 27 【思路分析】 2 7 态学科网·照子学 www.2X×k.C0m 让学习更高效 1羊吃到草的面积由三部分组成：一部分是半径为4米的：圆面积 另外两部分均是半径为2米的：圆面积 2.半径为4米的圆面积：}×3.14×4 月×3.14×16 =12.56(平方米) 3.2个半径为2米的 圆面积：2×}×3.14×2 =号×3.14×4 =6.28(平方米) 4.总面积：12.56+3.14+3.14=18.84（平方米） 技巧点拨 解题方法： 1确定圆心、半径与角度 2.分解活动范围：分解为多个规则扇形 3应用扇形面积公式计算 8