高二下学期期末复习真题精选（压轴80题16类题型专练）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

高二下学期期末复习真题精选（压轴80题16类题型专练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型1 两条切线平行、垂直、公切线问题（共5小题） 1．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可. 【解答过程】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 则，故.又， 解得，所以直线过点，斜率为1， 即直线的方程为. 故选：A. 2．（23-24高二下·山东济宁·期末）已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先可判断不为，设出公切线与函数的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，再与曲线联立，利用判别式为，可得与的关系，结合导数工具可得解. 【解答过程】当时，，，不符合题意； 设的图像与公切线的切点为，， 由，则切线斜率， 切线方程为，即， 又切线与， 联立， 可得， 即， 可得， 设，， ，， 又函数在上单调递减，且， 即有当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 所以， 即，的最大值为， 故选：A. 3．（多选）（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 【解题思路】令，求出的导函数，依题意，即可判断A，又曲线在原点处的切线过点，即可得到，即可判断C，再由求出，即可判断B、D. 【解答过程】令，则， 依题意，解得，故A正确； 依题意可得曲线在原点处的切线过点，所以，故C正确； 又，所以， 则曲线在处的切线方程为，故B错误，D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【解题思路】设直线与和的切点分别为，，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值. 【解答过程】和分布求导，得到和. 设直线与和的切点分别为，， 则切线方程分别为，，， 化简得，，. 依题意上述两直线与是同一条直线， 所以，，解得， 所以 故答案为：. 5．（23-24高二下·海南海口·期末）已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可 【解答过程】（1）设直线与曲线的切点坐标为， ，， 又直线的斜率为，， 且点同时在直线和曲线上， 满足，联立以上两式可得， 故直线的方程为， 联立，可得， 又直线与曲线相切， ，解得． （2）由（1）得，， 设切点为， 则曲线在点的切线方程为， 又切线过点， ， 即方程有两个不相等的实数根，且， ， 解得或或， 所以实数的取值范围为或或． 题型2 利用导数研究函数零点（方程根）（共5小题） 1．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】函数有两个零点，等价于有两个根，即有两个根，转化为两个函数图象有两个交点，结合导数画出图象草图，即可得解. 【解答过程】函数有两个零点,等价于有两个根，即有两个根， 令，， 令，，所以在R上单调递增； 又， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为， 当时，当时， 要想有两个根，只需要，即 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏苏州·期末），，若在其定义域上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数求出的单调区间，画出的大致图象，令，则问题转化为方程有两个不相等的实根，且，然后结合根与系数的关系可求得答案. 【解答过程】由，得， 由，得，解得或， 由，得，解得或， 所以在和上递增，在和上递减， 所以的大致图象如图所示， 令，由， 则，则， 所以方程有两个不相等的实根，则， 因为在其定义域上有且仅有两个零点， 所以由的图象可知， 不妨设，则， 因为，所以， 所以，得，所以， 由，得， 所以在上递增，所以， 即的取值范围是. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知函数恰好有三个零点，分别为，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D． 【解题思路】将函数的零点问题转化为方程的解的问题，即问题转化为直线与曲线和交于三个点，且三个点的横坐标依次为，，，且，利用导数研究两个函数的单调性和最值，从而逐项判断. 【解答过程】根据题意，， 即或，所以或， 即问题转化为直线与曲线和交于三个点， 且三个点的横坐标依次为，，，且， 对于，得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 当时，函数取得最大值， 对于，得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 当时，函数取得最大值， 如图，作出函数与的图象， 由，可得，由，可得， 又，且在上单调递增， 又，所以，即，A正确； ，且在上单调递减， 又，所以，即， 故，则C正确，B错误； 因为，所以， 则，则D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知函数有三个不同的零点，其中则的值为 1 . 【解题思路】令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确定根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围. 【解答过程】设， ， 当时，； 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且时，；时，， ∴， 作出的图象，如图 要使有三个不同的零点，其中 令，则需要有两个不同的实数根（其中） 可得， ∵，∴，则 ∴，则，且 ∴， 故答案为：1. 5．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数. (1)求的值； (2)若函数有3个零点，其中. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【解题思路】（1）根据已知解析式直接求解即可； （2）（ⅰ）由，可得除1外还有两个不同的零点，对函数求导后，令，当时，，不合题意，所以问题转化为当时，不单调，即存在两个零点，然后求出的单调区间，结合零点存在性定理分析即可；（ⅱ）由前面的求解可知，利用导数证明时，不等式恒成立，从恧可得，化简变形可得结论. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为，所以除1外还有两个不同的零点， 由，得， 令， 当时，在上恒成立，则， 所以在上单调递减， 所以在上至多有1个零点，不合题意，舍去； 当时，除1外还有两个不同的零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为， 则，所以， 当或时，，则， 当时，，则， 所以在和上递增，在上递减， 因为，所以， 因为，且， ，且， 所以存在，使得， 所以有3个零点， 综上，a的取值范围为； （ⅱ）证明：由（1）知，即， 所以若，则，所以， 当时，先证明不等式恒成立， 令， 则， 所以在上递增，所以， 所以当时，不等式恒成立， 由，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 两边同除以，得， 即， 所以. 题型3 导数中的不等式问题（共5小题） 1．（23-24高二下·四川自贡·期末），均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围. 【解答过程】不妨设， 由，得， 即，两边同时除以，得， 令，即，所以函数在区间上单调递减， ，即恒成立， 所以，上恒成立，函数在区间上单调递减， 所以的最大值为1， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，故只需分别求出两个函数、的最大值即可列不等式求解. 【解答过程】若，使成立， 则当且仅当， 于函数而言，其最大值为， 于而言，其导数， 当时，，当时，， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 从而的最大值， 所以原题条件等价于，即. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分，，讨论，分离参数，分别构造函数，利用导数求出函数的最值，进而可得出答案. 【解答过程】①当时，恒成立，则， ②当时，则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递增， 所以, 所以； ③当时，则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：BCD. 4．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数 ，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【解题思路】由函数极值点可求得，依题意只需在上恒成立即可，令函数并利用导数求出其在上的最小值即可得结果. 【解答过程】由题意得，，故， 取，，， 当，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 为函数的极值点，满足要求，故， 所以即在上恒成立， 只需在上恒成立； 令，则，令，解得； 当时，，可知在上单调递减； 当时，，可知在上单调递增； 所以在为在内唯一的极小值点，也是最小值点， 故，即， 即只需即可. 故答案为：. 5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明时，； (3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）求导即可得到函数的单调区间； （2）令，即可得到，原不等式化为，再结合函数的单调性，即可化为，然后构造函数，求导即可证明； （3）根据题意，由（2）中的结论可得符合题意，然后证明当时，不符合题意，即可得到结果. 【解答过程】（1）， 当时，；当时，， 的增区间为，减区间为． （2）令， 当时，；当时，， 当时，，即， 原不等式等价于， 为上的减函数，， 只需证明，即， 令， 当时，，当时，， 原不等式成立． （3）当时，由（2）知,又， ， 原不等式在上恒成立． 当时，令． ， 在内必有零点，设为，则， ， ，而， 综上所述实数的取值范围是． 题型4 利用导数研究双变量问题（共5小题） 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项. 【解答过程】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·湖南·期末）已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先设切点坐标，利用导数的几何意义确定切线方程，参变分离得方程有两不同解，构造函数，判定其单调性求其最小值，化为解，构造函数，判定其单调性从而解得化简待求式得，即可得结果. 【解答过程】因为，设切点坐标为， 则曲线在该点处的切线方程为：， 又在切线上，即， 则方程有两不同解， 令， 易知时，单调递增不合理，故． 当时，，当时，单调递减，时，单调递增，故为极小值； 要使有两解，则，即， 令在上单调递增， 又因为，所以 易知， 又因为为方程的解，故有， 代入可得，故所求取值范围为． 故选：A. 3．（多选）（23-24高二下·浙江台州·期末）已知实数x，y满足（为自然对数的底数，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【解题思路】同构函数可判断A，B；由对数均值不等式可判断C，D. 【解答过程】由，得，所以，， 当时，，即， 令，则， 所以在上单调递增， 由得， 所以，即，故A正确； 当时，，即， 令，则， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 由得， 因为在上不单调，所以由不一定能得到， 即不一定成立，故B错误； 当时，由前面的分析可知，此时，， 令，，则有，不妨设， 得， 下面证明，当时，不等式成立. 先证右边，要证，只要证， 即证，令，即证， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 即成立，从而得证； 再证左边，要证，只要证， 即证，令，即证， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 即成立，从而得证. 由，，得，即，故C正确； 由，，得， 即，所以，故D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 【解题思路】由得，，令，利用导函数研究其单调性和最值即可得到结果. 【解答过程】因为，若，则， 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 5．（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【解题思路】（1）由求得值； （2）设，利用导数确定其单调性后可证； （3）不妨设，令，由进行转化后把用表示，把要证不等式化为关于的不等式，再利用导数进行证明． 【解答过程】（1）由，可知， 因为在处的切线斜率为3， 所以. 所以. （2）证明：由（1）知， 不妨设，则. 令 因为， 所以在上单调递增，. 故， 所以在上单调递增，， 所以. （3）由（1）知， 不妨设，令 由即得，即. 即，则， 所以， 要证. 设，则. 则在上单调递减，，故成立. 题型5 导数中的新定义问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏扬州·期末）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得，再引入新函数，利用新函数的导数确定新函数的零点所在区间，得的范围，从而确定它们的大小． 【解答过程】，由得，，即， ，由得，， 令，，恒成立，所以在递增，又，，所以在上存在唯一零点，所以， ，则得，即， 令，，或时，，时，，所以在和上是增函数，在上是减函数， 而，，，所以在上有唯一零点，所以．综上． 故选：B． 2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，即可根据拐点定义求解. 【解答过程】由，得，进而， 令，故， 所以，故对称中心为 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】分析可知，，，.对于A：分析可知在内的值域为，即可得出矛盾，进而分析判断；对于B：利用导数判断的单调性，结合题意分析判断；对于C：整理可得，举反例说明即可；对于D：求导，根据题意分析说明即可. 【解答过程】由题意可知：，， 等价于，； 且，， 等价于，. 对于选项A：因为，，则在内的值域为， 可知不存在，使得恒成立，不符合“双向奔赴”函数，故A错误； 对于选项B：因为， 对于，则，可知在内单调递减， 且当趋近于时，趋近于0，可知； 对于，则且， 可知当，满足题意， 所以符合“双向奔赴”函数，故B正确； 对于选项C：因为，，则， 对于，，， 取特值，可知， 不合题意，即不符合“双向奔赴”函数，故C错误； 对于选项D：因为，，， 对于，此时， 可得，且； 对于，此时， 可得，， 可知当，满足题意， 所以符合“双向奔赴”函数，故D正确； 故选：BD. 4．（23-24高二下·湖北十堰·期末）已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为 ． 【解题思路】利用“新驻点”的定义即可求解. 【解答过程】因为，所以， 令，即，得， 因为，解得， 所以，函数在上的“新驻点”为． 故答案为：． 5．（23-24高二下·江苏南京·期末）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【解题思路】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可； （2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论即可求解； 【解答过程】（1）由题意，， 令，则， 当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2）因为， 所以 ， 设，则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立，即当时，恒成立， 因为一元二次函数的对称轴为， 当，即时，恒成立，只需即可，解得，即； 当，即时，恒成立，只需，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 题型6 涂色问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏无锡·期末）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 【解题思路】先分类，再分步进行.先分颜色种类为3,4,5，再分步计算. 【解答过程】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种； 选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种； 选用五种颜色时，有种， 所以一共有种， 故选：A. 2．（23-24高二下·河南许昌·期末）如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给、、、这个三角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】依次对区域正方形、、、、涂色，讨论区域与区域同色或异色讨论，确定每个区域所涂颜色的种数，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果. 【解答过程】先对正方形涂色，共有种颜色可供选择， 然后涂区域，有种颜色可供选择， 接下来涂区域，有种颜色可供选择， 若区域与区域同色，则区域有种颜色可供选择； 若区域与区域不同色，则区域有种颜色可供选择，区域有种颜色可供选择. 由计数原理可知，不同的涂色方法种数为. 故选：C. 3．（多选）（23-24高二下·江苏苏州·期末）用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】计算出后逐项计算即可得. 【解答过程】使用种不同颜色时，对区域涂色可用种， 由、相邻，故对区域可用种， 由、、相邻，故对区域可用种， 由、相邻，故对区域可用种， 故不同的涂色方法的总数种， 种，种， 种，种， 故A、B错误，C、D正确. 故选：CD. 4．（23-24高二下·内蒙古·期末）用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 72 种. 【解题思路】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【解答过程】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：72. 5．（23-24高二下·云南曲靖·期末）（1）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的不超过2024的正整数？ 【解题思路】（1）利用分类加法计数原理，结合排列应用问题列式计算即得. （2）按一位正整数、两位正整数、三位正整数、四位正整数分类，结合排列应用问题列式计算即得. 【解答过程】（1）由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色， 用3种颜色涂色，有种方法，用4种颜色涂有种方法， 所以不同的涂色方法种数是. （2）依题意，不超过2024的正整数有一位正整数、两位正整数、三位正整数、四位正整数4类， 一位正整数有个，两位正整数有个，三位正整数有， 四位正整数的最高位上数字只能是1或2，当最高位上数字是1时，有个； 当最高位上数字是2时，显然百位数字只能是0，十位数字只能是1，个位数字有个， 所以没有重复数字且不超过2024的正整数共有（个）. 题型7 排列、组合综合（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 【解题思路】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【解答过程】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C. 2．（23-24高二下·天津·期末）2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（    ） A．102种 B．105种 C．210种 D．288种 【解题思路】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作的方法数，即可得解. 【解答过程】先从8名志愿者中任意选出3名， 分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，有种， 其中甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作，有种， 故符合条件的选法共有种. 故选：C. 3．（多选）（23-24高二下·吉林·期末）某场晚会共有2个小品类节目，4个舞蹈类节目和5个歌唱类节目，下列说法正确的是（    ） A．晚会节目不同的安排顺序共有种 B．若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种 C．若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 D．若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 【解题思路】A选项，利用全排列进行求解；B选项，先安排2个小品类节目，4个舞蹈类节目，再利用插空法进行求解；C选项，从4个舞蹈节目中选择1个安排在第一个节目，再安排歌唱类节目，最后安排剩余的5个节目，得到答案；D选项，将两个小品进行全排列，有种选择，再从第一个或最后一个节目选择1个位置，再将剩余的9个节目和9个位置进行全排列，故D错误. 【解答过程】A选项，晚会节目不同的安排顺序共有种，A正确； B选项，若5个歌唱类节目各不相邻，先安排2个小品类节目，4个舞蹈类节目，有种选择， 6个节目共有7个空，选择5个空进行插空，故有种选择， 则晚会节目不同的安排顺序共有种，B错误； C选项，若第一个节目为舞蹈类节目， 则从4个舞蹈节目中选择1个安排在第一个节目，有种安排， 最后一个节目不是歌唱类节目，则除了第一个和最后一个位置外， 剩余的9个位置选择5个安排歌唱类节目，有种选择， 剩余的5个节目，剩余的5个位置，进行全排列，有种选择， 则晚会节目不同的安排顺序共有种，C正确； D选项，若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目， 先将两个小品进行全排列，有种选择，再从第一个或最后一个节目选择1个位置， 再将剩余的9个节目和9个位置进行全排列， 则晚会节目不同的安排顺序共有种，D错误. 故选：AC. 4．（23-24高二下·四川凉山·期末）某学校选派甲，乙，丙，丁共4位教师分别前往A，B，C三所中学支教，其中每所中学至少去一位教师，乙，丙不去C中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是 14 （用数字作答） 【解题思路】根据去C中学的情况分类讨论即可. 【解答过程】若C学校去一个人，只能从甲，丁中选1个，剩余3人选2人去1个学校，将这两人看成1人，则2人分到2个学校的方法是,所以不同的分配方案有：； 若C学校去2个人：只能是甲，丁，所以不同的分配方案有：. 所以共有种. 故答案为：14. 5．（23-24高二下·福建福州·期末）按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件. （ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？ （ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (2)现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法. （ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？ （ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？ 【解题思路】（1）（ⅰ）利用组合数公式和分步乘法原理求解即可；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况，利用组合数公式和分类加法原理求解即可；解法二：利用在5件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数可得答案； （2）（ⅰ）利用捆绑法可得答案；（ⅱ）解法一：利用间接法法可得答案；解法二：分为B站左端和B不站左端分别计算可得答案. 【解答过程】（1）（ⅰ）抽出的3件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品， 则有种不同的抽法； （ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况： 只有1件次品的抽法和2件次品的抽法， 由（ⅰ）得有2件次品的抽法为种不同的抽法， 只1件次品的抽法为种不同的抽法， 共有种不同的抽法； 解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法数， 是在5件产品中任意抽出3件的抽法数， 减去抽出的3件产品全是正品的抽法数， 所以共有种不同的抽法； （2）（ⅰ）将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑， 再将另外两人一起排列，所以一共有36种排法； （ⅱ）解法一：因为5个人全排列有排法， 且A站左端有种排法，B站右端有种排法， A站左端且B站右端有种排法， 所以A不站左端，且B不站右端有种排法； 解法二：依题意可得：整件事可分为B站左端，和B不站左端． 若B站左端，则其他4人全排列，有种排法； 若B不站左端，则其他3人中选出1人站在左端，有种选法， 又由于B不站左端，也不站右端，有种排法， 剩下3人有有种排法，所以B不站左端有排法； 所以A不站左端，且B不站右端有排法. 题型8 二项式定理及其应用（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·新疆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】对展开式两边同时求导，再令即可求解得结果. 【解答过程】对两边求导， 得. 令，得. 故选：D. 2．（23-24高二下·北京东城·期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【解题思路】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得. 【解答过程】 则能被整除， 故除以余数为， 所以除以余数为， 由，所以，， ，， 故选：D. 3．（多选）（23-24高二下·福建三明·期末）已知，则（    ） A．的值为2 B．的值为 C．的值为 D．当时，除以11的余数为10 【解题思路】对于AC：利用赋值法分析求解；对于B：根据二项展开式的通项公式分析求解；对于D：整理可得，结合二项展开式分析求解. 【解答过程】因为， 对于选项A：令，则； 对于选项B：因为的通项为， 可知含项为， 所以的值为，故B错误； 对于选项C：令，则； 令，则； 所以，故C正确； 对于选项D：令，则， 因为， 可知除以11的余数为， 则除以11的余数为，且除以11的余数为， 所以当时，除以11的余数为10，故D正确； 故选：ACD. 4．（23-24高二下·安徽亳州·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数和为，则此二项式展开式中二项式系数之和是 ． 【解题思路】令，利用各项系数和求出，再利用二项式系数的性质即可求解. 【解答过程】在二项式的展开式中，令， 得，， 即，， 解得，， 所以二项式系数和为． 故答案为：16. 5．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【解题思路】(1)根据二项式系数和为先确定值，再计算的值； (2)利用赋值法求特定项系数及特定项项系数和可得． (3)先求导数后代值，即可得答案. 【解答过程】（1）由二项式系数和为512知，， 故， 所以. （2）在中， 令，可得， 令，可得， 所以 . （3）在中， 两边求导可得， 令,可得， 所以. 题型9 杨辉三角问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用组合数的性质即可求解. 【解答过程】由题意可知，从第2行开始，第行的第3个数字为， 故从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为 . 故选：B. 2．（23-24高二下·安徽滁州·期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【解题思路】根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【解答过程】根据题意，由数表可得：第行的第个数为， 由此分析选项： 对于A，，A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误； 对于C，记第行的第个数为，则，则，C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确． 故选：D． 3．（多选）（23-24高二下·河南郑州·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（    ） A．第2024行中，第1012个数最大 B．杨辉三角中第8行的各数之和为256 C．记第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 【解题思路】利用的展开式的二项式系数的性质可判断AB；求出，再利用展开式的特征可判断C；利用 可判断D. 【解答过程】对于A，因为杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数， 即，当为偶数时中间一项最大，因为， 所以中间一项最大，且为第个数最大，故A错误； 对于B，杨辉三角中第8行的各数之和为，故B正确； 对于C，记第行的第个数为，则， 则，故C正确； 对于D，因为 ， 所以时，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 ， 时，该三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024，而， 所以只适用于，故D错误. 故选：BC. 4．（23-24高二下·山东聊城·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得 ，则x的值是 或 . 【解题思路】根据，可得，再根据组合数的性质，计算即可得出答案. 【解答过程】根据题意可得， 因为 ， 即，所以或. 故答案为：或. 5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【解题思路】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 题型10 条件概率与全概率公式（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 【解题思路】利用互斥事件的概率加法公式、积事件的乘法公式进行计算求解. 【解答过程】设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，， 依题意，，，，则， 由有：， 因为，所以 ， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据全概率公式找出，再由贝叶斯公式求解. 【解答过程】记取到“第1，2，3台车床加工的零件”分别为事件, “取到次品”为事件， 故, , 由全概率公式可得：, 由贝叶斯公式：, 故选:B. 3．（多选）（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】A选项，根据古典概型求概率公式得到A正确；B选项，根据得到答案；C选项，在AB选项基础上，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出，，从而利用条件概率公式得到答案. 【解答过程】A选项，决赛准备了3道选择题和2道填空题， 每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故，A正确； B选项，从5道题中不放回地随机抽取两次，故，B正确； C选项，，C错误； D选项，因为，所以， 又，故，D错误. 故选：AB. 4．（23-24高二下·福建泉州·期末）在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为 . 【解题思路】由题意，分别求出此人来自A，B，C三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率. 【解答过程】设事件D为“从这三个地区中任意选取一人，此人是患流感者”，事件，，分别表示此人来自A，B，C三个地区， 由题意得，，， ，，， 由全概率公式得 . 故答案为：. 5．（23-24高二下·山西太原·期末）在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱. (1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率； (2)若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由. 【解题思路】（1）设 “奖品在第号箱子里” ，2，， “主持人打开3号箱”，由全概率公式有，然后结合题意即可求解； （2）利用条件概率求出，即可得解． 【解答过程】（1）设 “奖品在第号箱子里” ，2，， “主持人打开3号箱”， 由全概率公式，得 ； （2）因为， ， 所以， 即建议抽奖人改选2号箱． 题型11 期望、方差的综合应用（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·广东东莞·期末）已知随机变量的分布列为(下表)：则下列说法正确的是（    ） ξ x y P y x A．存在， B．对任意， C．存在， D．对任意， 【解题思路】根据题意得到，且，利用期望与方差的公式，以及基本不等式的性质，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由随机变量的分布列，可得，其中， 因为期望，则， 当且仅当时等号成立，即，故A，B错误； 又由方差 ， 因为，可得，所以， 所以，即，所以D成立； 又因为，所以C错误． 故选：D. 2．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知随机变量的分布列如表，则下列说法正确的是（    ） x y P y x A．对任意，， B．对任意，， C．存在，， D．存在，， 【解题思路】对A、C：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对B：先求，利用作差法比较大小；对D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【解答过程】由题意可得：，且，即， 对A、C：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故， 即，不存在x，，，C错误； 例如，则，即存在x，，，A错误； 对B：， 则， 故对任意x，，则，B正确； 对D：令， 则开口向下，对称轴，且， 故，即， 不存在x，，，D错误； 故选：B． 3．（多选）（23-24高二下·江苏宿迁·期末）甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，利用期望值和方差性质可得A，D正确，C错误；易知随机变量的所有可能取值为，写出对应的概率并得出分布列，可得，，可得B正确. 【解答过程】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知， 对于A，由期望值性质可得，即，所以A正确； 对于B，易知随机变量的所有可能取值为； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得 ， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得 ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以期望值， 可得，即，可得B正确； 对于C，D，由方差性质可得，即可得，所以C错误，D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高二下·江苏无锡·期末）已知随机变量的分布列如下，则 9 . 【解题思路】先根据期望和方差公式求出，再根据方差的性质即可得解. 【解答过程】， ， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高二下·北京·期末）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站上车站 合计 5 6 4 2 7 24 12 20 13 7 8 60 5 7 3 8 1 24 13 9 9 1 6 38 4 10 16 2 3 35 2 5 5 4 3 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 (1)在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率； (2)以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望； (3)为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系． 【解题思路】（1）利用频率来求概率即可； （2）由题意可知，可取0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列及数学期望； （3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可. 【解答过程】（1）设选取的乘客在站上车、在站下车为事件， 由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人， 所以． （2）从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为 由题意可知，可取0，1，2 ， ， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的数学期望为 ． （3）因为在站上车的有60人，下车的有36人， 所以， 所以， 因为在站上车的有24人，下车的有56人， 所以， 所以， 因为在站上车的有38人，下车的有26人， 所以， 所以， 所以. 题型12 二项分布与超几何分布综合（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【解答过程】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 2．（23-24高二下·浙江·期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 3．（多选）（23-24高二下·山东滨州·期中）一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比．现从袋子中随机摸出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【解题思路】利用超几何分布及二项分布的期望公式计算判断A；求出概率判断BCD. 【解答过程】对于A，分别服从超几何分布和二项分布，而摸到黄球的概率为， 则，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，， ，因此，D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高二下·北京大兴·期末）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 【解题思路】（1）首先求出抽一次抽到礼品果的概率，现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，根据二项分布的概率公式计算可得； （2）依题意的可能的取值为，，，，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望. 【解答过程】（1）设从这个水果中随机抽取个，其为礼品果为事件，则， 现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则， 所以恰好有个水果是礼品果的概率为. （2）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个， 其中精品果有个，非精品果有个， 再从中随机抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，，，， 所以，， ，； 的分布列为： 0 1 2 3 则. 5．（23-24高二下·天津河北·期末）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球． (1)若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率； (2)若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值； (3)若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望． 【解题思路】（1）根据条件概率定义可求解； （2）由题意随机变量X服从二项分布，根据二项分布的期望和方差公式列方程，解方程得解； （3）由题意随机变量Y服从超几何分布，利用超几何分布知识求出分布列和期望得解. 【解答过程】（1）令事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到黄球，则 ，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率为， （2）令事件C：摸一次摸到红球，则， 由题意随机变量X服从二项分布，， 因为，，所以， 解得：， （3）由题意随机变量Y的所有可能取值为2，3，4， ，，， 所以，Y的分布列为 Y 2 3 4 P 所以. 题型13 正态分布及其综合应用（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【解题思路】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出和，然后再利用正态分布的对称性即可求解. 【解答过程】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以， 由题意，，且，则， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为， 故选：A. 2．（23-24高二下·上海松江·期末）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据正态分布的期望和方差进行概率计算即可，再逐项判断即可. 【解答过程】对于①，由题得，当满足时，仍有可能迟到，故①错误； 对于②，若7：02出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到， 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误； 对于③，若7：06出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到； 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误； 对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足时，不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确. 故选：A. 3．（多选）（23-24高二下·河南南阳·期末）为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛.统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（    ） A．该知识竞赛的及格率为 B． C． D． 【解题思路】由正态分布的对称性计算可得A，由概率乘法公式计算可得B，由二项分布的期望与方差公式计算可得C、D. 【解答过程】对A：由题意可得，则， 即，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：由题意可得，则，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：AC. 4．（23-24高二下·山西太原·期末）某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为 75 . 【解题思路】求出一台这样的电器使用寿命超过1000小时的概率，再利用二项分布的期望公式计算即得. 【解答过程】依题意，元件1、元件2、元件3使用寿命超过1000小时的概率均为， 一台这样的电器使用寿命超过1000小时，是元件1使用寿命超过1000小时， 并且元件2、元件3至少一个使用寿命超过1000小时， 因此一台这样的电器使用寿命超过1000小时的概率为， 显然200台这样的电器，使用寿命超过1000小时的台数，， 所以200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为75. 故答案为：75. 5．（23-24高二下·山东青岛·期末）为了监控某种零件的一条生产线的生成过程，检验员从该生产线随机抽取100个零件，并测量其尺寸，得到如下表格： 误差（单位：） 数量 3 10 20 35 19 9 4 (1)求这100件零件误差平均值（同一组的数据用该组区间中点代表） (2)若已知零件的误差服从正态分布，其中近似样本平均数，若随机从生产线上抽取一个零件，求其误差位于区间上的概率； (3)以频率估计概率．若从该生产线上随机抽取10个零件，10个零件中有个零件的误差位于区间，求的分布列和数学期望． 附：（若服从正态分布，则，，） 【解题思路】（1）由平均数的计算公式直接计算即可； （2）由正态分布的相关知识可得，由此即可得解； （3）由题意可得服从二项分布，进一步即可求解. 【解答过程】（1）， 所以这100件零件误差平均值为； （2）由题意零件的误差服从正态分布， 而，，， 所以其误差位于区间上的概率为； （3）误差位于区间的概率为，显然服从二项分布， 所以的分布列为， 数学期望. 题型14 非线性回归（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）如图是某地在50天内感染新冠病毒的累计病例y（单位：万人）与时间x（单位：天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】由选项的图象特征即可得到答案. 【解答过程】选项A，对应的“直线型”的拟合函数，散点图中的点应在某直线附近，故A错误； 选项B，根据散点图可以看出散点大致分布在一条“指数型”函数曲线附近， 则的图象可以如图所示，故B正确； 选项C，对应的“幂函数型”的拟合函数，则其对应图象应上凸下凹，故C错误； 选项D，对应的“对数型”的拟合函数，则其对应图象应上凸下凹，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高二下·四川广元·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据、、、，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法不正确的是（    ） A．变量与具有负的相关关系 B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为 【解题思路】根据题中所给散点图，根据正负相关的概念即可判断A选项；根据水温的变化情况，以及指数函数的单调性，即可判断B选项；根据最小二乘法可求出的回归方程一定经过，即可判断C选项；根据残差的定义可判断D选项． 【解答过程】对于A选项，观察散点图，变量与具有负的相关关系，A对； 对于B选项，由于函数模型二中的函数， 在时，函数单调递减，且递减速度越来越慢， 所以，模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况，B对； 对于C选项，若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过，C错； 对于D选项，根据残差的定义可知，残差真实值预测值，故残差为，D对. 故选：C. 3．（多选）（23-24高二下·广东广州·期末）随机抽取家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）数据如下，则（    ） 超市 广告支出（万元） 1 2 4 6 10 14 20 销售额（万元） 19 32 44 40 52 53 54 A．销售额与广告支出正相关 B．销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓 C．销售额与广告支出线性相关越强，相关系数越接近 D．要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠 【解题思路】作出散点图，由散点图可判断ABD选项；根据线性相关系数与线性相关关系的强弱可判断C选项. 【解答过程】对于A选项，作出散点图如下图所示：    由散点图可知，销售额与广告支出正相关，A对； 对于B选项，由散点图可知，销售额与广告支出的变化趋势相同， 但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓，B对； 对于C选项，销售额与广告支出线性相关越强，相关系数的绝对值越接近，C错； 对于D选项，由散点图可知，随着的增大而增大，当时，销售额增加幅度变缓， 所以，要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠，D对. 故选：ABD. 4．（23-24高二下·广东广州·期末）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 【解题思路】将两边同时取对数可得，结合所给经验回归方程求出，由所给参考数据求出，即可求出决定系数. 【解答过程】由，将两边同时取对数可得， 令，由最小二乘法得经验回归方程为， 所以， 又 ， 所以． 故答案为：；． 5．（23-24高二下·湖北·期末）某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． (1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； (2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 【解题思路】（1）根据所给数据求出，，，，，即可求出相关系数； （2）根据（1）的结论，可判断选择模型②，令，求出关于的线性回归方程，即可求出关于的经验方程，再代入计算可得. 【解答过程】（1）因为， ， 所以， ， ， 模型①中，相关系数 ， （2）因为，所以选择模型②， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 即， 当时，（万元）， 所以若投入经费万元，收益约为万元. 题型15 线性回归与其他知识综合（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·安徽亳州·期末）某学校校医研究温差（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为．由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用代替，已知，，则下列结论正确的是（ ） x 5 6 8 9 12 y 17 m 25 n 35 A．在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数r增大 B．在确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则 C．在确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则当时，残差为 D．事件“，”发生的概率为 【解题思路】根据题意，结合回归直线方程的特征及应用，以及古典摡型的概率计算公式和相关系数公式，即可求解. 【解答过程】对于A中，因为回归直线方程过数据的样本中心点， 所以在确定的条件下去掉样本点，则相关系数不变，所以A错误； 对于B中，由样本中心点为，可得，解得，所以B错误； 对于C中，由，当，可得，则， 所以C错误； 对于D中，由，则可取，的可取， 则的取值为， 所以，的概率为，所以D正确. 故选：D． 2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知、的对应值如下表所示: x y 与具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程近似刻画，则在的取值中任取两个数均不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出样本中心点的坐标，将其代入回归直线方程，求出的值，可得出的所有取值，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【解答过程】由表格中的数据可得， ， 所以这组数据的样本点的中心的坐标为， 又因为点在回归直线上，所以，解得， 所以的取值分别为、、、、， 在这个数中，任取两个，取到的两个数都不大于的概率为. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A．产品的销量与单价成负相关 B．为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 C． D．若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为 【解题思路】利用相关系数的正负判断出相关性的正负判断A；利用二次函数计算出最大销售额时的单价判断B；利用单价和销量的均值落在回归线上计算出的值判断C；将分别代入线性回归方程，得到的预测值分别为，从而求解出在线性回归直线左下方的概率判断D. 【解答过程】对A，由线性回归方程中的回归系数， 可知产品的销量与单价成负相关，故A正确； 对B，由，得， 则销售额， 为了获得最大的销售额，单价应定为82.5元，故B错误； 对C，由表中数据得， ， 可得样本点的中心的坐标为，则该回归直线过点， 代入，得，故C正确； 对D，将分别代入线性回归方程， 得到的预测值分别为， 由，故和在线性回归直线的左下方，满足条件的样本点只有2个，故所求概率为，故D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二下·四川绵阳·期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据: 单价(元) 销量(件) 由表中数据，求得线性回归方程，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 . 【解题思路】根据表中数据可得回归方程，进而确定在回归直线右上方的个数，进而可得概率. 【解答过程】由已知，， 又样本中心在回归直线上， 即，解得， 所以回归直线方程为， 当时，，所以点在回归直线上； 当时，，所以点在回归直线左下方； 当时，，所以点在回归直线右上方； 当时，，所以点在回归直线右上方； 当时，，所以点在回归直线右上方； 当时，，所以点在回归直线左下方； 所以个样本点中在回归直线右上方的有个， 所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为， 故答案为：. 5．（23-24高二下·内蒙古乌兰察布·期末）水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 时间代码 1 2 3 4 5 6 销售额 （单位：万元） 2.0 4.0 5.2 6.1 6.8 7.4 (1)根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额关于时间的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果，求出销售额关于时间的回归方程.（注：数据保留整数）； (3)为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量的分布列和数学期望. 参考公式与数据：，，，，， 样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 【解题思路】（1）根据表中的数据，可得关于时间的变化不是直线型，即可选择类型； （2）根据已知数据求的值，可得销售额关于时间的回归方程； （3）随机变量的所有可能取值为1，2，3，计算每个可能取值的概率，并写出分布列及数学期望即可. 【解答过程】（1）根据表中的数据，可得关于时间的变化不是直线型， 所以更适合作为销售额关于时间的回归方程类型； （2），， ， ， 所以，销售额关于时间的回归方程为； （3）的所有可能取值为1，2，3， 则， ， . 所以，的分布列为 1 2 3 ， 即的数学期望为2. 题型16 独立性检验与其他知识综合（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·辽宁大连·期末）下列命题中正确的是（   ） A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是4和0.3 B．对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 C．根据变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 D．某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是 【解题思路】求出参数值判断A；利用相关系数与相关性强弱的关系判断B；利用独立性检验判断C；求出概率判断D. 【解答过程】对于A，由，得，即，则，A错误； 对于B，线性相关系数，越大，线性相关性越强，而， 因此变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强，B错误； 对于C，由独立性检验知，C正确； 对于D，抽到的是参加数学兴趣社团的学生的结果有18个不同结果， 他来自高三（1）班的结果有10个，因此他来自高三（1）班的概率是，D错误. 故选：C. 2．（23-24高二下·天津和平·期末）为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下列联表所示（单位：人），根据数据计算得，依据小概率值的独立性检验，小概率值相应的临界值为，则下列结论不正确的是（    ） 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 25 10 35 吸烟者 15 65 合计 40 60 100 A． B．若从这100人中随机抽取2人，则2人都是非肺癌患者的概率为 C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌有关联 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌无关联 【解题思路】由列联表求出判断A；利用古典概型计算判断B；利用独立性检验思想判断CD. 【解答过程】对于A，由列联表得，，A正确； 对于B，非肺癌患者的概率为，B正确； 对于CD，由，得在犯错误的概率不超过0.001的前提下， 认为吸烟与患肺癌有关联，D错误，C正确. 故选：D. 3．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间内，将其按成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品.    (1)已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； (2)以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解题思路】（1）完成联表，计算再判断相关关系； （2）应用二项分布求出概率及分布列，再计算数学期望. 【解答过程】（1）根据频率分布直方图数据，得， 解得. 所以样本中优质产品有， 列联表如下表所示： 试验区 试验区 合计 优质产品 10 20 30 非优质产品 60 30 90 合计 70 50 120 ， 没有的把握认为优质产品与两个试验区有关系. （2）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数的可能取值为，且， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 . 4．（23-24高二下·浙江温州·期末）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200）； (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：相关系数： 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解题思路】(1)根据题意分别求出，，代入到相关系数：，求得结果即可； (2) 知接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，根据已知条件代入求解即可，，最后代入即可求得； (3)计算出与临界值比较可得出周末在校自主学习与成绩进步是否有关. 【解答过程】（1），， 又的方差为， ， ， . （2）由（1）知接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合：， ， ，故当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分. （3）零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： ， 因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关. 5．（23-24高二下·安徽六安·期末）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值. 参考公式及数据：，其中. 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【解题思路】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【解答过程】（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有. 则 . 故的分布列为： 1 2 3 则； （3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为，故， 则 由， 故由可解得， 因，故当时，单调递增； 由可解得，即当时，单调递减. 故当事件“”的概率最大时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期期末复习真题精选（压轴80题16类题型专练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型1 两条切线平行、垂直、公切线问题（共5小题） 1．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东济宁·期末）已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 4．（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 5．（23-24高二下·海南海口·期末）已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 题型2 利用导数研究函数零点（方程根）（共5小题） 1．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏苏州·期末），，若在其定义域上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知函数恰好有三个零点，分别为，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D． 4．（23-24高二下·上海·期末）已知函数有三个不同的零点，其中则的值为 . 5．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数. (1)求的值； (2)若函数有3个零点，其中. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 题型3 导数中的不等式问题（共5小题） 1．（23-24高二下·四川自贡·期末），均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数 ，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明时，； (3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型4 利用导数研究双变量问题（共5小题） 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖南·期末）已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·浙江台州·期末）已知实数x，y满足（为自然对数的底数，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 5．（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 题型5 导数中的新定义问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏扬州·期末）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（23-24高二下·湖北十堰·期末）已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为 ． 5．（23-24高二下·江苏南京·期末）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 题型6 涂色问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏无锡·期末）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 2．（23-24高二下·河南许昌·期末）如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给、、、这个三角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（    ）    A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·江苏苏州·期末）用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·内蒙古·期末）用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 种. 5．（23-24高二下·云南曲靖·期末）（1）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的不超过2024的正整数？ 题型7 排列、组合综合（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 2．（23-24高二下·天津·期末）2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（    ） A．102种 B．105种 C．210种 D．288种 3．（多选）（23-24高二下·吉林·期末）某场晚会共有2个小品类节目，4个舞蹈类节目和5个歌唱类节目，下列说法正确的是（    ） A．晚会节目不同的安排顺序共有种 B．若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种 C．若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 D．若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 4．（23-24高二下·四川凉山·期末）某学校选派甲，乙，丙，丁共4位教师分别前往A，B，C三所中学支教，其中每所中学至少去一位教师，乙，丙不去C中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是 （用数字作答） 5．（23-24高二下·福建福州·期末）按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件. （ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？ （ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (2)现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法. （ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？ （ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？ 题型8 二项式定理及其应用（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·新疆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京东城·期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．（多选）（23-24高二下·福建三明·期末）已知，则（    ） A．的值为2 B．的值为 C．的值为 D．当时，除以11的余数为10 4．（23-24高二下·安徽亳州·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数和为，则此二项式展开式中二项式系数之和是 ． 5．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型9 杨辉三角问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽滁州·期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 3．（多选）（23-24高二下·河南郑州·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（    ） A．第2024行中，第1012个数最大 B．杨辉三角中第8行的各数之和为256 C．记第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 4．（23-24高二下·山东聊城·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得 ，则x的值是 . 5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 题型10 条件概率与全概率公式（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建泉州·期末）在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为 . 5．（23-24高二下·山西太原·期末）在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱. (1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率； (2)若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由. 题型11 期望、方差的综合应用（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·广东东莞·期末）已知随机变量的分布列为(下表)：则下列说法正确的是（    ） ξ x y P y x A．存在， B．对任意， C．存在， D．对任意， 2．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知随机变量的分布列如表，则下列说法正确的是（    ） x y P y x A．对任意，， B．对任意，， C．存在，， D．存在，， 3．（多选）（23-24高二下·江苏宿迁·期末）甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏无锡·期末）已知随机变量的分布列如下，则 . 5．（23-24高二下·北京·期末）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站上车站 合计 5 6 4 2 7 24 12 20 13 7 8 60 5 7 3 8 1 24 13 9 9 1 6 38 4 10 16 2 3 35 2 5 5 4 3 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 (1)在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率； (2)以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望； (3)为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系． 题型12 二项分布与超几何分布综合（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·山东滨州·期中）一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比．现从袋子中随机摸出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 4．（23-24高二下·北京大兴·期末）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 5．（23-24高二下·天津河北·期末）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球． (1)若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率； (2)若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值； (3)若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望． 题型13 正态分布及其综合应用（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 2．（23-24高二下·上海松江·期末）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）（23-24高二下·河南南阳·期末）为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛.统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（    ） A．该知识竞赛的及格率为 B． C． D． 4．（23-24高二下·山西太原·期末）某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为 . 5．（23-24高二下·山东青岛·期末）为了监控某种零件的一条生产线的生成过程，检验员从该生产线随机抽取100个零件，并测量其尺寸，得到如下表格： 误差（单位：） 数量 3 10 20 35 19 9 4 (1)求这100件零件误差平均值（同一组的数据用该组区间中点代表） (2)若已知零件的误差服从正态分布，其中近似样本平均数，若随机从生产线上抽取一个零件，求其误差位于区间上的概率； (3)以频率估计概率．若从该生产线上随机抽取10个零件，10个零件中有个零件的误差位于区间，求的分布列和数学期望． 附：（若服从正态分布，则，，） 题型14 非线性回归（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）如图是某地在50天内感染新冠病毒的累计病例y（单位：万人）与时间x（单位：天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川广元·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据、、、，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法不正确的是（    ） A．变量与具有负的相关关系 B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为 3．（多选）（23-24高二下·广东广州·期末）随机抽取家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）数据如下，则（    ） 超市 广告支出（万元） 1 2 4 6 10 14 20 销售额（万元） 19 32 44 40 52 53 54 A．销售额与广告支出正相关 B．销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓 C．销售额与广告支出线性相关越强，相关系数越接近 D．要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠 4．（23-24高二下·广东广州·期末）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 5．（23-24高二下·湖北·期末）某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． (1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； (2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 题型15 线性回归与其他知识综合（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·安徽亳州·期末）某学校校医研究温差（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为．由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用代替，已知，，则下列结论正确的是（ ） x 5 6 8 9 12 y 17 m 25 n 35 A．在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数r增大 B．在确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则 C．在确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则当时，残差为 D．事件“，”发生的概率为 2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知、的对应值如下表所示: x y 与具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程近似刻画，则在的取值中任取两个数均不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A．产品的销量与单价成负相关 B．为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 C． D．若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为 4．（23-24高二下·四川绵阳·期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据: 单价(元) 销量(件) 由表中数据，求得线性回归方程，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 . 5．（23-24高二下·内蒙古乌兰察布·期末）水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 时间代码 1 2 3 4 5 6 销售额 （单位：万元） 2.0 4.0 5.2 6.1 6.8 7.4 (1)根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额关于时间的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果，求出销售额关于时间的回归方程.（注：数据保留整数）； (3)为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量的分布列和数学期望. 参考公式与数据：，，，，， 样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 题型16 独立性检验与其他知识综合（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·辽宁大连·期末）下列命题中正确的是（   ） A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是4和0.3 B．对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 C．根据变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 D．某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是 2．（23-24高二下·天津和平·期末）为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下列联表所示（单位：人），根据数据计算得，依据小概率值的独立性检验，小概率值相应的临界值为，则下列结论不正确的是（    ） 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 25 10 35 吸烟者 15 65 合计 40 60 100 A． B．若从这100人中随机抽取2人，则2人都是非肺癌患者的概率为 C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌有关联 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌无关联 3．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间内，将其按成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品.    (1)已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； (2)以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 4．（23-24高二下·浙江温州·期末）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200）； (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：相关系数： 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 5．（23-24高二下·安徽六安·期末）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值. 参考公式及数据：，其中. 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$