高二下学期期末复习真题精选（常考120题24类题型专练）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

高二下学期期末复习真题精选（常考120题24类题型专练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型1 变化率问题（共5小题） 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在 时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·四川广元·期末）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 4．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为 ． 5．（23-24高二下·河南·期中）2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系 (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0． 题型2 利用导数的定义解题（共5小题） 1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 3．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北·期末）已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为 . 5．（23-24高二下·湖南·期末）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型3 曲线的切线问题（共5小题） 1．（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 4．（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 5．（23-24高二下·北京·期末）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 题型4 函数的单调性问题（共5小题） 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知函数，若，则（   ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．中最大的是 D．中最小的是 4．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 5．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 题型5 函数的极值、最值问题（共5小题） 1．（23-24高二下·山东威海·期末）若函数存在极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 3．（多选）（23-24高二下·西藏拉萨·期末）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．在区间上单调递增 B．的单调递减区间是 C．是函数的极小值点 D．函数的最小值为 4．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为 ． 5．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）已知函数． (1)求的单调区间与极值； (2)设在区间上的最大值和最小值分别为，求． 题型6 导数中的函数零点问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·海南·期末）已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知函数 有两个零点，，且，则（    ） A．当时，在处的切线与y轴垂直 B．实数a的取值范围是 C． D． 4．（23-24高二下·江西·期末）已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有 个零点. 5．（23-24高二下·广西·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 题型7 导数中的恒（能）成立问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 3．（多选）（23-24高二下·内蒙古·期末）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 4．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数 ，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高二下·甘肃·期末）设函数，函数． (1)求的单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 题型8 两个计数原理综合（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 2．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（    ） A．若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序 B．若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序 C．若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序 D．若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序 4．（23-24高二下·广东广州·期末）一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有 种不同的去法．（用数字作答） 5．（23-24高二下·山西晋中·期末）书架的第一层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有4本不同的外语书． (1)从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？ (2)从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？ 题型9 排列数、组合数的计算（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·湖北·期末）下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏镇江·期末）化简结果为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广西·期末）已知，则的值为 . 5．（23-24高二下·云南·期末）（1）求的值； （2）若等式成立，求正整数的值. 题型10 涂色问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 2．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 3．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 种． 5．（23-24高二下·湖南衡阳·期末）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 题型11 相邻、不相邻排列问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·浙江·期末）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 2．（23-24高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 3．（多选）（23-24高二下·江苏泰州·期末）某种产品的加工需要经过5道工序，则以下说法正确的是（    ） A．如果其中某道工序不能放在最后，那么有96种加工顺序 B．如果其中某2道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有36种加工顺序 C．如果其中某2道工序必须相邻，那么有24种加工顺序 D．如果其中某2道工序不能相邻，那么有72种加工顺序 4．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.（用数字作答） 5．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）4名男生和3名女生站成一排. (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 题型12 分组分配问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 2．（23-24高二下·吉林长春·期末）7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有 （   ）种. A．720 B．1050 C．1440 D．360 3．（多选）（23-24高二下·山西朔州·期末）2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是（    ） A．甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法 B．6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法 C．男班长必须到甲地，则共有180种分配方法 D．班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有 种． 5．（23-24高二下·吉林·期末）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. (1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ (3)若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 题型13 求二项展开式的特定项（系数）（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·天津西青·期末）的展开式的第7项的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京怀柔·期末）在二项式的展开式中，常数项为（    ） A．20 B． C．80 D． 3．（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中各二项式系数和为512，下列结论错误的（    ） A．展开式的所有项系数和为1 B．展开式中含项的系数为128 C．第5项和第6项的二项式系数相等 D．展开式中常数项是第6项 4．（23-24高二下·安徽宣城·期末）若二项式的展开式的常数项为160，则实数 . 5．（23-24高二下·江苏连云港·期末）在的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1 (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数最大的项． 题型14 用赋值法求系数和问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 2．（23-24高二下·广东肇庆·期末）若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 3．（多选）（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 5．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型15 二项式乘积、三项展开式问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·湖北武汉·期末）的展开式中的系数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）展开式中的系数为 . 5．（23-24高二下·广西钦州·期末）在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32． (1)求n； (2)求第4项的系数； (3)求的展开式的常数项． 题型16 条件概率（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北承德·期末）投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广西桂林·期末）盒子里有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．如果不放回地依次抽取2个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率是 ． 5．（23-24高二下·河南信阳·期末）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%. (1)求； (2)已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率. 题型17 随机变量及其分布（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·广西河池·期末）已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 5．（23-24高二下·江西吉安·期末）将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 题型18 期望、方差的性质及计算（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）随机变量的分布列如下: 1 2 a b 若，则（     ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·广东东莞·期末）已知随机变量的分布列为(下表)：则下列说法正确的是（    ） ξ x y P y x A．存在， B．对任意， C．存在， D．对任意， 3．（多选）（23-24高二下·四川攀枝花·期末）甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和（单位：），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 0 1 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则 . 5．（23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 题型19 二项分布与超几何分布（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·山东泰安·期末）若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·安徽滁州·期末）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 5．（23-24高二下·北京大兴·期末）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 题型20 正态分布（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则（人数保留整数）（    ） 参考数据：若则，． A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 4．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 5．（23-24高二下·广东惠州·期末）某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试． (1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） (2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，． 题型21 变量的相关关系（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）下列各关系不属于相关关系的是（    ） A．产品的成本与生产数量 B．球的表面积与体积 C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重 2．（23-24高二下·北京东城·期末）某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（    ） A．肺活量 B．视力 C．肢体柔韧度 D．BMI指数 3．（多选）（23-24高二下·广西北海·期末）下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（    ） A．学生的身高与学生的化学成绩 B．汽车行驶的里程与它的耗油量 C．人的年龄与年收入 D．水果的重量与它的总价 4．（23-24高二下·四川成都·期末）以下两个变量成负相关的是 ． ①学生的学籍号与学生的数学成绩； ②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数； ③气温与冷饮销售量； ④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量． 5．（23-24高二下·江苏·期末）判断以下两个变量之间是否具有相关关系？ (1)正方形的面积与其周长之间的关系； (2)父母的身高与子女的身高之间的关系； (3)学生的学号与身高； (4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系. 题型22 样本相关系数（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ） A．变量x与变量y呈正相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．残差平方和变大 D．样本相关系数r变大 3．（多选）（23-24高二下·吉林松原·期末）下列结论不正确的是（    ） A．两个变量的线性相关系数决定两变量相关程度的强弱，且相关系数越小，相关性越强 B．若两个变量的线性相关系数，则与 之间不具有线性相关性 C．在一组样本数据中，先剔除部分异常数据，再根据最小二乘法求得线性回归方程为，这样相关系数变大 D．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线 上，则这组样本数据的样本相关系数为 4．（23-24高二下·广西玉林·期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 5．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 题型23 回归直线方程（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 A．由题中数据可知，变量负相关 B．当时，残差为0.1 C．可以预测当时销量约为1.8万瓶 D．线性回归方程中 2．（23-24高二下·广东广州·期末）为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示： 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 编号 1 2 3 4 5 6 百亿元 11.1 参考数据：.则下列说法不正确的是（    ） A．经验回归直线经过点 B． C．根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元 D．相应于点的残差为0.1 3．（多选）（23-24高二下·广东广州·期末）随机抽取5家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出 2 4 5 6 8 销售额 30 40 60 60 70 下列说法正确的是（   ）（参考公式：；参考数据：） A．经验回归直线经过点 B．经验回归方程为 C．样本点的残差为 D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元 4．（23-24高二下·贵州安顺·期末）经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如表： 15 16 18 19 22 102 98 115 120 若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数 . 5．（23-24高二下·吉林白山·期末）为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017-2023年这7年的有机胡萝卜的亩产量，得到数据如下表； 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 亩产量/吨/亩） 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 (1)从这7年的有机胡萝卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率； (2)已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大.若剔除天气因素导致的异常，经计算，与有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量. 附：. 题型24 独立性检验（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表： A B 总计 认可 15 8 23 不认可 5 12 17 总计 20 20 40 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：． 根据表中的数据，下列说法中，正确的是（    ） A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 附：， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 以下结论中错误的是（    ） A．有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 B．没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关 3．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据： 患病 未患病 服用药 10 45 没服用药 20 30 由上述数据得出下列结论，其中正确的是（    ） 附：； 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 A．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025 B．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01 C．该药物的预防有效率超过 D．若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005 4．（23-24高二下·广东中山·期末）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男市民 女市民 当，时，若在的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，则的最小值为 ． 附：，其中． 5．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）为探究药物A对疾病B的治疗效果，将40名患者均分为两组，分别为对照组（未服药）和实验组（服药）．测得40名患者血液中的某个指标数据如下（单位：mg）：（已按从小到大排好） 对照组：18.3 19.4 20.1 21.4 22.6 23.4 24.4 24.9 25.3 25.9 26.2 26.7 26.8 26.8 26.9 27.3 27.4 27.5 27.6 35.3 实验组：4.4 5.3 5.8 6.9 7.3 8.1 8.4 9.0 10.4 13.2 13.4 16.3 18.2 19.3 23.6 24.1 24.5 24.7 25.2 25.3 (1)求40名患者血液中的某个指标数据的中位数m，并完成下面2×2列联表： 药物A 疾病B 合计 对照组 实验组 合计 (2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为药物A对治疗疾病B有效呢？ 附：， ． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期期末复习真题精选（常考120题24类题型专练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型1 变化率问题（共5小题） 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【解答过程】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 故在上的平均变化率最大， 故选：B. 2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在 时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用瞬时速度公式即可求得 时的瞬时速度，利用物体在到这段时间内的平均速度为公式即可求得从到这两秒内的平均速度. 【解答过程】， 所以.即该质点在时的瞬时速度为； 从到这两秒内的平均速度为； 故选：D. 3．（多选）（23-24高二下·四川广元·期末）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 【解题思路】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项. 【解答过程】前内，，， 此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确； 在时间内，，，B正确； ，，则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为， D正确． 故选：BCD． 4．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为 ． 【解题思路】借助平均变化率定义计算即可得. 【解答过程】 . 故答案为：. 5．（23-24高二下·河南·期中）2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系 (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0． 【解题思路】（1）根据平均速度代入表达式计算； （2）由函数，可得，根据导函数几何意义可求解； （3）根据题意即求瞬时速度为0时的t的值. 【解答过程】（1）由位移H与时间t近似满足函数关系， 则火箭在这些时间段内的平均速度为； 火箭在这些时间段内的平均速度为：． （2）由函数，可得，可得， 所以火箭在时的瞬时速度为80m/s． （3）由，令，即，解得， 熄火后10s火箭上升速度为0． 题型2 利用导数的定义解题（共5小题） 1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为，，则， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 【解题思路】根据导数的定义和性质即可求解. 【解答过程】, 故选：D. 3．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的定义逐个求解. 【解答过程】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对； 故选：BCD. 4．（23-24高二下·湖北·期末）已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为 . 【解题思路】根据导数的知识列方程，化简求得的值. 【解答过程】依题意， 即，解得. 故答案为：. 5．（23-24高二下·湖南·期末）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）根据导数的定义即可求解. 【解答过程】（1）， 即． ． （2）， 即为函数在区间上平均变化率． ∴当时，必趋于， ， ． 题型3 曲线的切线问题（共5小题） 1．（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先设切点，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再根据切线过点，得到的关系，利用有两解求的取值范围. 【解答过程】设切点， 又，所以切线斜率为：. 由点斜式，切线方程为： . 因为切线过点，所以 . 所以：. 因为过原点的切线有两条，所以关于方程有两解. 由（） ， 设，则， 由得 ， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且当时，. 所以有两解，则. 故选：A. 2．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【解答过程】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 【解题思路】令，求出的导函数，依题意，即可判断A，又曲线在原点处的切线过点，即可得到，即可判断C，再由求出，即可判断B、D. 【解答过程】令，则， 依题意，解得，故A正确； 依题意可得曲线在原点处的切线过点，所以，故C正确； 又，所以， 则曲线在处的切线方程为，故B错误，D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【解题思路】设直线与和的切点分别为，，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值. 【解答过程】和分布求导，得到和. 设直线与和的切点分别为，， 则切线方程分别为，，， 化简得，，. 依题意上述两直线与是同一条直线， 所以，，解得， 所以 故答案为：. 5．（23-24高二下·北京·期末）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 题型4 函数的单调性问题（共5小题） 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】求导，分和，根据函数单调性得到不等式，求出，根据是的真子集，得到答案；或根据条件转化为恒成立进而即得. 【解答过程】法一：因为， 所以，当时，， 此时在上单调递增， 当时，， 令得，解得， 令得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 要想在上单调递增，则，解得， 故， 综上，， 由于是的真子集， 则“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 法二：由题可得在上恒成立， 即恒成立，又， 所以，下面同解法一. 故选：A. 2．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系. 【解答过程】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 3．（多选）（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知函数，若，则（   ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．中最大的是 D．中最小的是 【解题思路】对于AB，对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间进行判断，对于CD，利用函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】对于AB，的定义域为， 由，得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以当或时，， 所以在和上递减， 所以A正确，B错误， 对于CD，因为在上递增，且， 所以，所以 因为，所以， 因为在上递减， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以中最大的是，最小的是，所以CD正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【解题思路】求导，利用导数求原函数的单调区间. 【解答过程】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. 5．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【解题思路】（1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）求出函数的导数，再按为正负0分类讨论求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）当时，，求导得， 则，而， 所以所求切线方程为，即 （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. 题型5 函数的极值、最值问题（共5小题） 1．（23-24高二下·山东威海·期末）若函数存在极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求导后，对进行分类讨论，分、、以及四种情况讨论即可求解. 【解答过程】， ， 当时，二次函数开口向上，且， 此时，即恒成立， 所以在上单调递增，此时不存在极大值，故不满足题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故符合题意； 当时，或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 2．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【解题思路】利用导数求出函数的单调区间，从而可表示出函数的最小值，然后列方程可求出的值，从而可求出最大值. 【解答过程】由，得， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为的最小值为，所以， 所以， 因为，， 所以的最大值为. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·西藏拉萨·期末）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．在区间上单调递增 B．的单调递减区间是 C．是函数的极小值点 D．函数的最小值为 【解题思路】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值点与最小值. 【解答过程】函数的定义域为， ， 令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值即最小值， 所以，故正确的有A、C、D． 故选：ACD． 4．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为 ． 【解题思路】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，当符合题意，当时参变分离可得没有除之外的正实根，构造函数，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的取值范围. 【解答过程】因为，， 所以， 依题意可得存在唯一的变号正实根， 即存在唯一的变号正实根， 当时，方程只有唯一变号正实根，符合题意， 当，方程，即没有除之外的正实根， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 则实数t的最大值为. 故答案为：. 5．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）已知函数． (1)求的单调区间与极值； (2)设在区间上的最大值和最小值分别为，求． 【解题思路】（1）求导，解方程，然后通过列表判断单调性，然后可得极值； （2）利用（1）中单调性，求出极值和端点函数值即可得解. 【解答过程】（1）令解得或， 列表如下： 0 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由上表可知， 的单调递增区间为，，单调递减区间为. 当时，取得极大值； 当时，取得极小值. （2）由（1）可得下表： 0 2 4 + 0 - 0 + 单调递增 极大值1 单调递减 极小值 单调递增 所以，在区间上的最大值为，最小值为， 即，所以. 题型6 导数中的函数零点问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】函数有两个零点，等价于有两个根，即有两个根，转化为两个函数图象有两个交点，结合导数画出图象草图，即可得解. 【解答过程】函数有两个零点,等价于有两个根，即有两个根， 令，， 令，，所以在R上单调递增； 又， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为， 当时，当时， 要想有两个根，只需要，即 故选：A. 2．（23-24高二下·海南·期末）已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先进行变形，关于的方程有两个不同的实根，即关于的方程有两个不同的实根.即与有两个不同的交点.研究图像，数形结合可解. 【解答过程】，则关于的方程有两个不同的实根，即关于的方程有两个不同的实根. 即与有两个不同的交点. 令，，解得. 递增，递减， 则有极大值.， 则可画出的草图.与有两个不同的交点. 则实数的取值范围是. 故选：D． 3．（多选）（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知函数 有两个零点，，且，则（    ） A．当时，在处的切线与y轴垂直 B．实数a的取值范围是 C． D． 【解题思路】利用导数，解决切线斜率问题，利用导数来判断单调性，利用极值点偏移法来证明不等式. 【解答过程】当时，，，所以A项正确； 由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 则，且， 所以，解得，所以B项正确； 由，得，， 则，设， 则由和解得， 故，由变形得， 令，可知，即在递增， 所以，即，所以C项不正确； ， 令，则， 即在递减，所以，所以，即D项正确. 故选：ABD. 4．（23-24高二下·江西·期末）已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有 6 个零点. 【解题思路】由的图象关于点对称得到是奇函数，由得到的图象关于直线对称，进而得到是函数的一个周期，由当时的解析式得到函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上，由上的草图结合周期性和对称性得到零点个数. 【解答过程】的图象关于点对称，函数是定义域为的奇函数，，且， 又，即函数的图象关于直线对称，且， ，是函数的一个周期，. 当时，，所以在上单调递增，且，， 函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上， 由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点， 是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，， 函数的图象关于点中心对称，函数在区间上有且仅有2个零点， 函数在区间上没有零点，函数在区间上没有零点， 结合，得函数在区间上有6个零点. 故答案为：6. 5．（23-24高二下·广西·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 【解题思路】（1）求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值； （2）利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又，， 所以当时，函数取最大值，最大值为. 所以在上的最大值为. （2）因为， 所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 当时，函数取极大值，极大值为， 且当时，，当时，， 因为函数恰有三个零点， 所以，且， 解得，. 所以的取值范围为. 题型7 导数中的恒（能）成立问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得单调递减，转换成导函数不可能为正数即可列不等式求解. 【解答过程】当时，恒成立，即当时，恒成立， 设，则单调递减， 而在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【解题思路】变形得到，故，二次求导得到在R上单调递增，从而得到，故，构造，求导得到其单调性，确定最值，得到答案. 【解答过程】， 存在实数，使得，即， ， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， ， 故在R上单调递增， 所以， 故， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，当且仅当，时，等号成立. 故选：C. 3．（多选）（23-24高二下·内蒙古·期末）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 【解题思路】根据已知不等式进行常变量分离，得到，观察分母，联想不等式，结合指数的运算性质进行放缩进行求解即可.. 【解答过程】由题意可得， 则 . 设，则. 由，得，由，得，则在上单调递减， 在上单调递增，故，即. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则，故. 故选：AB. 4．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数 ，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【解题思路】由函数极值点可求得，依题意只需在上恒成立即可，令函数并利用导数求出其在上的最小值即可得结果. 【解答过程】由题意得，，故， 取，，， 当，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 为函数的极值点，满足要求，故， 所以即在上恒成立， 只需在上恒成立； 令，则，令，解得； 当时，，可知在上单调递减； 当时，，可知在上单调递增； 所以在为在内唯一的极小值点，也是最小值点， 故，即， 即只需即可. 故答案为：. 5．（23-24高二下·甘肃·期末）设函数，函数． (1)求的单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）利用导数结合对参数范围的讨论求解单调区间即可. （2）分析题意，讨论的不同范围，找到符合题意的范围即可. 【解答过程】（1）． ①当时，单调递增； ②当时，若，则． - 0 + 单调递减 单调递增 综上，当时，单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意得， 由（1）知，①当时，单调递增，， 所以在上单调递增，，所以符合题意； ②当时，在上单调递增，， 所以在上单调递增，，所以符合题意； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，使得，所以在上单调递减， 在上单调递增，则，不满足题意． 综上所述的取值范围为． 题型8 两个计数原理综合（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 【解题思路】根据分步乘法计数原理求解. 【解答过程】先让同学甲从种菜中选种，有种选法； 再让同学乙从种菜中选种，有种选法； 最后让同学丙从种菜中选种，有种选法； 根据分步乘法计数原理，共有种选法. 故选：D. 2．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【解答过程】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（    ） A．若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序 B．若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序 C．若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序 D．若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序 【解题思路】对AB：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对C：采用捆绑法，再根据分步计数原理即可求得结果；对D：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果. 【解答过程】假设有甲乙丙丁戊，这5道工序. 对A：假设甲工序不能放到最后，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理， 所有的安排顺序有：种，故A正确； 对B：假设甲乙2道工序不能放到最前，也不能放到最后， 先安排甲乙，则共有种安排方式；再安排剩余3道工序，共有种； 根据分步计数原理，则所有的安排顺序有：种，故B错误； 对C：假设甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序， 则共有种加工顺序，故C正确； 对D：假设甲乙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲乙， 故共有：种加工顺序，故D错误. 故选：AC. 4．（23-24高二下·广东广州·期末）一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有 种不同的去法．（用数字作答） 【解题思路】利用分步乘法计数原理求得所有不同去法，减去没有人去的情况即可． 【解答过程】7名同学被邀请参加一个社团活动，有种去法， 没人去的有种， 故必须有人去的去法有种． 故答案为：． 5．（23-24高二下·山西晋中·期末）书架的第一层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有4本不同的外语书． (1)从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？ (2)从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？ 【解题思路】（1）利用分类相加计数原理即可得解； （2）利用分步相乘计数原理即可得解. 【解答过程】（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本语文书，有6种方法； 第2类，从第2层取1本数学书，有5种方法； 第3类，从第3层取1本外语书，有4种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为. （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本语文书，有6种方法； 第2步，从第2层取1本数学书，有5种方法； 第3步，从第3层取1本外语书，有4种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为. 题型9 排列数、组合数的计算（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·湖北·期末）下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由组合数性质判断A；由阶乘的运算判断B；由排列数以及组合数公式计算CD. 【解答过程】由组合数性质可得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：B. 2．（23-24高二下·江苏镇江·期末）化简结果为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由排列数、组合数的运算性质计算求解即可. 【解答过程】 ， ， ， ， ， ， 故选：D. 3．（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，故B正确； 对于C，因为，， 又，所以，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高二下·广西·期末）已知，则的值为 0 . 【解题思路】根据组合数的性质和排列数的计算公式即可求解. 【解答过程】， 或， 解得或，为整数，故， . 故答案为：0. 5．（23-24高二下·云南·期末）（1）求的值； （2）若等式成立，求正整数的值. 【解题思路】（1）利用组合数的性质计算化简即可. （2）利用给定式子建立方程，求解即可. 【解答过程】（1）原式 （2）由展开得，因， 故可化简得：， 解得或（舍），故. 题型10 涂色问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 【解题思路】根据题意，依次分析、、和、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答过程】根据题意，分2步进行分析： ①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法， ②与相邻，有4种颜色可选， 若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选， 此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法， 若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选， 此时有种涂色方法， 则、、有种涂色方法， 故有种涂色方法． 故选：B． 2．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 【解题思路】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果. 【解答过程】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 3．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用分类计数原理即可得解. 【解答过程】当时，分四步： 第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案； 第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确； 当时，分四步： 第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案； 第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误； 当时，分四步： 第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案； 第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误； 当时，分四步： 第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案； 第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确. 故选：AD. 4．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 72 种． 【解题思路】由图形可知点比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点开始涂色计算可得结果. 【解答过程】根据题意按照的顺序分5步进行涂色， 第一步，点的涂色有种， 第二步，点的颜色与不同，其涂色有种， 第三步，点的颜色与都不同，其涂色有种， 第四步，对点涂色，当同色时，点有1种选择；当不同色时，点有1种选择； 第五步，对点涂色，当同色时，点有2种选择；当不同色时，点有1种选择； 根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有种. 故答案为：72. 5．（23-24高二下·湖南衡阳·期末）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 【解题思路】（1）由分步乘法原理，先涂S，再涂A，再涂B，最后涂CD计算即可. （2）解法一：由分步乘法原理，先涂AC，再一次涂SAB，计算即可；解法二：分类分步原理，先按照A与C颜色相同与不同分类，再用分步乘法，最后求和即可. 【解答过程】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C颜色相同，且B，D颜色相同， 所以共有种不同的涂色方法. （2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同， 所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）； 再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上， 最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法. 根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法. 解法二：分两类. 第一类，A与C颜色相同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法； 第二类，A与C颜色不同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法. 根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法. 题型11 相邻、不相邻排列问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·浙江·期末）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 【解题思路】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可. 【解答过程】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有种方法， 再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有种方法， 所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的排法， 故选：C. 2．（23-24高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【解题思路】相邻问题利用捆绑法，不相邻问题利用插空法，再利用分步计数原理计算. 【解答过程】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法， 由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误. 故选：C. 3．（多选）（23-24高二下·江苏泰州·期末）某种产品的加工需要经过5道工序，则以下说法正确的是（    ） A．如果其中某道工序不能放在最后，那么有96种加工顺序 B．如果其中某2道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有36种加工顺序 C．如果其中某2道工序必须相邻，那么有24种加工顺序 D．如果其中某2道工序不能相邻，那么有72种加工顺序 【解题思路】先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可判断A；先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列即可判断B；先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列即可判断C；先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空即可判断D 【解答过程】先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法， 再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序，A正确； 先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法， 再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得， 共有种加工顺序，B正确； 先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体， 与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得， 共有种加工顺序，C错误； 先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位， 再将这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得， 共有种加工顺序，D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 84 种.（用数字作答） 【解题思路】由捆绑法、间接法即可求解. 【解答过程】这五个音阶的全排列数为， 若商、角、徵全相邻，则由捆绑法可知，共有种排法， 故由间接法可知，满足题意的排法数有种. 故答案为：84. 5．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）4名男生和3名女生站成一排. (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 【解题思路】（1）根据题意先排甲，然后剩余的进行全排列即可； （2）利用捆绑法，将女生甲和女生乙捆绑在一起，与除去男生甲和男生乙的其他人进行全排列，然后男生甲和乙插空即可； （3）7个全排列后，除以甲、乙、丙的全排列数即可. 【解答过程】（1）分两步，先排甲有种，其余有种， 所以根据分步乘法原理知共有种排法. （2）分三步： ① 捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起，有（种）； ②将女生甲和女生乙看成整体，与其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（种）； ③插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空（共有5个空位置），有（种）， 所以根据分步乘法原理可知共有（种）. （3）7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法， 因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法， 故共有种排法. 题型12 分组分配问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 【解题思路】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【解答过程】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C. 2．（23-24高二下·吉林长春·期末）7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有 （   ）种. A．720 B．1050 C．1440 D．360 【解题思路】考虑7人的分组情况, 即按人数为分为3组分到三个研究舱,或者是按人数为分为3组分到三个研究舱,根据分类计数加法原理即可求得答案. 【解答过程】由题意可知,7名研究员的安排可以是按人数为分为3组分到三个研究舱, 或者是按人数为分为3组分到三个研究舱, 按人数为分为3组分到三个研究舱,共有(种)安排方案, 按人数为分为3组分到三个研究舱时,共有 (种)安排方案, 故共有(种) 安排方案. 故选:B. 3．（多选）（23-24高二下·山西朔州·期末）2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是（    ） A．甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法 B．6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法 C．男班长必须到甲地，则共有180种分配方法 D．班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法 【解题思路】根据分组分配的知识对选项进行分析，由此确定正确答案. 【解答过程】A选项，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生， 个男生中选个到甲地，方法有种；在剩下的个男生中选个到乙地， 方法有种；最后个男生放在丙地；再安排女生，方法有种.所以共有种分配方法，A选项正确. B选项，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，方法数有种分配方法，B选项错误. C选项，男班长必须到甲地，方法数有: 种分配方法，C选项正确. D选项，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有: 种分配方法，D选项正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有 30 种． 【解题思路】按抽取2名男生，1名女生时，抽取3名男生时进行求解． 【解答过程】解：抽取3名同学可以分为两类： 当抽取2名男生，1名女生时，分配方法数为：， 当抽取3名男生时，分配方法数为：， 则总的方法数为：， 故答案为：30. 5．（23-24高二下·吉林·期末）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. (1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ (3)若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 【解题思路】（1）找对立面，先将总数求出来，后将全男全女减掉就可以了. （2）先选再分组最后分配. （3）捆绑和插空法使用即可解题. 【解答过程】（1）从这11人中任选4人的选法有种， 其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种， 故4人中必须既有男生又有女生的选法有种. （2）从这11人中任选4人的选法有种， 若人数按1，3分配，则安排方法有种， 若人数按2，2分配，则安排方法有种， 所以共有种安排方法. （3）因为男､女生各需要2人，所以选出4人的方法有种. 先排2名男生与2名组织者，有种排法， 再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空档中，有种方法， 所以共有种不同的合影方法. 题型13 求二项展开式的特定项（系数）（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·天津西青·期末）的展开式的第7项的系数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由二项式的通项公式求解． 【解答过程】的展开式的第7项为：， 则第7项的系数为：， 故选：B. 2．（23-24高二下·北京怀柔·期末）在二项式的展开式中，常数项为（    ） A．20 B． C．80 D． 【解题思路】利用二项式的通项解决问题. 【解答过程】二项式的通项为 ， 要使其为常数，则，即， 故常数项为. 故选：D. 3．（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中各二项式系数和为512，下列结论错误的（    ） A．展开式的所有项系数和为1 B．展开式中含项的系数为128 C．第5项和第6项的二项式系数相等 D．展开式中常数项是第6项 【解题思路】利用二项式系数的性质求出，并求出展开式的通项，再逐项判断即可得解. 【解答过程】依题意，，解得， 二项式展开式的通项， 对于A，当时，得展开式的所有项系数和为，A错误； 对于B，由，即，得，展开式中含项的系数为，B错误； 对于C，展开式共10项，则第5项和第6项的二项式系数相等，C正确； 对于D，由，即，得展开式中常数项是第7项，D错误. 故选：ABD. 4．（23-24高二下·安徽宣城·期末）若二项式的展开式的常数项为160，则实数 1 . 【解题思路】根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于0，即可得出，再代入已知求参即可. 【解答过程】二项式的通项公式为， 令，解得， 则展开式中常数项为，. 故答案为：1. 5．（23-24高二下·江苏连云港·期末）在的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1 (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【解题思路】（1）根据已知先求出，然后结合通项展开式即可求解； （2）由不等式组法求得系数最大的项位于展开式中的第几项，由此即可得解. 【解答过程】（1）二项式通项公式为 ， 所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，第三项的系数为：， 由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或 （舍去）， 二项式通项公式为， 根据题意，得，解得，因此，展开式中含的项为. （2）设第k项的系数最大，故， 即，即， 解得，因为，所以或， 故系数最大的项为或． 题型14 用赋值法求系数和问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 【解题思路】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出. 【解答过程】令，则可得， 又，则， 又为的系数，且， 因此. 故选：C. 2．（23-24高二下·广东肇庆·期末）若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 【解题思路】通过赋值法令即可求解. 【解答过程】的展开式的通项公式为， 结合，知均为负值， ， 令，得， 故， 故选：D. 3．（多选）（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法，结合复合函数求导法则逐项计算即得. 【解答过程】对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，则，B错误； 对于C，对给定等式两边求导得， 取，得，C错误； 对于D，取，得，则， 于是，D正确. 故选：AD. 4．（23-24高二下·四川成都·期末）若，则的值为 128 ． 【解题思路】赋值令，代入求出结果即可； 【解答过程】令，得． 故答案为：128. 5．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【解题思路】(1)根据二项式系数和为先确定值，再计算的值； (2)利用赋值法求特定项系数及特定项项系数和可得． (3)先求导数后代值，即可得答案. 【解答过程】（1）由二项式系数和为512知，， 故， 所以. （2）在中， 令，可得， 令，可得， 所以 . （3）在中， 两边求导可得， 令,可得， 所以. 题型15 二项式乘积、三项展开式问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·湖北武汉·期末）的展开式中的系数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【解题思路】根据二项式定理的通项公式确定r的值即可求出系数. 【解答过程】因为的展开式中，通项公式 , 令，得，则， 又, 所以的系数为. 故选：A. 2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令可得，令可得，即可求出，，再利用展开式的通项求出，即可求出，从而得解. 【解答过程】因为， 令可得， 令可得， 所以，， 又， 其中展开式的通项为（且）， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，写出展开式的通项，即可求出展开式的系数，即可得解. 【解答过程】因为， 又展开式的通项为（且）， 所以，， ，， ，，故A正确； 所以，故B错误； 所以，故C正确； 所以，故D正确； 故选：ACD. 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）展开式中的系数为 140 . 【解题思路】分析可知只能为1项、3项和3项相乘而得，结合组合数运算求解. 【解答过程】由题意可知：只能为1项、3项和3项相乘而得， 所以的系数为. 故答案为：140. 5．（23-24高二下·广西钦州·期末）在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32． (1)求n； (2)求第4项的系数； (3)求的展开式的常数项． 【解题思路】（1）根据二项式系数和的性质即可求解， （2）根据二项式展开式的通项特征即可求解， （3）利用分配律，结合通项特征即可求解. 【解答过程】（1）由题意得所有偶数项的二项式系数之和为， 得，即． （2）由题意得第4项为， 所以第4项的系数为． （3）， 在的展开式中，含的项为， 常数项为， 所以的展开式的常数项为. 题型16 条件概率（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由求出，再求出，最后由条件概率公式计算可得. 【解答过程】因为，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·河北承德·期末）投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出、，由条件概率公式计算可得答案. 【解答过程】因为每枚骰子朝上的点数有奇数1，3，5三个，偶数有2，4，6三个， 所以3枚骰子朝上的点数之和为奇数的情况有奇数+奇数+奇数，偶数+偶数+奇数， 共两种情况，可得， 恰有1枚骰子朝上的点数为奇数的情况有偶数+偶数+奇数， 可得， 则. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据古典概率、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】由题得，C选项正确. 根据条件概率得：，A选项正确. ，B选项错误. 对于D， ，故D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二下·广西桂林·期末）盒子里有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．如果不放回地依次抽取2个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率是 ． 【解题思路】根据事件A发处的条件下事件B发生的概率为即可求解. 【解答过程】记“第一次摸到红球”为事件A，记“第二次摸到红球”为事件B，则两次都摸到红球为事件AB. 因为，，所以. 故答案为：. 5．（23-24高二下·河南信阳·期末）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%. (1)求； (2)已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率. 【解题思路】（1）设出事件，利用全概率公式列出方程，求出； （2）利用条件概率求出答案. 【解答过程】（1）记事件A：任取一件产品是次品，记事件：第批的产品，.2. 则，，，， 由，解得. （2）. 已知取到的是次品，则它取自第二批产品的概率. 题型17 随机变量及其分布（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列性质结合已知条件求得，再求解概率； 【解答过程】根据分布列可得，解得， 则. 故选：D. 2．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【解答过程】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：A. 3．（多选）（23-24高二下·广西河池·期末）已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用分布列的性质列式求解即得. 【解答过程】依题意，，所以. 故选：AD. 4．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 【解题思路】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【解答过程】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为：. 5．（23-24高二下·江西吉安·期末）将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 【解题思路】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A，则，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列． 【解答过程】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A， 则 （2）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4， ， , , , ， ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 题型18 期望、方差的性质及计算（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）随机变量的分布列如下: 1 2 a b 若，则（     ） A．0 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据分布列的性质和离散型随机变量的数学期望公式，列出方程求出的值，最后利用方差公式求出方差即可. 【解答过程】根据各离散型随机变量对应的概率和为1，可得， 又因为，解得， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二下·广东东莞·期末）已知随机变量的分布列为(下表)：则下列说法正确的是（    ） ξ x y P y x A．存在， B．对任意， C．存在， D．对任意， 【解题思路】根据题意得到，且，利用期望与方差的公式，以及基本不等式的性质，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由随机变量的分布列，可得，其中， 因为期望，则， 当且仅当时等号成立，即，故A，B错误； 又由方差 ， 因为，可得，所以， 所以，即，所以D成立； 又因为，所以C错误． 故选：D. 3．（多选）（23-24高二下·四川攀枝花·期末）甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和（单位：），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 0 1 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用期望、方差的定义计算判断AD；利用期望、方差的性质计算判断CD. 【解答过程】对于A，，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC. 4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则 . 【解题思路】根据分布列的性质及数学期望求出的值，即可求得. 【解答过程】由题意知，由得，解得， 故. 故答案为：. 5．（23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 【解题思路】（1）首先求出两个人租车时间在三小时以上且不超过四小时的概率，则甲、乙两人所付的租车费用相同：都不超过两小时，都在两小时以上且不超过三小时和都在三小时以上且不超过四小时三类求解即可； （2）根据题意分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，求解即可； （3）列出随机变量X的分布列，再利用期望、方差公式求值. 【解答过程】（1）由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （2）若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元， 则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车， 或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况， 甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为； （3）X的可能取值为0，2，4，6，8， ， ，， 分布列如下表： X 0 2 4 6 8 P 数学期望， . 题型19 二项分布与超几何分布（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·山东泰安·期末）若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二项分布的期望与方差公式判断AB，根据二项分布求概率可判断CD. 【解答过程】由，可知， ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【解答过程】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 3．（多选）（23-24高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由超几何分布的概率以及期望、方差即可. 【解答过程】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD. 4．（23-24高二下·安徽滁州·期末）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 【解题思路】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解. 【解答过程】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则， ，， ， ， 所以． 故答案为：. 5．（23-24高二下·北京大兴·期末）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 【解题思路】（1）首先求出抽一次抽到礼品果的概率，现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，根据二项分布的概率公式计算可得； （2）依题意的可能的取值为，，，，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望. 【解答过程】（1）设从这个水果中随机抽取个，其为礼品果为事件，则， 现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则， 所以恰好有个水果是礼品果的概率为. （2）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个， 其中精品果有个，非精品果有个， 再从中随机抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，，，， 所以，， ，； 的分布列为： 0 1 2 3 则. 题型20 正态分布（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 【解题思路】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【解答过程】依题意， 所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为. 故选：A. 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正态曲线的性质计算可得. 【解答过程】因为且，则， 所以. 故选：C. 3．（多选）（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则（人数保留整数）（    ） 参考数据：若则，． A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 【解题思路】根据正态分布的概念可判断A，根据对称性可判断B，根据原则和曲线的对称性即可判断CD. 【解答过程】对于A，由，可知， 所以平均分为，故A对； 对于B，由于，根据正态分布的对称性可知， 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等， 进而人数相等，故B对； 对于C，， 因为，故C错误； 对于D，， 因为， 所以超过98分的人数约为1，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 【解题思路】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【解答过程】因为，且， 所以 . 故答案为：. 5．（23-24高二下·广东惠州·期末）某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试． (1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） (2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，． 【解题思路】（1）分析可知，计算出的值，乘以可得结果； （2）分析可知随机变量的取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【解答过程】（1）由学生初试成绩服从正态分布，其中，，得， 因此 ， 所以估计初试成绩不低于的人数为人. （2）的可能取值为，，，， 则，， ，， 所以的分布列为： 数学期望为. 题型21 变量的相关关系（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）下列各关系不属于相关关系的是（    ） A．产品的成本与生产数量 B．球的表面积与体积 C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重 【解题思路】根据相关关系的定义判断． 【解答过程】对于A：产品的成本与生产数量是相关关系，故A正确； 对于B：设球的半径为，球的表面积为、体积为， 则，所以，而， 所以球的表面积与体积是一种函数关系，故B错误； 对于C：家庭的支出与收入是相关关系，故C正确； 对于D：人的年龄与体重是相关关系，故D正确. 故选：B. 2．（23-24高二下·北京东城·期末）某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（    ） A．肺活量 B．视力 C．肢体柔韧度 D．BMI指数 【解题思路】根据给定的散点图，结合正相关的意义判断即得. 【解答过程】对于A，儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A正确； 对于B，儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B错误； 对于C，肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C错误； 对于D，BMI指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D错误. 故选：A. 3．（多选）（23-24高二下·广西北海·期末）下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（    ） A．学生的身高与学生的化学成绩 B．汽车行驶的里程与它的耗油量 C．人的年龄与年收入 D．水果的重量与它的总价 【解题思路】根据相关关系的概念，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由题意知，选项A，为非确定性关系， 选项B为相关关系，且为正相关关系． 选项C，为非确定性关系， 选项D，为相关关系，且为正相关关系． 故选：BD. 4．（23-24高二下·四川成都·期末）以下两个变量成负相关的是 ② ． ①学生的学籍号与学生的数学成绩； ②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数； ③气温与冷饮销售量； ④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量． 【解题思路】根据相关关系的知识确定正确答案. 【解答过程】①无相关关系；②负相关；③④正相关. 故答案为：②. 5．（23-24高二下·江苏·期末）判断以下两个变量之间是否具有相关关系？ (1)正方形的面积与其周长之间的关系； (2)父母的身高与子女的身高之间的关系； (3)学生的学号与身高； (4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系. 【解题思路】根据题意，由相关关系的定义，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】（1）设正方形的面积为S，周长为C，则， 即正方形的面积由其周长唯一确定，因此二者是函数关系，不是相关关系； （2）子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有关， 即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此二者之间具有相关关系； （3）学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系； （4）若汽车匀速行驶时的速度为v，行驶的路程为s，时间为t，则有， 因此当速度一定时，路程由时间唯一确定，二者之间具有函数关系，而不是相关关系. 题型22 样本相关系数（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【解答过程】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关，所以都为正数，都为负数． 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离． 综上可得：．     故选：A． 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ） A．变量x与变量y呈正相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．残差平方和变大 D．样本相关系数r变大 【解题思路】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可. 【解答过程】由散点图可知，去掉点后，与的线性相关加强，且为负相关， 所以B正确，A错误； 由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C错误， 由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大， 而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·吉林松原·期末）下列结论不正确的是（    ） A．两个变量的线性相关系数决定两变量相关程度的强弱，且相关系数越小，相关性越强 B．若两个变量的线性相关系数，则与 之间不具有线性相关性 C．在一组样本数据中，先剔除部分异常数据，再根据最小二乘法求得线性回归方程为，这样相关系数变大 D．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线 上，则这组样本数据的样本相关系数为 【解题思路】根据相关系数的概念和性质逐项分析判断. 【解答过程】对于选项A：越大，与之间的线性相关性越强，所以A错误； 对于选项B：若，则样本数据不具有线性相关性，所以B正确； 对于选项C：去掉异常数据，则相关性变强，变大，所以C错误； 对于选项D：若所有样本点都在直线上， 则这组样本数据完全相关，且正相关， 所以这组样本数据的样本相关系数为1，所以D错误. 故选：ACD. 4．（23-24高二下·广西玉林·期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 甲 研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 【解题思路】根据相关系数的性质即可求解. 【解答过程】因为，所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故答案为：甲. 5．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 【解题思路】（1）根据题意求得，利用相关系数公式求得相关系数，比较可得结论； （2）利用回归方程的系数公式求得，继而求得，即可求得与的回归方程． 【解答过程】（1）由表数据可得的平均数， 所以， 所以相关系数， 由，所以与具有较高的线性相关程度； （2）依题意可得， ， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为． 题型23 回归直线方程（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 A．由题中数据可知，变量负相关 B．当时，残差为0.1 C．可以预测当时销量约为1.8万瓶 D．线性回归方程中 【解题思路】对于A，利用表中的数据就化情况分析判断，对于B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程可求出预测值，进而可求出残差，对于C，利用回归方程可求出预测值，对于D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【解答过程】对于A，从表中的数据看，随的增大而减小，所以变量负相关，所以A正确， 对于B，， 所以，得， 所以， 所以当时，残差为，所以B正确， 对于C，当时，， 所以以预测当时销量约为1.6万瓶，所以C错误， 对于D，由选项B可知，所以D正确. 故选：C. 2．（23-24高二下·广东广州·期末）为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示： 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 编号 1 2 3 4 5 6 百亿元 11.1 参考数据：.则下列说法不正确的是（    ） A．经验回归直线经过点 B． C．根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元 D．相应于点的残差为0.1 【解题思路】求得数据的样本中心点，即可判断A；结合回归直线方程求出可判断B；将代入回归直线方程求得预测值，可判断C；根据残差的定义计算可判断D. 【解答过程】选项A：由题意得：， 因为，，所以，得， 因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确； 选项B：由A知，，得，故B正确； 选项C：由B得，则当时，， 故该地2023年12月的GDP的预测值为百亿元，故C正确； 选项D：当时，， 相应于点的残差为，故D错误， 故选：D. 3．（多选）（23-24高二下·广东广州·期末）随机抽取5家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出 2 4 5 6 8 销售额 30 40 60 60 70 下列说法正确的是（   ）（参考公式：；参考数据：） A．经验回归直线经过点 B．经验回归方程为 C．样本点的残差为 D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元 【解题思路】A选项，计算出样本中心点，得到A错误；B选项，计算出，得到经验回归方程；C选项，代入，求出，得到残差；D选项，代入，计算出，D错误. 【解答过程】A选项，，， 故经验回归直线经过点，A错误； B选项，， ，故经验回归方程为，B正确； C选项，将代入中得， 故样本点的残差为，C正确； D选项，将代入中得， 预测广告支出10万元时的销售额为87万元，D错误. 故选：BC. 4．（23-24高二下·贵州安顺·期末）经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如表： 15 16 18 19 22 102 98 115 120 若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数 115 . 【解题思路】根据已知条件，利用回归直线必过样本的中心点，列式求解. 【解答过程】依题意，，， 而线性回归方程为，则， 所以. 故答案为：115. 5．（23-24高二下·吉林白山·期末）为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017-2023年这7年的有机胡萝卜的亩产量，得到数据如下表； 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 亩产量/吨/亩） 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 (1)从这7年的有机胡萝卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率； (2)已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大.若剔除天气因素导致的异常，经计算，与有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量. 附：. 【解题思路】（1）利用条件概率的计算公式，即可求得答案； （2）剔除2023年的数据，根据最小二乘法的公式求出的值，即可得经验回归方程，将代入，即可得2025年小王的有机胡萝卜的亩产量. 【解答过程】（1）由表知，这7年的有机胡萝卜的亩产数据中，有5年的亩产量不低于0.5吨/亩，2年的亩产量低于0.5吨/亩， 记“这7年中任取3年，至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩”，“这7年中任取3年，3年的亩产量都高于0.5吨/亩”， 则 所以. （2）由表可知，2023年的数据异常，剔除2023年的数据， 则剩余6年的数据中， ， ， 所以， 所以， 所以与的经验回归方程为， 当时，（吨/亩）. 所以在排除气候因素影响的情况下，预测2025年小王的有机胡夢卜的亩产量为2.54吨/亩. 题型24 独立性检验（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表： A B 总计 认可 15 8 23 不认可 5 12 17 总计 20 20 40 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：． 根据表中的数据，下列说法中，正确的是（    ） A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 【解题思路】先计算出卡方值，再分别与各选项中的相应的小概率值比较，根据独立性检验的原理，即可作出判断 【解答过程】由 对于A，因，故有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即A错误； 对于B，因，故没有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即B错误； 对于C，因，故可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即C正确； 对于D，因，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即D错误. 故选：C. 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 附：， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 以下结论中错误的是（    ） A．有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 B．没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关 【解题思路】首先完善列联表，并计算，并根据选项和和比较大小，判断选项. 【解答过程】完善列联表如下： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 总计 初中生 160 40 200 高中生 140 60 200 总计 300 100 400 零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，则 ， 没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 因为，，所以有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 故选：D. 3．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据： 患病 未患病 服用药 10 45 没服用药 20 30 由上述数据得出下列结论，其中正确的是（    ） 附：； 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 A．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025 B．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01 C．该药物的预防有效率超过 D．若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005 【解题思路】根据题意计算出的值，逐项分析即可. 【解答过程】根据列联表 患病 未患病 合计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 合计 30 75 105 计算， 对于A，因为，所以根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025，A正确； 对于B，因为根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是无效的，此推断犯错误的概率不超过0.01，B错误； 对于C，可推断该药物的预防有效率超过，C错误； 对于D，若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，则根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005，D正确； 故选：AD. 4．（23-24高二下·广东中山·期末）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男市民 女市民 当，时，若在的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，则的最小值为 ． 附：，其中． 【解题思路】根据定义算出的表达式，由题意得，结合可得出的最小值. 【解答过程】由题意得， 并令，即， 近似解得，即，注意到， 故的最小值为. 故答案为：. 5．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）为探究药物A对疾病B的治疗效果，将40名患者均分为两组，分别为对照组（未服药）和实验组（服药）．测得40名患者血液中的某个指标数据如下（单位：mg）：（已按从小到大排好） 对照组：18.3 19.4 20.1 21.4 22.6 23.4 24.4 24.9 25.3 25.9 26.2 26.7 26.8 26.8 26.9 27.3 27.4 27.5 27.6 35.3 实验组：4.4 5.3 5.8 6.9 7.3 8.1 8.4 9.0 10.4 13.2 13.4 16.3 18.2 19.3 23.6 24.1 24.5 24.7 25.2 25.3 (1)求40名患者血液中的某个指标数据的中位数m，并完成下面2×2列联表： 药物A 疾病B 合计 对照组 实验组 合计 (2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为药物A对治疗疾病B有效呢？ 附：， ． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【解题思路】（1）将两组数据合在一起，从小到大排序后的第20位与第21位数据的平均数，可得第20位数据；根据已知数据可完成列联表； （2）零假设：药物A对治疗疾病B无效，求出与临界值比较可得答案. 【解答过程】（1）依题意，这40个数据的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序， 4.4，5.3，5.8，6.9，7.3，8.1，8.4，9.0，10.4，13.2，13.4， 16.3，18.2，18.3，19.3，19.4，20.1，21.4，22.6，23.4，23.6， 24.1，24.4，24.5，24.7，24.9，25.2，25.3，25.3，25.9，26.2， 26.7，26.8，26.8，26.9，27.3，27.4，27.5，27.6，35.3， 可得第20位数据为：23.4，第21位数据为：23.6， 所以． 故列联表为： 药物A 疾病B 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （2）零假设：药物A对治疗疾病B无效，即药物A与治疗疾病B相互独立． 由题意：． 所以依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立， 故可认为药物A对治疗疾病B无效． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$