广东省广州市执信中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省广州市执信中学高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集=〔-2，-1,1,2，集合=(-1,2，={-2,2}，则{-2}=() A.C(n B.C(U) C.(C )n D.(C )U 2.已知角终边过点(-1,2)，则2=() A-是 B. c- D 3.己知l1=3,11=4,·=-12,则向量在方向上的投影向量为() A.- B.- c.- D.- 4.平行六面体 -1111中，既与共面也与 1共面的棱的条数为() A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图，正方形 中，是的中点，若= +,则-=() A B写 C.-1 D.1 6.设=2， 3 =c0s2 =2m吃，则下列关系正确的是() A.>> B.>> C.>> D.>> 7.如图所示，在三棱柱一111中，若点， 分别满足=号，=号，平面1】将三棱柱 分成的左、右两部分的体积分别为1和2，则1：2=() A.19:8 B.2:1 C.17:10 D.16:11 E B 8.在△ 中，内角，， 所对边分别为，，，若=3 2=,则 +=() A B.V2 c 第1页，共10页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设1,2是复数，则下列说法正确的是() A.若复数=3+4,2=-3+4，则1>2 B若复数=是，则复数在复平面内对应的点在第三象限 C.若复数(2-4)+(2+3+2)是纯虚数，则实数=2 D.若子+3=0，则1=2=0 10.已知△ 中，=4，=3则() A.若=2√3，则△ 有两解 B.若△ 是钝角三角形，则0<<2 C.若△ 是锐角三角形，则23<<4V3 D一的最大值是学 1.已知函数()=十+人 下列说法正确的是() A.()为偶函数 B.()的最小正周期为 C.（)关于=对称 D.()的值域为[2√2，+o) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知sin(2+)=2,则tan(-4)=—· 13.己知一个底面半径为的圆锥的侧面积与半径为的球的表面积相等，则圆锥 侧面展开图的圆心角为 14.在△中，是边的中点，是线段的中点设=，=，若 4=石△的面积为V3,则当|1=时，· 取得最小值， B N M 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知向量=(3，-4)，=(1,2)，=(-2，-2)，€· (1)若(+)/(-+)，求实数的值. (2)若+与-垂直，求实数的值. (3)求向量+模的最小值. 第2页，共10页 16.(本小题15分) 由直四棱柱 一1111截去三棱锥1一11后得到的几何体如图所示，四边形 为平行四边形， 为与的交点 (1)求证：1//平面11 (2)求证：平面1//平面11： (3)设平面11与底面 的交线为，求证：11/： 17.(本小题15分) 在△ 中，内角，，所对的边分别为，，，已知3=4 ，=3V2. (1)求 (2)如图，点为边上一点，=，4=2求△ 的面积. B 公 18.(本小题17分) 已知函数()=(+)其中>0，>0,1|<z)的图象过点(3,0)，且图象上与点最近的一 个最低点的坐标为（五一-2）， ()求函数（)的解析式并用“五点法”作出函数在[-石。]的图象简图： (2)将函数()的图象向右平移(>0)个单位长度得到的函数=()是偶函数，求的最小值： (3)利用上一向=()的结果，若对任意的1,2∈[-3z小恒有()-（2训≤42-3，求的取 值范围. 第3页，共10页 2，5元 6 6 22 36 19.(本小题17分) 现有长度分别为1,2,3,4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为 10的三角形或四边形. (1)求出所有可能的三角形的面积。 (2)如图，在平面凸四边形 中 =1, =3, =2, =4 ①当上大小变化时，求四边形 面积的最大值，并求出面积最大时1的值. ②当 =时，△ 所在平面内是否存在点，使得「+」|+「达到最小？若有最小值，则求出 该值：否则，说明理由 第4页，共10页 参考答案 1. 2. 3. 4. 6. 7 8 9. 10. 11. 12.-黄 132 14.2 15.解：(1)因为=(3，-4)，=(1,2)，=(-2，-2) 所以+=(4，-2)，-+=(-1-2，-2-2)， 又(+)/(-+) 所以4(-2-2)=-2(-1-2)， 解得：=一 (2)由题可得，+=(3+1，-4+2)，-=(3,4)， 因为+与一垂直， 所以(3+1)×3+(-4+2)×4=0， 解得：=号 (3)由题可得，+=(3+1，-4+2) 所+12=(3+1)2+(-4+2)2=252-10+5 =25(-)2+424, 所以当=时，1+最小，最小模为：V4=2 第5页，共10页 16.证明：(1)取11的中点1，连接111 一1111是直四棱柱， 。11/川且11=， 四边形11为平行四边形， ÷1/川1， 又1c平面11v1￠平面11 ×1/平面11· (2):/∥1且1=1'1/∥1且1=1 。1/川1且1=1 四边形11是平行四边形，÷川11 丈平面1111c平面11 ÷/平面11 由(1)得1/平面11 ”n1=,、1c平面1， 平面1/平面11· A D B (3)由(2)得/∥11 ”11女平面 c平面 ·11/平面 :11c平面11，平面11n平面 =， ÷11/ 17.解：(1)由3 =4 及正弦定理，得3 =4 因为≠0，所以3=4，即92=162， 又cos2=1-sin2, 所以92=16(1-sin2),即252=16， 第6页，共10页 因为 >0,所以 (2)设 = = 因为4 =2 所以cos∠ =-c0s∠ =-sn= 在△ 中，由余弦定理，得2=2+2-2· 所以18=22-22.(-)，解得=±V5(舍负)， 所以=日·上=x5×号= 在△ 中，因为 =所以= 所以 4 所以。=专 · 15 所以△=△+△ 18.解：(1)设函数()=(+)的最小正周期为，由题意，=2， 且好=2-3=？解得=，则=2=2，即有()=22+) 将点（五-2）代入，化简可得c0s(名+)=-1， 则6+=+2，∈，即=-言+2，∈，因1<2 故得=-6即（)=2(2-石 取函数()=2 2-石)在一个周期-石1上的五点列表如下： 7 5 0 12 3 12 6 2-6 0 3 11 6 2 2 （) V3 2 0 -2 0 √3 第7页，共10页 在直角坐标系中作图如下： 液液 -1 -2 (2)依题意()=2[2(-)-1=2(2-2-)是偶函数， 故cos(-2-石)=±1，解得2+6=，∈，即=-z+号，∈， 因>0，则得>名则=1时，取得最小值为品2 3)由(2)分析可得()=-22，因∈[-3z小，则2∈[-， 结合余弦函数的性质可得-2≤2≤1， 故得-2≤()≤1,0≤|()-(2川≤3， 因对任意的. e[-3z] 恒有1()-(2)川≤42-3成立，故得42-3≥3， 解得≤或≥+7 8 即的取值范围为(-∞，3g1U+,+): 19.解：(1)根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知， 所有可能符合情况的三角形的三边长为1+2,3,4和2,3+1,4， 当三角形三边为1+2,3,4时，由余弦定理知， 等腰三角形项角的余弦值 2×3×3 1-2=9 = 所以=×3×3×45=2W5 9 当三角形三边为2,3+1,4时，由余弦定理知， 等腰三角形顶角的余弦值 =42+42-27 2×4×4=日则 =1-(2= 则=×4x4x零=西： (2)①连接，由余弦定理知： 第8页，共10页 B =242-2=17-2 2· 8一 2422-1323 2 12 2=17-8 ,2=13-12 ÷17-8=13-12 ，42-3 =1, 又 =6+6=×1×4×+号×2×3×=2+3， “(2+3)2=42+92+12 又：2-3=1,3(2-3)2=1， ÷42+92-12 =1, 故2=4(1-cos2)+9(1-c0s2)+12 =13-(42+92)+12 =13-1-12 +12 =12-12(+)≤24， 当且仅当+=时，2 =24, 取得最大值2√6， 此时+=，2-3 =1, ÷2+3 =1,解得 = =-名 则2=13-12=名，解得= 5 ②假设存在符合条件的点，由=子可得上 =3 如图，把△绕点逆时针旋转60°， 则→1，→1，连接1， 第9页，共10页 D R B A 显然△ 1为等边三角形，则=1，=11， =1=4, 2 ∠1=∠1 +4=3+3=3 “1I+1|+1I=1l+1I+11l≥|l 当且仅当1,1，，共线时取得最小值， 此时=2+子-2引‖1c0s号3=1+16+4=21， 故11+11+11的最小值为V21. 第10页，共10页