期末押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：八下全部内容）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

期末押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八下全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·湖南郴州·模拟预测）下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南常德·期中）平面直角坐标系中，点A（m，n）经过平移后得到的对应点A'（m+2，n﹣5）在第二象限，则点A所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则的值为（   ） x 1 0 2 n y m 3 5 7 A． B． C．0 D．1 4．（24-25八年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 5．（24-25八年级下·湖南永州·单元测试）某校八年级班为了了解同学们一天零花钱的消费情况，对本班同学开展了调查，将同学一周的零花钱以元为组距，绘制如图的频率分布直方图，已知从左到右各组的频数之比为，若该班有人，则零花钱在元以上人数有（   ） A．人 B．人 C．人 D．人 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，□ABCD纸片，∠A=120°，AB=4，BC=5，剪掉两个角后，得到六边形AEFCGH ,它的每个内角都是120°，且EF=1，HG=2，则这个六边形的周长为(     ) A．12 B．15 C．16 D．18 7．（24-25八年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，把经过一定的变换得到，若上一点P的坐标为，则这个点在中的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）在五边形中，，，，是边的中点，点由点出发，按的顺序运动．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图，在中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A． B． C．或 D． 10．（23-24八年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（    ）    A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）将点向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标为 ． 12．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）一个样本的50个数据分别落在4个组内，第1、2、3组数据的个数分别是7、8、15，则第4组数据的频率为 13．（24-25八年级下·湖南怀化·阶段练习）对于函数和，，对于实数范围内x的任意取值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值等于 ． 14．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，N是的中点，点M、点P分别是直线和y轴上的动点，则的最小值为 ． 15．（2024·湖南怀化·模拟预测）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，，则的长为 ． 16．（2025·湖南娄底·一模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．    三、解答题（9小题，共72分） 17．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．    (1)求证：垂直平分． (2)若，，，求的长． 18．（24-25八年级下·湖南常德·期中）在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，EF经过点O分别交AD、BC于E、F两点， （1）如图1，求证：AE＝CF； （2）如图2，若EF⊥BD，∠AEB＝60°，请你直接写出与DE（DE除外）相等的所有线段． 19．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1．的顶点都在格点上，若点A，B的坐标分别为，．按要求作图： (1)请在网格平面内作出平面直角坐标系（不写作法）； (2)将向下平移4个单位长度得到，请在网格中作出平移后的； (3)作出关于y轴对称的． 20．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，把沿折叠，点的对应点为点，连结，设的长度为． (1)的长度为________；（用含有的代数式表示） (2)当为中点时，证明； (3)当为直角三角形时，求的面积； (4)当直线经过矩形顶点时，直接写出的长． 21．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）已知中，，，将点C关于直线对称，得到点B (1)连接， ①依题意，在图1中补全图形； ②若，则的度数为 　 　； ③当α的度数发生变化时，请探究的大小是否改变．若不变，求出的度数，请说明理由． (2)如图2，以为斜边作直角三角形，使得，连接，．若．求证：． 22．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）小慧根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：    … 0 1 2 3 … … 1 0 1 2 … (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)列表，找出与的几组对应值．其中，______； (3)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (4)函数的最小值为______． 23．（2024·湖南·模拟预测）某校计划招聘一批广播员，有19名学生报名参加选拔．报名的学生需参加普通话、情境表达、个人才艺三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再按普通话占，情境表达占，个人才艺占计算出每人的总评成绩．根据以下图表解答相关问题． 清清、萍萍的三项测试成绩和总评成绩统计表 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 普通话 情境表达 个人才艺 清清 80 75 85 79.5 萍萍 86 80 ★ ★ (1)清清、萍萍才艺测试评委评分、平均数和方差统计表： 选手 评委评分 平均数 方差 清清 85，80，83，90，87 85 萍萍 85，84，84.5，84，87.5 ★ ①在萍萍的“才艺测试”评委评分数据中，中位数是______分，众数是______分，平均数是______分； ②比较与的大小，______．（填“＞”或“＜”） (2)计算萍萍的总评成绩； (3)如图是这19名学生总评成绩的频数分布直方图（不完整），学校决定根据总评成绩择优选拔9名广播员．    （A：；B：；C：；D：） ①补充完整总评成绩频数分布直方图； ②试分析清清、萍萍是否入选，并说明理由． 24．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）如图1，已知一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于点，，点为轴负半轴上一点，且，． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值． 25．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 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【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据表格数据，待定系数法求出一次函数的解析式，再求出的值，求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为，由表格可知，直线经过点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 4．（24-25八年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解答本题的关键．先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到，再根据三线合一得到，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：在中，，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， 即． 故选：D． 5．（24-25八年级下·湖南永州·单元测试）某校八年级班为了了解同学们一天零花钱的消费情况，对本班同学开展了调查，将同学一周的零花钱以元为组距，绘制如图的频率分布直方图，已知从左到右各组的频数之比为，若该班有人，则零花钱在元以上人数有（   ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】本题考查了频数分布直方图，根据从左到右各组的频数之比为，可知零花钱在元以上人数占总人数的，根据全班总人数为人，求出零花钱在元以上的人数． 【详解】解：从左到右各组的频数之比为， 零花钱在元以上人数占份， 零花钱在元以上人数有(人)． 故选：A． 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，□ABCD纸片，∠A=120°，AB=4，BC=5，剪掉两个角后，得到六边形AEFCGH ,它的每个内角都是120°，且EF=1，HG=2，则这个六边形的周长为(     ) A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】如图，分别作直线AB、BC、HG的延长线和反向延长线使它们交于点B、Q、P. ∵六边形ABCDEF的六个角都是120°， ∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°. ∴△APH、△BEF、△DHG、△CQG都是等边三角形． ∴EF=BE=BF=1，DG=HG=HD=2. ∴FC=5-1=4，AH=5-2= 3，CG=CD-DG=4−2=2. ∴六边形的周长为1+3+3+2+2+4=15. 故选B. 7．（24-25八年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，把经过一定的变换得到，若上一点P的坐标为，则这个点在中的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．先观察和得到把向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到，然后把点向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为，即为点的坐标． 【详解】解：∵把向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到， ∴点的对应点的坐标为． 故选：C． 8．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）在五边形中，，，，是边的中点，点由点出发，按的顺序运动．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，可以求出各段的函数解析式．根据已知条件，可以分别求出各段对应的函数解析式，从而可以得到各段对应的函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：由已知可得， 当点从到的过程中，； 当点从到的过程中，； 点从到的过程中，． 故选：A． 9．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图，在中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．根据题意求出点P运动到F点的时间为，点Q运动到点E的时间为，然后分两种情况讨论：当时，当时，根据列方程即可求解． 【详解】解：点E是的中点， ， ， 点P运动到F点的时间为，点Q运动到点E的时间为， 当时，，则， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， 即， 解得：， 当时，，则， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， 即， 解得：， 综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为或． 故选：C． 10．（23-24八年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键．根据题意可得海里，海里，海里，即可得，则，进而可得，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意得，（海里），（海里）， ， 海里， ， ， ． ， ， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西． 故选：B 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）将点向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变，向上平移，横坐标不变，纵坐标加，即可得到结论． 【详解】解：∵将点向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点， ∴点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查了平移与坐标与图形的变化的关系，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 12．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）一个样本的50个数据分别落在4个组内，第1、2、3组数据的个数分别是7、8、15，则第4组数据的频率为 【答案】0.4 【分析】求出第4组数据的频数，即可确定出其频率． 【详解】解：根据题意得：50﹣（7+8+15）＝20， 则第4组数据的频率为20÷50＝0.4， 故答案为：0.4 【点睛】此题考查了频率与频数，弄清频率与频数之间的关系是解本题的关键． 13．（24-25八年级下·湖南怀化·阶段练习）对于函数和，，对于实数范围内x的任意取值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值等于 ． 【答案】 【分析】利用两直线相交，分别求出三条直线两两相交的交点，观察函数图像，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：    直线和直线的交点， 直线和直线的交点， 直线和直线的交点， 结合图像，对于实数范围内x的任意取值，y总取y1、y2、y3中的最小值， 所以，当时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的图像性质是解题的关键，学会运用数形结合的思想解答更容易方便，这里注意求两条一次函数图像的交点即为联立两个一次函数解析式，求解出来的与即为交点坐标的横纵坐标． 14．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，N是的中点，点M、点P分别是直线和y轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于轴对称的点，过点作于，交轴于点，连接，利用一次函数解析式求出点A和点B坐标，根据对称的性质得出，可得的值最小，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长即可得解． 【详解】解：在中，令，则，令，则， ∴，， ∵N是的中点， ∴， 作点关于轴对称的点，则的坐标为， 过点作于，交轴于点，连接， ， 此时的值最小， ∵， ∴， 即， 解得：， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称求最小值，勾股定理，面积法，最短路径问题．根据轴结称和垂线段确定最短路径是解题的关键． 15．（2024·湖南怀化·模拟预测）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行四边形的性质和勾股定理的逆定理．利用基本作图得到平分，则，再根据平行四边形的性质得到，，，接着证明得到，所以，然后利用勾股定理的逆证明证明为直角三角形，，则，最后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ∴，，， ， ， ， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， ∵， ， 在中，． 故答案为：． 16．（2025·湖南娄底·一模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∵开始时甲容器液面高， ∴， 又∵时，， ∴设， 将代入得，解得， ∴， ∵甲容器向乙容器注水，始终有， ∴， ∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．    (1)求证：垂直平分． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的定义、全等三角形的判定与性质等．证全等是解题关键． （1）利用角平分线的性质得，可证得，即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵AD是的角平分线，， ∴ 在与中， ∴（HL） ∴， ∵， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴ 18．（24-25八年级下·湖南常德·期中）在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，EF经过点O分别交AD、BC于E、F两点， （1）如图1，求证：AE＝CF； （2）如图2，若EF⊥BD，∠AEB＝60°，请你直接写出与DE（DE除外）相等的所有线段． 【答案】(1)证明见解析；（2）BE、BF、EF、DF. 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△EOD≌△FOB,得到DE=BF,可得结论： （2）由（1）OE=OF，而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形,由∠AEB=60°可得△BEF与△BEF为等边三角形，从而得到结论. 【详解】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, BD为平行四边形ABCD对角线BD AD//BC,AD=BC,OB=OD. ∠OED=∠OFB, ∠EDO=∠FBO. 在△EOD与△FOB中，， △EOD≌△FOB ED=BF, 又 AD=BC AE=CF. （2）由（1）得△EOD≌△FOB OE=OF, 由OB=OD，EF⊥BD 四边形BFDE为菱形， ∠AEB=60°，∠BED=120°,且四边形BFDE为菱形， ∠BEF=∠DEF=60°, △BEF与△BEF为等边三角形， 与DE相等的所有线段为：BE、BF、EF、DF. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质,全等三角形的判定和性质求解 ,难度不大. 19．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1．的顶点都在格点上，若点A，B的坐标分别为，．按要求作图： (1)请在网格平面内作出平面直角坐标系（不写作法）； (2)将向下平移4个单位长度得到，请在网格中作出平移后的； (3)作出关于y轴对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据点的坐标确定坐标位置即可； （2）描出三点向下平移4个单位长度后的点，连线即可得到图形； （3）描出关于y轴的对称点，连线可得图形． 【详解】（1）平面直角坐标系如图所示； （2）如图，及为所作； （3）如图，及为所作； 【点睛】本题考查平移，轴对称变换作图，熟练掌握平移和轴对称的性质是解题的关键． 20．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，把沿折叠，点的对应点为点，连结，设的长度为． (1)的长度为________；（用含有的代数式表示） (2)当为中点时，证明； (3)当为直角三角形时，求的面积； (4)当直线经过矩形顶点时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据线段和差即可得解； （2）当为中点时，可得，进而可得 ，由，得，即可证明结论； （3）根据直角的不同可分两种情况讨论：①当时，则，根据折叠的性质和矩形的性质可推出，以此得到，即可求解；②当时，可得M，，C三点共线，由，，根据勾股定理可得，则，再根据勾股定理，列出方程，求解，进而求面积即可． （4）分两种情况：①当直线经过矩形顶点时，②当直线经过矩形顶点时，结合图形分别求解即可． 【详解】（1）解：，的长度为， ， 故答案为：； （2）证明： 为中点， ，由折叠可得，， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，当时， ∴， 根据折叠的性质可知，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ； ②如图，当时， 根据折叠的性质可知，，，， ∴三点共线， ，， 在中，， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴； 综上，当为直角三角形时，的面积为或； （4）解：①当直线经过矩形顶点时，如图所示： 由（3）可得的长为； ②当直线经过矩形顶点时，如图所示： 连接， 在中，， ， 在中，由勾股定理得， 即， 在中，由勾股定理得， 即， ， ， 综上所述，当直线经过矩形顶点时，的长为或． 【点睛】本题主要考查翻折变换、勾股定理、矩形的性质，解题关键是根据题意对不同的直角进行分情况讨论，再分别利用勾股定理和翻折的性质解答． 21．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）已知中，，，将点C关于直线对称，得到点B (1)连接， ①依题意，在图1中补全图形； ②若，则的度数为 　 　； ③当α的度数发生变化时，请探究的大小是否改变．若不变，求出的度数，请说明理由． (2)如图2，以为斜边作直角三角形，使得，连接，．若．求证：． 【答案】(1)①见解析；②；③的大小不变， (2)见解析 【分析】（1）①根据题意画出图形即可求；②由等腰三角形的性质可得由轴对称的性质可得，即可求解；③由等腰三角形的性质可得，由轴对称的性质可得即可求解； （2）由“”可证，可证，可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】（1）①解：如图所示； ②解：∵， ∴， ∵，将点C关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ③解：的大小不变，理由如下： ∵， ∴， ∵，将点C关于直线对称，得到点B ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点A作于H，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）小慧根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：    … 0 1 2 3 … … 1 0 1 2 … (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)列表，找出与的几组对应值．其中，______； (3)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (4)函数的最小值为______． 【答案】(1)任意数 (2)2 (3)见解析 (4)0 【分析】（1）根据式子有意义的条件，即可判断出的取值范围； （2）将代入解析式，即可求得值； （3）分别求出和时的解析式，然后描点画图即可； （4）根据函数图像、解函数的最值等性质即可． 【详解】（1）解：∵无论为何值，函数均有意义， ∴为任意数， 故答案为：任意数； （2）解：∵当时，， ∴， 故答案为：2； （3）解：当时，， 当时，， 则函数图像，如图所示；    （4）解：由函数图象可知，函数的最小值为0； 故答案为：0； 【点睛】本题主要考查了一次函数的有关性质，熟练掌握函数图像的画法以及性质是解题的关键． 23．（2024·湖南·模拟预测）某校计划招聘一批广播员，有19名学生报名参加选拔．报名的学生需参加普通话、情境表达、个人才艺三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再按普通话占，情境表达占，个人才艺占计算出每人的总评成绩．根据以下图表解答相关问题． 清清、萍萍的三项测试成绩和总评成绩统计表 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 普通话 情境表达 个人才艺 清清 80 75 85 79.5 萍萍 86 80 ★ ★ (1)清清、萍萍才艺测试评委评分、平均数和方差统计表： 选手 评委评分 平均数 方差 清清 85，80，83，90，87 85 萍萍 85，84，84.5，84，87.5 ★ ①在萍萍的“才艺测试”评委评分数据中，中位数是______分，众数是______分，平均数是______分； ②比较与的大小，______．（填“＞”或“＜”） (2)计算萍萍的总评成绩； (3)如图是这19名学生总评成绩的频数分布直方图（不完整），学校决定根据总评成绩择优选拔9名广播员．    （A：；B：；C：；D：） ①补充完整总评成绩频数分布直方图； ②试分析清清、萍萍是否入选，并说明理由． 【答案】(1)①84.5，84，；② (2)分 (3)①见解析；②清清不能入选，萍萍入选 【分析】（1）①根据中位数、众数、平均数的定义计算即可得出答案；②分别求出两位同学的方差，比较即可得出答案； （2）根据加权平均数计算公式计算即可； （3）①先求出组人数，再补充完整总评成绩频数分布直方图即可；②根据总评成绩频数分布直方图可得：选拔9名广播员应在C：；D：内，结合清清、萍萍的总评成绩即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵萍萍的“才艺测试”评委评分数据由小到大排列为：84，84，84.5，85，87.5， ∴中位数为84.5， ∵萍萍的“才艺测试”评委评分数据84出现的次数最多， ∴众数是84， 平均数为； ②， ， ∴； （2）解：萍萍的总评成绩为：（分）； （3）解：①组人数为：（人）， 补充完整总评成绩频数分布直方图如下：   ； ②由总评成绩频数分布直方图可得：选拔9名广播员应在C：；D：内，而清清的总评成绩分不在、范围内，萍萍的总评成绩分在、范围内， ∴清清不能入选，萍萍入选． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差、频数分布直方图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）如图1，已知一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于点，，点为轴负半轴上一点，且，． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）先求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）先通过的面积求出E点的坐标，再通过A、E两点坐标即可得到函数表达式； （3）过点作轴于点，过点作轴于点．由得出，证明得．设点的坐标为，则点的坐标为．点的坐标代入求出，再将点的坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 把，代入，得 解得 ∴该一次函数的表达式为． （2）解：由题意知，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为．     设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点． 由（2）知，． ∵， ∴， 即， ∴．     在和中， ∴， ∴．     设点的坐标为，则点的坐标为． 将点的坐标代入，得， 解得， ∴点的坐标为． 将点的坐标代入，得， 解得， 即的值为． 25．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 学科网（北京）股份有限公司 $$