期末押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：七下全部内容）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

期末押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七下全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）若，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方运算法则，解题关键是熟练运用幂的乘方运算法则； 利用幂的乘方法则将和转化为已知的和的平方，再代入数值计算即可． 【详解】， ， ， ． 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例如：当，，当时，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，实数大小比较，根据新定义得当时，在，，x中最小，即，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴当时，在，，x中最小，即， ∴． 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）关于的二元一次方程组的解满足，则的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组得，根据得，解得，解答即可． 本题考查了整体思想解方程组，解不等式，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键． 【详解】解：解方程组得，根据得， 解得， 故选：D． 4．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质、线段的和差等知识点，掌握平移的性质成为解题的关键． 由平移的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．（24-25七年级下·湖南株洲·课后作业）根据某中学爱心捐款的情况绘制了如图所示的统计图．已知该校在校学生3000人，则该校共捐款（   ） A．47770元 B．37770元 C．27770元 D．17770元 【答案】B 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求出总人数乘以百分数乘以人均捐款之和，即可得出结果． 【详解】解：（元）； 故选B． 6．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题主要考查了求旋转角和旋转方向，根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴旋转方向和旋转角可能是顺时针，， 故选；A． 7．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 8．（24-25七年级下·湖南永州·期中）如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在其中央留下一个边长为米的正方形广场，在广场的前后左右各修一条小路，已知四条小路的宽度均为a米，其余空地用作绿化．用含a，b的式子表示绿化面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，单项式乘以单项式，绿化面积等于最大正方形面积减去边长为的正方形面积，再减去周围四个空白的长方形面积，据此列式计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 9．（24-25七年级下·湖南常德·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 10．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）如图，已知长方形纸片中，点、、分别在边、、上．将三角形沿翻折，点落在点处，将三角形沿翻折，点落在点处．有以下四个结论：①若，则；②若，则、、三点不一定在同一直线上；③若，则；④若，则．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折的性质和角度和差关系，根据翻折的性质得和，①由即可判定；②由题意得，进一步由，结合题意可判定；③由题意得，利用即可判定；④由题意得，结合即可判定． 【详解】解：由翻折的性质得，， ①若， ∵，整理得， ∴，则①正确； ②若，则， ∴， ∵点在边上， ∴点、、三点一定在同一直线上，则②错误； ③若，则， ∴， 则 ，则③正确； ④若，则，得， 则 ，则④正确； 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴与是关于6的“如意数”． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 依据，将b换作，即可得到计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·湖南常德·期中）对于两个关于的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据题意求出的范围．根据和是“互联”的，可得，即可求解． 【详解】解：∵和是“互联”的， ∴有且仅有一个整数解， 即有且仅有一个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·湖南岳阳·课后作业）某中学准备在校园空地上种植桂花、香樟、木棉和柳树，为了解学生喜爱的树种情况，随机调查了该校部分学生，并将调查结果整理后制成统计图如下： 请根据统计图提供的信息，解答以下问题（直接填写答案）： （1）本次共调查了 人； （2）条形统计图中的 ， ． 【答案】 200 70 30 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，弄清题意是解本题的关键． （1）根据喜欢柳树的人数除以占的百分比，得到调查的总学生数即可； （2）根据总学生数，结合扇形统计图，求出与的值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：（人）． 则调查的人数有 200 人； 故答案为：200； （2）根据题意得：（人）， （人）， 故答案为：70；30． 15．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）如图，将正方形沿BC方向平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点），点在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平移的性质，解决问题的关键是熟练掌握平移的性质．先根据平移的性质求出的长，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质得，，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：6． 16．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将对折，使点落在直线上的点处，得折痕；折叠，使点落在边上的点处，得折痕．若，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，角平分线的定义，以及解一元一次方程．先分别求出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行计算即可求解； （2）先根据积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行运算，再合并同类项即可求解； （3）根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 18．（24-25七年级下·湖南娄底·单元测试）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． （1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （4）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （3）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：； （4）解： 整理得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 19．（2025·湖南娄底·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，积的乘方运算，了解等式的特点，是解题关键． （1）根据题目中等式的特点，写出第7个等式即可； （2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再分别计算等式左边和右边，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； ∴第7个等式：. （2）解：猜想：； 证明如下：左边， 右边， ∴左边右边， ∴成立. 20．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）已知和都是非负数的平方根，求的值． 佳佳的解题过程如下： 解：和都是非负数的平方根， ，解得的值为9． 佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请你写出正确的解题过程． 【答案】不正确；正确过程见解析 【分析】此题主要考查了平方根，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．利用平方根的意义得出关于a的等式，进而求出m的值． 【详解】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下： ∵和是非负数m的平方根， ∴当时， 解得：， ∴， ∴m的值为9， 当， 解得：， ∴， ∴m的值为1； 综上分析可知：m的值为1或9． 21．（2025·湖南常德·一模）为了宣传航天知识，某校举行了：：微重力物理，：空间材料科学，：空间生命科学，：航天医学，：航天技术，共五类知识的展览，展览开展了一段时间后，张老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了以“我最喜欢的展览”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次共调查了_____________名同学，将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，A组所对应扇形的圆心角度数为_____________； (3)若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“航天技术”的学生人数． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)540人 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）首先利用“组学生人数其占比”，即可求得所调查学生人数；分别计算组和组的人数，然后补画条形统计图即可； （2）利用“A组学生占比”，即可获得答案； （3）利用“该校学生总数组学生占比”，即可获得答案． 【详解】（1）解：调查的学生人数为：（人）， ∴组的学生人数为：（人）， ∴的人数为：（人）， 将条形统计图补充完整如下： （2）组所对应扇形的圆心角度数为； （3）（人）， 答：估计全校最喜欢“航天技术”的学生人数为540人． 22．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成8张A型长方形纸板或者恰好裁成12张B型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值． 【答案】(1)3，4 (2)可制作横式纸盒16个，竖式纸盒4个 (3)16 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）根据图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒即可得出答案； （2）设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）根据制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知：1个横式无盖长方体纸盒需要3张A型和2张B型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张A型和1张B型； （2）解：设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个， 由题意得： 解得， 答：可制作横式纸盒16个，竖式纸盒4个； （3）解：由题意得， 解得：， ∴m的最大值为16． 23．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，． (1)操作与实践： ①步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． (2)应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． 【答案】(1)图见解析；图见解析 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据平移的性质作图即可． （2）分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． （2）解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 24．（24-25七年级下·湖南常德·期中）【数学模型】已知小长方形纸片的两边长分别为、，用四张这样的纸片构成如图1所示的大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而得到等式： __________． 解决问题  如图2，学校生物兴趣小组打算用篱笆围成长方形生物园来饲养小兔． （1）若篱笆的长为，怎样围可使小兔的活动范围最大？试说明理由． （2）若生物园的面积为，怎样围可使用的篱笆最短？试说明理由． 【答案】[数学模型] ；（1）生物园围成一个边长为的正方形时，小兔的活动范围最大；（2）把生物园围成一个边长为的正方形时，用的篱笆最短 【分析】本题考查了完全平方公式与几何的应用，利用完全平方公式变形求值及其非负性解决问题． [数学模型]由于大正方形的边长为，则面积表示为，而大正方形的面积表示为4个长方形的面积与一个小正方形的面积和，则大正方形面积为：，即可建立等式； （1）设篱笆长为，则宽为，那么长方形面积为：，利用完全平方公式变形为，再由非负性求解即可； （2）设生物园的长为，宽为，由题意得，则，由上可得：，即，再利用平方根的定义即可求解． 【详解】[数学模型] 解：大正方形的边长为，则面积为， 大正方形的面积表示为4个长方形的面积与一个小正方形的面积和，则大正方形面积为：， ∴得到等式：； （1）解：设篱笆长为，则宽为， ∴长方形面积为：， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值为16，此时， 即把生物园围成一个边长为的正方形时，小兔的活动范围最大； （2）解：设生物园的长为，宽为， 由题意得， ∴， 由上可得：， ∴， ∵， ∴， 当时，等号成立， ∴当把生物园围成一个边长为的正方形时，用的篱笆最短． 25．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 【答案】（1）D （2），，， （3），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质和平行公理的推论是解题的关键． （1）根据平行线的性质逐项判断即可； （2）利用平行线的性质与邻补角性质求解即可； （3）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得到，从而由得出结论． 【详解】解：（1）A、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 又∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等，原结论错误，故此选项符合题意； 故选：D． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）， 理由：过点E作，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七下全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）若，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 2．（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例如：当，，当时，则x的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）关于的二元一次方程组的解满足，则的范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（24-25七年级下·湖南株洲·课后作业）根据某中学爱心捐款的情况绘制了如图所示的统计图．已知该校在校学生3000人，则该校共捐款（   ） A．47770元 B．37770元 C．27770元 D．17770元 6．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 7．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·湖南永州·期中）如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在其中央留下一个边长为米的正方形广场，在广场的前后左右各修一条小路，已知四条小路的宽度均为a米，其余空地用作绿化．用含a，b的式子表示绿化面积为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·湖南常德·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）如图，已知长方形纸片中，点、、分别在边、、上．将三角形沿翻折，点落在点处，将三角形沿翻折，点落在点处．有以下四个结论：①若，则；②若，则、、三点不一定在同一直线上；③若，则；④若，则．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 12．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 13．（24-25七年级下·湖南常德·期中）对于两个关于的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，的取值范围是 ． 14．（24-25七年级下·湖南岳阳·课后作业）某中学准备在校园空地上种植桂花、香樟、木棉和柳树，为了解学生喜爱的树种情况，随机调查了该校部分学生，并将调查结果整理后制成统计图如下： 请根据统计图提供的信息，解答以下问题（直接填写答案）： （1）本次共调查了 人； （2）条形统计图中的 ， ． 15．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）如图，将正方形沿BC方向平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点），点在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为 ． 16．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将对折，使点落在直线上的点处，得折痕；折叠，使点落在边上的点处，得折痕．若，平分，，则 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（24-25七年级下·湖南娄底·单元测试）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（2025·湖南娄底·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 20．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）已知和都是非负数的平方根，求的值． 佳佳的解题过程如下： 解：和都是非负数的平方根， ，解得的值为9． 佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请你写出正确的解题过程． 21．（2025·湖南常德·一模）为了宣传航天知识，某校举行了：：微重力物理，：空间材料科学，：空间生命科学，：航天医学，：航天技术，共五类知识的展览，展览开展了一段时间后，张老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了以“我最喜欢的展览”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次共调查了_____________名同学，将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，A组所对应扇形的圆心角度数为_____________； (3)若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“航天技术”的学生人数． 22．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成8张A型长方形纸板或者恰好裁成12张B型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值． 23．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，． (1)操作与实践： ①步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． (2)应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． 24．（24-25七年级下·湖南常德·期中）【数学模型】已知小长方形纸片的两边长分别为、，用四张这样的纸片构成如图1所示的大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而得到等式： __________． 解决问题  如图2，学校生物兴趣小组打算用篱笆围成长方形生物园来饲养小兔． （1）若篱笆的长为，怎样围可使小兔的活动范围最大？试说明理由． （2）若生物园的面积为，怎样围可使用的篱笆最短？试说明理由． 25．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$