期末重难点真题特训之易错必刷题型（135题40个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

期末重难点真题特训之易错必刷题型（129题38个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、整式方程 1．（2025·上海松江·一模）已知各组的值①②③④其中，是二元二次方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知关于的方程是二项方程，那么 ． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）若某个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是倍根方程．例如x2-2x-3=0的两根为x1=3，x2=-1，因为x1是x2的-3倍，所以x2-2x-3=0是倍根方程． （1）说明x2-8x+12=0是倍根方程； （2）请写出一个倍根方程，使其中一根为1； （3）已知关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程，其中m是整数，试探索m的取值条件． 易错必刷题二、无理方程 4．（24-25八年级下·上海闵行·期中）下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果关于的方程有增根，那么的值为 ． 6．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）（1）阅读材料：方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”——化未知为已知，利用“转化思想”，我们还可以解一些新的方程．像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项，得， 两边平方，得， 解这个一元二次方程，得，． 检验所得到的两个根，发现只有________是原无理方程的根． （2）理解应用： ①方程的解是________； ②解方程． 易错必刷题三、二元二次方程组及其解法 7．（24-25八年级下·上海宝山·期中）下列二元二次方程中，没有实数解的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·上海金山·期中）方程组的解是 ． 9．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）解方程组： 易错必刷题四、解分式方程 10．（2025·上海虹口·模拟预测）解分式方程的结果为（   ） A． B． C． D．无解 11．（2025·上海徐汇·模拟预测）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为 ． 12．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知分式方程只有一个实数解，求的值和对应方程的解． 易错必刷题五、平面向量及其加减运算 13．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（    ） A．∥，∥ B．||＝2|| C．＝2，＝3 D．+2＝ 14．（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为 ． 15．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点． （1）如果图中线段都可画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与向量相等的向量是　 　； （2）设＝，＝，＝．试用向量，或表示下列向量：＝　 　；＝　 　． （3）求作：．（请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论） 易错必刷题六、平面镶嵌 16．（24-25八年级下·上海虹口·期中）足够多的如下四种边长相等的正多边形瓷砖，则下列组合能铺满地面的是（    ）    A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 17．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）如图图1所示用地砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板（如图2），它们能镶嵌成平面图案，依据是 ． 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．    易错必刷题七、事件发生的可能性 19．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．生老病死 20．（23-24八年级下·上海宝山·期末）有下列事件：①某餐厅供应自选菜肴，共准备荤素种不同的品种，一顾客任选一种菜肴，选中素菜；②件某种产品全是优等品，今从中选出1件次品；③在停靠、、、、路的车站上，张老师等到路车；④台风登陆江苏；⑤人中至少有个人的生日相同． 其中，必然事件是 ，不可能事件是 ，随机事件是 ．（填序号） 21．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）转动如图所示的转盘．下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件？根据你的经验，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 转盘停止后指针指向； 转盘停止后指针指向1； 转盘停止后指针指向的数大于1； 转盘停止后指针指向的数不是奇数就是偶数； 转盘停止后指针指向的数是偶数． 易错必刷题八、列表法或树状图法求概率 22．（2025·上海杨浦·模拟预测）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D． ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 23．（24-25八年级下长宁·上海·期中）糯米同学要购买两张高铁车票，系统将从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“购买的车票座位恰好一个靠近窗户，一个靠近过道”的概率是 ． 24．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）小明和小亮同学都特别喜欢唐代伟大的浪漫主义诗人李白的诗词，课间他们摘其5句诗词并用它们的编号分别制成5张卡片（卡片除编号外完全相同）玩数学游戏．五句诗词如下： 编号 诗句 A 日照香炉生紫烟 B 飞流直下三千尺 C 收入春风满洛城 D 遥看瀑布挂前川 E 谁家玉笛陪飞声 小明将这5张卡片背面朝上，洗匀放好．请你完成下列问题： (1)填空：小亮从5张卡片中随机抽取1张，恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率是____； (2)小亮从5张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法求出都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率； (3)填空：小亮从5张卡片中随机抽取2张，两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的概率是_____． 易错必刷题九、多边形对角线的条数问题 25．（2025·上海嘉定·模拟预测）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 26．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）若一个正多边形的每一个外角是．则它是正 边形，有 条对角线． 27．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 易错必刷题十、对角线分成的三角形个数问题 28．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形的个数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 29．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图是用木棍首尾连接好的六边形，但六边形始终无法固定形态，若要使该六边形稳定，则至少需要再钉上 根木棍． 30．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 易错必刷题十一、正多边形的外角与内角问题 31．（2025·上海宝山·模拟预测）现有一个正n边形． (1)若，求其内角和； (2)若这个正n边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n的值． 32．（2025·全国·专题练习）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，求的度数． 33．（2025·上海金山·模拟预测）如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 易错必刷题十二、正比例函数的图象与性质 34．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）若为正比例函数，则的值为（　　） A． B． C． D．或 35．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 ． 36．（23-24八年级下·上海松江·期末）5月是销售樱桃的季节，某樱桃种植园为了吸引顾客，推出入园采摘销售模式．已知采摘樱桃重量x（千克）与所需费用y（元）之间的关系可以用来表示. (1)上述关系中，______是自变量，______是因变量； (2)上述关系用表格表示如下表，请补充填空： 千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 元 3 6 ______ 12 15 ______ … (3)48元能买多少千克樱桃？ 易错必刷题十三、根据一次函数的定义求参数 37．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图是一次函数 与 的图象，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时，一次函数 的值都为负数 D．方程的解是 38．（24-25八年级下·上海崇明·期中）若一次函数的图象经过原点，则的值为 ． 39．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知一次函数． (1)求该一次函数的图象与轴交于时的值？ (2)当为何值时，随的增大而减小？ 易错必刷题十四、求一次函数自变量或函数值 40．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，直线是函数的图象．若点满足，且，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知中的实数与中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中的值为 ． 42．（2025·上海宝山·模拟预测）下面是画函数的图象的过程． 列表： x … 0 1 … y … ______ ______ ______ … 描点并连线： 请根据上面的信息回答问题： (1)补全表格中y对应的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象． (3)若点在函数的图象上，求出m的值． 易错必刷题十五、根据一次函数解析式判断其经过的象限 43．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）两条直线 与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（    ） A．B．C．D． 44．（24-25八年级下·上海静安·课后作业）已知是反比例函数图象上的两个点，当时，，那么一次函数的图象不经过 象限． k 45．（24-25八年级下·上海徐汇·随堂练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． (1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______； (2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值． 易错必刷题十六、已知函数经过的象限求参数范围 46．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 47．（2025·上海静安·模拟预测）关于一次函数，给出下列说法正确的是 ． ①若点，在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到： ④该函数恒过定点． 48．（2025·上海金山·模拟预测）已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求m的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； (3)m为何值时，函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大？ 易错必刷题十七、根据一次函数增减性求参数 49．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）已知一次函数满足，且随的增大而减小，则该一次函数的大致图象是大致是（　　） A． B． C． D． 50．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）有一个一次函数，两位同学说出了它的一些特点：小军说它的图象经过；小梅说在这个函数中，随的增大而减小．请你写出满足上述全部特点的一个一次函数 （写出一个即可）． 51．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知关于x的函数． (1)若图像与y轴的交点的纵坐标为5，求k的值． (2)若y随x增大而增大，求k的取值范围． (3)若将图像向下平移2个单位长度后，经过点，求k的值． 易错必刷题十八、比较一次函数值的大小 52．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）已知一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 53．（2025·上海宝山·模拟预测）已知点，是一次函数图象上的两点，如果，那么，的大小关系是 （填“”、“”或“”）． 54．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知y是x的一次函数，下表是列出了几组对应值． x … 0 2 … y … m 0 n … (1)求该函数的解析式： (2)请在坐标系中画出该函数的图象，并直接写出m，n的大小关系：m______n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 易错必刷题十九、求一次函数解析式 55．（2025·上海闵行·模拟预测）已知两直线与相交于点，则k的值是（   ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是 ． 57．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 易错必刷题二十、添一条件使四边形是矩形 58．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，点是任意四边形中的中点，若四边形是矩形，则四边形需要满足的条件是（    ） A． B． C． D． 59．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，请添加一个条件使平行四边形成为矩形，这个条件可以是 ．    60．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，延长到，使，连接，，．    (1)求证：； (2)直接写出一个使四边形为矩形的条件． 易错必刷题二十一、添一个条件使四边形是菱形 61．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，下列条件中，不能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 62．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可） 63．（2025·全国·模拟预测）如图，在四边形中，对角线交于点， (1)求证：四边形是平行四边形． (2)在（1）的基础上，添加一个条件使平行四边形是菱形，并证明． (3)在（1）的基础上，添加一个条件使平行四边形是矩形，并证明． 易错必刷题二十二、添一个条件使四边形是正方形 64．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 65．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是 ．（只添一个条件即可） 66．（2025·全国·专题练习）如图，，是的两条中位线．我们探究的问题是：这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系？建议按下列步骤探索： (1)围成的四边形是否必定是平行四边形？ (2)在什么条件下，围成的四边形是菱形？ (3)在什么条件下，围成的四边形是矩形？ (4)你还能发现其他什么结论吗？ 易错必刷题二十三、添一个条件成为平行四边形 67．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，，要使四边形成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（    ） A． B． C． D． 68．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，请添加一个条件 ，使四边形是平行四边形（填一个即可） 69．（24-25八年级下·上海金山·随堂练习）在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在四边形中，对角线AC与BD相交于点O，，若______．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形是平行四边形．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分） 易错必刷题二十四、利用平行四边形的判定与性质求解 70．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 71．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平行四边形中，E为的中点，交于点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ． 72．（2025·上海松江·模拟预测）已知：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：    (1)画线段且使，连接； (2)线段的长为__________，的长为 __________，点A到线段的距离为__________； (3)为 __________三角形，四边形的面积为 __________． 易错必刷题二十五、与三角形中位线有关的求解 73．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，连接，，，若的周长是，则的周长是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 74．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，如果要测量池塘两端、的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是，的中点，测得的长为8米，则的长为 米． 75．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，是的正方形网格，每个小正方形的单位长为1．A、B、C均在格点上．仅用无刻度的直尺画图： (1)在图1中，过点C作线段，使得且； (2)在图2中，点E为网格线上一点，分别在线段、上作出点D、点F，连结，使得且； (3)在图3中，点D为格点，G是上任意一点，在上作点H，使得． 易错必刷题二十六、梯形中位线定理 76．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路（M、N分别是中点）.极少数同学为了走“捷径”，沿线段行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 77．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则    78．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）知识回顾 例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决． 实践操作 如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你延长交延长线于点，我们易证（自行补充图形）． 数学发现 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？   （用字母及符号表示） ． 证明猜想 请结合“实践操作”完成猜想的证明． 已知： 求证： 证明：    实际应用 如图，在中，，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点，若，求的长．    易错必刷题二十七、一次函数图象平移问题 79．（24-25八年级下·上海金山·课后作业）将直线向下平移4个单位长度后．经过点，则b的值是（   ） A．1 B．7 C． D． 80．（24-25八年级下·上海松江·课后作业）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与轴交点坐标为 ． 81．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． (1)求m和k的值； (2)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围； (3)设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积． 易错必刷题二十八、用频率估计概率的综合应用 82．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图所示的是“向阳”兴趣小组对某试验中一种结果的统计情况，该试验结果最有可能为（   ） A．投掷一枚正六面体骰子，朝上的点数为3的倍数 B．掷一枚硬币朝上的是正面 C．不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个绿球和4个红球，摸出一个球是红球 D．从一副扑克牌中取一张牌，花色为红桃 83．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）林业部门要观察某种树苗在一定条件下的移植成活率，下表是这种树苗在移植过程中的一组数据： 移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 853 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26400 成活的频率 0.853 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.880 根据以上数据，该林业部门估计在此条件下移植的55000棵树苗成活的棵数约为 ． 84．（2025·上海静安·模拟预测）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 合格频数 合格频率 (1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到）； (2)估计出售件衬衣，其中次品大约有几件． 易错必刷题二十九、多边形内角和与外角和综合 85．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）下列多边形的内角和比它的外角和多的是（   ） A． B． C． D． 86．（24-25八年级下·上海静安·期中）若凸边形的每个内角为，则从一个顶点引出的对角线的条数是 ． 87．（2025·上海宝山·模拟预测）（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． （2）如图所示，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的阴影部分的面积． 易错必刷题三十、一次函数与反比例函数的交点问题 88．（2025·上海宝山·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，过点作轴，垂足为．已知的面积，则等于（   ）． A． B．2 C．4 D． 89．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，已知直线经过点，点关于轴的对称点在反比例函数的图象上．若，则的取值范围为 ． 90．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）一次函数与反比例函数的图像相交于、两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数解析式； (2)求点A的坐标，连接、，求的面积； (3)当时，直接写出x的取值范围． 易错必刷题三十一、一次函数与反比例函数图象综合判断 91．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）若，函数和函数在同一个坐标系中图像大致是（） A． B． C． D． 92．（2025·全国·专题练习）如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 93．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图像分别交于、两点，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)已知，求的面积； (3)直接写出时，的取值范围． 易错必刷题三十二、一次函数不等式、方程组综合应用 94．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求此一次函数的解析式； (2)求出的面积． 95．（2025·上海松江·模拟预测）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为3，直接写出a的值． 96．（2025·上海闵行·一模）某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a -2 -1 0 1 2 3 … (1)表中a的值为___； (2)以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象； (3)进一步探究函数图象，发现：函数图象与x轴有___个交点，因此方程的解是___． 易错必刷题三十三、根据矩形的性质与判定求线段长、面积、角度 97．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）如图，已知中，，．D是内的一点，且，． (1)_______°； (2)依题中的条件用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求的度数． 98．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知：点在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接和，交于点，若，于点，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 99．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P，P到D的距离为2米，P到地面的距离为1.1米，求点D到地面的距离的长． (2)在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：） 易错必刷题三十四、根据菱形的性质与判定求线段长、面积、角度 100．（2024·上海宝山·一模）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝70°． （1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 101．（2025·上海闵行·二模）如图，是一张锐角三角形纸片． (1)按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的角平分线，交于点； ②在、上分别取两点和，连接、，使四边形是菱形． (2)若，，求的长． 102．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，，点E在BD上，满足． (1)求证：四边形AECD是平行四边形； (2)若，，，求四边形AECD的面积． 易错必刷题三十五、根据正方形的性质与判定求线段长、面积、角度 103．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 104．（2024·上海静安·模拟预测）（1）如图1，在的方格中，正方形，边长均为1，求出正方形的对角线的长，并将正方形，剪拼成一个大正方形，在图2中画出示意图． （2）如图3，有5个小正方形（阴影部分），能剪拼成一个大正方形吗？若能，求出大正方形的边长；若不能，请说明理由． 105．（2024·上海长宁·模拟预测）图1，图2均为的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为．图1中的线段和图2中线段的端点、、、均在小正方形的顶点上，按下列要求画图： （1）在图1中，画出以为对角线的菱形（不是正方形），点均在小正方形的顶点上； （2）在图2中，画出以为对角线的正方形，点均在小正方形的顶点上，请直接写出正方形的面积． 易错必刷题三十六、列方程（组）解应用题 106．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，给自行车商家带来商机．某自行车行经营的一种自行车一月份的销售总额为元，二月份商家促销，该种自行车的销售单价比一月份降低50元，销售数量是一月份的2倍，销售总额能达到元，求一月份该种自行车的销售单价． 107．（23-24八年级下·上海青浦·期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用600万元购进A型汽车的数量比600万元购进B型汽车的数量少10辆． (1)求每辆A型汽车进价是多少万元？ (2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共80辆，总费用不超过900万元，那么该公司最多购买A型汽车多少辆？ 108．（23-24八年级下·上海虹口·期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？ 根据以上信息，解答下列问题． （1）小华同学设乙型机器人每小时搬运kg产品，可列方程为______．小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为小时，可列方程为______． （2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 易错必刷题三十七、一次函数与几何综合应用 109．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与x轴交于点B． (1)求m，a的值． (2)求的面积． 110．（24-25八年级下·上海松江·期中）如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标． 111．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． (1)求直线的表达式； (2)设直线与轴交于点，求的面积． 易错必刷题三十八、一次函数的实际综合应用 112．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）为了全面推进素质教育，增强学生体质，丰富校因文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买、两种奖品，经市场调查，若购买种奖品3件和种奖品2件，共需60元；若购买种奖品1件和种奖品3件，共需55元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元； (2)运动会组委会计划购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，当运动会组委会购买两种奖品各多少件时才能使总费用最少？最少的总费用是多少元？ 113．（2025·上海宝山·二模）跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究． 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”为研究主题的跨学科活动．该社团分组到附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度/百米 … 10 11 12 13 14 15 … 气温 … … 根据表格中的测量数据，完成下面3个问题： (1)观察表格可知气温与海拔高度符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______________函数关系；（选填“一次”“二次”或“反比例”）； (2)根据（1）中得到的函数关系，求与之间的函数表达式； (3)由（2）的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1700米的气温． 114．（2025·上海奉贤·一模）劳动教育正当时，开心农场助“双减”．为落实五育并举，加强劳动教育，体会耕耘播种的艰辛．某中学在校园里开辟了一片“开心农场”，今年计划种植某种蔬菜，数学兴趣小组制作如下的活动报告． 项目主题 估算种植成本 记录数据 蔬菜种植面积（） … 蔬菜种植总成本（元） … 建立模型 发现这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积符合初中学习过的某种函数关系，关系式为：？ 绘制图象 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合 函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式； (3)当时，求这种蔬菜的种植总成本． 1．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）对于非零实数a，b，规定，若，则x的值为 （　　） A．3 B．2 C． D． 2．（2025·上海松江·一模）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．如图，某学习小组制作了四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小夏从四张卡片中随机抽取两张，抽取两张卡片内容均为物理变化的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·上海宝山·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海嘉定·一模）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·上海闵行·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（    ） … 0 1 2 3 … … …    A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ． 7．（2025八年级下·上海·专题练习）如下图，有①②③④四个转盘，小明和小红做转盘游戏，指针停在白色区域小明赢，停在黑色区域小红赢． （1）要让小明赢的可能性大，要在( )转盘上玩． （2）要想让游戏公平，要在( )转盘上玩． 8．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 9．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，F是平行四边形的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，连接，若阴影部分的面积为18，，则平行四边形的面积为 ． 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点依次进行下去，则点的坐标为 ． 11．（21-22八年级下·上海奉贤·期末）解方程组： 12．（2025·上海长宁·二模）十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的．下列四幅十二生肖图片的大小、形状、质地及背面完全相同，将其背面朝上洗匀置于桌面上． (1)事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） (2)小乐从这四张图片中同时随机抽取两张，利用列表或画树状图的方法求抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率． 13．（23-24八年级下·上海虹口·期中）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价x/元 … 25 30 35 … 日销售量y/千克 … 110 100 90 … （1）该超市要获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （2）该超市日销售利润能否达到2000元，若能，求出每千克樱桃的售价；若不能，请说明理由． 14．（24-25八年级下·上海金山·期中）清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题．通过勘测，得到如下记录表： 模型抽象 测绘数据 ①测得放风筝的手到地面的距离为米； ②测出放风筝的手到铅垂线的水平距离为米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线的长为米． 相关说明 点，，，，在同一平面内，直线表示水平地面． 请你根据记录表信息，完成下面的任务： (1)①点离地面的垂直高度________米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)如果想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则放风筝的同学需再放出多少米的风筝拉线？ 15．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）阅读理解： 画图可知道，一次函数的图象可由正比例函数的图象向右平移1个单位长度得到；类似函数的图象可以由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到． (1)反比例函数的图象向右平移2个单位长度后的图象解析式是______． 解决问题： 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点和点B． (2)求点B的坐标； (3)若将反比例函数的图象向右平移n（n为整数，且）个单位长度后，经过点，求n的值及反比例函数平移后的图象对应的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之易错必刷题型（129题38个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、整式方程 1．（2025·上海松江·一模）已知各组的值①②③④其中，是二元二次方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元二次方程的解，将题目中的各组解分别代入中，看哪一组解使得，则哪一组解就是方程的解，本题得以解决 【详解】解：即 ①当时，，故该选项符合题意； ②．当，，故该选项符合题意； ③． ，故该选项不符合题意； ④． ，故该选项符合题意； 则符合题意得有3个． 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知关于的方程是二项方程，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查高次方程，利用方程的项数得出方程不含一次项是解题的关键． 根据二项方程可得不含这一项解题即可． 【详解】解：∵方程是二项方程， ∴，即， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）若某个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是倍根方程．例如x2-2x-3=0的两根为x1=3，x2=-1，因为x1是x2的-3倍，所以x2-2x-3=0是倍根方程． （1）说明x2-8x+12=0是倍根方程； （2）请写出一个倍根方程，使其中一根为1； （3）已知关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程，其中m是整数，试探索m的取值条件． 【答案】（1）见解析；（2）x2-3x+2=0是一个倍根方程，使其中一根为1；（3）m为0，-2或一切不为-1的奇数时，方程x2-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程． 【分析】（1）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义判断即可； （2）根据倍根方程的定义写出方程； （3）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义探索m的取值条件． 【详解】解：（1）∵x2-8x+12=0 （x-2）（x-6）=0， x1=2，x2=6， ∵6是2的3倍， ∴x2-8x+12=0是倍根方程； （2）x2-3x+2=0的两根分别为1和2， ∴x2-3x+2=0是一个倍根方程，使其中一根为1； （3）x2-（m+3）x+2m+2=0 x2-（m+3）x+2（m+1）=0 （x-2）（x-m-1）=0 x1=2，x2=m+1， 则m为0，-2或一切不为-1的奇数时，方程x2-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程． 故答案为（1）见解析；（2）x2-3x+2=0是一个倍根方程，使其中一根为1；（3）m为0，-2或一切不为-1的奇数时，方程x2-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 易错必刷题二、无理方程 4．（24-25八年级下·上海闵行·期中）下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查判断方程的根的情况，对于选项A，由知可判断方程没有实数根；对于选项B，由知可得，可判断方程没有实数根；对于选项C，求得是原方程的解，对于选项D，，原方程无解． 【详解】解：A、∵， ∴， 故选项A不正确； B. ∵， ∴， ∴， 故选项B不正确； C.去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 故选项C正确； D. ，原方程没有实数根． 所以D选项错误． 故选：C． 5．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果关于的方程有增根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查无理方程，根据题意代入求解计算即可，熟练掌握基础知识点是解题关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）（1）阅读材料：方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”——化未知为已知，利用“转化思想”，我们还可以解一些新的方程．像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项，得， 两边平方，得， 解这个一元二次方程，得，． 检验所得到的两个根，发现只有________是原无理方程的根． （2）理解应用： ①方程的解是________； ②解方程． 【答案】（1）；（2）①，；② 【分析】（1）根据阅读材料，先根据解法解方程，然后通过检验可确定解得的根是不是原方程的根； （2）①仿照（1）中的解方程的方法求解即可；②仿照（1）中的解方程的方法求解即可． 【详解】（1）将，分别代入中检验得， 明显没有意义， ∴是原无理方程的根， 故答案是； （2）①由得：，或， 解得：，， 经过检验所得到的两个根都是原无理方程的根， 故答案为：，； ②∵， 移项，得， 两边平方，得， 解这个一元二次方程，得，， 检验所得到的两个根，发现只有是原无理方程的根． 【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，要注意验根． 易错必刷题三、二元二次方程组及其解法 7．（24-25八年级下·上海宝山·期中）下列二元二次方程中，没有实数解的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解二元二次方程．通过解方程得解即可判断． 【详解】解：A、原方程变形为，得，方程有实数根，本选项不合题意； B、原方程变形为，可推出，另外还有其他得解，方程有实数根，故本选项错误， C、原方程变形为，等式不成立，本方程无解，故本选项正确， D、原方程变形为其中一组解为，方程有实数根，故本选项错误， 故选：C． 8．（24-25八年级下·上海金山·期中）方程组的解是 ． 【答案】 【分析】由得出，代入得到方程，求出方程的解，，将的值分别代入求出即可． 【详解】， 由得：， 把代入得：， 即， ， 解得：，， 代入得：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了高次方程和解一元二次方程的应用，解此题的关键是把方程组转化成解一元二次方程，题型较好，难度适中． 9．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）解方程组： 【答案】或或或 【分析】将方程左边因式分解可得或，再分别代入方程求解即可． 【详解】解：，由得：或， ∴或， 当时，代入中， 得， 解得：或； 此时对应x值为或； 当时，代入中， 得， 解得：或； 此时对应x值为或； ∴方程组的解为：或或或． 【点睛】本题主要考查解高次方程的能力，高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 易错必刷题四、解分式方程 10．（2025·上海虹口·模拟预测）解分式方程的结果为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，利用解分式方程的一般步骤及方法进行计算，即可得出结论． 【详解】解：方程的两边同乘得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：B． 11．（2025·上海徐汇·模拟预测）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分式化简求值等知识点，读懂题意，理解“完美分式方程”的定义是解题的关键． 由“完美分式方程”的定义可得，，将变形为，然后将，代入求值即可． 【详解】解：由“完美分式方程”的定义可得： ，， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知分式方程只有一个实数解，求的值和对应方程的解． 【答案】， ；， 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论． 去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即；为一元二次方程，即，分别求解即可． 【详解】解：两边同乘， 得， 整理得：， 若，即，则，解得：； 若，由题意，知， 解得， 当时，； ∴综上可得：， ；，． 易错必刷题五、平面向量及其加减运算 13．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（    ） A．∥，∥ B．||＝2|| C．＝2，＝3 D．+2＝ 【答案】B 【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】解：A、由推知非零向量的方向相同，则，故本选项错误，不符合题意； B、由不能确定非零向量的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确，符合题意； C、由推知非零向量的方向相同，则，故本选项错误，不符合题意； D、由推知非零向量的方向相反，则，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，解题的关键是即方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量． 14．（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为 ． 【答案】+ 【分析】如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE．证明四边形ABEC是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题． 【详解】解：如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE． ∵AD＝DE，BD＝CD， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：+． 【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型． 15．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点． （1）如果图中线段都可画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与向量相等的向量是　 　； （2）设＝，＝，＝．试用向量，或表示下列向量：＝　 　；＝　 　． （3）求作：．（请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论） 【答案】（1）；（2）+、+﹣；（3）如图所示见解析. ． 【分析】（1）由中位线定理得EF∥AC、EF=AC，HG∥AC、HG=AC，从而知EF=HG，且EF∥HG，根据相等向量的定义可得； （2）由可得； （3）由G为DC中点知，从而得=，据此根据三角形法则作图即可得． 【详解】（1）∵E、F是AB、BC的中点，H、G是DA、DC的中点， ∴EF∥AC、EF＝AC，HG∥AC、HG＝AC， ∴EF＝HG，且EF∥HG， ∴， 故答案为； （2）由图知， 则， 故答案为； （3）如图所示： ． 【点睛】本题考查平面向量的知识，解题的关键是掌握中位线定理、相等向量的定义及三角形法则． 易错必刷题六、平面镶嵌 16．（24-25八年级下·上海虹口·期中）足够多的如下四种边长相等的正多边形瓷砖，则下列组合能铺满地面的是（    ）    A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了平面镶嵌，解决此类问题的关键是明确一个顶点处的角是否能组合成一个周角.只需要计算各个选项中的一个顶点处的角是否能组合成一个周角即可得出答案. 【详解】解：①正三角形的每一个内角为，②正方形的每一个内角为，③正五边形的每一个内角为，④正六边形的每一个内角为； A、正三角形和正五边形不能组合能铺满地面，故A不符合题意； B、若有4个正三角形、1个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故B符合题意； C、正方形和正五边形不能组合能铺满地面，故C不符合题意； D、正方形和正六边形不能组合能铺满地面，故A不符合题意； 故选：B. 17．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）如图图1所示用地砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板（如图2），它们能镶嵌成平面图案，依据是 ． 【答案】三角形的内角和为 【分析】根据三角形的内角和为，可知6个这样的三角形即可镶嵌成平面图形． 【详解】解：三角形的内角和为， 在每个公共顶点处，每个角用2次，6个角的和是， 形状、大小相同的三角形纸板可以做平面镶嵌， 故答案为：三角形的内角和为． 【点睛】本题考查了平面镶嵌和三角形的内角和定理，熟练掌握平面镶嵌的特征是解题的关键． 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．    【答案】能，见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计； 根据正六边形可以进行平面镶嵌，类似的将等边三角形填充到剪去的位置即可． 【详解】解：能．设计方案图所示．    易错必刷题七、事件发生的可能性 19．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．生老病死 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意； B．大海捞针是不可能事件，不符合题意； C．返老还童是不可能事件，不符合题意； D．生老病死是必然事件，符合题意； 故选：D． 20．（23-24八年级下·上海宝山·期末）有下列事件：①某餐厅供应自选菜肴，共准备荤素种不同的品种，一顾客任选一种菜肴，选中素菜；②件某种产品全是优等品，今从中选出1件次品；③在停靠、、、、路的车站上，张老师等到路车；④台风登陆江苏；⑤人中至少有个人的生日相同． 其中，必然事件是 ，不可能事件是 ，随机事件是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件；不可能事件是一定不会发生的事件；必然事件是一定会发生的事件． 【详解】解：某餐厅供应自选菜肴，共准备荤素种不同的品种，一顾客任选一种菜肴，选中素菜是随机事件； 件某种产品全是优等品，今从中选出件次品是不可能事件； 在停靠、、、、路的车站上，张老师等到路车是不可能事件； 台风登陆江苏是随机事件； 人中至少有个人的生日相同是必然事件． 综上所述，必然事件是；不可能事件是；随机事件是． 故答案为：必然事件是；不可能事件是；随机事件是． 21．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）转动如图所示的转盘．下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件？根据你的经验，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 转盘停止后指针指向； 转盘停止后指针指向1； 转盘停止后指针指向的数大于1； 转盘停止后指针指向的数不是奇数就是偶数； 转盘停止后指针指向的数是偶数． 【答案】不可能事件；随机事件；随机事件；必然事件；随机事件．排序：． 【分析】本题主要考查必然事件、不可能事件、不确定事件的概念，及这些事件发生的可能性大小；理解概念是解决此类问题的关键．不确定事件：无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，称它们为不确定事件或随机事件；不可能事件：称那些在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件，它发生的可能性为0；必然事件：称那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件为必然事件，发生的可能性为1；逐一判断即可． 【详解】解：“转盘停止后指针指向”属于不可能事件； “转盘停止后指针指向1”属于随机事件； “转盘停止后指针指向的数大于1”属于随机事件； “转盘停止后指针指向的数不是奇数就是偶数” 属于必然事件； “转盘停止后指针指向的数是偶数” 属于随机事件； 这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：． 易错必刷题八、列表法或树状图法求概率 22．（2025·上海杨浦·模拟预测）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 23．（24-25八年级下长宁·上海·期中）糯米同学要购买两张高铁车票，系统将从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“购买的车票座位恰好一个靠近窗户，一个靠近过道”的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了树状图法求概率．画树状图展示所有20种等可能结果数，再找出恰好选到一个靠近窗户，一个靠近过道的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共20种等可能的结果数，其中购买的车票座位恰好一个靠近窗户，一个靠近过道有种， ∴“购买的车票座位恰好一个靠近窗户，一个靠近过道”的概率是． 故答案为：． 24．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）小明和小亮同学都特别喜欢唐代伟大的浪漫主义诗人李白的诗词，课间他们摘其5句诗词并用它们的编号分别制成5张卡片（卡片除编号外完全相同）玩数学游戏．五句诗词如下： 编号 诗句 A 日照香炉生紫烟 B 飞流直下三千尺 C 收入春风满洛城 D 遥看瀑布挂前川 E 谁家玉笛陪飞声 小明将这5张卡片背面朝上，洗匀放好．请你完成下列问题： (1)填空：小亮从5张卡片中随机抽取1张，恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率是____； (2)小亮从5张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法求出都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率； (3)填空：小亮从5张卡片中随机抽取2张，两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的概率是_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率的计算公式即可求解； （2）根据题意列出表格，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的计算公式即可求解； （3）结合（2）中的表格，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的计算公式即可求解； 【详解】（1）解：小亮从5张卡片中随机抽取1张，共有5种等可能的结果，恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子有3种情况， 恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 由表格可知，共有20种等可能的结果，其中2张都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的情况有6种， 都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率． 答：都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率为． （3）解：由（2）中的表格可知，共有20种等可能的结果，两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的情况共有4种， 都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率． 故答案为：． 易错必刷题九、多边形对角线的条数问题 25．（2025·上海嘉定·模拟预测）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键． 根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线； 故选：C． 26．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）若一个正多边形的每一个外角是．则它是正 边形，有 条对角线． 【答案】 八 20 【分析】本题考查正多边形的知识，解题的关键是根据题意，求多边形边数：，再根据对角线公式：，即可． 【详解】解：∵一个正多边形的每一个外角是， ∴多边形边数为：， ∴多边形的对角线数量：． 故答案为：八；． 27．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条． 【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念． （1）根据“对边线”的概念求解即可； （2）根据（1）中的结果总结求解即可； （3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可． 【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 易错必刷题十、对角线分成的三角形个数问题 28．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形的个数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键．多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．据此解答即可． 【详解】解：∵从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是． ∴过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是（个）， 故选：A． 29．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图是用木棍首尾连接好的六边形，但六边形始终无法固定形态，若要使该六边形稳定，则至少需要再钉上 根木棍． 【答案】/三 【分析】本题考查了三角形的稳定性，过多边形的一个顶点的对角线的条数．根据三角形的稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线，把多边形分成个三角形， ∴要使一该六边形稳定，至少需要根木条固定． 故答案为：． 30．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】可以得到4个三角形，三角形的个数等于边数减1 【分析】根据图形找出三角形的个数，再分析出三角形个数与边数的关系即可． 【详解】解：根据图形可知， 图中共有4个三角形，三角形的个数等于边数减1． 【点睛】本题主要考查了多边形的知识，正确找出三角形的个数是解题关键． 易错必刷题十一、正多边形的外角与内角问题 31．（2025·上海宝山·模拟预测）现有一个正n边形． (1)若，求其内角和； (2)若这个正n边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了求多边形内角与外角，掌握多边形外角和的公式是解题的关键． （1）直接根据内角和公式进行计算即可； （2）设每个外角的度数为，则每个内角的度数为，列出方程并求出每个外角的度数，再用外角和除以外角的度数得到边数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：设每个外角的度数为，则每个内角的度数为， ， ， ． 32．（2025·全国·专题练习）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 先求出正五边形的每一个内角为，然后根据折叠的性质求得和，在中，根据三角形的内角和定理可求出，又根据折叠的性质可知，于是可求出． 【详解】解：五边形的内角和为， ， 由折叠可知：，， ， ． 33．（2025·上海金山·模拟预测）如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了64米 (2) 【分析】本题主要考查正多边形的内角和及外角，熟练掌握正多边形的概念是解题的关键； （1）根据题意可知这个正多边形的外角为，然后可得该正多边形的边数为，进而问题可求解； （2）由（1）结合多边形的内角和公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：这个正多边形的外角为， ∴该正多边形的边数为， ∴； 答：小明一共走了64米． （2）解：由（1）可知： 这个正多边形的内角和为． 易错必刷题十二、正比例函数的图象与性质 34．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）若为正比例函数，则的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键．形如（为常数，）的函数叫做正比例函数，由此计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 35．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得的值，再由图象的位置进行取舍，可求得的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得， 图象经过第一、三象限， ， ， ． 故答案为：2． 36．（23-24八年级下·上海松江·期末）5月是销售樱桃的季节，某樱桃种植园为了吸引顾客，推出入园采摘销售模式．已知采摘樱桃重量x（千克）与所需费用y（元）之间的关系可以用来表示. (1)上述关系中，______是自变量，______是因变量； (2)上述关系用表格表示如下表，请补充填空： 千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 元 3 6 ______ 12 15 ______ … (3)48元能买多少千克樱桃？ 【答案】(1)采摘草莓的重量x；所需费用y (2)见解析 (3)48元能买8千克樱桃． 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用： （1）根据自变量和因变量的定义即可得出答案； （2）根据函数关系式，代入数据即可求解； （3）把代入函数关系式中即可得出答案． 【详解】（1）解：上表反映了所需费用y（元）与采摘草莓的重量x（千克）这两个变量之间的关系； 采摘草莓的重量x（千克）是自变量；所需费用y（元）是因变量． 故答案为：采摘草莓的重量x；所需费用y； （2）解：填表如下： x/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y/元 3 6 9 12 15 18 … （3）解：当时，，解得． 答：48元能买8千克樱桃． 易错必刷题十三、根据一次函数的定义求参数 37．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图是一次函数 与 的图象，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时，一次函数 的值都为负数 D．方程的解是 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵的图象呈下降趋势， ∴， 故项错误； ∵的图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， 故项错误； ∵一次函数解析式为： ， ∴当时，， ∴一次函数与轴的交点坐标为， ∴当时，一次函数 的值大于， 当时，一次函数 的值小于， 当时，一次函数 的值等于， 故项错误； ∵由一次函数 与 的图象的交点可知 当时一次函数 与一次函数 的值相等， 故项正确； 故选． 38．（24-25八年级下·上海崇明·期中）若一次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，把原点坐标代入解析式求出k的值，再根据一次项系数不为0即可求出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， 解得， 又∵， ∴， 故答案为：2． 39．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知一次函数． (1)求该一次函数的图象与轴交于时的值？ (2)当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入求解即可； （2）根据随的增大而减小可知，一次项的系数小于0，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：； （2）解：∵随的增大而减小， ∴， 解得：， ∴当时，随的增大而减小． 易错必刷题十四、求一次函数自变量或函数值 40．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，直线是函数的图象．若点满足，且，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，代入横坐标求出纵坐标即可判断．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：A. ，不满足，故该选项不正确，不符合题意； B.当时，，则在的上方，满足，不满足，故该选项不正确，不符合题意； C. 当时，，则在的下方，满足，满足，故该选项正确，符合题意； D. 当时，，则在的上方，满足，不满足，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 41．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知中的实数与中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求正比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，首先应用待定系数法求出正比例函数解析式，然后把代入求出结果即可． 【详解】解：设该正比例函数解析式为：，把代入得：， ∴该正比例函数解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴的值为． 故答案为：． 42．（2025·上海宝山·模拟预测）下面是画函数的图象的过程． 列表： x … 0 1 … y … ______ ______ ______ … 描点并连线： 请根据上面的信息回答问题： (1)补全表格中y对应的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象． (3)若点在函数的图象上，求出m的值． 【答案】(1)；；2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式，计算自变量对应的函数值，解答即可． （2）根据描点法画图象解答即可． （3）根据点在函数的图象上，得点的坐标满足函数的解析式，代入转化为m的方程，解方程求出m的值． 本题考查了坐标与解析式，图象的画法，解方程，熟练掌握坐标与解析式的关系，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：    2． （2）解：根据题意，如答图所示， 图象即为所求． （3）解：点在函数的图象上， 将代入， 得． 解得． 易错必刷题十五、根据一次函数解析式判断其经过的象限 43．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）两条直线 与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，从而可以解答本题.本题考查是两条直线相交问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：A、当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、四象限，故该选项不符合题意； B、当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、三象限，故该选项不符合题意； C、当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、四象限，故该选项符合题意； D、当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第二、三、四象限，故该选项不符合题意； 故选：C 44．（24-25八年级下·上海静安·课后作业）已知是反比例函数图象上的两个点，当时，，那么一次函数的图象不经过 象限． 【答案】第二 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定k的符号． 首先根据时，，确定反比例函数中的符号，然后再确定一次函数的图象所在象限． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴不经过第二象限， 故答案为：第二． 45．（24-25八年级下·上海徐汇·随堂练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． (1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______； (2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值． 【答案】(1)；4 (2)2或 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型： （1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可； （2）利用分类讨论的方法和“7阶和点”的定义求得“7阶和点”，再利用待定系数法解答即可； 【详解】（1）解：把点代入，得： ，解得：； ∵点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”， ∴点到两坐标轴的距离之和等于， ∴点是y关于x的正比例函数的“4阶和点”， 即． 故答案为：；4； （2）解：设一次函数图象的“7阶和点”为，则，， ∵一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ∴； ∴一次函数图象的“7阶和点”为； 把代入得： ，解得：； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ∴； ∴一次函数图象的“7阶和点”为， 把代入得： ，解得：； 综上，k的值为2或． 易错必刷题十六、已知函数经过的象限求参数范围 46．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 47．（2025·上海静安·模拟预测）关于一次函数，给出下列说法正确的是 ． ①若点，在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到： ④该函数恒过定点． 【答案】①③④ 【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质．根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可． 【详解】解：若点，在该函数图象上，且， ， y随x的增大而增大，则，说法正确，故①符合题意； 若该函数不经过第四象限，则， ，原说法错误，故②不符合题意； 正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到，即，说法正确，故③符合题意； 令，则该函数恒过定点，说法正确，故④符合题意； 故符合题意的有①③④， 故答案为：①③④． 48．（2025·上海金山·模拟预测）已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求m的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； (3)m为何值时，函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的性质解题即可． （1）把点代入一次函数解析式就可以得出m的值． （2）根据平行于直线，可知一次函数的，继而求得m值，再把m值代入一次函数解析式，即可就得一次函数解析式． （3）根据函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大，得出一次函数k和b值的条件，然后列出不等式组解不等式组即可求得m． 【详解】（1）解：把点代入函数解析式， 得：，故． （2）若函数图像平行于直线， 则：中的k值与直线中的k值相等， 则：， 解得：， 把代入，得：， 故一次函数解析式为：． （3）函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大， 则且， 故解不等式组， 解得： 易错必刷题十七、根据一次函数增减性求参数 49．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）已知一次函数满足，且随的增大而减小，则该一次函数的大致图象是大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先根据题意判断出、的符号，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数的随的增大而减小， ． ， ， 此函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 50．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）有一个一次函数，两位同学说出了它的一些特点：小军说它的图象经过；小梅说在这个函数中，随的增大而减小．请你写出满足上述全部特点的一个一次函数 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意即可直接写出满足上述全部特点的一个一次函数（答案不唯一）． 【详解】解：根据题意，写出满足上述全部特点的一个一次函数为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 51．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知关于x的函数． (1)若图像与y轴的交点的纵坐标为5，求k的值． (2)若y随x增大而增大，求k的取值范围． (3)若将图像向下平移2个单位长度后，经过点，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，进行计算即可得； （2）根据题意和一次函数的性质得，进行计算即可得； （3）根据图像的平移可得向下平移2个单位长度后，函数，再将点代入中，进行计算即可得． 【详解】（1）解：∵函数的图像与y轴的交点的纵坐标为5， ∴ 解得，． （2）解：∵y随x增大而增大， ∴ 解得，． （3）解：将图像向下平移2个单位长度后，函数， ∵过点， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，解题的关键是掌握理解题意，掌握一次函数的性质． 易错必刷题十八、比较一次函数值的大小 52．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）已知一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 在中，当时随的而增大，当时，随的增大而减小，利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：在一次函数中， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 53．（2025·上海宝山·模拟预测）已知点，是一次函数图象上的两点，如果，那么，的大小关系是 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点，是一次函数图象上的两点，且， ∴； 故答案为：． 54．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知y是x的一次函数，下表是列出了几组对应值． x … 0 2 … y … m 0 n … (1)求该函数的解析式： (2)请在坐标系中画出该函数的图象，并直接写出m，n的大小关系：m______n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象，熟知待定系数法及一次函数的图象和性质是解题的关键, （1）利用待定系数法即可解决问题. （2）根据（1）中的函数解析式，画出函数图象即可，求出m，n的值，即可比较大小. 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 依题意得：，解得 该函数的解析式， （2）因为当时，；当时，， 该函数的图象如图所示 当时， , 当时，, 易错必刷题十九、求一次函数解析式 55．（2025·上海闵行·模拟预测）已知两直线与相交于点，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，先将点代入求出m的值，再将点代入即可求出k的值． 【详解】解：将点代入得，， 将点代入得，， 解得， 故选：B． 56．（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是 ． 【答案】/0.4 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设， 点在直线上， ， ， ∵， ， ， ， 点在上， ， ， 故答案为：． 57．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 【答案】(1) (2)画图见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用两点法画直线即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点和点 ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，；当时，， 过点和画直线，如图所示： 易错必刷题二十、添一条件使四边形是矩形 58．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，点是任意四边形中的中点，若四边形是矩形，则四边形需要满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的判定，根据三角形中位线定理，得到，，则可证明四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，那么要满足，即要满足，据此可得答案． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形中、、、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是矩形，那么要满足，即要满足， 故选：A． 59．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，请添加一个条件使平行四边形成为矩形，这个条件可以是 ．    【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形、菱形等特殊四边形的有别与平行四边形的性质是解决问题的关键．矩形是特殊的平行四边形，矩形有平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角相等且都等于，可针对这些特点来添加条件． 【详解】解：若使平行四边形变为矩形，可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形） ．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：或（答案不唯一）． 60．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，延长到，使，连接，，．    (1)求证：； (2)直接写出一个使四边形为矩形的条件． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，，因为点在的延长线上，，所以，，即可根据平行四边形的定义证明四边形为平行四边形，则； （2）因为四边形为平行四边形，所以当，则，可根据矩形的定义证明四边形为矩形；此外，当时，可由“对角线相等的平行四边形是矩形”证明四边形为矩形． 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，， 点在的延长线上，， ，， 四边形为平行四边形， ． （2）当时，四边形为矩形， 理由：由（1）得，四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形． 或： 当时，四边形为矩形， 理由：由（1）得，四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，证明，是解题的关键． 易错必刷题二十一、添一个条件使四边形是菱形 61．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，下列条件中，不能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、菱形的定义和判定定理等知识，正确理解菱形的定义与判定定理是解题的关键．由四边形是平行四边形，对角线相等，可证明为矩形，但不一定是菱形，即可解决该问题． 【详解】解：A．四边形是平行四边形，且， 为菱形，故A不符合题意； B．四边形是平行四边形，且， 为菱形，故B不符合题意； C．四边形是平行四边形，且， 为矩形，但不一定是菱形，故C符合题意； D．平分， ， ， ， ， ，为菱形，故D不符合题意， 故选：C． 62．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可） 【答案】AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可） 【分析】由菱形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下： ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加条件是：，理由如下： ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加的条件是OA=OC，理由如下： ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加的条件是OB=OD，理由如下： ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可） 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键． 63．（2025·全国·模拟预测）如图，在四边形中，对角线交于点， (1)求证：四边形是平行四边形． (2)在（1）的基础上，添加一个条件使平行四边形是菱形，并证明． (3)在（1）的基础上，添加一个条件使平行四边形是矩形，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)添加AB=BC，证明见解析 (3)添加∠ABC=90°，证明见解析 【分析】（1）先证明△AOB≌△COD，可得AB=CD，再根据平行四边形的判定解答即可； （2）根据菱形的判定解答即可； （3）根据矩形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO， ∵OA=OC， 在△AOB和△COD中， ∵， ∴△AOB≌△COD， ∴AB=CD， ∴四边形是平行四边形； （2）解：添加AB=BC，平行四边形ABCD是菱形， 证明：∵AB=BC，四边形是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形； （3）解：添加∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形， 证明：∵∠ABC=90°，四边形是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，菱形和矩形的判定，解题的关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形． 易错必刷题二十二、添一个条件使四边形是正方形 64．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：C． 65．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是 ．（只添一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形解答即可． 【详解】添加条件（答案不唯一），那么该菱形是正方形． 理由：∵四边形是菱形， 又∵， ∴根据正方形判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形，可知菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 66．（2025·全国·专题练习）如图，，是的两条中位线．我们探究的问题是：这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系？建议按下列步骤探索： (1)围成的四边形是否必定是平行四边形？ (2)在什么条件下，围成的四边形是菱形？ (3)在什么条件下，围成的四边形是矩形？ (4)你还能发现其他什么结论吗？ 【答案】(1)是平行四边形，证明见解析； (2)当时，四边形是菱形； (3)当时，四边形是矩形； (4)当且时，四边形是正方形 【分析】（1）根据中位线的性质及平行四边形的判定证明即可； （2）结合（1）中结论，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解； （3）结合（1）中结论，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求解； （4）结合（1）中结论，根据邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形即可求解． 【详解】（1）解：是平行四边形，理由如下： ∵，是的两条中位线， ∴，，， ∴四边形是平行四边形； （2）由（1）得四边形是平行四边形， 当时，， ∴四边形是菱形； （3）由（1）得四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形； （4）当且时， 四边形是正方形． 【点睛】题目主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题关键． 易错必刷题二十三、添一个条件成为平行四边形 67．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，，要使四边形成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 直接利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可． 【详解】∵在四边形中，，要使四边形是平行四边形， 还需添加一个条件是：或． 故选C． 68．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，请添加一个条件 ，使四边形是平行四边形（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】可连接对角线，通过对角线互相平分得出结论． 【详解】解：添加的条件为； 连接AC交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 69．（24-25八年级下·上海金山·随堂练习）在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在四边形中，对角线AC与BD相交于点O，，若______．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形是平行四边形．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分） 【答案】①，见解析 【分析】若，结合平行线的性质，证得则AB=CD，即可证明； 【详解】解：若，四边形是平行四边形； 证明：， ，， 又， ， ， 且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①. 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定；掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． 易错必刷题二十四、利用平行四边形的判定与性质求解 70．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据平行四边形的判定方法即可判断；②观察图形即可判断；③根据平行四边形的面积公式即可判断；④根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：①根据题意两组对边的长度分别相等，所以四边形是平行四边形，故①正确； ②向右拉动框架，观察图形可知的长度变大，故②错误； ③因为平行四边形的底不变，高变小了，所以面积变小，故③错误； ④因为平行四边形的四条边长度不变，所以周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：C． 71．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平行四边形中，E为的中点，交于点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率．求出阴影部分的面积占平行四边形的份数即可判断． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴米粒落在图中阴影部分的概率为， 故答案为：． 72．（2025·上海松江·模拟预测）已知：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：    (1)画线段且使，连接； (2)线段的长为__________，的长为 __________，点A到线段的距离为__________； (3)为 __________三角形，四边形的面积为 __________． 【答案】(1)见解析 (2)，，2 (3)直角，10 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定和性质： （1）利用网格特点画出即可； （2）利用勾股定理计算的长，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，利用面积法求点A到线段的距离； （3）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，利用平行四边形面积公式计算四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，    （2）解：，， 四边形是平行四边形， 由格点知，， ， ，即， 是直角三角形， 设点A到线段的距离为h，则， ， 即点A到线段的距离为2， 故答案为：，，2； （3）解：，即， 是直角三角形， 由（2）知四边形是平行四边形，点A到线段的距离， 四边形的面积为：， 故答案为：直角，10． 易错必刷题二十五、与三角形中位线有关的求解 73．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，连接，，，若的周长是，则的周长是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 由于分别是，的中点，则是的中位线，那么，同理有，于是易求的周长． 【详解】解：∵D，E分别是的边，的中点， ∴， 同理，， ． 故选B． 74．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，如果要测量池塘两端、的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是，的中点，测得的长为8米，则的长为 米． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据题意得出是的中位线，即，从而即可得解． 【详解】解：连接， ， ∵点、分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵的长为8米， ∴米， 故答案为：16． 75．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，是的正方形网格，每个小正方形的单位长为1．A、B、C均在格点上．仅用无刻度的直尺画图： (1)在图1中，过点C作线段，使得且； (2)在图2中，点E为网格线上一点，分别在线段、上作出点D、点F，连结，使得且； (3)在图3中，点D为格点，G是上任意一点，在上作点H，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点、三角形中位线的性质、平行四边形的判定和性质及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质，网格线的特点作图； （2）根据三角形的中位线的性质，网格线的特点作图； （3）连接交格线相交于点，连接并延长交线段于点P，连接并延长交于点H，根据等腰三角形的性质结合平行四边形的判定和性质即可得到． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ； （2）解：如图：即为所求； ； （3）解：如图：即为所求； ； 易错必刷题二十六、梯形中位线定理 76．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路（M、N分别是中点）.极少数同学为了走“捷径”，沿线段行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】利用勾股定理分别求出即可求解． 【详解】解：在直角梯形中，M、N分别是的中点，所以是梯形的中位线， ∴m． 过D点作的垂线交于点E，则，    ∵， ∴， 在直角三角形中，即， ∴，则， ∴ 由勾股定理可知即 ∴所以他们少走了6m， 故选：B． 【点睛】本题考查了梯形的中位线、勾股定理的应用等．熟练掌握勾股定理形式是解题关键． 77．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则    【答案】 【分析】取的中点，连接，得出是梯形的中位线，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】如图所示，取的中点，连接，    则是梯形的中位线， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 78．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）知识回顾 例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决． 实践操作 如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你延长交延长线于点，我们易证（自行补充图形）． 数学发现 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？   （用字母及符号表示） ． 证明猜想 请结合“实践操作”完成猜想的证明． 已知： 求证： 证明：    实际应用 如图，在中，，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点，若，求的长．    【答案】数学发现：，，证明见解析；实际应用： 【分析】数学发现：连接并延长，交的延长线于点，证明 ，得到，，在中，利用三角形的中位线可得，，进而可得结论； 实际应用：由题意可知是梯形的中位线，根据梯形的中位线定理可得，求出，再根据平行四边形的性质得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】数学发现： 已知：如图，，、分别是两腰、的中点，连接． 求证：和． 证明：如图，连接并延长，交的延长线于点．   ， ， 是的中点， ， ， ， ，， 点是的中点，又点是的中点， 是的中位线， ，， ， ，， ， ，； 实际应用： 是边的中点，且，， 中，， ，，是边的中点， 是的中点， 是梯形的中位线， ， ， ， 又， ．    【点睛】本题考查了三角形的中位线，梯形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是添加辅助线，利用转化的思想解决问题． 易错必刷题二十七、一次函数图象平移问题 79．（24-25八年级下·上海金山·课后作业）将直线向下平移4个单位长度后．经过点，则b的值是（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据题目先求得一次函数平移后的解析式是，将点代入即可求出答案． 【详解】解：直线向下平移4个单位长度后解析式为， 将代入可得， 故选：C． 80．（24-25八年级下·上海松江·课后作业）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据平行直线的解析式的k值相等，向下平移，横坐标不变，纵坐标减写出平移后的解析式，然后令求解即可得解． 本题考查了两直线平行的问题，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 【详解】解：∵直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线与轴交点坐标为． 故答案为： 81．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． (1)求m和k的值； (2)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围； (3)设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】本题主要考查正比例函数，一次函数的解析式、图象、性质等知识； （1）先将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，再将所得点的坐标代入一次函数解析式求出k即可． （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． （3）可将四边形的面积转化为与的面积之差． 【详解】（1）解：将点A坐标代入正比例函数解析式得， ， 所以点A的坐标为． 将点A的坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， （2）由所给函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即函数的值小于函数的值， 所以使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围为： ． （3）由（1）知， 一次函数的解析式为， 所以将此函数向右平移2个单位长度所得函数解析式为 ． 由得， ， 所以点E的坐标为． 将代入得， ， 所以点D的坐标为． 将代入得， ， 所以点C的坐标为． 所以， 所以． 易错必刷题二十八、用频率估计概率的综合应用 82．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图所示的是“向阳”兴趣小组对某试验中一种结果的统计情况，该试验结果最有可能为（   ） A．投掷一枚正六面体骰子，朝上的点数为3的倍数 B．掷一枚硬币朝上的是正面 C．不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个绿球和4个红球，摸出一个球是红球 D．从一副扑克牌中取一张牌，花色为红桃 【答案】A 【分析】根据概率公式计算概率，后比较判断即可． 【详解】∵投掷一枚正六面体骰子，朝上的点数为3的倍数的数有3，6两种可能， ∴朝上的点数为3的倍数的概率为， 与图像频率稳定在相吻合， 故A符合题意； ∵掷一枚硬币朝上的是正面概率为， ∴与图像频率稳定在不吻合， 故B不符合题意； ∵不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个绿球和4个红球，摸出一个球是红球概率为， ∴与图像频率稳定在不吻合， 故C不符合题意； ∵从一副扑克牌中取一张牌，花色为红桃概率为， ∴与图像频率稳定在不吻合， 故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式计算是解题的关键． 83．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）林业部门要观察某种树苗在一定条件下的移植成活率，下表是这种树苗在移植过程中的一组数据： 移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 853 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26400 成活的频率 0.853 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.880 根据以上数据，该林业部门估计在此条件下移植的55000棵树苗成活的棵数约为 ． 【答案】48400 【分析】大量重复实验的情况下，当频率呈现一定的稳定性时，可以用这一稳定值估计事件发生的概率，据此可解． 【详解】解：大量重复实验的情况下，当频率呈现一定的稳定性时，可以用这一稳定值估计事件发生的概率， 从上表可以看出，频率成活的频率=，即稳定于0.880左右， ∴该林业部门估计在此条件下移植的55000棵树苗成活的棵数约为55000×0.88=48400棵． 故答案为：48400． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 84．（2025·上海静安·模拟预测）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 合格频数 合格频率 (1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到）； (2)估计出售件衬衣，其中次品大约有几件． 【答案】(1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率为； (2)估计出售件衬衣，其中次品大约有件 【分析】（1）根据频率可靠性可知总数越大时频率越稳定，故总数为1000时所得频率即为每一件衬衣的合格率； （2）利用总量乘以即可求解． 【详解】（1）解：估计任抽一件衬衣是合格品的概率为； （2）解：∵估计任抽一件衬衣是合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计出售2000件衬衣，其中次品大约有100件． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率的应用，解答此题关键是估计出任取1件衬衣是次品的概率． 易错必刷题二十九、多边形内角和与外角和综合 85．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）下列多边形的内角和比它的外角和多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】解：设多边形边数为， 根据题意有， 解得：， 即这个多边形是五边形， 故选：C． 86．（24-25八年级下·上海静安·期中）若凸边形的每个内角为，则从一个顶点引出的对角线的条数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了多边形内角与外角、对角线知识的应用能力，运用多边形外角和是和对角线知识进行求解，解题的关键是能准确理解并运用以上知识的应用． 【详解】解：由题意得该多边形的边数为：， ∴该多边形是边形， ∴从一个顶点引出的对角线的条数是：（条）， 故答案为：． 87．（2025·上海宝山·模拟预测）（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． （2）如图所示，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的阴影部分的面积． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，外角和定理，扇形面积计算，熟知多边形内角和定理是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理和外角和为360度建立方程求解即可； （2）根据多边形内角和定理求出五边形内角和，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解；（1）设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为7； （2）五边形内角和为， ∴五个阴影部分的扇形圆心角度数之和为540度， ∴阴影部分面积为． 易错必刷题三十、一次函数与反比例函数的交点问题 88．（2025·上海宝山·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，过点作轴，垂足为．已知的面积，则等于（   ）． A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数中系数的几何意义． 由反比例函数图象的对称性和反比例函数系数的几何意义可得：的面积为面积的 2 倍，． 【详解】解：由题意得：， 则， ∵， 则 故选：A． 89．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，已知直线经过点，点关于轴的对称点在反比例函数的图象上．若，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，图象法求不等式解集，掌握图像法解不等式解集是关键． 根据题意得到一次函数，反比例函数解析式，再根据题意得到一次函数与反比例函数交点，结合图象法求不等式解集即可． 【详解】解：∵经过点， ∴， ∴， ∴点关于轴的对称点， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即， ∴化为， 令， ∴反比例函数与一次函数的交点的计算如下， ，整理得，， 解得，， 如图所示， ∴或． 90．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）一次函数与反比例函数的图像相交于、两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数解析式； (2)求点A的坐标，连接、，求的面积； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)3 (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数求出，再将点代入一次函数求出即可求解本题； （2）先求出直线的解析式，然后求出直线与轴交点及的长，最后利用求解即可； （3）根据图像求不等式的解集即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在反比例函数的图像上， ， 将点代入得， 解得， 将代入，得， ， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）由（1）得、， 设直线为， ， 解得，， 直线的解析式为， 当时，，解得， ， ； （3）如图可知，当时，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，两函数的交点问题，求三角形的面积，根据图像求二次不等式的解集，解题的关键是将点代入函数解析式，利用图像求不等式的解集． 易错必刷题三十一、一次函数与反比例函数图象综合判断 91．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）若，函数和函数在同一个坐标系中图像大致是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．分别根据一次函数和反比例函数图象的特点进行逐一分析即可，由于k的符号不确定，所以需分类讨论． 【详解】解：函数可化为， 当时， 函数的图象一、二、四象限；函数的图象在一、三象限，无此选项； 当时， 函数的图象一、三、四象限，函数的图象在二、四象限，只有A符合 故选：A． 92．（2025·全国·专题练习）如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】根据表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得． 【详解】解：表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， 则由函数图象可知，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键． 93．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图像分别交于、两点，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)已知，求的面积； (3)直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）解析式联立求得的坐标，然后根据即可求得的面积； （3）根据图象即可求得时，自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， 将，代入中得： ， 解得：， ∴， （2）解：由， 解得或， ，，，， ， （3）解：由图可得，当或时，． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 易错必刷题三十二、一次函数不等式、方程组综合应用 94．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求此一次函数的解析式； (2)求出的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、求两条直线的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立两个函数的解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：解方程组， 得， ∴点C的坐标是， ∴的面积． 95．（2025·上海松江·模拟预测）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为3，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)2或0 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是待定系数法求函数解析式． （1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线中，即可求出m值，从而求得P点的坐标，进而求得方程组的解； （2）结合两个函数图象解题即可． （3）先求出点A、B的坐标，然后根据计算面积； （4）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵点在直线：， ∴， ∵点在直线：， ∴， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． （2）由（1）可知：，：， 要使不等式，则的函数图象在函数图象的上面， 结合函数图象可知此时， 故不等式的解集为：． （3）令时，，解得， ∴点A的坐标为， 令时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴． （4）当时，；当时，， ∵， ∴， 解得：或． ∴a的值为2或0． 96．（2025·上海闵行·一模）某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a -2 -1 0 1 2 3 … (1)表中a的值为___； (2)以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象； (3)进一步探究函数图象，发现：函数图象与x轴有___个交点，因此方程的解是___． 【答案】(1)-1 (2)见解析 (3)2；x1=−3，x2=1 【分析】（1）当x=-2时，y=|-2+1|-2=-1，则a=-1． （2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线． （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当x=-2时，y=|-2+1|-2=-1，则a=-1． 故答案为：-1． （2）解：描点，连线，函数图象如图所示． ； （3）解：进一步探究函数图象，发现：函数图象与x轴有2个交点，因此方程|x+1|-2=0的解是：x1=−3，x2=1． 故答案为：2；x1=−3，x2=1． 【点睛】本题主要考查了函数图象和性质，函数图象上点的坐标特征，数形结合是解决本题关键． 易错必刷题三十三、根据矩形的性质与判定求线段长、面积、角度 97．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）如图，已知中，，．D是内的一点，且，． (1)_______°； (2)依题中的条件用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求的度数． 【答案】(1) (2)图见详解 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题． （2）作线段的垂直平分线，以为圆心为半径画弧交于，连接、、即可． （3）作于，于．只要证明，推出即可解决问题． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为． （2）解：如图所示，点即为所求． （3）解：作于，于． ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查作图复杂作图、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住直角三角形中，如果斜边等于直角边的两倍，这条直角边所对的锐角为，属于中考常考题型． 98．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知：点在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接和，交于点，若，于点，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)、、、 【分析】（1）利用证明，推出，根据平行线的判定定理即可证明； （2）先证明四边形是矩形，推出是等边三角形，得到，同理得到，推出，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵于点， ∴， 同理，， ∴， ∴、、、； 故，图中是面积3倍的所有三角形有、、、． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 99．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P，P到D的距离为2米，P到地面的距离为1.1米，求点D到地面的距离的长． (2)在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）先根据锐角三角函数求出的长，再求出的长即可解答； （2）当时，，求出此时的长，再与轿车的宽进行比较即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图； 在中，，， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ； （2）解：轿车不能驶入小区，理由如下： 当时，，， ， ， 在中，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为矩形，长3米， ∴， ， ， 轿车不能驶入小区． 易错必刷题三十四、根据菱形的性质与判定求线段长、面积、角度 100．（2024·上海宝山·一模）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝70°． （1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）30° 【分析】（1）根据题意分别以A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）由题意根据∠DBF=∠ABD-∠ABF进行计算即可得出答案. 【详解】解：（1）如图所示，直线EF即为所求； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=70°，DC//AB，∠A=∠C． ∴∠ABC=140°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠C=∠A=40°， ∵EF垂直平分线线段AB， ∴AF=FB， ∴∠A=∠FBA=40°， ∴∠DBF=∠ABD－∠FBE=30°． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 101．（2025·上海闵行·二模）如图，是一张锐角三角形纸片． (1)按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的角平分线，交于点； ②在、上分别取两点和，连接、，使四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)①图见解析；②图见解析 (2) 【分析】（1）①作已知的角平分线即可； ②先作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、，根据线段的垂直平分线的作图和性质及平分，可得，即四边形是菱形． （2）利用菱形的性质证得，可得，即，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示， ②如图所示，四边形为所求． （2）解：四边形为菱形， ，， ， ， ，， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，菱形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，熟练掌握相关尺规作图是解题关键． 102．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，，点E在BD上，满足． (1)求证：四边形AECD是平行四边形； (2)若，，，求四边形AECD的面积． 【答案】(1)见详解 (2)32 【分析】（1）通过证明，得DO=EO，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得证； （2）先证，再证四边形是菱形，最后求四边形AEDC的面积． 【详解】（1）证明： ，，， ， ， 四边形AECD是平行四边形； （2）证明：， ， ， ， 又四边形AECD是平行四边形， 是菱形， ， ， ， ， ， 四边形AECD的面积=． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，全等三角形的判定和性质是解本题的关键． 易错必刷题三十五、根据正方形的性质与判定求线段长、面积、角度 103．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)135° 【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形； （2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解． 【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键． 104．（2024·上海静安·模拟预测）（1）如图1，在的方格中，正方形，边长均为1，求出正方形的对角线的长，并将正方形，剪拼成一个大正方形，在图2中画出示意图． （2）如图3，有5个小正方形（阴影部分），能剪拼成一个大正方形吗？若能，求出大正方形的边长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）AC=，画图见解析；（2）能， 【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可． （2）能拼成正方形，正方形的边长为． 【详解】解：（1）正方形ABCD的对角线AC=， 如图2中，正方形PQMN即为所求作． （2）能，拼成正方形，边长为，如图3所示． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 105．（2024·上海长宁·模拟预测）图1，图2均为的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为．图1中的线段和图2中线段的端点、、、均在小正方形的顶点上，按下列要求画图： （1）在图1中，画出以为对角线的菱形（不是正方形），点均在小正方形的顶点上； （2）在图2中，画出以为对角线的正方形，点均在小正方形的顶点上，请直接写出正方形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）图形见解析；正方形的面积为． 【分析】（1）直接利用菱形的性质得出顶点位置进而得出答案； （2）直接利用正方形的性质得出H，G的位置，再利用正方形面积求法进而得出答案． 【详解】解：（1）如图1，菱形即为所求 （2）如图2，四边形即为所求， CH= ， ∴正方形的面积为=． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握菱形、正方形的性质是解题关键． 易错必刷题三十六、列方程（组）解应用题 106．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，给自行车商家带来商机．某自行车行经营的一种自行车一月份的销售总额为元，二月份商家促销，该种自行车的销售单价比一月份降低50元，销售数量是一月份的2倍，销售总额能达到元，求一月份该种自行车的销售单价． 【答案】一月份该种自行车的销售单价为元 【分析】本题考查分式方程的应用，设一月份该种自行车的销售单价为元，根据该种自行车的销售单价比一月份降低元，销售数量是一月份的2倍，销售总额能达到元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设一月份该种自行车的销售单价为元，由题意得： ， 解得：； 经检验是原方程的解； 答：一月份该种自行车的销售单价为元． 107．（23-24八年级下·上海青浦·期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用600万元购进A型汽车的数量比600万元购进B型汽车的数量少10辆． (1)求每辆A型汽车进价是多少万元？ (2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共80辆，总费用不超过900万元，那么该公司最多购买A型汽车多少辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车进价12万元 (2)该公司决定最多购买A型汽车50辆 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用； （1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据用600万元购进A型汽车的数量比600万元购进B型汽车的数量少10辆，列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意，列出不等式，求解即可． 正确列出方程和不等式是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设每辆B型汽车进价x万元，则每辆A型汽车进价1.2x万元．依题意，得 ， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意． ∴（万元）， 答：每辆A型汽车进价12万元． （2）解：设该公司决定购买A型汽车m辆，则B型汽车购买辆． 依题意，得 ， 解得：． 答：该公司决定最多购买A型汽车辆． 108．（23-24八年级下·上海虹口·期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？ 根据以上信息，解答下列问题． （1）小华同学设乙型机器人每小时搬运kg产品，可列方程为______．小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为小时，可列方程为______． （2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】（1）；；（2）乙型机器人每小时搬运30kg产品，见解析． 【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运（x＋10）kg产品，根据甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等，即可得出关于x的分式方程；设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，即可得出关于y的分式方程； （2）根据小华同学的解题思路，解分式方程即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运（x＋10）kg产品， 依题意得：； 设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时， 依题意得：． 故答案为：；； （2）设乙型机器人每小时搬运kg产品，根据题意可得： ， 解得：， 经检验得：是原方程的解，且符合题意， 答：乙型机器人每小时搬运30kg产品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 易错必刷题三十七、一次函数与几何综合应用 109．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与x轴交于点B． (1)求m，a的值． (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）把点代入，求出的值，再把点代入，求出的值即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴点A的坐标为． 把点代入，得， 解得． （2）令，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，． ∴． 110．（24-25八年级下·上海松江·期中）如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为：， ∵点，的坐标分别为，． 把，分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 111．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． (1)求直线的表达式； (2)设直线与轴交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得点的纵坐标为．结合反比例函数的性质求出，再运用待定系数法求出直线的表达式，即可作答． （2）依题意，先得，再结合，轴，得，则． 把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：轴于点，， 点的纵坐标为． 将代入，得， ， 设直线的表达式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：令，得． ． ，轴， ． ． ． 易错必刷题三十八、一次函数的实际综合应用 112．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）为了全面推进素质教育，增强学生体质，丰富校因文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买、两种奖品，经市场调查，若购买种奖品3件和种奖品2件，共需60元；若购买种奖品1件和种奖品3件，共需55元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元； (2)运动会组委会计划购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，当运动会组委会购买两种奖品各多少件时才能使总费用最少？最少的总费用是多少元？ 【答案】(1)种奖品的单价为元，种奖品的单价为元 (2)购买件种奖品，件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少总费用为元 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，理解题意是解题的关键． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据所给数量关系列二元一次方程组，解方程即可； （2）设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品，根据所给数量关系列一元一次不等式组，求出的取值范围，设总费用为，得到关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 依题意，得：， 解得． 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元． （2）解：设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品， 依题意，得：， 解得， 设总费用为， 则, ， 随的增大而减小， 当时，购买奖品总费用最少，最少费用为（元） 综上可知，购买件种奖品，件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为元． 113．（2025·上海宝山·二模）跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究． 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”为研究主题的跨学科活动．该社团分组到附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度/百米 … 10 11 12 13 14 15 … 气温 … … 根据表格中的测量数据，完成下面3个问题： (1)观察表格可知气温与海拔高度符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______________函数关系；（选填“一次”“二次”或“反比例”）； (2)根据（1）中得到的函数关系，求与之间的函数表达式； (3)由（2）的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1700米的气温． 【答案】(1)一次 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式，理解题意求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据记录表的数据，结合函数的概念即可判断； （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）代入，求出对应的的值，即可解答． 【详解】（1）解：观察表格可知海拔高度每增加100米，气温降低， 气温与海拔高度符合初中学习过的某种函数关系，则可能是一次函数关系； 故答案为：一次． （2）解：设函数表达式为， 代入和得，， 解得：， 与之间的函数表达式为． （3）解：代入，则， 当日同一时刻海拔高度为1700米的气温为． 114．（2025·上海奉贤·一模）劳动教育正当时，开心农场助“双减”．为落实五育并举，加强劳动教育，体会耕耘播种的艰辛．某中学在校园里开辟了一片“开心农场”，今年计划种植某种蔬菜，数学兴趣小组制作如下的活动报告． 项目主题 估算种植成本 记录数据 蔬菜种植面积（） … 蔬菜种植总成本（元） … 建立模型 发现这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积符合初中学习过的某种函数关系，关系式为：？ 绘制图象 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合 函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式； (3)当时，求这种蔬菜的种植总成本． 【答案】(1)一次 (2) (3)当时，求这种蔬菜的种植总成本为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． （1）先在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再一次连接，进而可判断这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合的函数关系式； （2）利用待定系数法求解即可； （3）将代入一次函数中求出值，即可求解． 【详解】（1）解：描出表中数据对应的点如下图： 这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合一次函数关系， 故答案为：一次； （2）设这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式为； （3）当时，， 当时，求这种蔬菜的种植总成本为元． 1．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）对于非零实数a，b，规定，若，则x的值为 （　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程，定义新运算， 根据新定义可得，再解分式方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 故选：C． 2．（2025·上海松江·一模）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．如图，某学习小组制作了四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小夏从四张卡片中随机抽取两张，抽取两张卡片内容均为物理变化的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解∶四张卡片内容中是物理学变化的有：B，C． 画树状图如下∶ 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：共2种， 小夏抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为． 故选：C． 3．（2024·上海宝山·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（2025·上海嘉定·一模）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数的图象经过第一、三、四象限，得到，从而得到，再根据一次函数的性质判断的图象． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴的图象过第一、二、三图象， 故选：C． 5．（23-24八年级下·上海闵行·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（    ） … 0 1 2 3 … … …    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．设水位与时间的关系式，用待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：设水位与时间的关系式， 把和代入表中数据得 ， 解得：， ∴水位与时间的关系式． 把代入中，得， 故选：D． 6．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键；先换元得到，再去分母整理即可． 【详解】解：设， 原方程可化为：， 去分母得，即， 故答案为：． 7．（2025八年级下·上海·专题练习）如下图，有①②③④四个转盘，小明和小红做转盘游戏，指针停在白色区域小明赢，停在黑色区域小红赢． （1）要让小明赢的可能性大，要在( )转盘上玩． （2）要想让游戏公平，要在( )转盘上玩． 【答案】 ④ ① 【分析】（1）转盘上白色区域的面积越大，小明赢的可能性越大；转盘上黑色区域的面积越大，小红赢的可能性越大； （2）转盘上两种颜色的区域面积相等时，他们赢的可能性大小相同，游戏公平，据此解答． 不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据不同颜色区域大小的情况，直接判断可能性的大小。 【详解】（1）④转盘的白色区域面积大于黑色区域面积，小明赢的可能性大． （2）①转盘上白色区域和黑色区域面积相等，游戏公平． 故答案是：④；① 8．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图知：当直线的图象在直线的下方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，，即不等式的解集为． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，F是平行四边形的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，连接，若阴影部分的面积为18，，则平行四边形的面积为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，证明，得出，，求出，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵Q是中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为18， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：40． 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，解本题的关键在找出要求的点所在的象限，然后再根据点所在的象限找出这个象限的点的规律． 分别求出点，，，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交直线于点， ∴点的横坐标为1， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∵过点作轴的垂线交直线于点， ∴点的纵坐标为坐标为2， 把代入得：， ∴点的坐标为， 同理点，，，……， 由此得到点， ∴点的坐标为． 故答案为： 11．（21-22八年级下·上海奉贤·期末）解方程组： 【答案】或 【分析】根据①得，即或，分别与②联立解方程组即可求解． 【详解】解： 由①得， 则或， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键． 12．（2025·上海长宁·二模）十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的．下列四幅十二生肖图片的大小、形状、质地及背面完全相同，将其背面朝上洗匀置于桌面上． (1)事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） (2)小乐从这四张图片中同时随机抽取两张，利用列表或画树状图的方法求抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率． 【答案】(1)随机； (2)． 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，事件的分类，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据“必然事件”，“随机事件”和“不可能事件”的定义求解即可； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两张图片恰好是“牛”“虎”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是随机事件； （2）画树状图如下： 由上图可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的有2种结果， ∴抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率． 13．（23-24八年级下·上海虹口·期中）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价x/元 … 25 30 35 … 日销售量y/千克 … 110 100 90 … （1）该超市要获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （2）该超市日销售利润能否达到2000元，若能，求出每千克樱桃的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）每千克樱桃的售价应定为30元；（2）不能，理由见详解 【分析】（1）由题意可设樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数的解析式为，然后由表格可得，进而可得，则由销售利润=单个利润×销售量可进行求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解． 【详解】解：（1）设樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数的解析式为，由表格可得： ，解得：， ∴一次函数解析式为， ∴， 解得：， ∵每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元， ∴； 答：每千克樱桃的售价应定为30元． （2）不能，理由如下： 由（1）及题意得： ， 整理得：， ∵， ∴该超市日销售利润不能达到2000元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数的应用及一元二次方程的应用是解题的关键． 14．（24-25八年级下·上海金山·期中）清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题．通过勘测，得到如下记录表： 模型抽象 测绘数据 ①测得放风筝的手到地面的距离为米； ②测出放风筝的手到铅垂线的水平距离为米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线的长为米． 相关说明 点，，，，在同一平面内，直线表示水平地面． 请你根据记录表信息，完成下面的任务： (1)①点离地面的垂直高度________米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)如果想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则放风筝的同学需再放出多少米的风筝拉线？ 【答案】(1)①；②线段的长为米 (2)需再放出米线 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）①根据矩形的判定，可得米； ②利用勾股定理求出的长，根据即可求解； （2）先根据题意求出米，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意，得：， 四边形是矩形， 米； ②由题意，得：米，，米， 在中，， ， 米． （2）解：风筝沿方向再上升米后， 米， 此时风箏线的长为米， 风箏应该再放出线的长度为米， 答：需再放出米线． 15．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）阅读理解： 画图可知道，一次函数的图象可由正比例函数的图象向右平移1个单位长度得到；类似函数的图象可以由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到． (1)反比例函数的图象向右平移2个单位长度后的图象解析式是______． 解决问题： 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点和点B． (2)求点B的坐标； (3)若将反比例函数的图象向右平移n（n为整数，且）个单位长度后，经过点，求n的值及反比例函数平移后的图象对应的解析式． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据函数图象向右平移减，向左平移加，可得答案； （2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据联立函数解析式，可得方程组，根据解方程组，可得B点坐标； （3）根据函数图象向右平移减，可得平移后的函数解析式，根据待定系数法，可得n值，函数解析式． 【详解】（1）解：根据题意得：反比例函数的图象向右平移2个单位长度后的图象解析式是； 故答案为： （2）解：∵直线过点， ∴，解得：， ∴直线， 联立得：，解得：，， ∴点； （3）解：根据题意得：将反比例函数的图象向右平移n（n为整数，且）个单位长度后的函数解析式为， ∵平移后的函数图象经过点， ∴，解得：， ∴平移后的解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，利用了函数图象平移的规律：数图象向右平移减，向左平移加；解方程组得出函数图象的交点坐标，利用了待定系数法求函数解析式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$