期末重难点真题特训之压轴满分题型（105题18个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、分式方程的无解与增根求值问题 1．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知关于x的分式方程， (1)若方程的解为，求a的值； (2)若方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）去分母得出，再将代入计算即可得解； （2）去分母得出，再由分式方程无解得出，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得， 因为方程的解为， 所以 解得； （2）解：方程两边同乘，得， 因为方程无解， 所以， 所以， 所以， 解得． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题主要考查解分式方程，理解增根，分式方程的解为正数，掌握把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意检验根是否使原分式方程有意义． （1）根据解分式方程的方法，去分母化为一元一次方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1得方法计算，最后检验根，由此即可求解； （2）根据解分式方程的方法可得，把方程的增根是代入计算即可求解； （3）根据解分式方程的方法可得，再根据方程的解为正数可得，同时保证原分式方程有意义，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：当“？”猜成时，原式为， ∴， 两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：“？”代表的数为， ∴原式为， ∴， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的增根是，原分式方程无解， ∴把代入得，， 解得，； （3）解：“？”代表的数为， ∴， ∴， ∴由上述计算可得，， ∵方程的解为正数， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 解得，， ∴且． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)是；2 (2)①；② (3)m为1或 【分析】本题考查了新定义，分式的运算，解分式方程，读懂题意，理解新定义，并正确加以应用是解题的关键． （1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2即可； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值即可； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【详解】（1）解：与B是互为“和整分式”，理由如下： 分式， ， 与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①分式，， ， 与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， ； ②， 又为正整数，分式D的值为正整数t， 或， 解得或舍去， ； （3）解：与Q互为“和整分式”，且“和整值”， ， ， ， ， 当，即时，关于x的方程无解， 当时，方程有增根， ， 解得：， 综上所述，m为1或 4．（23-24八年级下·上海闵行·期末）（2025·宁夏银川·一模）【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图，等腰直角的直角顶点的坐标为，，两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查阅读理解，解分式方程，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据阅读材料，进行计算，即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可． 【详解】解：（1） 解：先两边同乘以，得， 解得：，， 经检验无增根， ∴原方程的解为，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵点坐标是， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． 5．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）阅读与思考 认真阅读并完成相应的任务． 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 阅读逆写为；逆写为；逆写为． 观察、发现：． 阅读2：无理方程（根号里含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如：把方程两边平方，得，解得，经检验，不是原方程的根，故原方程的解为． 任务： (1)化简： (2)化简：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的运算及解无理方程，弄清题中分母有理化法则是解本题的关键． （1）观察上面解题过程，得出原式的结果即可； （2）进行分母有理化，再计算即可； （3）先将原方程两边平方，再解方程，最后再验根即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ； （3）解：方程两边平方，得， 解得． 经检验，不是原方程的根， 原方程的根是． 压轴满分题二、一次函数动点问题 6．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)若直线与轴相交于点，动点从点开始，以每秒2个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒： ①点的坐标为___________，点D的坐标为___________； ②若点在线段上，且的面积为10时，求的值； ③直接写出为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)，； (2)，；；或或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出m的值，再代入中求出b即可； （2）把代入直线解析式，即可求得； 利用面积公式列出方程进行求解即可； 分三种情况： ，和分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，， ，， 点在直线上， ， ， 又点也在直线上， ， 解得，， ，； （2）解：直线与轴相交于点， 由（1）得， ， 解得， 点的坐标为， 由（1）得点的坐标为； 故答案为：，； 过点作于点，即为的高，如图所示， ，， ， 的面积为， ，， ，， ， 设，则， ， 解得； 为等腰三角形有三种情况： 过作于，如图1所示， 则，， ， ， 第一种情况：当时，， ， 此时，解得； 第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示， 则， ， ， 或，解得或； 第三种情况：当时，如图3所示， 设，则， ， ， 解得，， 与重合，， ， ，解得； 答：为等腰三角形时，的值为或或或． 7．（2025·上海长宁·二模）如图，已知反比例函数与一次函数分别交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是y轴上一动点，且满足，结合函数图象，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用； （1）由，两点在反比例函数的图象上，可得反比例函数的解析式为，，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）如图，记直线：与轴的交点为，求解，可得，当时，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴． ∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：如图，记直线：与轴的交点为， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， 解得：或， ∴当时，， ∵不重合， ∴， 综上：且. 8．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；若动点P从A点出发，沿折线的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式并画出函数图象； (3)在（2）的条件下，当时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)或 【分析】（1）根据矩形的对边相等的性质直接写出点C的坐标，然后利用待定系数法求函数的解析式； （2）分类讨论：当时，，当时，；利用三角形面积公式求出函数解析式，再画出函数图象即可； （3）分类讨论：当时，当时，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． 设直线的解析式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵在直线上， ∴， 又∵双曲线过Q， ∴， ∴， ②当时，， 过Q作，垂足为D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，， 过Q作，垂足为E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 综上所述，． 如图， （3）把代入，得，． 把代入，得，． 结合图象可知，当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查矩形的性质，待定系数法求函数解析式，画函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，分类讨论是解题的关键． 9．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）如图，在正方形中，边长为4，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点C时停止，同时点Q以每秒0.5个单位长度的速度从B出发，沿着方向运动，点E是射线上一动点，连接、、，的面积为4，设点P、Q的运动时间为，的面积为，的长为， (1)请直接写出求分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2) 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及求反比例函数与一次函数的表达式、画函数图像以及两个函数图像的交点问题等，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）根据题意，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据两个函数的表达式画图，再根据图像说出函数的性质即可； （3）观察图像可得结论． 【详解】（1）解：当时，点P在上，； 当时，， ∴； 由图可知，， ∴； （2）解：函数和的图像如图所示： 由图可知，函数的性质有：当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大； （3）解：由图可知，两个函数的交点横坐标约为5.4， ∴当时x的取值范围为． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求m和b的值； (2)直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒． ①若的面积为10，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①7秒；②当秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点，，； （2）①由题意得：，，中，当时，，，，，即可求解；②分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：， 点， 直线过点， ∴， 解得：． （2）解：①由题意得：， 中，当时，， ， ， 中，当时，， ， ， ， 的面积为10， ， ， 则的值为7秒； ②设点，点、的坐标为：、， 当时，则点在的中垂线上，即， 解得：； 如图，当时，过点作轴于，则， ∵直线与轴，轴分别交于，两点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合时，故， 解得：； 当时，由勾股定理得：， ∴, ∴ 故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算及勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 压轴满分题三、一次函数翻折问题 11．（2024八年级下·上海·专题练习）函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）可先求得A、B坐标，再求得，从而可证得轴，则可求得C点坐标； （2）由对称性可知点D在y轴上，可求得D点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）可设，可表示出和的长，分和三种情况，可分别得到关于t的方程，则可求得t的值，可求得E点坐标． 【详解】（1）解：在中，令可解得，令可得， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴轴， ∴； （2）解：∵将沿着直线翻折，点C落在点D处， ∴， ∴点D在y轴上，且， ∴， ∴可设直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （3）解：假设存在E点，使为等腰三角形，其坐标为， ∵， ∴，，且， 若为等腰三角形，则有和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时E点坐标为； ②当时，则有，即，解得或，此时E点坐标为或； ③当时，则有，即，解得（与A点重合，舍去）或，此时E点坐标为； 综上可知存在满足条件的E点，其坐标为或或或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及勾股定理、等边三角形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中证得轴是解题的关键，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用E点坐标分别表示出的长是解题的关键． 12．（24-25八年级下·上海松江·期中）把一次函数（为常数，）在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴上方的图象组合，得到一个新的图象，这个新的图象即为函数的图象．例如：如图1就是函数的图象． (1)请在图2中画出函数的图象，并直接写出该图象与轴交点的坐标是_____； (2)在（1）的条件下，若直线与函数的图象相交于两点，求的面积； (3)函数（为常数）的图象经过两点，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析， (2)2 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用、函数的增减性与对称性等知识，熟练掌握函数图象法是解题关键． （1）利用描点法画出函数图象即可得，再求出当时，的值即可得点的坐标； （2）分两种情况：和，求出点的坐标，再利用割补法求出面积即可得； （3）先求出函数经过定点、与轴的交点为，对称轴为直线，再分两种情况：和，结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：对于函数， 当时，， 当时，， 当时，， 则在图2中画出函数的图象如下： 则该图象与轴交点的坐标是， 故答案为：． （2）解：如图，由（1）可知，， 当时，设两个函数图象的交点为点， 联立，解得，即，符合题设； 当时，设两个函数图象的交点为点， 联立，解得，即，符合题设； 则的面积为． （3）解：由题意可知，为常数，且， 将代入函数得：， ∴函数经过定点， 当时，，解得， ∴这个函数与轴的交点为，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ①如图，当时， ∵函数（为常数）的图象经过两点，且， ∴由函数图象可知，点离对称轴更远， ∴，整理得， ∴， ∴或， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当时，这个函数的对称轴为直线， ∵函数（为常数）的图象经过两点，且， ∴由函数的增减性可知，此时始终有； 综上，的取值范围为或． 13．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理于折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， 令，则；，则； ，； （2）解：，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综合上述，点P的坐标为或或或． 14．（2024·上海金山·模拟预测）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点B．    (1)求k的值． (2)将正方形分别沿直线翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点E，F，求线段所在直线的解析式． (3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)存在， 【分析】（1）由正方形面积求得点B的坐标为，即可得解； （2）由翻折可得点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4，由解析式得，设直线的解析式为，将两点坐标代入求解； （3）设点，由得，，，分情况讨论：①若，②若，③若，分别列方程求解． 【详解】（1）解：∵四边形是面积为4的正方形， ∴. ∴点B的坐标为． ∴． （2）解：∵正方形，正方形是由正方形翻折得到， ∴． ∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4 ． ∵点E，点F在函数的图象上， ∴． 设直线的解析式为，将两点坐标代入，得 解得 ∴直线的解析式为． （3）解：存在． 如图，设点，由得 ，，， ①若，则，解得或； ②若，，解得或； ③若，，解得； ∴点P的坐标为．    【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形性质，两点距离求解；坐标系内灵活运用轴对称性质求解点坐标是解题的关键． 15．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知一直角三角形纸片，其中，，，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图1所示. (1)求经过A，B两点的直线的函数表达式. (2)折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标. (3)①若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长. ②若P为上一动点，设的中点为点E，的中点为点（如图4所示）求的最小值，并求取得最小值时点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)①3；② 【分析】（1）由题意得，，则利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设,则在中，利用勾股定理即可求出的值，进而得出点C坐标； （3）①由已知可知点M的纵坐标为1，点N的横坐标为，再代入直线的解析式即可求出点M和点N的坐标，进而求出的长； ②作点F关于y轴的对称点，连接交于点P，此时的值最小，从而可求出最小值和此时点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，， 设直线的解析式，则 ，解得， 所以直线的解析式为； （2）解：设，则， 在中，， 解得， ∴． （3）解：①∵， ∴， ∴点M的纵坐标为1， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点N的横坐标为， 把代入，得， ∴， 所以； ②作点F关于ｙ轴的对称点 所以， 连接交于点P，此时的值最小，为， ∵， ∴直线为， 令，则， ∴ 【点睛】本题综合考查了运用轴对称、一次函数图象与几何变化．折叠型动态问题是近年来中考试题中的热点问题，它可以考查学生的综合能力，如想象能力、动手操作及创新意识能力等等，对于这类问题，通常从原图中选取满足条件的基本图形进行分析、解决问题． 压轴满分题四、四边形中翻折问题 16．（24-25八年级下·上海普陀·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 17．（24-25八年级下·上海虹口·期中）在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．有图是一些A号纸的长宽数据： (1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______；A．  B．（填选项） (2)证明（1）中猜想的正确性． (3)现有一长条矩形纸片未裁剪，需确认裁切线的位置，使得裁切后的纸张符合A号纸的长宽之比，请用折纸的方法确认裁切点N的位置，在图中画出折叠示意图并简要说明折叠方法． 【答案】(1)A (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意猜测求解即可； （2）设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为，根据题意列出方程求解即可； （3）将沿着折叠使得B点与D点重合，将沿着折叠使得点与点重合，将沿着折叠使与重合，C点对应点为N，将沿着折叠使得与重合，D点对应点为M，即为所求裁剪线． 【详解】（1）解：根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：， 故选：A； （2）解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得， ∴A号纸的长宽之比是 （3）解：如图所示，将沿着折叠使得B点与D点重合，将沿着折叠使得点与点重合，将沿着折叠使与重合，C点对应点为N，将沿着折叠使得与重合，D点对应点为M，即为所求裁剪线． 由作图可得，四边形为正方形 ∴， 由折叠的性质得，， ∴． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，正方形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18．（2025·上海闵行·一模）情境：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，我们可以通过以下几种方式获得正方形．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边沿重叠） 操作： （1）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形．当四边形为正方形时，直接写出与的数量关系． （2）如图2，将平行四边形沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，求平行四边形的面积． 探究： （3）如图分别为梯形四条边的中点，梯形上底与下底的和为高的2倍，请根据以上信息画出一种裁剪方式，使裁剪后的四块图形打散后能够拼成一个正方形．（裁剪线用虚线，并标注清楚相应的几何符号） 【答案】（1）；（2）；（3）作图见解析 【分析】本题考查四边形综合，涉及折叠性质、正方形性质，读懂题意，发挥空间想象能力构造图形是解决问题的关键． （1）由折叠性质、正方形性质，数形结合即可得到答案； （2）由折叠性质、正方形性质，数形结合即可得到答案； （3）如图所示，沿着虚线剪开，利用旋转和平移即可组合成一个正方形． 【详解】解：（1）由折叠性质可知，，， ，即， 当四边形为正方形时，， 与的数量关系是； （2）由折叠性质可知，， ， 若四边形为正方形，，则， ， 平行四边形的面积为； （3）沿着虚线剪开，如图所示： 将四边形绕着点顺时针旋转，使与重合；将四边形绕着点逆时针旋转，使与重合；如图所示： 沿着剪开，将与重合，如图所示： 即可构成一个正方形． 19．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 （2）点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图④，若，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）①②；（2）①见详解②见详解（3）或 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质等； （1）①由折叠的性质得，即可求解； ②连接，设，由矩形的性质结合折叠的性质，， 由勾股定理得，即可求解； （2）①连接，作的垂直平分线交于，交于，即可求解； ②由折叠的性质及等腰三角形的性质得，即可得证； （3）当时，设，由勾股定理得，即可求解；过作交于，由等腰三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解； 掌握线段垂直平分线的尺规作图作法，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解，并能以等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关． 【详解】解：（1）①， ， 由折叠得：， 故答案为：； ②连接， 四边形是矩形， ， ， ， 设， 由折叠得： ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， ， 故答案为：； （2） ①如图， 为所求作； ②如图，补全图如下： 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （3）当时， 设， 由折叠得：， ， ， ， ， 解得：； 当时， 如图，过作交于， ， ， ， ， ， 由折叠得：， ， 在和中 ， （）， ， ， 解得：， ； 综上所述：的长为或． 20．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1，探究所提供的正方形的边长都为2． 【探究】 (1)如图2，在正方形中，如果点E、F分别在、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 【应用】 (2)如图3，在正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，与交于点P，设，求线段的长（用含t的式子表示）． 【拓展】 (3)如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是、上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，可证出，即可得证； （2）过作，交于，连接，由（1）得同理可证：，由折叠的性质在中即可求解； （3）过点作，过点作，当、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【详解】（1）． 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． （2） 解：过作，交于，连接， 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， 将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边， ，，， ，， 由（1）得同理可证：， ， 设， ， ， ， ， ， 在中 ， ， 整理得：， ． （3） 解：如图，过点作，过点作， 当、、三点共线时，的值最小， 四边形是平行四边形， ，， 由（2）可证：， ， 四边形是正方形， ， ， ，， ， ， 当、、三点共线时， ， 的值最小， 的值最小． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质，正方形的性质，折叠的性质，动点线段最小值问题，掌握相关的判定方法及性质，理解折叠的性质，会根据动点的特征找出线段和最小值的条件是解题的关键． 压轴满分题五、平行四边形的动点问题 21．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在长方形中，，，动点沿着的路径运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为． (1)当点在上运动时，与的函数关系式为_____； (2)当时，_____； (3)当点在上运动时，与的函数关系式为_____； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为或 【分析】本题考查了动点在矩形上运动所形成的三角形面积的问题，函数的应用，需要利用面积公式表示出相关位置的函数关系式，并求特定取值的函数值． （1）用的长乘以，再除以即可； （2）将代入（1）中解析式，计算即可． （3）用含的式子表示出的长，再用的长乘以的长并除以，计算即可． （4）当时，点可能位于段或者段上，将分别代入（1）和（3）中函数解析式，求得值即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 当点在上运动时，， ， ， 故答案为：； （2）四边形是矩形， ， ， 点在上运动， ， 当时，， 故答案为：； （3）四边形是矩形， ，，， ， ， ， 故答案为：； （4）当点在上运动时，，当时，， 解得：； 当点在上运动时，，当时，， 解得：； 综上所述，的值为或． 22．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)______（用含有t的式子表示）： (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)在线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求Q出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，；， 【分析】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地求出的长度是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）由四边形为矩形，点是的中点，得，，，当时，四边形是平行四边形，则，求得，所以当时，四边形是平行四边形； （3）分两种情况讨论，当Q在P的右侧时及当Q在P的左侧时，进行求解即可． 【详解】（1）根据题意得，， 故答案为：； （2）四边形为矩形，， ∴， ∵点D是的中点， ∴ 由运动知， ∵四边形是平行四边形， ∴   ∴   ∴ （3）当Q在P的右侧时，如图1 ∵四边形是菱形   ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，，   ∴ 当Q在P的左侧时，如图2 同①可得，   ∴   ∴ 23．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，． (1)求证：； (2)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)或，理由见解析 【分析】本题考查动点问题及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键． （1）由垂直得，在中，，由，可得，即可证明结果； （2）分类讨论：①当，②当，③当即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①当时， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，即； ②当时，， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ③当时，此种情况不存在， 综上所述，当或时，为直角三角形． 24．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知在矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、，求证：四边形为菱形； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止．在运动过程中，已知点的速度为每秒，点的速度为每杪，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，平行四边形的性质等等： （1）由矩形的性质得到，则，，再由相等垂直平分线的性质得到，，证明，得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形性质得出，根据垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得：，求出，再分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵的垂直平分线分别交，于点E、F，垂足为O， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵的垂直平分线是， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴； 显然当P点在上时，Q点在上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在，Q在时不构成平行四边形， ∴只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为，点Q的速度为， ∴，， ∴， 解得：． ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 25．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在平行四边形中，，，，平行四边形的面积是32，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点C运动，到点C停止，设点P运动的时间为t（秒）． (1)求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点P与某个点连线将的面积二等分时，求t的值； (4)当点P在平行四边形某个角的平分线上时，直接写出t的值（不包括点P在A、B、C上）． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)5或 (4)3或5 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及线段的和差： （1）根据平行四边形的性质求出得由勾股定理可求出； （2）分点在和上两种情况求解，当点在上时，由可得；当点在上时，的长应为点运动的长度减去的长即可； （3）与的交点是的中点时，将的面积二等分，此时得可求出的值，当点为的中点时，将的面积二等分，此时点运动的路程为，即可求出的值； （4）分两种情况求出即可求解 【详解】（1）解：，，平行四边形的面积是32， 在中，； （2）解：当点在上时，即当时，由可得；； 当点在上时，即当时，； （3）解：与的交点是的中点时，如图，将的面积二等分， 四边形是平行四边形， 又 ； 当点为的中点时，将的面积二等分，如图， 此时点运动的路程为， 所以，； 综上，的值为5或； （4）解：当点在的平分线上时，则有如图， ， 当点在的平分线上时，如图， 同理可得 综上，的值为3或5 压轴满分题六、一次函数的规律探究问题 26．（2024·上海嘉定·二模）含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，， 【探究】 (1)点的坐标是______； (2)点的坐标是______； (3)点的坐标是______（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过作轴于，由菱形的性质可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标； （2）过作轴于，四边形是菱形可证，是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标； （3）由（1）（2）的证明，同理可得，，进而可得． 【详解】（1）过作轴于，则， 四边形是含的菱形， ， 是等边三角形， ， ，， ，， ，， ， 在中，， ． 故答案为：． （2）过作轴于，则， 四边形是含的菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， 在中，， ； 故答案为：． （3）由（1）（2）同理可得，，，，则点， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由特殊到一般，得到的坐标规律； 27．（23-24八年级下·上海宝山·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 28．（2024·上海松江·一模）问题探究： （1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可） （2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：； 问题解决： （3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）． ①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程； ②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线的解析式为 【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格和梯形的面积公式求解即可； （2）根据，，即可求解； （3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，量出的中点Q，连接，由，可得，从而可得，可证，再由平分梯形的面积，即可求解； ②由题意可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据一次函数平移的规律可设直线的解析式为，再把代入求得直线的解析式为，从而可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一）， 理由如下：如图，直线l分别交、于点E、F， ∵，， ∵； （2）设、之间的距离为h，∵， ， ， ． （3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N， 量出的中点Q，连接，的位置如图所示． ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵平分梯形的面积， ∴平分五边形的面积， ②由题意得，，，，，， ． 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为，故可设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为． 当时，，解得． ． ， 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 29．（24-25八年级下·上海宝山·期中）[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式， 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；小谢认为平移前后直线中的“k”不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证： [解决问题] （1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为 ； （2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； [拓展应用] （3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 【答案】（1），；（2），下， 6；（3）将直线进行两次“斜平移”后的函数解析式为 【分析】本题考查了坐标与图形变换－平移，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点． （1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解； （2）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移3个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得m，也就求得了所求的直线解析式； （3）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，找到点进行两次“斜平移”后的对应点的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得n，也就求得了所求的直线解析式． 【详解】（1）点向上平移3个单位后的点的坐标为， 设平移后的直线解析式为， 代入得，则， 所以过点的直线的解析式为； 故答案为：，； （2）可设新直线解析式为， ∵原直线经过点， ∴点O向左平移3个单位后点， 代入新直线解析式得：， ∴， ∴平移后直线的解析式为：， 由（1）可知，另外直接将直线向下平移6个单位也能得到直线； 故答案为：，下，6； （3）直线上的点，进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为，进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为， 设两次斜平移后的直线的解析式为， 代入得，， 则， 所以，两次斜平移后的直线的解析式为． 30．（2024·上海闵行·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务用函数研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律数轴是初中数学的一个重要工具，研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．学习函数知识后，我们可以用函数方法研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律． 特例研究： 例：如图1，在数轴上点，点表示的数分别为，3，动点表示的数为，求点到点，的距离和为，并直接写出的最小值. 用函数方法，我们可以用含的式子表示 ， 画出函数图象如图2，观察图象，可以直观看出：的最小值为5． 拓广探索： 若数轴上点，点表示的数分别为常数，，且，动点表示的数为，点到点，的距离和为，并直接写出的最小值，.…… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）； A．转化思想  B．数形结合思想   C．统计思想      D．分类讨论思想 (2)请直接写出“拓广探索”中，关于的函数表达式． (3)在“拓广探索”中，的最小值为______；当时，随的增大而______． (4)如果你写“拓广探索”部分的内容，请直接写出一个你发现的结论． 【答案】(1)（或或） (2) (3)；减小 (4)当时，随的增大而增大；当时，有最小值；没有最大值；等等（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数解析式，画函数图像，一次函数的性质； （1）从小论文中可知，主要运用的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，故任选两个即可； （2）对，分三种情况计算即可； （3）根据（2）的函数画出函数图像，由图象及一次函数的性质即可完成解答； （4）根据函数表达式及一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：小论文主要运用的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想， 故选：（或或）； （2）解：由题意知， 当时，； 当时，； 当时，； ∴ （3）解：画出的图像如下： 由图像知，函数的最小值为，当时，随的增大而减小； 故答案为：；减小； （4）解：由图像知，当时，随的增大而增大；当时，有最小值；没有最大值；等等（答案不唯一） 压轴满分题七、一次函数几何综合应用 31．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，当的面积为面积的时，求点坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积等知识点，学会运用用转化的思想思考问题成为解题的关键． （1）由直线与直线交于点得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再根据的面积为面积的求得，设，再分点M在上方和下方两种情况，分别根据以及三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线与轴交于点，与直线交于点， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵直线的解析式为， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ①点在上方时，如图， ，解得：， ∴点坐标为； ②点在下方，即如图， ∴，解得：， ∴点坐标为． 综上，点坐标为或． 32．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为x米，边的长为y米． (1)用含有x的代数式表示y，并指出y是x的什么函数； (2)求自变量x的取值范围； (3)若长方形的宽为5米时，求长方形的长． 【答案】(1)，y是x的一次函数； (2) (3)长方形的长9.5米或14米． 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意找出等量关系求出函数关系式是解题的关键． （1）根据长方形三边总长为24米列等式即可； （2）根据长方形的边长不能超过24米即可确定x的取值范围； （3）把代入一次函数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ，y是x的一次函数； （2）解：∵，即，则， ∵， ∴； （3）解：当时，， 当时，， 解得， 答：长方形的长9.5米或14米． 33．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)请求出点的坐标； (2)已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； (3)已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行四边形的性质和平移的性质即可求解； （2）设，分情况进行讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可； （3）连接，交于，利用中点坐标公式求出中点，再利用待定系数法可表示出和的关系． 【详解】（1）解：点坐标是，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点坐标是， ∴； （2）解：∵点是线段上一个动点， ∴设， ①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ②当时，三角形是等腰三角形， 则点在的垂直平分线上， ∴， ③时，根据勾股定理得， ∴， ∴（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图，连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点坐标是，点坐标是， ∴， ∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线过， ∴ ∴， 即与的函数关系式为． 34．（2025·上海静安·一模）如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)能， 【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，较难的是（3），正确找出两个临界位置是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可得； （3）先求出点的坐标为，再求出两个临界位置：①当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上和②当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，利用全等三角形的性质求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以这个一次函数的解析式为． （2）解：将点代入一次函数得：， 解得， ∴， ∴的边上的高为， 又∵， ∴， ∴的面积为． （3）解：将点代入一次函数得：， ∴， 由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时， 解得； ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时， 过点作轴于点， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 35．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，一次函数与斩交于点，与反比例函数分别交于点，，连接．作轴于点，且． (1)求一次函数关系式和的值； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，是否存在点M，使点M，O，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数关系式为，； (2) (3)、、、． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将一次函数与反比例函数关系式联立，求出点C的坐标，根据即可求解； （3）分，，三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得：， 一次函数关系式为， 在一次函数图象上， ， ， 将代入， 得：； （2）解：将与联立，得：， 解得，， 将代入，得 ， ， ， ， ； （3）解：， ． 当时，如图： 点M的坐标为：、； 当时，作轴于点H， 则， ， 点M的坐标为：； 当时，设点M的坐标为， 则， 解得， 点M的坐标为：； 综上可知，存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，、、、． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形的存在性问题，熟练运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键． 压轴满分题八、列方程（组）的应用题 36．（23-24八年级下·上海长宁·期末）某初中为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地建设为劳动基地，现需要利用护栏将菜地圈起来，学校以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作． 某小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项综合与实践的活动，完成了实践调查并形成了如下活动报告． 请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看 测量过程及计算 调研内容及图示      相关数据及说明： 护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分， 且要求所有的安装工作在一天内完成， 安装横杠的工人每人当天费用为元， 安装竖杠的工人每人当天费用为元； 共招募7名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作， 要求两项安装任务同时开始， 并在当天同时完成； 整个任务需要安装根横杠和根竖杠． 计算结果 【答案】支付工人的总费用为元． 【分析】此题考查了分式方程的应用，设安排x名工人安装横杠，名工人安装竖杠，要求两项安装任务同时开始， 并在当天同时完成，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设安排x名工人安装横杠，名工人安装竖杠， 得， 解得：． 检验：当时，． 所以原分式方程的解为． 当时，（名）， 费用：（元）． 答：支付工人的总费用为元． 37．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅进行销售，相关信息如下表： 进价（元/张） 零售价（元/张） 餐桌 270 餐椅 70 已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同． (1)求表中的值． (2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张，则该家具商场将这批餐桌和餐椅全部销售完后，可获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)150 (2)8700元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握分式方程和一次函数的应用是解题关键． （1）根据用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同建立方程，解方程即可得； （2）设该家具商场将这批餐桌和餐椅全部销售完后，可获得的利润为元，该商场购进餐桌的数量为张，则购进餐椅的数量张，根据利润公式可得关于的函数关系式，再根据餐桌和餐椅的总数量不超过200张求出的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 答：表中的值为150． （2）解：由（1）可知，， 则， 设该家具商场将这批餐桌和餐椅全部销售完后，可获得的利润为元，该商场购进餐桌的数量为张，则购进餐椅的数量张， 由题意得：， 整理得：， ∵餐桌和餐椅的总数量不超过200张， ∴， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：该家具商场将这批餐桌和餐椅全部销售完后，可获得的最大利润是8700元． 38．（2025·上海青浦·一模）下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝ 解法二 设… 等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度 任务： (1)解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________； A．步行的速度为 B．骑自行车的速度为 C．步行的时间为 (2)任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度． 【答案】(1)A，C (2)步行的速度为，骑自行车的速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据等量关系列出方程． （1）根据列表中给出的等量关系得出结论； （2）根据分式方程的解法解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为； 解法二所列的方程中的x表示步行的时间为． 故答案为：A，C； （2）解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：步行的速度为，骑自行车的速度为； 解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为， 根据题意得：， 解得： ， 经检验，是原方程的解， 此时，， 答：步行的速度为，骑自行车的速度为． 39．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）为美化校园，学校计划开发出两块正方形区域进行绿化，其中区域A比区域B的边长大，且在区域内设置一个面积为的宣传角，宣传角部分铺上地砖不需要绿化，现安排八年一班负责区域的绿化，八年二班负责区域的绿化． (1)若两个班绿化所花费的总费用相等，哪个班绿化的单位面积费用高？请说明理由； (2)学校原计划区域的绿化预算经费是区域的倍，这样两块区域进行绿化的单位面积费用相等，请计算，两块绿化区域的面积． 【答案】(1)八年二班绿化的单位面积费用高； (2)区域的面积为，区域的面积为． 【分析】（）先求出每班的单位面积费用，然后利用分式除法运算即可比较； （）设学校计划区域B的费用为元，根据题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了分式的运算和分式方程的应用，掌握分式运算法则，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设两个班花费的费用均为元， 则一班的单位面积费用为元，二班的单位面积费用为元， ∵， ∴八年二班绿化的单位面积费用高； （2）解：设学校计划区域B的费用为元， 根据题意得， 解得，经检验是原方程的解， 则区域得面积为：，区域的面积为， 答：区域A的面积为，区域B的面积为． 40．（23-24八年级下·上海静安·期末）为培养学生的动手实验能力，某校初二年级购进光学和电学两种实验器材，花费分别是35000元和70000元，已知电学器材的订购单价是光学器材订购单价的1.4倍，并且订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套．设购买光学器材的单价为x元． (1)根据题意，用含x的式子填写下表： 单价（元） 数量（套） 总费用（元） 光学 x 35000 电学 70000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的两种实验器材的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种器材共10套来备用，其中电学器材订购数量不低于3套，且两种器材总费用不超过1240元，这个班订购这两种器材有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)电学器材的订购单价是每套元，光学器材的单价是每套100元 (3)1120元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）利用数量总价单价填表即可； （2）利用订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套建立方程，求解即可； （3）设电学器材的订购套，则光学器材订购套，建立不等式组，求出的情况，再分类讨论计算比较即可． 【详解】（1）解：光学器材的单价为x元，则购买数量为， ∵电学器材的订购单价是光学器材订购单价的1.4倍， ∴电学器材的单价为元，则购买数量为， 则填表如下： 单价（元） 数量（套） 总费用（元） 光学 x 35000 电学 70000 （2）解：由题意得，， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验：，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：电学器材的订购单价是每套元，光学器材的单价是每套100元； （3）解：设电学器材的订购套，则光学器材订购套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴可取， ∴有4种方案， 方案一：电学器材的订购3套，则光学器材订购7套，费用为元； 方案二：电学器材的订购4套，则光学器材订购6套，费用为元； 方案一：电学器材的订购5套，则光学器材订购5套，费用为元； 方案二：电学器材的订购6套，则光学器材订购4套，费用为元， ∵， ∴按照这些方案订购最低总费用为1120元． 压轴满分题九、多边形内角和与外角和实际综合应用 41．（23-24八年级下·上海宝山·期中）规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】(1)正九边形； (2)18； (3)． 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 42．（2024·上海松江·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α． ①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）． （2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值． 深入探究： （3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由． 【答案】（1）①，②（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是进行计算即可；②四边形的内角和是进行计算即可； （2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可； （3）表示出和它不相邻的个内角的和即可． 【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数； ②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为； （2）由题意得， ， 的正整数，， ， 即这个多边形为八边形； （3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为， 则有， 即． 43．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明； （2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？ （3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？ 【答案】（1）见解析，∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，三角形中的外角和为360°，见解析；（2）∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°，见解析；（3）多边形的外角和和都是360°，见解析 【分析】（1）经测量得出∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°，∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，则据此得出结论三角形中的外角和为360°，根据平角是180°和多边形内角和证明即可； （2）分别测量出几个角并求出这几个角的和，得出结论：在四边形的外角和是360°；根据（1）中证明方法证明即可； （3）猜想：多边形的外角和和都是360°．根据（1），（2）方法证明即可； 【详解】解：（1） 经测量知∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°， 发现：三角形中的外角和为360°， 理由：∵∠CBD+∠ABC＝180°， ∠ACE+∠ACB＝180°， ∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°， 又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°； （2） ∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°， 所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°； 发现：在四边形的外角和是360°； ∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°， ∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°， ∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°， ∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°． （3）猜想：多边形的外角和都是360°． 设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°， ∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°． 【点睛】此题考查多边形外角和的知识，利用平角是180°结合多边形内角和证明即可． 44．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 【答案】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，；（2）小明第一次回到O点时所走过的路程为120米；（3）18 【分析】（1）外角的大小不会改变，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画出图形即可． （2）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得（米）． （3）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得，解方程即可． 本题考查了多边形的外角性质，外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画图如下： ． （2）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 故多边形的周长为：（米）． （3）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 45．（23-24八年级下·上海长宁·期末）数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 压轴满分题十、三角形中位线的实际应用 46．（23-24八年级下·上海普陀·期末）如图，和是全等的等边三角形，点A，C，D在一条直线上，请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，以AD为边作一个直角三角形； (2)在图2中，作出AD的平行线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接AE，则AE⊥DE； （2）连接AE交BC于P，连接BD交CE于Q，即为所求． 【详解】（1）如图1，连接AE，则 ∴ ∴即为所求： （2）如图2，连接AE交BC于P，连接BD交CE于Q 此时P、Q分别为AE、BD中点 根据中位线可得 ∴ 即为所求 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质． 47．（2024·上海普陀·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，以为腰，画出一个等腰． (2)在图②中，以为底边，画出一个等腰． (3)在图③中，点均在格点上，请用无刻度的直尺在线段上找到一点，使线段．（保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）取格点，连接，由勾股定理得，故即为所求； （）连接小正方形的对角线得到中心，作射线，与网格线交于点，由矩形的性质可知点为的中点，连接，过点作网格线的垂线段，可得，，，即可得，得到，即得，即可得，即，又，可得为的垂直平分线，故可得，即为为底边的等腰三角形； （）取格点，连接，交与点，可知点为的中点，连接，因为点为的中点，所以为的中位线，即可得； 本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 48．（2024·上海虹口·一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，点M，A，E，F在一条直线上．    (1)求证：； (2)若木棒与水平面的夹角，切点N恰好为的中点，则石头的半径为多少？（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质得到，即可得，再根据正方形的性质得到，即可解答； （2）过点N作于点G，过点N作于点H，证明四边形为矩形，即可得到，设圆的半径为，再根据（1）中条件，解直角三角形，列方程，即可解答． 【详解】（1） 证明：切于点M，切于点N， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ； （2） 解：如图，过点N作于点G，过点N作于点H，    ， ， ∵点N为的中点， 是的中位线， ， ， ∴四边形是矩形， ， 由（1）知， 是等腰直角三角形， ， 设石头的半径为，则， ， ， 解得， ∴石头的半径为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，设计圆的切线的性质及应用，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键． 49．（23-24八年级下·上海闵行·期末）【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 50．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 压轴满分题十一、正方形的性质与判定综合应用 51．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）如图①，在正方形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．线段与是否存在特殊的位置关系或数量关系？证明你的结论． （2）将图①中的正方形沿线段、剪开，再把得到的4个四边形按图②所示拼成一个四边形．若图①中，则图②中阴影部分的面积为______． 【答案】（1），证明见详解；（2） 【分析】（1）先证明，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形是正方形，即可作答． （2）再根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形，利用勾股定理求出和、的长，所的面积是10减去4个四边形的面积就是阴影部分的面积．此题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和利用全等三角形的性质． 【详解】解：（1），证明如下： 连接、、、； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：1． 52．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）综合与探究 在菱形中，过点A作射线交于点E，作，交射线于点G，在射线上截取，连接． 特例探究： （1）如图1，当时，请直接写出的度数； 操作探究： （2）如图2，当是等边三角形时，求的度数； 拓展探究： （3）如图3，当时，请直接写出，和之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，证明，推出，再根据时，菱形是正方形，可得，推出，易求，进而求出；即可得出结果； （2）同理（1）得，由是等边三角形，可得，再根据菱形的性质可得； （3）过点B作于点H，同理（1）得，则，同理（2）得，求出，易得，利用勾股定理求出，进而得到，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴菱形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）同理（1）得， ∵是等边三角形， ∴， ∵菱形， ∴； （3），理由如下： 如图，过点B作于点H， 同理（1）得， ∴是等腰三角形， ∴， 同理（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 53．（2025·上海静安·一模）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 【答案】(1) (2)作图见解析，不唯一 【分析】本题考查长方体的认识，二次根式的运算，正方形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握长方体的侧面和底面的关系是解题的关键． （1）设纸的长为，宽为，第一次翻折：由图可知，，得出，第一次翻折中，则，即可求解； （2）纸宽为，先利用图2的底面积得出，分别利用长方体的特征得到如图3和图4，再将底面积分别用含的代数式表示出来，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为， 第一次翻折：由图可知，， ∴四边形是正方形， ∴， 第一次翻折：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵纸的宽与长的比值为， ∴如图，设，， 由题可知， ∴底面积为， 得， 作法不唯一，如图3，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 如图4，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 54．（23-24八年级下·上海宝山·期末）综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析（3），证明见解析 【分析】（1）可推出，从而，根据即可得证； （2）根据，，进而可推出矩形是正方形，从而，进一步得出结果； （3）在上截取，证明得，，进而得出，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：， 证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 即； （3）解：． 证明：如图，在上截取， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 55．（2025·上海松江·二模）综合与探究 问题情境：学习完特殊的平行四边形和相似三角形有关知识后，老师组织了一节富有创意的数学活动课，引导同学们从图形变换的角度展开深度探究． 创新小组以矩形边的旋转变换为研究对象，并观察由此产生的几何性质． 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作，交直线于点． 猜想证明： 小组内同学探究思路遵循特殊到一般的探究： （1）当时，四边形的形状最特殊，此时形状为________； （2）如图2，当时，连接，猜想，和之间的数量关系，并说明理由； 综合应用： （3）在旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点，直接写出的长． 【答案】（1）正方形（2），理由见解析（3）的长为或 【分析】（1）当时，落在边上，易得四边形为正方形； （2）连接, 过点作于点，由旋转的性质得，再证明，可得，再证明是等腰直角三角形，可得，再由三点在同一直线上，可得，在中，,可得，再求解即可； （3）分两种情况：当点在的延长线上时；当点在上时；利用旋转的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，当时，落在边上， 由旋转得：， ， ， 四边形为正方形； 故答案为：正方形； （2）. 理由：如图，连接, 过点作于点. 四边形是矩形， ， 由旋转得， 在和中，, ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 三点在同一直线上， 在中，, ； （3）设 如图，当点在的延长线上时，连接， ， ， ， ， ， ， 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， 中，， ， 解得：（舍去）， ； 如图，当点在上时，连接， 同理可得， ， ， 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， 中，， ， 解得：（舍去）， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，熟练运用这些知识是关键． 压轴满分题十二、矩形的性质与判定综合应用 56．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在矩形中，，，点在上，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为（秒）． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形； (3)当将矩形的面积分成两部分时，求出的值． 【答案】(1)； (2)或或； (3)或． 【分析】（）由勾股定理得，，由题意知，当在上时，四边形是平行四边形，此时，然后求解即可； （）由是以为腰的等腰三角形，分，两种情况求解，当时，依题意得；当时，如图，以为圆心长为半径画弧，交于，交于，连接 ，由，可知重合，则，如图，作于，则四边形是矩形，，进而可得，则； （）由将矩形的面积分成两部分，可知在或上，然后表示出分成的两部分面积，根据面积比求解作答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴由勾股定理得，， ∴， 当四边形是平行四边形时，点在上，此时， ∴，， ∴； （2）解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴分，两种情况求解， 当时， 依题意得； 当时，如图，以为圆心长为半径画弧，交于，交于，连接 ， ∵， ∴重合， ∴； 如图，作于，则四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∴， 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形； （3）解：∵将矩形的面积分成两部分， ∴在或上， 当在上时，如图，则， ∴，， ∵将矩形的面积分成两部分， ∴当时，， 解得； 当时，即， 解得(不合题意，舍去)， ∴当在上，时，将矩形的面积分成两部分， 当在上时，如图， 则， ∴，， ∵将矩形的面积分成两部分， ∴当时，即， 解得； 当时，即， 解得 (不合题意，舍去)， ∴当在上，时，将矩形的面积分成两部分； 综上所述，将矩形的面积分成两部分时，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解分式方程，等腰三角形的定义等知识，熟练掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 57．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，在矩形中，，，动点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C匀速运动，同时动点F从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点D匀速运动，当点F到达终点D时，点E也随之停止运动，以、为邻边构造平行四边形与矩形重叠部分的面积为S，点F的运动时间为t(秒） (1)当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ，当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ； (2)当点G与点D重合时，求t的值； (3)当以D、G、E、C为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】(1)2，12 (2) (3)2或 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，学会用方程的思想思考问题和分类讨论思想是解题的关键． （1）当时，得出和的长，进而利用矩形的面积公式解答即可；当时，得出和的长，进而利用平行四边形的面积公式解答即可； （2）根据列出方程求解即可解决问题； （3）根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，得出，进而得出四边形是矩形，利用矩形的性质可求出一个值；另一种情形：当与相交时，利用平行四边形的性质可求出另一个值． 【详解】（1）解：当时，，， 在矩形中，，， ， 平行四边形与矩形重叠部分的面积 平行四边形的面积 ； 当时，，， 如图： 在矩形中，，， 平行四边形与矩形重叠部分的面积 平行四边形的面积 ； （2）解：当点与点重合时，， ， 由题意有：， 即：， 解得； （3）解：如图， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， ∵， 平行四边形是矩形， 点与点重合， ， ； 另一种情形： 如图，当与相交时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 即， 当以、、、为顶点的四边形恰好是平行四边形时， 或． 58．（24-25八年级下·上海长宁·期中）（1）【阅读理解】如图①，在中，，是斜边上的中线．试判断与的数量关系．解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，连接，．易证四边形是矩形，得到，即可作出判断．则与的数量关系为 ； （2）【问题探究】如图②，直角三角形纸片中，，点D是边的中点，连接，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，求的长度； （3）【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形中，，，D是边的中点，E，F分别是边，上的动点，且，当点E从点A运动到点C时，的中点M所经过的路径长是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）延长到E，使，连接，，则，证明平行四边形是矩形，得出，即可得解； （2）设交于点O．证明，即可得出答案； （3）过点D作，，证明四边形为正方形，得出．证明．得出．即可推出为等腰直角三角形，从而可得当点E从点A运动到点C时，的中点M所经过的路径为，中点的连线，即M所经过的路径为，求出，即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： 延长到E，使，连接，，则， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图2中，设交于点O． ∵，， ∴， ∴， 由翻折的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点D作，，如图， ∵，， ∴． ∵D是边中点， ∴， 同理：， ∵， ∴． ∴四边形为正方形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形， 当点E从点A运动到点C时，的中点M所经过的路径为，中点的连线， 即M所经过的路径为， ∵，， ∴， ∴的中点M所经过的路径长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 59．（2025·上海普陀·二模）综合与探究 【问题情境】已知为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动． 活动一：为上一点，将绕点旋转，得到的对应点分别为．连接． 【观察发现】如图1，四边形的形状为___________． 【深入探究】如图2，若，当四边形为矩形时，求的长． 活动二：如图3，取的中点，将绕点顺时针旋转角，得到的对应点分别为，连接． 【拓展提高】 ①猜想与的位置关系，并给予证明． ②如图3，当时，的平分线，若点到的距离为，直接写出的长． 【答案】观察发现：平行四边形；深入探究：；拓展提高：①，见解析；② 【分析】观察发现：根据旋转性质可得从而可证的形状为平行四边形； 深入探究：连接，设，根据矩形性质利用勾股定理求出x的值即可； 拓展提高：①由旋转可得，等边对等角求出，从而得到，即可得出结论；②延长，分别与相交于点，设与的交点为．先证明四边形为平行四边形，四边形为矩形，进一步证明，，从而得出结论． 【详解】解：观察发现： 绕点旋转，得到， ，， ， 四边形的形状为平行四边形， 故答案为：平行四边形； 深入探究：如图1，连接， 设． 四边形为矩形， ，即． ， ，即． 解得． 即； 拓展提高： ①. 证明：为的中点， ． 由旋转可得， ， ． . ②如图2，延长，分别与相交于点，设与的交点为． ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ． 又为的平分线， ， ， ， ， ． 由①得， ． 又， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 60．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题: 如图①，在等边 中， ， 点 分别在边 上，且 ，试探究线段 长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形， 将双动点问题转化为单动点问题， 再通过定角发现这个动点的运动路径是一条直线， 进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点 、 分别作 、 的平行线，并交于点 ，作射线 ． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题: （1）求 的度数． （2）线段 长度的最小值为_____． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理， 如图③． 小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图 ④， 是等腰三角形，四边形 是矩形， 米， ． 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 在 上，点 在 上． 在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持 ． 钢丝绳 长度的最小值为多少米? 【答案】问题解决：（1）；（2）；方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】（1）根据平行线的性质以及等边三角形的性质可证明； （2）根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】解：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； 在等边中，， ； 故答案为：． （2）由（1）可知：点P在上运动，根据垂线段最短，当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 压轴满分题十三、菱形的性质与判定综合应用 61．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，交于点，点，在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，掌握相关定理是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得到，，进而得到，即可得证； （2）由得到，即可得到，从而推出，即可得到，证得是菱形，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴，即， 四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形， ， ∴是菱形． 62．（24-25八年级下·上海长宁·期中）李老师买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点O，四边形是其内部框架，且点E、F在上，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，F为的中点，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】（1）通过为菱形得到，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）根据题意知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵菱形的对角线，相交于点O， ， ， ， ∴四边形是菱形． （2）解：，F为的中点， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵菱形中， ， ∴在中，， ∴， ∴四边形的周长为16． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 63．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）通过学习，同学们知道，我们可以通过平行四边形转移边和角等信息，根据你的学习，完成下面的问题．如图，已知垂直平分线段，，． (1)证明：四边形 是平行四边形； (2)若，，求的长． (3)已知，如图，四边形中，，，，请写出图中与相等的线段，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （）先证得，求得，从而得到，所以，因为，，所以即可证得； （）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求解； （）过作，交与点，过作于点，于点，连接，四边形是平行四边形，则，，再证明，所以，然后证明，根据性质可得，由平行线的性质可得，最后利用等角对等边即可求证． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， 设，则， ∴，即 解得：， ∴， ∴； （3）解：，理由： 如图，过作，交与点，过作于点，于点，连接， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 64．（2025·上海闵行·模拟预测）【中考新考法】综合与探究 【问题情境】“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题． 【深入探究】（2）在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究： ①“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． ②“智慧小组”准备的菱形纸片的对角线，，他们也将绕点按逆时针方向旋转，其点的对应点为，并过点作交直线于点，当时，请直接写出的长度．        【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①；②17.6或1.6 【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形； （2）①导角证明，则，设，而，则，解方程即可； ②可得，，则，设边上的高为，由面积法求得，当时，而菱形中，，故点共线，而，，则，即，由旋转得，，再分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形 由旋转的性质可知， ∴平行四边形为菱形； （2）①解：由题意得可得，， ∴， 设， ∵菱形， ∴ ∴在中，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴； ②∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设边上的高为 则， ∴， 当时，而菱形中，， ∴点共线， ∵，， ∴，即 由旋转得， 当点在右侧时，如图： ∴； 当点在左侧时，如图： ∴， 综上所述：当时，的长度为17.6或1.6． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点，难度较大，正确画出图形是解题的关键． 65．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）综合与实践 【主题】将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖四棱柱形盒子． 【素材】正方形硬纸片、菱形硬纸片、剪刀等． 【操作探究】 探究一：如题图1，在正方形硬纸片中，点O为对角线的交点，以点O为坐标原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，此时点C的坐标为；再以点O为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，则点的坐标为__________；然后按图2所示的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的有盖四棱柱形盒子，此时盒子的高h为__________． 探究二：如图4，若小组成员按探究一中的方式对菱形硬纸片进行裁剪，则他们能无损耗无重叠地制成一个有盖四棱柱形盒子吗？请说明理由． 【答案】探究一：，探究二：能，理由见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质和位似图形的性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的性质，熟练运用相关知识是解答本题的关键． 探究一、根据正方形与正方形位似，且相似比为中求出，故可得点的坐标；连接,得出，由是等腰直角三角形可得，故可得结论； 探究二、过点O作于点M，交于点N，分别证明和；用和恰可以拼成与全等的图形，由菱形的对称性可得，图中阴影部分恰可以剪拼成和底面菱形全等的图形． 【详解】解：探究一：∵点C的坐标为， ∴ ∵正方形与正方形位似，且相似比为， ∴ ∴ ∴点的坐标为； 连接,则是等腰直角三角形， ∴即此时盒子的高h为； 故答案为：；； 探究二：能．理由如下： 由题意可得，分别是的中点． ； 如图，过点O作于点M，交于点N， ∴N为的中点，； 又分别是的中点， ∴分别是的中位线． ∴ ∴. 同理可证； ∴用和恰可以拼成与全等的图形． 由菱形的对称性可得，图中阴影部分恰可以剪拼成和底面菱形全等的图形． ∴他们能无损耗无重叠地制成一个有盖四棱柱形盒子． 压轴满分题十四、平行四边形性质和判定的应用 66．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E、F是直线上的两点，并且，连接、、、 (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)14 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）过点作，交延长线于点，先求出，的值，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交延长线于点， 由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 67．（湖北省恩施市五校2024-2025学年八年级下学期期中联考数学试卷）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长：___________，___________； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后立即停止运动，则是否存在t值，使得为直角三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；②4 (2)存在，或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的性质和判定等知识，构造出直角三角形是解本题的关键． （1）①由题意可得出答案；②由平行四边形的性质得出，则可得出答案； （2）当时，，不可能为直角；分两种情况，当为直角时，当为直角时，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， 由题意得，，， 故答案为：，； ②当时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， 由题意知不可能为直角， 当为直角时，四边形是矩形， ∴，如图1， 则， ∴； 当为直角时，如图，过点P作于点M， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上，或时，为直角三角形． 68．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）在学习了平行四边形后，小明做了如下探究：在平行四边形中，E是对角线上一点，连接．请根据小明的想法和思路，完成以下作图和填空: (1)在平行四边形的内部，用尺规作，交于点F，连接、．(不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴　　 ①　　 ，∵， ∴， ∴， ∴， ∴，　　 ③　　 ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：若四边形是菱形，则四边形是　　 ④　　 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；菱形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、尺规作一个角等于已知角、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的作图步骤画图即可； （2）根据平行四边形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质完成题干中的解析过程；根据菱形的判定与性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，、、即为所求作： （2）证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：若四边形是菱形，则四边形是菱形． 理由：连接， 同理可证四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． 69．（2025·上海闵行·二模）在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，连接． (1)如图1，当点落在的延长线上时，求的长． (2)如图2，连接交于点，求证：点是的中点． (3)在旋转过程中，图2中的四边形能否形成平行四边形？若能，请求出长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)能形成平行四边形， 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理， （）由勾股定理的逆定理可得，再证明即可求解， （2）作，交的延长线于点F，利用旋转的性质得出相对应的边角关系，利用证明，即可求解； （3）先证明四边形为矩形，得出，过点作，由面积法求出，进而由勾股定理求出，由此可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵，即 ∴， 又由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：在的延长线取点F，使，如图所示： ， 由旋转性质可知：，，， ，，， ， 在和中， 点是的中点； （3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示： 当将绕点顺时针旋转度数时，得到，此时四边形能形成平行四边形， 由旋转可知：，，， ∴， ， 由（2）可知：， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴ 又∵ ∴四边形，四边形是平行四边形， 又 四边形为矩形， ，， 过点作， ∵， ∴， ，即 ∴ 在中，由勾股定理得： 70．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知平行四边形中，，，，过点作交边于点． (1)如图1，为边上一点，当时，求线段的长； (2)如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； (3)如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，可得是等腰直角三角形，，可证是等腰直角三角形，得到，在中，，则，即可求解； （2）延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点，先证明，得出，，再证明，可证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，即可证明； （3）取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，，通过证明，得出，再求证，即点、、共线，证明，得出点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上，过点作直线的对称点，连接，由对称得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，过点作于点，过点作于点，通过计算求出，再计算出，，作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点，利用四边形是平行四边形，得出，则，由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形中，，，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∴点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上， 如图，过点作直线的对称点，连接， 由对称得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时点位置如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值， 由（1）知与间的距离为， ∴， ∴， ∵，平行四边形中，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，四边形的内角和，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 压轴满分题十五、一次函数与不等式、方程组综合应用 71．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是． (1)点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______； (2)若点的美好点在直线上，求的值； (3)正方形各顶点的坐标分别为，，，，点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点， ①点______直线（填“在”或“不在”）； ②连结，当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)， (2) (3)①在；②或 【分析】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握“美好点”的定义，并熟练加以运用，及一次函数图象上点的坐标和分类讨论思想的运用． （1）根据“美好点”的定义进行求解即可； （2）若点的美好点在直线上，可得方程，解之可得； （3）①先根据点Q为点P的美好点．求得点Q的坐标，再代入，求解即可； ②先根据题意画出图形，然后根据题意分类讨论求解即可． 【详解】（1）解： 根据题意可得：点的美好点坐标是 ，， 即； 若点P的美好点为， 则， 解得，， 点P的坐标是， 故答案为：，； （2）解：点的美好点为，即， 若点的美好点在直线上， 得， 解得：， 所以的值为， 故答案为：； （3）解： ①点在直线上且点的横坐标为， ， 点Q为点P的美好点， ， 令，得， 也在直线上， 故答案为：在； ②解： 如图， 将代入中， 得，则， 将代入中，得，则， 当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，分两种情况讨论： 当点P在点F下方（含点F），点Q在线段上时，符合题意， ， 解得， 当点P在线段上，点Q在点E上方（含点E）时，符合题意， ， 解得， 故的取值范围是或． 72．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数的图像与轴交于点，且经过点． (1)求点的坐标和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质等知识点，正确求出的值是解题关键． （1）把点代入直线的解析式求出的值，根据点、的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴， ∵一次函数的图像与一次函数的图像交于点，的图像经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵ ∴由图像可知：的解集为：． 73．（24-25八年级下·上海崇明·期中）阅读材料，回答以下问题： 我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面直角坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如是方程的一个解，对应点．如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，另外方程的解还有对应点，，，，，，，将这些点连起来正是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解．所以，我们就把这条直线就叫做方程的图象．一般的，以任意二元一次方程解为坐标的对应点连成的直线就叫这个方程的图象．请解决下列问题： (1)在上图的平面直角坐标系中画出方程的图象，观察方程和方程的图象，两条直线的交点坐标为______，直接写出二元一次方程组的解为______． (2)已知关于的二元一次方程和的图象交点坐标为，求的值． 【答案】(1)画图见解析，， (2) 【分析】（）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据两点法画出图形，进而根据图形即可求解； （）把分别代入方程，再把两个方程相减即可求解； 本题考查了画一次函数图象，一次函数的交点坐标，一次函数与二元一次方程组，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴直线经过点和点，画图如下： 由图可得，两条直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （2）解：∵关于的二元一次方程和的图象交点坐标为， ∴二元一次方程和的解为， ∴，， ，得， ∴的值为． 74．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为______； ②方程组的解为______； (2)求直线的函数表达式； (3)已知点为直线上一动点，过点作轴交直线于点．设点的横坐标为，当时，求出点的坐标；结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)①，②； (2) (3)的坐标为或，当时，的取值范围是或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式： （1）①对于，分别令，，可求出点，再由勾股定理，即可求解；②根据直线的交点坐标与二元一次方程的解的关系，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）根据，轴，可得的坐标为或，即可求解． 【详解】（1）解：①对于， 令，，令，， ∴点， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵直线与轴，与直线与轴相交于点， ∴方程组的解为； 故答案为：； （2）解：由题意知，直线经过点和点， ∴解得：， ∴直线的函数表达式为：． （3）解：由题意得的坐标为的坐标为的， ∵，轴， ∴， 解得：，， ∴的坐标为或， ∴当时，的取值范围是或． 75．（23-24八年级下·上海普陀·期中）[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]（1）见解析；（2）或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：根据函数图象可得答案； [知识迁移]：先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（1）把函数化为，再画图即可； （2）在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （1）根据题意得： ， 画图如下： （2）再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 压轴满分题十六、一次函数的实际综合应用 76．（2025年黑龙江省牡丹江市初中学业水平考试第一次适应性考试数学试题）某超市准备购进野生木耳和人工培育木耳，已知购进一斤野生木耳比一斤人工培育木耳多15元，若用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，请解答下列问题： (1)求该超市购进的野生木耳和人工培育木耳单价各为多少元； (2)该超市预计购进野生木耳和人工培育木耳共100斤（野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数），总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，求有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，该超市野生木耳每斤售价70元，人工木耳每斤售价40元，若全部售出，则该超市获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进一斤野生木耳40元，一斤人工培育木耳25元 (2)有三种方案： ①野生木耳34斤，人工培育木耳66斤； ②野生木耳35斤，人工培育木耳65斤； ③野生木耳36斤，人工培育木耳64斤 (3)最大利润为2040元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设购进一斤野生木耳元，则购进一斤人工培育木耳元，根据用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，可得关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进野生木耳斤，则购进人工培育木耳斤，根据总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，可得关于的不等式，解不等式可得的取值范围，再根据野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数，即可得购进方案； （3）设总利润为 元，根据题意得，根据一次函数的性质结合（2）的结论可得答案． 【详解】（1）解：设购进一斤野生木耳元，则购进一斤人工培育木耳元， 由题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的解， 人工培育木耳的单价为元， 答： 购进一斤野生木耳 40 元， 一斤人工培育木耳 25 元； （2）解：设购进野生木耳斤，则购进人工培育木耳斤， 由题意，得， ， ， ， 是正整数， ， ， 有三种方案： ①野生木耳 34 斤，人工培育木耳 66 斤； ②野生木耳 35 斤，人工培育木耳 65 斤； ③野生木耳 36 斤，人工培育木耳 64 斤． （3）解：设总利润为 元， ， 随的增大而增大， 当时，， 答：最大利润为2040元． 77．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）在一条笔直的道路上依次有A、B、C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地，甲车速度始终保持不变．乙车中途休息一段时间，继续行驶．甲、乙两车之间的距离y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)A，B两地相距________km，乙车中途休息________h； (2)求图中线段的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)请直接写出甲、乙两车出发多长时间，两车距B地的距离相等． 【答案】(1)20；1 (2) (3)或或 【分析】本题考查了函数的图象、一次函数的应用、求一次函数的解析式，读懂函数图象的信息是解题的关键． （1）根据图象的信息即可解答； （2）设线段的函数解析式为，代入和，利用待定系数法求出的值，再结合图象即可写出自变量x的取值范围； （3）根据图象的信息求出甲车的行驶速度、乙车休息前的行驶速度，再分①甲、乙两车分别在B地的两侧，且距B地的距离相等；②甲、乙两车第一次相遇；③甲、乙两车第二次相遇三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：由图象得，当时，， A，B两地相距， 由图象得，当时，乙车开始休息；当时，乙车重新出发； 乙车中途休息； 故答案为：20；1． （2）解：设线段的函数解析式为， 代入和得，， 解得：， 线段的函数解析式为． （3）解：在时，甲、乙两车同向行驶，且乙车的速度大于甲车的速度，此时两车的速度差为 在时，乙车休息，则甲车的行驶速度为， 乙车休息前的行驶速度为， ①设出发后，甲、乙两车分别在B地的两侧，且距B地的距离相等， 则有， 解得：； ②由图象得，当甲、乙两车相遇时，两车距B地的距离相等， 两车第一次相遇发生在乙车休息的时间， 此时乙车行驶的距离为， 相遇时间为； ③由图象得，两车第二次相遇发生在C地， 此时甲、乙两车出发； 综上所述，甲、乙两车出发或或，两车距B地的距离相等． 78．（2025年天津市河西区中考一模数学试题（一））无人机表演队在进行表演训练，甲无人机以一定的速度从地面起飞，匀速上升6s时，到达训练计划指定的高度停止上升，保持此高度并开始第一次表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度96m时，进行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面给出的图象反映了这个过程中甲无人机距离地面的高度与它飞行的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 甲无人机飞行的时间/s 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度/m 48 ②填空：甲无人机返回地面时的速度为______； ③当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (2)现有新的训练计划（甲无人机保持原训练计划不变），在甲无人机开始第一次表演5秒后，有乙无人机从距离地面48米高的楼顶起飞，匀速上升并和甲无人机同时到达距离地面96米的高度，并开始与甲无人机进行联合表演，表演结束后，两机都以相同的速度同时返回地面．问乙无人机出发多久时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①8，96，96；②12；③ (2)秒或3秒 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，函数图象获取信息，解题的关键是读懂题意，读懂图象． （1）①由待定系数法求出各段的函数解析式，再求函数值，即可填表；②由图象可得列出除以时间即可求解速度；③由①即可得； （2）设乙无人机的距离地面的高度与它飞行的时间的函数关系式为，则代入，，求得，①当时，由题意得；②当时，由题意得：，分别解方程算出时间，注意题干问的是乙无人机出发多久，故还需减去秒． 【详解】（1）解：①当时，设函数关系式为， 代入得：， 解得：， ∴， 当时，； 当时，； 当时，设， 代入，得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴当时，， 故答案为：8，96，96； ②甲无人机返回时速度为：， 故答案为：12； ③由①可得：； （2）解：， 设乙无人机的距离地面的高度与它飞行的时间的函数关系式为， 则代入，得：， 解得：， ∴， ①当时，由题意得， 解得：， ∴； ②当时，由题意得：， 解得：或（舍）， ∴， 综上：乙无人机出发秒或3秒时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米． 79．（23-24八年级下·上海闵行·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 湖州市某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园，2025年计划将其中100平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植总成本元与甲种植面积（平方米）的函数关系如右图所示，其中；乙种蔬菜的种植每平方米的成本为40元． 问题解决 任务1 列出函数关系 （1）求甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； 任务2 确定种植成本 （2）若乙种蔬菜种植面积为55平方米，求2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为多少元？ 任务3 设计种植方案 （3）若甲种植面积不超过乙种植面积的3倍，设2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 【答案】（1） （2）元 （3）甲种植面积为平方米，乙种植面积为平方米，为元 【分析】（1）设甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为，把，代入，解方程组即可求出、的值，进而得出甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； （2）由乙种蔬菜种植面积为55平方米可得，甲种蔬菜种植面积为平方米，把代入，得元，然后求出乙种蔬菜种植总成本为元，两者相加，即可求出年甲乙两种蔬菜总种植成本； （3）甲种植面积为，则乙种植面积为，由题意得，解得，再结合，可得，可推出甲乙两种蔬菜总种植成本为，整理得，然后根据函数的增减性，并结合的取值范围，即可确定出的最小值． 【详解】解：（1）设甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为， 把，代入，得： ， 解得：， 甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为； （2）乙种蔬菜种植面积为55平方米， 甲种蔬菜种植面积为：（平方米）， 把代入，得： （元）， 乙种蔬菜种植总成本为：（元）， 年甲乙两种蔬菜总种植成本为：（元）， 答：年甲乙两种蔬菜总种植成本为元； （3）甲种植面积为，乙种植面积为， 由题意得：， 解得：， 又， ， 甲乙两种蔬菜总种植成本为：， 整理，得：， ， 随的增大而减小， 当时，取得其最小值，元， 此时，乙种植面积为：（平方米）， 答：甲种植面积为平方米，乙种植面积为平方米时，最小，的最小值为元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用（分配方案问题），求一次函数的函数值，解二元一次方程组等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式、函数关系式或不等式是解题的关键． 80．（2025·上海宝山·二模）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 6.8 8.6 10.4 (1)请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； (3)如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 【答案】(1)在给定的平面直角坐标系中描出相应的点，见解析 (2) (3) 【分析】（1）直接在平面直角坐标系中描点； （2）利用待定系数法求解，并检验； （3）先求出增中一个型碗增加的度数，再结合（2）求得的一次函数表达式求解． 【详解】（1）解：如图． （2）观察发现描出的各点在同一条直线上， 设这条直线的函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得：. 这条直线对应的函数表达式为； 检验：当时，； 当时，． 表中所有数据都满足函数，所以这些点在同一条直线的图象上； （3）∵把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm， ∴每增加一个型碗，高度增加为（）， ∴个型碗增加的高度为（）， ∴一个型碗的高度为（）， ∵由（1）可知型碗满足函数， ∴把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，这些碗的总高度为（）． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，描点法画一次函数的图象，待定系数法求一次函数的表达式，根据一次函数表达式求函数值等知识点，解题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式． 压轴满分题十七、一次函数与反比例函数综合应用 81．（2025·上海嘉定·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数的图象上，其横坐标为，且，过点的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，，若四边形的面积为12时，求出的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）运用待定系数法即可解答； （2）如图：过点A作轴交于F，过点B作轴交于G，分两种情况，当时，点D在的左侧，当时，点D在的右侧，可得，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为； ∵一次函数的图象过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图：过点A作轴交于F，过点B作轴交于G， 由题意得：， 设直线的解析式为，即，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 当时，点D在的左侧， 则 ， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴此时无解； 当时，点D在的右侧， 则 ， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴． 82．（24-25八年级下·上海·单元测试）已知，如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点，点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，、分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，交正比例函数的图象于点E． (1)当点D的纵坐标为9时，求点E的坐标． (2)当点D在线段的延长线上运动时，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了点在图象上，点的坐标满足图象的解析式；利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同；平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同． （1）先利用待定系数法可求出正比例函数与反比例函数的解析式分别为，，从而可确定D点坐标为，根据题意可得A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，从而可确定A点坐标为，F点坐标为，即得到点E的横坐标； （2）设D点坐标为，从而可得A点坐标为，F点坐标为，即可求得，继续求得E点坐标为，从而求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：设正比例函数与反比例函数的解析式分别为，，把分别代入得 ，解得：， ，解得：， ∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为，， 又∵点D的纵坐标为9， ∴把，代入得， 解得， ∴D点坐标为， ∵轴，轴， ∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6， ∵点A与点F在反比例的图象上， ∴把代入，得， 把代入，得， ∴A点坐标为，F点坐标为， 又∵轴， ∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为， 而点E在直线上，把代入得， ∴E点坐标为； （2）解：结论：．理由如下： 设D点坐标为， 则A点的纵坐标为，点F的横坐标为a， 把代入，得， 把代入，得， ∴A点坐标为，F点坐标为， ∴， 又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为， 而点E在直线上，把代入得， ∴E点坐标为， ∴， ∴． 83．（2025·上海阶段·模拟预测）如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②是定值， 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）设，得到即可得到； （2）①根据题意得到，求出，得到，即可得到结论； ②是定值，由题得，继而得到，即，由（1）知，得到． 【详解】（1）解：设． 轴， ． ， ， ． ， ． （2）①证明：设． 点在直线上， ． ． 当时，， ． ． ． ． ②解：是定值． 设． 轴， ∴在中，， ，， ， ． ∴． 由（1）知， ． 84．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查数形结合思想的运用． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案； （3）过C点作轴，交直线于D，求出D的坐标，即可求得，然后根据 即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 由图象和两函数交点坐标，可知， 不等式的解集为：或； （3）解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D， 由反比例函数图象的中心对称性质可知， ∵，在一次函数的图象上， ，解得， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴， 85．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和_______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：；或_______，_______． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并回答：_______围出矩形地块（填“能”或“不能”）理由是：_______． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及a的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出a的取值范围_______． 【答案】（1）；4；2；（2）不能，见解析；（3），8；（4） 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题,利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解； （2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解； （3）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，可知由唯一解，即：方程只有一个解，利用根的判别式求得（负值舍去），进而可求得交点坐标为； （4）和的长均不小于，可得，直线在、上面或之间移动，可得求的范围． 利用数形结合数学思想是解决问题的关键． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， 在中，当时，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形； 理由如下： 的图象，如图中所示： ∵与函数 图象没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图象没有交点； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴由唯一解，即：方程只有一个解， ∴，解得：（负值舍去）， 此时：，解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为； （4）∵和的长均不小于 ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，直线在、上面或之间移动， 把代入得， ∴． 1．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）定义运算“※”：．若，则的值为（    ） A． B．或10 C．10 D．不存在 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义问题，解方程，理解新定义是解题的关键．根据新定义可分两种情况：当时，；当时，，分别解方程可求解． 【详解】解：由题意得： 当时，， 即，经检验不符合题意； 当时，， 即，经检验不符合题意； 综上的值不存在． 故选：D 2．（2025·上海长宁·模拟预测）函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，分类讨论思想是关键． 根据一次函数图象的性质，分类讨论求解． 【详解】解：函数的图象上有两点， 当时，，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴，符合题意； 当时，即，，随的增大而减小， ∴，， ∴， ∴，不符合题意； 当，时，，，若， ∴， 解得，， 综上所述，当时，， 故选：A ． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期末）全程平均速度均为v千米/小时的成都东到西安北的某趟动车经停绵阳站，具体信息如表，现已知绵阳到西安北的时间t2比成都东到绵阳的时间t1多3.2小时，则根据该关系可列出关于v的方程是（　　） 区间段 区间近似里程（千米） 区间平均速度（v千米/小时） 相应时间（小时） 成都东﹣绵阳 110 v 绵阳﹣西安北 540 v A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，根据绵阳到西安北的时间比成都东到绵阳的时间多3.2小时，列方程即可得到结论．正确地理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 故选：A． 4．（24-25八年级下·上海松江·期中）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图，下列说法正确的有（   ） ①A、B两地间的距离是400千米；②甲车行驶2.5小时后到达配货站C ③乙车的速度为80千米/小时；④两车相距220千米时，乙车出发4小时． A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意并从函数图象中获取正确的信息．根据函数图象和已知条件，再进行推导即可以判断①②③④是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，时，由题意知，当时，甲车到达地， 、两地间的距离是400千米，故①正确； 由图象可知，甲车行驶2小时后到达配货站C，故②错误； 乙车的速度为千米时，故③正确； 甲车出发至地的过程中，设与之间的函数关系式为， 将、代入，得，解得， ． 在地相遇之前， 将代入得，，解得， 时，两车相距220千米， 在地相遇之后， ，， 时，甲车从地出发开往地，甲乙相距40千米， ， 当甲乙再次相距400千米时，， 甲车从地出发开往地的过程中，设与之间的函数关系式为， 将、代入，得，解得， ． 将代入得，，解得， 时，两车相距220千米， 综上所述，乙车出发1小时或4小时，两车相距220千米．故④错误； 故选：B． 5．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．根据题意求出点P运动到F点的时间为，点Q运动到点E的时间为，然后分两种情况讨论：当时，当时，根据列方程即可求解． 【详解】解：点E是的中点， ， ， 点P运动到F点的时间为，点Q运动到点E的时间为， 当时，，则， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， 即， 解得：， 当时，，则， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， 即， 解得：， 综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为或． 故选：C． 6．（北京市房山区2024-2025学年下学期学业水平调研（一）八年级数学试题（期中））已知，是一次函数图象上的两个点，则 （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）“五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 人． 【答案】1600 【分析】本题主要考查了概率的基本计算，由图中转盘可知，获得一等奖的概率为，获得二等奖的概率为，即获得一、二等奖的概率为，当天共发放奖品600份，让600除以获奖的概率即可解答． 【详解】解：P（获一等奖）， P（获二等奖）， 则当天参与此项活动的顾客为（人）． 故答案为：1600 8．（23-24八年级下·上海青浦·期中）请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法，利用题干中的方法求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 将得，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是的图象，点在x轴正半轴上，．作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点．…按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求出点的坐标，进而找到点的坐标，逐个解答便可发现规律，进而求得点的坐标． 【详解】解：由已知得，点坐标为，且点在直线上，可知点坐标为， 由题意可知，故点坐标为， 同理可求的点坐标为， 故点坐标为， 按照这种方法逐个求解便可发现规律，点坐标为， 故点的坐标为即． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，四边形中，，且，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形，四边形的周长是 ，四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形，矩形与平行四边形的关系． 首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后根据矩形的判定与性质、菱形的判定与性质作出判断，由四边形的周长公式：周长边长之和，来计算四边形的周长；根据四边形的面积与四边形的面积间的数量关系来求其面积． 【详解】解：连接， ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形； ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴（中位线定理）， ∴四边形是菱形， 同理根据中位线定理知，四边形是菱形， 根据中位线的性质知，， ， ∴四边形的周长是； ∵四边形中，，且， ∴； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形的面积是； 故答案为：；． 11．（24-25八年级下·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，满足？ 【答案】(1) (2)存在，，理由见详解 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据题意，运用根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系得到，代入求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根， ∴， 解得：； （2）解：存在，，理由如下， ∵一元二次方程， ∴， 整理得，， ，即， 解得，． 又且， ． 12．（2025·上海宝山·一模）有三张扑克牌，如图-1所示，将它们洗匀后背面朝上放在桌上，是圆的四等分点，如图-2，现通过抽取扑克牌的办法玩跑圈游戏，规则如下：若抽取扑克牌牌面上的数字是几，就从图-2中点的位置沿圆弧逆时针方向连续跑过几个圆，第二次跑圈从第一次跑圈结束后的位置上开始，按照规则继续进行． (1)求牌面数字的中位数； (2)若抽牌一次，求从跑到的概率； (3)若无放回连续抽取两次，求两次跑圈后回到点的概率． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用列表法和画树状图求概率． （1）根据中位数的定义求解即可． （2）先得出抽牌一次，一共有三种等可能结果，其中抽到3后，能从A跑到D，然后根据概率公式计算即可． （3）列出表格，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从小到大排列为：1，2，3 ∴中位数为：3． （2）解：抽牌一次，一共有三种等可能结果，其中抽到3后，能从A跑到D， 因此（从跑到）． （3）解：列表如下： 1 2 3 1 / 3 4 2 3 / 5 3 4 5 / 一共有六种等可能结果，其中和为4时能回到A点，一共有两种等可能结果 因此（两次跑圈后回到点）． 13．（2024·上海闵行·一模）我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍； C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为天， 根据题意列出方程：． （1）根据所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知条件应该是：______； （2）从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 【答案】（1）甲、乙合做4天后；（2）C方案更省钱，理由见解析 【分析】1）设规定的工期为x天，根据题意得出的方程为：，可知方案C中“星号”部分为：若．甲、乙两队合作4天； （2）根据题意先求得规定的天数，然后算出三种方案的价钱之后，再根据题意选择节省工程款的方案． 【详解】（1）甲、乙合做4天后； （2）解：解方程，得：， 经检验，是原分式方程的解， 所以规定的工期为8天． 如期完成的两种施工方案需要的费用分别为： A方案：（万元）； C方案：（万元）， ∵， ∴C方案更省钱． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答，注意：分式方程的解必须检验． 14．（2025·上海普陀·一模）课本再现 三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是的边，的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形． ②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）①3；②见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质． （）延长到点，使，连接，，．证明四边形是平行四边形，可得，且，再证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得结论； （）①连接，由三角形中位线的性质得，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论； ②连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证． 【详解】解：（1）证明：如图1，延长到点，使，连接，，． ，， 四边形是平行四边形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形， ，且． 又， ，且． （2）①如图，连接， ∵，，分别是，，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，都是平行四边形． 故答案为：3； ②证明：如图2，连接． ，，，分别是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形． 15．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．    (1)求k的值； (2)根据图象，直接写出当时，关于x的不等式的解集； (3)将直线向上平移个单位后与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点在直线上可得a，将点B代入即可求解． （2）由反比例反比例函数大于一次函数时反比函数图像位于一次函数上方即可求解； （3）直线向上平移个单位可得，联立平移后的直线与反比例函数即可得点C坐标，过B作得求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， 将点代入得： ． （2）原不等式变形得：， 即可看作反比例函数大于一次函数， ， 由图可知可得：    ． （3）直线向上平移个单位得： ， 联立， 解得：或（舍去）， 点C坐标为， 过B作，    点M坐标为，点N坐标为， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合题，待定系数法求函数解析式，反比函数与一次函数的图像及性质，解题关键是“利用割补法求面积”． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、分式方程的无解与增根求值问题 1．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知关于x的分式方程， (1)若方程的解为，求a的值； (2)若方程无解，求a的值． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 4．（23-24八年级下·上海闵行·期末）（2025·宁夏银川·一模）【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图，等腰直角的直角顶点的坐标为，，两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值． 5．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）阅读与思考 认真阅读并完成相应的任务． 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 阅读逆写为；逆写为；逆写为． 观察、发现：． 阅读2：无理方程（根号里含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如：把方程两边平方，得，解得，经检验，不是原方程的根，故原方程的解为． 任务： (1)化简： (2)化简：． (3)解方程：． 压轴满分题二、一次函数动点问题 6．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)若直线与轴相交于点，动点从点开始，以每秒2个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒： ①点的坐标为___________，点D的坐标为___________； ②若点在线段上，且的面积为10时，求的值； ③直接写出为何值时，为等腰三角形． 7．（2025·上海长宁·二模）如图，已知反比例函数与一次函数分别交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是y轴上一动点，且满足，结合函数图象，直接写出t的取值范围． 8．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；若动点P从A点出发，沿折线的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式并画出函数图象； (3)在（2）的条件下，当时，求t的取值范围． 9．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）如图，在正方形中，边长为4，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点C时停止，同时点Q以每秒0.5个单位长度的速度从B出发，沿着方向运动，点E是射线上一动点，连接、、，的面积为4，设点P、Q的运动时间为，的面积为，的长为， (1)请直接写出求分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2) 10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求m和b的值； (2)直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒． ①若的面积为10，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 压轴满分题三、一次函数翻折问题 11．（2024八年级下·上海·专题练习）函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 12．（24-25八年级下·上海松江·期中）把一次函数（为常数，）在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴上方的图象组合，得到一个新的图象，这个新的图象即为函数的图象．例如：如图1就是函数的图象． (1)请在图2中画出函数的图象，并直接写出该图象与轴交点的坐标是_____； (2)在（1）的条件下，若直线与函数的图象相交于两点，求的面积； (3)函数（为常数）的图象经过两点，且，直接写出的取值范围． 13．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 14．（2024·上海金山·模拟预测）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点B．    (1)求k的值． (2)将正方形分别沿直线翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点E，F，求线段所在直线的解析式． (3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知一直角三角形纸片，其中，，，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图1所示. (1)求经过A，B两点的直线的函数表达式. (2)折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标. (3)①若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长. ②若P为上一动点，设的中点为点E，的中点为点（如图4所示）求的最小值，并求取得最小值时点P的坐标. 压轴满分题四、四边形中翻折问题 16．（24-25八年级下·上海普陀·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 17．（24-25八年级下·上海虹口·期中）在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．有图是一些A号纸的长宽数据： (1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______；A．  B．（填选项） (2)证明（1）中猜想的正确性． (3)现有一长条矩形纸片未裁剪，需确认裁切线的位置，使得裁切后的纸张符合A号纸的长宽之比，请用折纸的方法确认裁切点N的位置，在图中画出折叠示意图并简要说明折叠方法． 18．（2025·上海闵行·一模）情境：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，我们可以通过以下几种方式获得正方形．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边沿重叠） 操作： （1）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形．当四边形为正方形时，直接写出与的数量关系． （2）如图2，将平行四边形沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，求平行四边形的面积． 探究： （3）如图分别为梯形四条边的中点，梯形上底与下底的和为高的2倍，请根据以上信息画出一种裁剪方式，使裁剪后的四块图形打散后能够拼成一个正方形．（裁剪线用虚线，并标注清楚相应的几何符号） 19．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 （2）点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图④，若，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 20．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1，探究所提供的正方形的边长都为2． 【探究】 (1)如图2，在正方形中，如果点E、F分别在、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 【应用】 (2)如图3，在正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，与交于点P，设，求线段的长（用含t的式子表示）． 【拓展】 (3)如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是、上的动点，且，求的最小值． 压轴满分题五、平行四边形的动点问题 21．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在长方形中，，，动点沿着的路径运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为． (1)当点在上运动时，与的函数关系式为_____； (2)当时，_____； (3)当点在上运动时，与的函数关系式为_____； (4)若，求的值． 22．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)______（用含有t的式子表示）： (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)在线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求Q出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，． (1)求证：； (2)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 24．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知在矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、，求证：四边形为菱形； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止．在运动过程中，已知点的速度为每秒，点的速度为每杪，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 25．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在平行四边形中，，，，平行四边形的面积是32，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点C运动，到点C停止，设点P运动的时间为t（秒）． (1)求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点P与某个点连线将的面积二等分时，求t的值； (4)当点P在平行四边形某个角的平分线上时，直接写出t的值（不包括点P在A、B、C上）． 压轴满分题六、一次函数的规律探究问题 26．（2024·上海嘉定·二模）含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，， 【探究】 (1)点的坐标是______； (2)点的坐标是______； (3)点的坐标是______（为正整数）． 27．（23-24八年级下·上海宝山·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 28．（2024·上海松江·一模）问题探究： （1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可） （2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：； 问题解决： （3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）． ①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程； ②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式． 29．（24-25八年级下·上海宝山·期中）[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式， 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；小谢认为平移前后直线中的“k”不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证： [解决问题] （1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为 ； （2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； [拓展应用] （3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 30．（2024·上海闵行·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务用函数研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律数轴是初中数学的一个重要工具，研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．学习函数知识后，我们可以用函数方法研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律． 特例研究： 例：如图1，在数轴上点，点表示的数分别为，3，动点表示的数为，求点到点，的距离和为，并直接写出的最小值. 用函数方法，我们可以用含的式子表示 ， 画出函数图象如图2，观察图象，可以直观看出：的最小值为5． 拓广探索： 若数轴上点，点表示的数分别为常数，，且，动点表示的数为，点到点，的距离和为，并直接写出的最小值，.…… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）； A．转化思想  B．数形结合思想   C．统计思想      D．分类讨论思想 (2)请直接写出“拓广探索”中，关于的函数表达式． (3)在“拓广探索”中，的最小值为______；当时，随的增大而______． (4)如果你写“拓广探索”部分的内容，请直接写出一个你发现的结论． 压轴满分题七、一次函数几何综合应用 31．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，当的面积为面积的时，求点坐标． 32．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为x米，边的长为y米． (1)用含有x的代数式表示y，并指出y是x的什么函数； (2)求自变量x的取值范围； (3)若长方形的宽为5米时，求长方形的长． 33．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)请求出点的坐标； (2)已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； (3)已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式． 34．（2025·上海静安·一模）如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 35．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，一次函数与斩交于点，与反比例函数分别交于点，，连接．作轴于点，且． (1)求一次函数关系式和的值； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，是否存在点M，使点M，O，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴满分题八、列方程（组）的应用题 36．（23-24八年级下·上海长宁·期末）某初中为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地建设为劳动基地，现需要利用护栏将菜地圈起来，学校以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作． 某小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项综合与实践的活动，完成了实践调查并形成了如下活动报告． 请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看 测量过程及计算 调研内容及图示      相关数据及说明： 护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分， 且要求所有的安装工作在一天内完成， 安装横杠的工人每人当天费用为元， 安装竖杠的工人每人当天费用为元； 共招募7名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作， 要求两项安装任务同时开始， 并在当天同时完成； 整个任务需要安装根横杠和根竖杠． 计算结果 37．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅进行销售，相关信息如下表： 进价（元/张） 零售价（元/张） 餐桌 270 餐椅 70 已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同． (1)求表中的值． (2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张，则该家具商场将这批餐桌和餐椅全部销售完后，可获得的最大利润是多少元？ 38．（2025·上海青浦·一模）下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝ 解法二 设… 等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度 任务： (1)解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________； A．步行的速度为 B．骑自行车的速度为 C．步行的时间为 (2)任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度． 39．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）为美化校园，学校计划开发出两块正方形区域进行绿化，其中区域A比区域B的边长大，且在区域内设置一个面积为的宣传角，宣传角部分铺上地砖不需要绿化，现安排八年一班负责区域的绿化，八年二班负责区域的绿化． (1)若两个班绿化所花费的总费用相等，哪个班绿化的单位面积费用高？请说明理由； (2)学校原计划区域的绿化预算经费是区域的倍，这样两块区域进行绿化的单位面积费用相等，请计算，两块绿化区域的面积． 40．（23-24八年级下·上海静安·期末）为培养学生的动手实验能力，某校初二年级购进光学和电学两种实验器材，花费分别是35000元和70000元，已知电学器材的订购单价是光学器材订购单价的1.4倍，并且订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套．设购买光学器材的单价为x元． (1)根据题意，用含x的式子填写下表： 单价（元） 数量（套） 总费用（元） 光学 x 35000 电学 70000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的两种实验器材的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种器材共10套来备用，其中电学器材订购数量不低于3套，且两种器材总费用不超过1240元，这个班订购这两种器材有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 压轴满分题九、多边形内角和与外角和实际综合应用 41．（23-24八年级下·上海宝山·期中）规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 42．（2024·上海松江·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α． ①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）． （2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值． 深入探究： （3） 探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由． 43．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明； （2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？ （3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？ 44．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 45．（23-24八年级下·上海长宁·期末）数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 压轴满分题十、三角形中位线的实际应用 46．（23-24八年级下·上海普陀·期末）如图，和是全等的等边三角形，点A，C，D在一条直线上，请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，以AD为边作一个直角三角形； (2)在图2中，作出AD的平行线段． 47．（2024·上海普陀·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，以为腰，画出一个等腰． (2)在图②中，以为底边，画出一个等腰． (3)在图③中，点均在格点上，请用无刻度的直尺在线段上找到一点，使线段．（保留作图痕迹） 48．（2024·上海虹口·一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，点M，A，E，F在一条直线上．    (1)求证：； (2)若木棒与水平面的夹角，切点N恰好为的中点，则石头的半径为多少？（结果保留根号） 49．（23-24八年级下·上海闵行·期末）【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         50．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 压轴满分题十一、正方形的性质与判定综合应用 51．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）如图①，在正方形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．线段与是否存在特殊的位置关系或数量关系？证明你的结论． （2）将图①中的正方形沿线段、剪开，再把得到的4个四边形按图②所示拼成一个四边形．若图①中，则图②中阴影部分的面积为______． 52．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）综合与探究 在菱形中，过点A作射线交于点E，作，交射线于点G，在射线上截取，连接． 特例探究： （1）如图1，当时，请直接写出的度数； 操作探究： （2）如图2，当是等边三角形时，求的度数； 拓展探究： （3）如图3，当时，请直接写出，和之间的数量关系． 53．（2025·上海静安·一模）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 54．（23-24八年级下·上海宝山·期末）综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 55．（2025·上海松江·二模）综合与探究 问题情境：学习完特殊的平行四边形和相似三角形有关知识后，老师组织了一节富有创意的数学活动课，引导同学们从图形变换的角度展开深度探究． 创新小组以矩形边的旋转变换为研究对象，并观察由此产生的几何性质． 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作，交直线于点． 猜想证明： 小组内同学探究思路遵循特殊到一般的探究： （1）当时，四边形的形状最特殊，此时形状为________； （2）如图2，当时，连接，猜想，和之间的数量关系，并说明理由； 综合应用： （3）在旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点，直接写出的长． 压轴满分题十二、矩形的性质与判定综合应用 56．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在矩形中，，，点在上，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为（秒）． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形； (3)当将矩形的面积分成两部分时，求出的值． 57．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，在矩形中，，，动点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C匀速运动，同时动点F从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点D匀速运动，当点F到达终点D时，点E也随之停止运动，以、为邻边构造平行四边形与矩形重叠部分的面积为S，点F的运动时间为t(秒） (1)当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ，当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ； (2)当点G与点D重合时，求t的值； (3)当以D、G、E、C为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出t的值． 58．（24-25八年级下·上海长宁·期中）（1）【阅读理解】如图①，在中，，是斜边上的中线．试判断与的数量关系．解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，连接，．易证四边形是矩形，得到，即可作出判断．则与的数量关系为 ； （2）【问题探究】如图②，直角三角形纸片中，，点D是边的中点，连接，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，求的长度； （3）【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形中，，，D是边的中点，E，F分别是边，上的动点，且，当点E从点A运动到点C时，的中点M所经过的路径长是多少？ 59．（2025·上海普陀·二模）综合与探究 【问题情境】已知为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动． 活动一：为上一点，将绕点旋转，得到的对应点分别为．连接． 【观察发现】如图1，四边形的形状为___________． 【深入探究】如图2，若，当四边形为矩形时，求的长． 活动二：如图3，取的中点，将绕点顺时针旋转角，得到的对应点分别为，连接． 【拓展提高】 ①猜想与的位置关系，并给予证明． ②如图3，当时，的平分线，若点到的距离为，直接写出的长． 60．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题: 如图①，在等边 中， ， 点 分别在边 上，且 ，试探究线段 长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形， 将双动点问题转化为单动点问题， 再通过定角发现这个动点的运动路径是一条直线， 进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点 、 分别作 、 的平行线，并交于点 ，作射线 ． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题: （1）求 的度数． （2）线段 长度的最小值为_____． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理， 如图③． 小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图 ④， 是等腰三角形，四边形 是矩形， 米， ． 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 在 上，点 在 上． 在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持 ． 钢丝绳 长度的最小值为多少米? 压轴满分题十三、菱形的性质与判定综合应用 61．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，交于点，点，在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求证：四边形是菱形． 62．（24-25八年级下·上海长宁·期中）李老师买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点O，四边形是其内部框架，且点E、F在上，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，F为的中点，，求四边形的周长． 63．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）通过学习，同学们知道，我们可以通过平行四边形转移边和角等信息，根据你的学习，完成下面的问题．如图，已知垂直平分线段，，． (1)证明：四边形 是平行四边形； (2)若，，求的长． (3)已知，如图，四边形中，，，，请写出图中与相等的线段，并证明． 64．（2025·上海闵行·模拟预测）【中考新考法】综合与探究 【问题情境】“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题． 【深入探究】（2）在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究： ①“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． ②“智慧小组”准备的菱形纸片的对角线，，他们也将绕点按逆时针方向旋转，其点的对应点为，并过点作交直线于点，当时，请直接写出的长度．        65．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）综合与实践 【主题】将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖四棱柱形盒子． 【素材】正方形硬纸片、菱形硬纸片、剪刀等． 【操作探究】 探究一：如题图1，在正方形硬纸片中，点O为对角线的交点，以点O为坐标原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，此时点C的坐标为；再以点O为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，则点的坐标为__________；然后按图2所示的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的有盖四棱柱形盒子，此时盒子的高h为__________． 探究二：如图4，若小组成员按探究一中的方式对菱形硬纸片进行裁剪，则他们能无损耗无重叠地制成一个有盖四棱柱形盒子吗？请说明理由． 压轴满分题十四、平行四边形性质和判定的应用 66．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E、F是直线上的两点，并且，连接、、、 (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 67．（湖北省恩施市五校2024-2025学年八年级下学期期中联考数学试卷）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长：___________，___________； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后立即停止运动，则是否存在t值，使得为直角三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 68．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）在学习了平行四边形后，小明做了如下探究：在平行四边形中，E是对角线上一点，连接．请根据小明的想法和思路，完成以下作图和填空: (1)在平行四边形的内部，用尺规作，交于点F，连接、．(不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴　　 ①　　 ，∵， ∴， ∴， ∴， ∴，　　 ③　　 ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：若四边形是菱形，则四边形是　　 ④　　 ． 69．（2025·上海闵行·二模）在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，连接． (1)如图1，当点落在的延长线上时，求的长． (2)如图2，连接交于点，求证：点是的中点． (3)在旋转过程中，图2中的四边形能否形成平行四边形？若能，请求出长；若不能，请说明理由． 70．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知平行四边形中，，，，过点作交边于点． (1)如图1，为边上一点，当时，求线段的长； (2)如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； (3)如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 压轴满分题十五、一次函数与不等式、方程组综合应用 71．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是． (1)点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______； (2)若点的美好点在直线上，求的值； (3)正方形各顶点的坐标分别为，，，，点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点， ①点______直线（填“在”或“不在”）； ②连结，当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围______． 72．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数的图像与轴交于点，且经过点． (1)求点的坐标和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出的解集． 73．（24-25八年级下·上海崇明·期中）阅读材料，回答以下问题： 我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面直角坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如是方程的一个解，对应点．如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，另外方程的解还有对应点，，，，，，，将这些点连起来正是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解．所以，我们就把这条直线就叫做方程的图象．一般的，以任意二元一次方程解为坐标的对应点连成的直线就叫这个方程的图象．请解决下列问题： (1)在上图的平面直角坐标系中画出方程的图象，观察方程和方程的图象，两条直线的交点坐标为______，直接写出二元一次方程组的解为______． (2)已知关于的二元一次方程和的图象交点坐标为，求的值． 74．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为______； ②方程组的解为______； (2)求直线的函数表达式； (3)已知点为直线上一动点，过点作轴交直线于点．设点的横坐标为，当时，求出点的坐标；结合图象，直接写出当时，的取值范围． 75．（23-24八年级下·上海普陀·期中）[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 压轴满分题十六、一次函数的实际综合应用 76．（2025年黑龙江省牡丹江市初中学业水平考试第一次适应性考试数学试题）某超市准备购进野生木耳和人工培育木耳，已知购进一斤野生木耳比一斤人工培育木耳多15元，若用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，请解答下列问题： (1)求该超市购进的野生木耳和人工培育木耳单价各为多少元； (2)该超市预计购进野生木耳和人工培育木耳共100斤（野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数），总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，求有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，该超市野生木耳每斤售价70元，人工木耳每斤售价40元，若全部售出，则该超市获得的最大利润是多少元？ 77．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）在一条笔直的道路上依次有A、B、C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地，甲车速度始终保持不变．乙车中途休息一段时间，继续行驶．甲、乙两车之间的距离y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)A，B两地相距________km，乙车中途休息________h； (2)求图中线段的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)请直接写出甲、乙两车出发多长时间，两车距B地的距离相等． 78．（2025年天津市河西区中考一模数学试题（一））无人机表演队在进行表演训练，甲无人机以一定的速度从地面起飞，匀速上升6s时，到达训练计划指定的高度停止上升，保持此高度并开始第一次表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度96m时，进行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面给出的图象反映了这个过程中甲无人机距离地面的高度与它飞行的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 甲无人机飞行的时间/s 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度/m 48 ②填空：甲无人机返回地面时的速度为______； ③当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (2)现有新的训练计划（甲无人机保持原训练计划不变），在甲无人机开始第一次表演5秒后，有乙无人机从距离地面48米高的楼顶起飞，匀速上升并和甲无人机同时到达距离地面96米的高度，并开始与甲无人机进行联合表演，表演结束后，两机都以相同的速度同时返回地面．问乙无人机出发多久时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米？（直接写出结果即可） 79．（23-24八年级下·上海闵行·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 湖州市某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园，2025年计划将其中100平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植总成本元与甲种植面积（平方米）的函数关系如右图所示，其中；乙种蔬菜的种植每平方米的成本为40元． 问题解决 任务1 列出函数关系 （1）求甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； 任务2 确定种植成本 （2）若乙种蔬菜种植面积为55平方米，求2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为多少元？ 任务3 设计种植方案 （3）若甲种植面积不超过乙种植面积的3倍，设2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 80．（2025·上海宝山·二模）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 6.8 8.6 10.4 (1)请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； (3)如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 压轴满分题十七、一次函数与反比例函数综合应用 81．（2025·上海嘉定·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数的图象上，其横坐标为，且，过点的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，，若四边形的面积为12时，求出的值． 82．（24-25八年级下·上海·单元测试）已知，如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点，点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，、分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，交正比例函数的图象于点E． (1)当点D的纵坐标为9时，求点E的坐标． (2)当点D在线段的延长线上运动时，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 83．（2025·上海阶段·模拟预测）如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 84．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 85．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和_______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：；或_______，_______． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并回答：_______围出矩形地块（填“能”或“不能”）理由是：_______． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及a的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出a的取值范围_______． 1．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）定义运算“※”：．若，则的值为（    ） A． B．或10 C．10 D．不存在 2．（2025·上海长宁·模拟预测）函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期末）全程平均速度均为v千米/小时的成都东到西安北的某趟动车经停绵阳站，具体信息如表，现已知绵阳到西安北的时间t2比成都东到绵阳的时间t1多3.2小时，则根据该关系可列出关于v的方程是（　　） 区间段 区间近似里程（千米） 区间平均速度（v千米/小时） 相应时间（小时） 成都东﹣绵阳 110 v 绵阳﹣西安北 540 v A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海松江·期中）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图，下列说法正确的有（   ） ①A、B两地间的距离是400千米；②甲车行驶2.5小时后到达配货站C ③乙车的速度为80千米/小时；④两车相距220千米时，乙车出发4小时． A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 5．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A． B． C．或 D． 6．（北京市房山区2024-2025学年下学期学业水平调研（一）八年级数学试题（期中））已知，是一次函数图象上的两个点，则 （填“”、“”或“”） 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）“五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 人． 8．（23-24八年级下·上海青浦·期中）请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为 ． 9．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是的图象，点在x轴正半轴上，．作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点．…按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 10．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，四边形中，，且，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形，四边形的周长是 ，四边形的面积是 ． 11．（24-25八年级下·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，满足？ 12．（2025·上海宝山·一模）有三张扑克牌，如图-1所示，将它们洗匀后背面朝上放在桌上，是圆的四等分点，如图-2，现通过抽取扑克牌的办法玩跑圈游戏，规则如下：若抽取扑克牌牌面上的数字是几，就从图-2中点的位置沿圆弧逆时针方向连续跑过几个圆，第二次跑圈从第一次跑圈结束后的位置上开始，按照规则继续进行． (1)求牌面数字的中位数； (2)若抽牌一次，求从跑到的概率； (3)若无放回连续抽取两次，求两次跑圈后回到点的概率． 13．（2024·上海闵行·一模）我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍； C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为天， 根据题意列出方程：． （1）根据所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知条件应该是：______； （2）从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 14．（2025·上海普陀·一模）课本再现 三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是的边，的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形． ②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 15．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．    (1)求k的值； (2)根据图象，直接写出当时，关于x的不等式的解集； (3)将直线向上平移个单位后与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$