精品解析：2025年山东省菏泽市曹县九年级第二次教学质量检测数学试题

2025年5月毕业班教学质量检测 数学 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ） A. 8 B. C. D. 6 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，平分，交于点D，则点D到的距离为（　　） A. B. C. D. 2 5. 已知，则代数式的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6. 如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，交于点F，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 7. 如图，正六边形的边长为，以点为圆心，的长为半径画弧，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为米秒；④当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒．其中正确的结论有(　　) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算___________． 12. 已知方程的两个根为m，n，则的值为___________． 13. 如图，在中，半径，点C在上，，则的度数为___________． 14. 如图，正方形的边长为8，点E是的中点，连接，分别以点A，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于G，H两点，作直线，分别交于点M，F，则的长为___________． 15. 如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足那么称这个四位数为递减数，例如：四位数4129，因为，所以4129是递减数；又如四位数5324，因为，所以5324不是递减数．若一个递减数的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的最大四位数是___________． 三、解答题：本题共8个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）解不等式组 17. 某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人，甲组每天加工农产品3000件，乙组每天加工农产品2700件，已知乙组每人每天平均加工农产品的数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求乙组每人每天平均加工农产品多少件？ 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． （1）求k，m，n的值； （2）点P在x轴上，，轴，交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 20. 某校开展“图书月”活动，为了解七年级学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了部分学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析．下面是其中的部分信息： 将学生每天阅读时长数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 七年级学生每天阅读时长情况统计表 组别 每天阅读时长（单位：分钟） 人数（单位：人） A 8 B n C 16 D 8 b. 每天阅读时长在的具体数据如下：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 ，图中 ； （2）C组这部分扇形的圆心角是 °； （3）每天阅读时长在这组具体数据的中位数是 ，众数是 ； （4）各组每天平均阅读时长如表： 组别 A B C D 平均阅读时长（分钟） 20 45 75.5 99 求被调查学生的平均阅读时长． 21. 如图，是的直径，是的切线，C为切点，交于点E． （1）求证：； （2）若求的值． 22. 问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． ①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点G在上时，直线分别交，的延长线于点M，N，直线与线段交于点．若，，求的长． 23. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：不论为何值，该二次函数图象与轴总有两个交点； （2）当（）时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； （3）若二次函数图象的对称轴为直线，顶点为，与轴的交点为，点关于对称轴的对称点为，为的中点，过点的直线（不经过，两点）与二次函数的图象相交于点，，连接，，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年5月毕业班教学质量检测 数学 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ） A. 8 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘方运算和相反数的概念，首先计算有理数的乘方，然后根据相反数的概念求解即可．解题的关键是熟练掌握有理数的乘方运算法则．只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】， 的相反数是8． 故选：A． 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 3. 下列运算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，，平分，交于点D，则点D到的距离为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的性质与定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再解直角三角形求出，据此由角平分线的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴点D到的距离为， 故选：B． 5. 已知，则代数式的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，掌握整体代入的方法是解题的关键． 先把所给条件变形为，再将代数式计算乘法，合并同类项得，变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 6. 如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，交于点F，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 7. 如图，正六边形的边长为，以点为圆心，的长为半径画弧，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，扇形的面积等，过点作于，利用正六边形和等腰三角形的性质可得，，即得，进而可得，再根据扇形的面积公式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵四边形是边长为的正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组； 根据题意，绳子比木头长4.5尺，对折后绳子比木头短1尺，建立方程组即可． 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺， 由题意得：， 故选：C． 9. 如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 过点作，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10. 甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为米秒；④当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒．其中正确的结论有(　　) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象；根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④． 【详解】解：由图可得， 甲的速度为：（米秒），故③错误，不符合题意； 乙的速度为：米秒， ，故①错误，不符合题意； ，故②正确，符合题意； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 两人相遇前：， 解得； 两人相遇后：， 解得；故④正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算．先算乘法，再算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知方程的两个根为m，n，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用一元二次方程的根与系数的关系求得，的值，将其代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ∴． 故答案为：5． 13. 如图，在中，半径，点C在上，，则的度数为___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理；连接，由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径互相垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为8，点E是的中点，连接，分别以点A，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于G，H两点，作直线，分别交于点M，F，则的长为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，由正方形的性质可得，由线段中点的定义可得，由作图方法可知垂直平分，则，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由作图方法可知垂直平分， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1 ． 15. 如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足那么称这个四位数为递减数，例如：四位数4129，因为，所以4129是递减数；又如四位数5324，因为，所以5324不是递减数．若一个递减数的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的最大四位数是___________． 【答案】8165 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据递减数的定义可得，则可求出，根据递减数的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，推出能被整除，则能被9整除，据此可确定，进而得到，再求出c的最大值以及此时d的值即可得到答案． 【详解】解：∵四位数是递减数， ∴， ∵， ∴， ∵递减数的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴能被整除， ∴能被9整除， ∵， ∴， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， ∴ ∵要使递减数最大， ∴， ∴，即：， ∴最大取，此时， ∴这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 三、解答题：本题共8个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算平方差公式和完全平方公式，然后计算加减即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组的解集为． 17. 某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人，甲组每天加工农产品3000件，乙组每天加工农产品2700件，已知乙组每人每天平均加工农产品的数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求乙组每人每天平均加工农产品多少件？ 【答案】乙组每人每天平均加工农产品180件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲组每人每天平均加工农产品件，则乙组每人每天平均加工件，根据甲、乙两个组共35名工人，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即可解答问题． 【详解】解：设甲组每人每天平均加工农产品件，则乙组每人每天平均加工件， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验是原方程的根，且符合题意， （件）； 答：乙组每人每天平均加工农产品180件． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． （1）求k，m，n的值； （2）点P在x轴上，，轴，交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过作轴于点，首先得到，求出，利用三线合一得到，然后求出，然后理由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，将代入得， 解得 ∴一次函数 将代入得，； ∴ ∴将代入得， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过作轴于点， ∵ ∴ ∵， ∴ 将代入 ∴ ∴ ． 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形， 依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 某校开展“图书月”活动，为了解七年级学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了部分学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析．下面是其中的部分信息： 将学生每天阅读时长数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 七年级学生每天阅读时长情况统计表 组别 每天阅读时长（单位：分钟） 人数（单位：人） A 8 B n C 16 D 8 b. 每天阅读时长在的具体数据如下：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 ，图中 ； （2）C组这部分扇形的圆心角是 °； （3）每天阅读时长在这组具体数据的中位数是 ，众数是 ； （4）各组每天平均阅读时长如表： 组别 A B C D 平均阅读时长（分钟） 20 45 75.5 99 求被调查学生的平均阅读时长． 【答案】（1）48，60 （2）72 （3）71，73 （4）被调查学生的平均阅读时长为54分钟 【解析】 【分析】（1）先求出抽样调查的学生总数，再计算即可得出答案； （2）用360度乘以C组所占的比例，即可得出答案； （3）平均每天阅读时长在的人数是16，中位数是第8和第9个数的平均线，众数为出现次数最多的数； （4）利用求平均数公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 抽样调查的学生总数为：（人） 故答案为：48，60； 【小问2详解】 C组这部分扇形的圆心角是：， 故答案为：72； 【小问3详解】 平均每天阅读时长在的人数是16，从小到大排列依次为：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85；最中间有两个数为70,72，所以中位数为：，73出现的次数最多，众数是73； 故答案为：71，73； 【小问4详解】 求被调查学生的平均阅读时长为 54分钟． 【点睛】本题考查扇形统计图，平均数，中位数，众数，样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，是的直径，是的切线，C为切点，交于点E． （1）求证：； （2）若求的值． 【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、三角函数、圆周角定理等知识，熟练掌握三角函数的定义和切线的性质是关键． （1）连接，根据切线的性质定理和圆周角定理得到， ，得到，再利用等边对等角和等量代换即可得到结论； （2）过作于点，设，则，求出 ， ，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于点， 则， 设，则， 在中， ， ， ， ， 又∵ ， 22. 问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． ①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点G在上时，直线分别交，的延长线于点M，N，直线与线段交于点．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形AECF是矩形； （2） ①， 证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】本题是正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定是解题关键． （1）由和菱形性质得，．可证四边形为矩形； （2）①由菱形和旋转得性质证，可证； ②过点A作于点，先在中用勾股定理求出的长，再根据菱形和旋转的性质得到一些角相等，从而证明，最后根据相似三角形对应边成比例求出的长。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②过点A作于点， 在中，， ， 在Rt中，， ， ， ， 四边形AGNP是矩形， ， ， ， ， ． 23. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：不论为何值，该二次函数图象与轴总有两个交点； （2）当（）时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； （3）若二次函数图象的对称轴为直线，顶点为，与轴的交点为，点关于对称轴的对称点为，为的中点，过点的直线（不经过，两点）与二次函数的图象相交于点，，连接，，若，求的面积． 【答案】（1） 证明：令，即， 则， ∴方程有两个不相等的实数根 即不论为何值，二次函数的图象与轴总有两个公共点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，求出，即可证明； （2）根据抛物线的对称轴为，有最大值为，结合抛物线的开口方向以及，得出当时，取最小值，此时最小值为，结合题意，列出方程，解方程即可求出的值； （3）根据抛物线的对称轴求出，即可得出二次函数的表达式，分别求出点、、、的坐标，得出，表示出过点的直线的解析式，联立方程组，根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合题意列出方程，求出的值，进一步求出过点的直线与抛物线的交点横坐标，结合三角形的面积计算方法，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 即抛物线开口向下，二次函数图象对称轴为，有最大值为， ∵，， ∴， 故当时，取最小值，此时最小值为， 根据题意，得 解得或（舍去）． 【小问3详解】 解：∵二次函数对称轴为， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故， 设过点的直线的表达式为，则， 即， ∴过点的直线的解析式为． 由，得， ∴，， ∴， 结合题意可得， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求抛物线的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数中的面积问题等．熟练运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $