9.2.4总体离散程度的估计课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章　§9.2　用样本估计总体 9.2.4　总体离散程度的估计 1.结合具体实例,经历用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)的过程,理解离散程度参数的统计含义. 2.在用样本特征估计总体的过程中,提升数学运算、逻辑推理的数学素养. 3.经历分层抽样的样本平均数和方差的推导过程,会求具体问题的分层抽样的样本平均数和样本方差,并能解释它们在实际问题中的意义. 4.结合具体实例,认识样本与总体的关系,逐步建立用样本估计总体的思想,尝试运用统计语言描述总体的特征 1 众数 中位数 平均数 一组数据中出现次数最多的数 特征量 把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. 样本数据 条形直方图 最高矩形所在组的中点横坐标 样本平均=数据与频率的乘积之和 每个小矩形的面积就是频率 每个小矩形的底边中点横坐标 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法。但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策. 问题有两位射击运动员在一次射击测试各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员射击情况作出评价？ 如果是一次选拔性考核，又应如何选择？ 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 从条形方图看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定。 这种差异如何度量？ 甲命中环数的极差=10-4=6, 乙命中环数的极差=9-5=4 极差 甲的成绩波动范围比乙的大 平均数 ，中位数 ，众数 平均数 ，中位数 ，众数 1.极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及,所以极差所含的信息量很少. 极差与“平均距离” 2.“平均距离” 假设一组数据是x1,x2,…,xn,用表示这组数据的平均数,用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|xi-|(i=1,2,…,n)作为xi到的“距离”. 可以得到这组数据x1,x2,…,xn到的“平均距离”为　　　　　　. 我们可以用“平均距离”来度量数据的波动幅度.  方差、标准差 假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数 1.方差为s2＝ ，标准差s ＝ . 6 (1)总体方差和总体标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则称总体方差， 总体标准差. (2)总体方差 , . .总体方差和总体标准差 样本方差和样本标准差 标准差的意义 标准差刻画了数据的　　　　　　或　　　　　　,标准差越大,数据的离散程度越　　　;标准差越小,数据的离散程度越　　　.  平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.一般情况下数据中大部分落在区间　　　　　　内,绝大部分数据落在　　　　　　内.  离散程度 波动幅度 大 小 [-s,+s] [-2s,+2s] 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但解决实际问题中，一般多采用标准差. 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 平均数 ，中位数 ，众数 平均数 ，中位数 ，众数 7 7 7 7 7 7 方差呢？ 例1 (1)设样本数据x1,x2,…,x10的平均数和方差分别为2和5,若yi=2xi+a(a为非零实数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的平均数和方差分别为(　　) A.2, 5 B.4+a, 20 C.2+a, 5+a D.2, 5+a B 探究点一　方差、标准差的计算及应用 变式 (1)已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,则(　　) A.=4, s2<2 B.=4, s2>2 C.>4, s2<2 D.>4, s2>2 例2.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 等待时间/分 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25] 频数 4 8 5 2 1 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 ＝____，病人等待时间方差的估计值s2＝______. 9.5 28.5 [探索] 分层随机抽样的方差如何计算? 探究点二　分层随机抽样的方差 分层随机抽样的方差 例3　甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 分层随机抽样的方差 例3　甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 反思感悟 跟踪训练2　某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差. ∴全体学生的平均成绩为115分. ＝85＋180＝265. 例 在对我校高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 解： 例 在对我校高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 同理可得 因此 例 在对我校高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 根据按比例分配分层随机抽样总体平均数与各层样本平均数的关系,可得总体样本平均数为 由此估计高一年级全体学生的身高方差为51.4862 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1.数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定.(　　) 2.数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定.(　　) 3.数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小.(　　) 4.在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差.(　　) √ × √ √ 三、方差、标准差与统计图表的综合应用 例3　甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示. (1)分别求出两人得分的平均数与方差； 解　由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10,13,12,14,16； 乙：13,14,12,12,14. (2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价. 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高. 反思感悟 折线统计图中数字特征的求解技巧 根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小. 跟踪训练3　为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查，他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为___________(用“＞”连接). s1＞s2＞s3 解析　根据频率分布直方图知，甲的数据绝大部分都处在两端，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大，乙的数据分布均匀，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲的小；丙的数据大部分都在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小，故s1＞s2＞s3. 3 随堂演练 PART THREE 某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是 A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀) D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 3.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入右表： √ √ √ 1 2 3 4 5 30 1 2 3 4 5 解析　甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，所以A正确； 甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，所以C正确； 由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误. 4.(多选)下列四个选项中，正确的是 A.极差与方差都反映了数据的集中程度 B.方差是没有单位的统计量 C.标准差比较小时，数据比较分散 D.只有两个数据时，极差是标准差的2倍 1 2 3 4 5 √ √ 由定义可知A正确，BC错误. 5.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是_____. 2 1 2 3 4 5 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 1.知识清单： (1)方差、极差的计算与应用. (2)分层随机抽样的方差. 2.方法归纳：数据统计、数据分析. 3.常见误区：方差、标准差易混淆. 5.(多选)下列说法正确的是 A.在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法 B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 解析　平均数不大于最大值，不小于最小值，B项错误，其余全对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示： 组别 平均数 标准差 第一组 90 4 第二组 80 6 求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　由题图知，A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10； B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10， 又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA>sB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强， ∴s2<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝______. 100 要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a－10)2＋(b－10)2最小， 故a＝b＝10，ab＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 = (x1＋x2＋…＋xn) = (xi－)2 解析　＝×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5， s2＝×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1] ＝28.5. 解　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝， 乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为 ＝w甲甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68(kg)， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝68(kg)， ＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296. 解　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝， 乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝w甲甲＋w乙乙＝×60＋×70 ＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋ (乙－)2] 分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝i[s＋(i－)2](为样本的平均数). ＝×(115＋225)＋×(215＋25) 解　依题意A＝130，s＝115， B＝110，s＝215， ∴＝×130＋×110＝115， 全体学生成绩的方差为s2＝wA[s＋(A－)2]＋wB[s＋(B－)2] 甲＝＝13， 乙＝＝13， s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. 解　s＞s可知乙的成绩较稳定. s＝191＞110＝s，所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，所以B正确； 解析　只有两个数据时，极差等于|x2－x1|，标准差等于|x2－x1|.故D正确. 解析　由题意知＝4，x＋x＋…＋x＝200， s＝ ＝＝＝2. 方差为s＝36. 则该班学生的方差为s2＝×[s＋(1－)2]＋×[s＋(2－)2] ＝×[16＋(90－85)2]＋×[36＋(80－85)2]＝51. ∴s＝. 综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和. 解　根据题意，全班平均成绩为＝90×＋80×＝85， 第一组的平均数为1＝90， 方差为s＝16. 第二组的平均数为2＝80， 12.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则 A.A>B，sA>sB B.A<B，sA>sB C.A>B，sA<sB D.A<B，sA<sB 所以A＝＝， B＝＝. 显然A<B. 13.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则 A.＝5，s2<2 B.＝5，s2>2 C.>5，s2<2 D.>5，s2>2 解析　∵(x1＋x2＋…＋x8)＝5， ∴(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，∴＝5. 14.某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝3小时，方差为s2＝1.966，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.7，2＝3.1，3＝3.3，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，则高三学生每天读书时间的方差s＝_____. 解得s＝3. 解析　由题意可得，1.966＝×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2] ＋×[s＋(3.3－3)2]， 解析　由题意得a＋b＝10×2＝20，＝×(2＋3＋3＋…＋21)＝10， $$