精品解析：福建省泉州市第七中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

泉州七中2024-2025学年度下学期高一年级期中考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命卷人：汪木水 复核人：吴秋生 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设复数为标准式，利用复数相等，可得复数，结合复数的除法，可得答案. 【详解】设，则， 即，解得， 所以. 故选：D. 2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，然后即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，， 故的面积为， 故选：B． 3. 若向量满足，，，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，求得，由即可求夹角. 【详解】由题可知，， ∴， ∴向量与的夹角为. 故选：C. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“左加右减”的平移原则，求得平移后解析式，即可求得对称轴方程. 【详解】将函数的图象向右平移个单位，可得函数， 令得， 令得， ∴所得函数图象的一条对称轴的方程为． 故选：C. 5. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B 6. 记的内角的对边分别是的平分线交边于点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，结合等面积法列式求解. 【详解】在中，，的平分线交于点， 则，由， 得，即， 所以. 故选：A 7. 已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数图像，根据函数单调性，分析和的取值范围，最后解不等式组即可. 【详解】画出函数的部分图象如图所示， 因为，所以 因为在区间上不单调， 所以解得 故选：B. 8. 已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则（）的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作 由任意实数都有，得取，设，可得在直线上，即可求解答案. 【详解】如图，由，，可得在上的投影为2，即 因为对任意实数都有，由射影定理可得, 所以. 设，取，可得在直线上， 所以线段的最小值为到直线的距离， 当时， 故答案为：. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. 若，则或 D. 若，则的最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据共轭复数的定义结合复数运算分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：根据模长性质分析判断；对于D：根据复数的几何意义分析可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆，结合圆的性质分析判断. 【详解】设，，则，， 对于选项A：因为，， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，，则， 但不成立，故B错误； 对于选项C：若，则， 则或，所以或，故C正确； 对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆， 则，当且仅当点A在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3，故D正确； 故选：ACD． 10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（ ） A. 圆台的轴截面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面积为 D. 在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5 【答案】AD 【解析】 【分析】求出等腰梯形的高，进而求出面积判断A；利用圆台体积、侧面积公式求解判断BC；利用圆台侧面展开图求解判断D. 【详解】对于A，圆台的高即轴截面等腰梯形的高， 因此圆台的轴截面面积为，A正确； 对于B，圆台的体积，B错误； 对于C，圆台的侧面积，C错误； 对于D，圆台侧面展开图是半圆环，如图， 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为线段长， ，由为中点，得， 所以，D正确. 故选：AD 11. 记的内角的对边分别为，已知是的最小内角，且为整数，若，则（ ） A. B. C. 若为直角三角形，则的面积为1 D. 若，且为整数，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数性质推理判断AD；利用正弦定理求解判断 B；举例说明判断C. 【详解】对于A，由是的最小内角，得，而正切函数在上单调递增， 则，又为整数，因此，A正确； 对于B，由及选项A，得，则， 由正弦定理得，即，解得，B正确； 对于C，若，则，，此时，C错误； 对于D，由为的最小内角，且，得， 则，解得， 又为整数，因此或，D正确. 故选：ABD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用和角的正弦及二倍角公式，结合正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得 . 故答案为： 13. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________. 【答案】 【解析】 【分析】在中根据正弦定理可得，即可利用锐角三角函数求解. 【详解】如图，在中，，所以. 在中，因为，所以. 由正弦定理得,故，故， 在中，易得. 故答案为：60. 14. 三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积； 性质2：对于内任意一点P，有； 性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”． 若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，由余弦定理得，在中，用正弦定理得，在中，得，利用切弦互化法即可得到结果. 【详解】 因为的三边长分别为1，1，，不妨设,如上图， 由余弦定理得,得， 故,在中,, 用正弦定理得,得到， 在中，, 用正弦定理得, 得到， 用差角的正弦公式得：， 得， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：在中，用正弦定理得， 在中，得，两次转化后再利用切弦互化法即可得到结果. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数是纯虚数，其中是实数. （1）求实数的值; （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简运用纯虚数概念求解即可； （2）化简，结合，周期性质即可解题. 【小问1详解】 复数，则， 因为是纯虚数，于是，解得 【小问2详解】 由（1）得到，又， 则，即有， 所以. 16. 如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，． （1）用，表示向量； （2）求的值； （3）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可. （2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可. （3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 如图，连接， 因为为线段的中点，， 所以，因为，所以， 由向量的加法法则得， 故，即成立. 【小问2详解】 由于，可得，又有， 所以； ，故. 【小问3详解】 由向量的减法法则得， 由于，可得，又有， 得到，故， 则， 由上问得，故. 17. 已知，是的其中两个零点，且 （1）求的单调递增区间； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）化简可得，由可得，则可得，令可解得单调递增区间； （2）由题可得，进而，则可求出和的值，即可求出所得. 【详解】解：（1） 是函数的两个零点， 即是方程的两个实根，且 ，，则， 令得 的单调递增区间为 （2）. . 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，解题的关键是正确利用二倍角公式、辅助角公式、和差化积公式进行化简. 18. 锐角中，角所对应的边分别为. （1）若，求和的面积； （2）求的取值范围. 【答案】（1），面积为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，，再由两角和的正弦公式及三角形面积公式求解. （2）利用正弦定理求出的取值范围，再结合余弦定理及二次函数的性质求出范围. 【小问1详解】 在锐角中，由正弦定理，得，解得， ，所以 ， 的面积. 【小问2详解】 由正弦定理得， 由为锐角三角形，得，则，即，因此， 由余弦定理得，得， 则， 所以的取值范围是. 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 因为，则，则， 又，所以）， 且，从而， ， 则 ； 因此可得为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域； （2）利用向量的坐标运算即可求得； （3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围. 【小问1详解】 函数的“源向量”为， 所以，， 则，则当时， 则当时，， 所以函数的值域为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如下图所示： 函数的“源向量”为， 则，则 则 则又， 即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述， 令，则 从而，其中， 所以， 即的取值范围． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州七中2024-2025学年度下学期高一年级期中考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命卷人：汪木水 复核人：吴秋生 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 3. 若向量满足，，，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为 （ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 记的内角的对边分别是的平分线交边于点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则（）的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. 若，则或 D. 若，则的最大值为3 10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（ ） A. 圆台的轴截面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面积为 D. 在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5 11. 记的内角的对边分别为，已知是的最小内角，且为整数，若，则（ ） A. B. C. 若为直角三角形，则的面积为1 D. 若，且为整数，则或 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则__________. 13. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________. 14. 三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积； 性质2：对于内任意一点P，有； 性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”． 若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为_______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数是纯虚数，其中是实数. （1）求实数的值; （2）求. 16. 如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，． （1）用，表示向量； （2）求的值； （3）求与夹角的余弦值． 17. 已知，是的其中两个零点，且 （1）求的单调递增区间； （2）若，求的值. 18. 锐角中，角所对应的边分别为. （1）若，求和的面积； （2）求的取值范围. 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $