精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024——2025学年度下学期期中考试 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. i C. D. 1 2. 已知向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 在中，角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 7. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中，真命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则 10. 在中，角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 周长的最大值为 D. 面积的最大值 11. 已知的内角的对边分别为，，，，点为的外接圆圆心，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为_______. 13. 已知，则复数z的虚部为______. 14. 已知函数），若方程在 上恰有5个实数解，则实数的取值范围为___． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角． 16. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 17. 已知函数 （1）当时，求函数的值域； （2）若，，求的值. 18. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. （3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求； ①； ②； （2）若向量，求证：； （3）记，且满足，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年度下学期期中考试 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. i C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则运算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A 2. 已知向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】，，则， 即，解得. 故选：C. 3. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两角和的正弦公式展开，再两边同时平方结合二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】∵，∴，， 即， 两边同时平方可得，， 所以. 故选：D. 4. 在中，角所对的边分别为，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即，因，则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：B. 5. 在中，角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，所以. 故选：B. 6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数，再利用函数图象变换求出即可. 【详解】观察函数图象，函数的最小正周期，解得， 由，得，又，则， ，将的图象向左平移个单位长度， 得的图象，因此， 所以. 故选：C 7. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解. 【详解】因为所以 因为三点共线， 所以即, 又因为， 所以,且为不共线的非零向量， 所以，解得， 所以， 所以 . 故选：B. 8. 在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接并延长交于点，由重心的性质可得出，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出，推导出，再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】连接并延长交于点，则为的中点， 因为，则，由重心的性质可得，则， 因为， 所以，，所以，， 所以，， 所以，，则为锐角， 由余弦定理可得， 所以，， 因为为锐角三角形，则，即，即， 所以，， 构造函数，其中， 任取、且，则 . 当时，，，则， 当时，，，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以，，故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：在涉及到三角形中的中线问题，一般利用向量法来处理，结合三角形中的余弦定理来求解，本题中要求解的是角的余弦值的取值范围，要充分利用已知条件将角的余弦值表示为以某个变量为自变量的函数，结合锐角三角形这一条件求出变量的取值范围，再利用相关函数的单调性求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中，真命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数除法运算、共轭复数和实数定义可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，若，可设，，A正确； 对于B，设，则， 若，则，，，B正确； 对于C，若，则，但，C错误； 对于D，若，，则，但，D错误. 故选：AB. 10. 在中，角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 周长的最大值为 D. 面积的最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可检验A、B；结合余弦定理及基本不等式可检验C；结合三角形面积公式可检验D. 【详解】由正弦定理，，代入数据解得，故A正确； 由余弦定理，， 解得或，故B错误； 由余弦定理：， 因为， 当且仅当时，，故三角形的周长的最大值为， 故C正确； 面积， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知的内角的对边分别为，，，，点为的外接圆圆心，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由余弦定理求解；对B，根据点O为ABC的外接圆圆心，利用投影求解；对C，由，再利用数量积的投影求解；对D，根据，由，联立求解. 【详解】对A，由余弦定理知，又，所以，A正确； 对B，因为点O为ABC的外接圆圆心，所以，，所以，B错误； 对C， ，C正确； 对D，因为，则， 又，即①， 同理， 即，所以②， 联立①②，解得，，，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据向量的投影公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则在方向上的投影为. 故答案为：. 13. 已知，则复数z的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再求解虚部. 【详解】因为，所以，所以虚部为. 故答案为： 14. 已知函数），若方程在 上恰有5个实数解，则实数的取值范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，运用换元法令，将问题转化为在上恰有5条对称轴，画图象运用数形结合列式即可求得结果. 【详解】当时，， 因为函数在区间上恰好有5个x，使得， 故在上恰有5条对称轴．令， 则在上恰有5条对称轴，如图： 所以，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线，可设出的坐标，再利用向量模长可得解； （2）根据向量垂直的关系，结合向量数量积公式可得解. 【小问1详解】 由已知，则存在实数，使， 又，则， 解得， 所以或； 【小问2详解】 由，得， 又， 所以， 即， 解得，， 所以. 16. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】（1） （2）2小时 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【小问1详解】 由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. 【小问2详解】 在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 17. 已知函数 （1）当时，求函数的值域； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出指定区间上的值域. （2）由（1）的信息，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦求解. 【小问1详解】 依题意，， 由，得，则， 所以函数的值域是. 【小问2详解】 由（1）得，而，则， 因此，， ， 所以 . 18. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. （3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据边角互化，结合三角恒等变换可得， （2）选择①，利用等面积法以及余弦定理即可求解的值，即可根据面积公式求解，选择②，利用向量的模长公式以及余弦定理可得的值，即可根据面积公式求解， （3）根据正弦定理可得外接圆半径，即可根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可结合三角函数的性质求解的范围，即可利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，： 结合正弦定理可得： 由得， ， ， ，又，所以． 【小问2详解】 若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设，则， 所以， 在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． 【小问3详解】 由正弦定理得， 故 , 由于为锐角三角形，故,故，因此， 故当，即时，此时取到最大值， 当或，即或时，此时， 因此 ， 故三角形的面积为， 故边上的高为， 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求； ①； ②； （2）若向量，求证：； （3）记，且满足，求的最大值. 【答案】（1）5；0 （2）证明如下： 因为向量，且向量， 则， 所以， 同理， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）设，并表示出，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为，，且， 所以； 又，，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设为锐角时，由，得或， 当为锐角，时， 故当时，取到最大值； 当为钝角时，由，得， 当为钝角，， ， 当，即时，取得最大值， 所以取得最大值. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $