江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高一下学期数学周练13

镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期周练13 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列情况中，满足唯一性的是 （ D ） A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点作与该直线平行的平面 C．过平面外一点作与该平面平行的直线 D．过平面外一点作与该平面垂直的直线 2．欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足，则 （ C ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为1，点P是平面的中心，点Q是平面的对角线上一点，且PQ∥平面，则线段PQ的长为 （ B ） A． B． C． D． 4．如图，点内异于的动点，且，则动点在平面内的轨迹是 （ B ） A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．两条平行直线 D． 半圆，但要去掉两个点 5．下列各式中，值不为的有 （ B ） A. sin7°cos23°+ sin 83°cos 67° B. 4sin10°cos20°cos 40° C. D. 6．如图，在正方体分别是线段的中点，则直线的位置关系是 （ A ） A．与均垂直 B．与不垂直 C．与垂直 D．与均不垂直 7．若内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则 （ A ） A. B. C. D. 【详解】由，得， 平方得，因，所以， 因此.故选：A. 8．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，是角的内角平分线，且，则等于 （ B ） A. B. C. D. 【详解】由及正弦定理，得.由余弦定理，得，因为为非直角三角形，所以，所以， 因为是角的内角平分线，且，所以由三角形的面积公式得， 所以，即，因为， 所以，所以,所以， ,.故选：B. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．如图，在四棱锥， 分别为的中点，则下列 结论正确的是 （ CD ） A． B． C． D． 10．如图，在三棱锥，，的中点，则下列结论正确的是 （ BCD ） A． B． C． D． 11．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是 （ABD ） A． B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为 ． 13．如图，已知四边形， 上的点，且，则直线所成角的正弦值为 . 14．如图，在正方体分别是的中点， 则下列结论中，不正确的是 ④ .（填序号） ①； ②； ③； ④ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M是BC的中点，N是AC上的点，且，AM，BN相交于点P，设，． （1）若，试用向量，表示，； （2）若AM⊥PN，求△ABN的面积． 15．解：（1）因为M是BC的中点，所以， 因为，所以， 所以． 所以； （2）因为AM⊥PN，所以AM⊥BN． 因为，且， 所以， 所以， 又因为AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°， 所以， 所以，解得． 所以，则， 所以． 【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积，三角形的面积求解，属于中档题． 16．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为侧棱的中点，求证：平面； （3）设平面平面，求证：. 16．解：（1）设，连接， 因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3）因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故 17．在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，且边边上的中线长，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围. 17．解：（1）在中，因为， 所以根据正弦定理得， 又，得， 所以， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. （2）由，由余弦定理得，解得. 又是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知， 等式两边平方得，解得（负值舍）， 所以的面积. （3）因为是锐角三角形，且由（1）知. 所以，即，解得. 由正弦定理得： . 因为，所以，所以， 所以， 所以的范围为. 18．如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点. （1）若点为中点，求证：平面； （2）若点满足， （i）求证：； （ii）求直线与平面所成角的正切值. 18．解：（1）中，点，分别为棱，的中点， ∴ 又四边形是正方形，∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）（i）在四棱锥中， 平面，四边形为正方形, ,, ,平面，平面， 平面 平面 在中，，为中点 ，，平面，平面 平面 平面 又，，平面，平面 平面，又平面 . （ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角， 在中，，，则 又，∴， ∴ 故直线与平面所成的角的正切值为 19．如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. （1）若，求证：直线平面； （2）是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； （3）若，求直线与直线所成最大角的余弦值. 19．解：（1）取的中点，连接， 因为，所以M是线段上的中点， 因此有， 因为是矩形，N是线段上的中点， 所以， 因此有， 所以四边形是平行四边形，所以有， 而平面，平面，所以直线平面； （2）假设存在实数，使直线同时垂直于直线，直线， 因为四边形是矩形，所以， 即，而平面， 所以平面， 因为是矩形，所以， 因为平面，平面， 所以，而平面， 所以平面，因此，显然不可能，所以假设不成立， 因此不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线； （3）当时，由（2）可知：， 所以直线与直线所成角，设， 由（2）可知，所以， 中，由余弦定理可知： ， 令，所以， 于是有， 当时，有最小值，最小值为，此时有最大值. 则直线与直线所成最大角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期周练13 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列情况中，满足唯一性的是 （ ） A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点作与该直线平行的平面 C．过平面外一点作与该平面平行的直线 D．过平面外一点作与该平面垂直的直线 2．欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为1，点P是平面的中心，点Q是平面的对角线上一点，且PQ∥平面，则线段PQ的长为 （ ） A． B． C． D． 4．如图，点内异于的动点，且， 则动点在平面内的轨迹是 （ ） A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．两条平行直线 D． 半圆，但要去掉两个点 5．下列各式中，值不为的有 （ ） A. sin7°cos23°+ sin 83°cos 67° B. 4sin10°cos20°cos 40° C. D. 6．如图，在正方体分别是线段的中点，则直线的位置关系是 （ ） A．与均垂直 B．与不垂直 C．与垂直 D．与均不垂直 7．若内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则 （ ） A. B. C. D. 8．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，是角的内角平分线，且，则等于 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．如图，在四棱锥， 分别为的中点，则下列 结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 10．如图，在三棱锥，，的中点，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 11．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是 （ ） A． B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为 ． 13．如图，已知四边形， 上的点，且，则直线所成角的正弦值为 . 14．如图，在正方体分别是的中点， 则下列结论中，不正确的是 .（填序号） ①； ②； ③； ④ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M是BC的中点，N是AC上的点，且，AM，BN相交于点P，设，． （1）若，试用向量，表示，； （2）若AM⊥PN，求△ABN的面积． 16．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为侧棱的中点，求证：平面； （3）设平面平面，求证：. 17．在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，且边边上的中线长，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围. 18．如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点. （1）若点为中点，求证：平面； （2）若点满足， （i）求证：； （ii）求直线与平面所成角的正切值. 19．如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. （1）若，求证：直线平面； （2）是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； （3）若，求直线与直线所成最大角的余弦值. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$