2025年湖南省衡阳市第八中学“沃土计划”综合能力测试九年级数学试题（自主招生考试）

2025年衡阳市八中“沃土计划”数学 答案 选择题（共8小题，每题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A D D D 1.【分析】利用二次根式的性质得到√3一x)乎=3-x=3一x,利用绝对值的意义得到3-x产0，然后解不 等式即可. 【解答】解：∴√（③-x)乎=3-x=3-x, ∴3-x之0，解得x≤3. 故选：B. 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键， 2.【分析】由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案， 【解答】解：由题意可得此几何体是圆锥， 底面圆的半径为：1，母线长为：3， 故这个几何体的侧面积为：πX1×3=3π. 故选：A. 【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解 题关键 3.【分析】根据题意知四勋形Q,4CB是矩形，可得点D是对角线4B、OC的交点，即OD=0C,从而可 知点D运动轨迹是一个半径为1圆，求得此圆周长即可. 【解答】解：如图，连接OC, ,CALx轴，CB⊥y轴， ∴四边形OACB是矩形， 第1项（共14项） D为AB中点， ∴点D在4C上，且OD=0C, .⊙0的半径为2， .∴如果点C在圆上运动一周，那么点D运动轨迹是一个半径为1圆， ,∴点D运动过的路程长为2π1=2m, 故选：D 【点评】本题主要考查点的轨迹问题，矩形的判定和性质，根据四边形OACB是矩形且D为AB中点判 断出点D的运动轨迹是解决此题的关键， 4.【分析】根据“杨辉三角”中所含规律，先求出86÷7的余数为1，即可得到结果. 【解答】解：.86=(7+1)6=7+5×7×1+…+5X7X1+15, .86÷7的余数为1， 若今天是星期四，则经过8“天后是星期五， 故选：C 【点评】本题考查了完全平方公式、数字的变化规律、多项式，熟练掌握以上知识点是关键， 5.【分析】依题意A4DB心△CDE,得△CDE是等腰三角形，则△CDBn△B,AD,根据相似得S三 【解答】解：，∴AD=BD=DC,∠B=∠B.AD=∠ADE, ∴DEM AB, .∠CDE=∠B=∠ADE, 在△ADE和△CDE中， (DE =DE ∠ADE=∠CDE, AD=DC ∴.△AD2△CDE(S4S), 所以△CDE也是等腰三角形， ∴.△CDE△BAD, CE CD 2Bc155 8D= AB CE cE155 8c=28D=2×6=2 故选：D 【点评】本题考查三角形的全等，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用. 第2项（共14项） 6.【份析】把点（-1,0)和(1,4)代入解析式，求出=2，根与系数的关系得到2<-名=m-1<3, 进而求出a的范围，即可. 【解答】解：，抛物线y=2+br+c（+0)经过点(-1,0)和(1,4)， 8+8+ ∴.b=2, ‘,抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3<m<4,另一个交点的横坐标为一1， ∴.2<m-1<3, 2<-8<3, -3<径<-2， -1<a<- 故a的取值可能是-影 故选：D. 【点评】本题考查二次函数图象和性质，根与系数之间的关系，掌握其性质是解题的关键， 7.【分析】在x轴上分别取点M和N,使得∠4B=∠CB=60°，再利用全等三角形的性质即可解决问 题 【解答】解：连接BC, C B E N X ,∴AB=AC,且∠B4C=60°， ∴.△4BC是等边三角形， ∴.∠ABC=60°. 在x轴的负半轴和正半轴上分别取点M和N,使得∠AMB=∠CB=60°， ∴.∠B.A4∠ABM=∠AB,∠CBN=120°， 第3项（共14项） ∴.∠BAM=∠CBN. 在△4BM和△BCW中， (LAMB=∠BNC ∠BAM=∠CBN, AB=BC ∴，△4B2△BCN(A4S), ,'.A=BN,B∈CN. 在Rt△4MO中， am∠Awo-9, o清=g 同理可得，k89 过点C作x轴的垂线，垂足为E, ,点C坐标为(m,6), ∴.CE=6, 在R△CEN中， m∠Cz=5, 8=23, 同理可得，C=4V3, B长C=45,8=4M-8y9, 08=45--8,B-=-25= .0E=0B+8R=103 31 即和的道为0 故选：C. 【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，利用“一线三等角”构造全等三角形是解题的关键， 8.【分析】由题意易得要使不等式x2+2x-6≥a对于一切实数x都城立，则儒满足a≤(x2+z-6)mm, 进而根据二次函数的最值问题可求解， 【解答】解：由题意得，不等式x2+2-6≥a对于一切实数x都成立， ∴.a≤（x2+2x-6)mm) 第4顷（共14顷） (x2+2x-6,x≥3(x+1)2-7,x≥3 2+12x-61=2-2x+6,x3x-12+5,x<3 ∴当x≥3时，函数y=(x+1)2-7的最小值是当x=3时取得，(3+1)2-7=9即为9； 当<3时，函数y=(x-1)245的最小值是当x=1时取得，即为5； ∴.(x2+2x-6)mm=5, .a≤5， 即a的最大值为5.选A 故答案为：A, 【点评】本题主要考查完全平方公式，绝对值，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键 二.填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.【分析】根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案， 【解答】解：由s2=-3)2+(2-3y+-3+(年-3)2++0-3)的，可知这10个 数据的平均数为3， 所以的+2+9*…+x10=3X10=30, 故答案为：30】 【点评】本题考查了方差公式，解题关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数， 10.【解答】√5 11.【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，点P(m,n)恰好落在一次函数y=-x+1的图像上的结 果有2个，再由概率公式求解即可. 【解答】解：画树状图如图： 开始 2 共有6个等可能的结果，点P(m,)恰好落在一次函数y=一x+1的图像上的结果有2个， 21 :点P(m,）怡好落在一次函数=一x+1的图象上的概率为后=了 故答案为：3 1 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列耒法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中 选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.也考查了一次函数的 第5页（共14顷） 图象上点的坐标特征. 12.【分析】连接AB,AC,AD,过点A作AE⊥CD于点E,则CE=DE,∠CAD=2∠CAE,先求出E(4, 0),可求出点A的坐标为(4,2)，再由切线的性质可得点B的坐标为(0,2)，从而得到AC=AB=AD =4,再由特殊角锐角三角函数，可得∠ACE=30°，从而得到∠C4D=2∠C4E=120°，然后根据图 中阴影陪部分面积为ScD一S4cD,即可求解. 【解答】解：如图，连接AB,AC,AD,过点A作AE⊥CD于点E,则CE=DE,∠CAD=2∠CAE, B ,点C的坐标为(4-23,0)，点D的坐标为(4+2V3,0), ∴点E23+4+23,0,即E(4,0, 2 ∴点A的横坐标为4， :点A在反比例还数y=是(x>0)的图象上， y==2, ∴点A的坐标为(4,2)， ,⊙4与y轴切于点B, ∴AB⊥y轴， 点B的坐标为(0,2)， ∴AC=AB=AD=4, mLACE=能=克c8=vaC-E=2v, ∴.∠ACE=30°，CD=2CE=4V3, ∴∠CAE=60°， ∴.∠CAD=2∠CAE=120°， 图车阴盼面积为5seu0-5co=9x-子x4w5X2-19-N5。 第硕（共14项） 故答案力：9-45。 【点评】本题考查切线的定义，矩形的判定与性质，反比例堡数，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公 式，解直角三角形等，解题的关键是掌握以上知识点， 13.【分析】过点P作PE⊥AB于点E,过点C作CH⊥AB于点H,首先得出BD=4,AD=3,根据si∠ 48D-=0-器= 得EP=BP,则PC+PB的最小值为PC+PE的最小值，即咏CH的长，再通过等积法即可解决问题. 【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E,过点C作CH⊥AB于点H, D C B .'BDLAC, ∴.∠ADB=90°， 渔=船-多4=， BD=4, 由勾股定理得AD=√AB2-BD=V5-4平=3， 油乙4BD-铝-器-多 .EP-3Bp, .'.PC+PB=PC+PE, 即点C、R、E三点共线时，PC+PB最小， :∴PC+PB的最小值为CH的长， SaBc=2×AC×BD=2×AB×CH, .4X4=5×CH, cH=总 第7顶（共14硕） :PC+9的最小值为9 故答秦为： 16 【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为 求CH的长，是解题的关键， 14.【分析】作△4PC的外接圆⊙O,连接OA,OC,OB,OP,过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H.想 办法求出OB,OP,可得结论 【解答】解：如图，作△4PC的外接圆⊙O,连接OA,OC,OB,OP,过点O作OH⊥BC交BC的延 长线于H. 0 H ,∵∠APC=150°， ∴.∠40C=60°， .'04=0C, .△4OC是等边三角形， ∴.AC=OC=0.A=0P=8,∠AC0=60° 在Rt△COH中，∠OCH=90°-60°=30°， ∴.0H=0C=4,CH=V30H=4v5, ‘.'BC=2V3, ∴BH63, .0B=VB+0H=(6v3y+42=2v3I, .'PBOB-OP, ∴.BP2231-8, 第8颂（共14项） ∴.BP的最小值为2W31-8. 故选：B, 【点评】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，求出OP,OB,属于中考选择题中的压轴题， 三.解答题（共5小题，共38分） 15.【解答】11 16.【分析】由不等式组 2x+>11 无解，可得a的苑围，根据分式方程引+=1有非负整数解， 3x-a<1 -2+2- 可确定a的值，从而可得答案， 【解容解：由不等式细2x+》>1可得>3且x<毕 3x-a<1 ,不等式组 2x+)>11无解， 3x-a<1 .a+1 ≤8， 解分式方程，头+岩 =1得=号， 中2， ∴+2， “分式方程少++4 y-22-y =1有非负整数解， +为非负整数， 2 ∴d=8或6或4或0或-2， ∴.满足条件的所有整数a的和为8+6+4+0-2=16， 【点评】本超考查解分式方程及一元一次不等式组的解，解题的关健是由宁为非负多数确定a的值， 容号忽略生22， 17.【分析】(1)先根据矩形的性质得∠B=90°，AD=BC=10,AD∥BC,然后利用AD∥BC得到∠AEB =∠EAD,最后结合∠F=∠B,∠FAD=∠BE4即可证明； 第9顺（共14顶） (2)先利用沟股定理得出4F三8，由△4DF△EAB得E-5,可求出BE=4,然后证明∠CDF9 ∠F4D=∠AEB,最后根据正切函数的定义求解即可. 【解答】(1)证明：四边形ABCD为矩形， ∴.∠B=90°，AD=BC=10,AD∥BC, ∴∵DI BC, ∴∠AEB=∠EAD, ,DF⊥AE, ∴.∠F=90°， ,∠FP=∠B,∠FAD=∠BE4, .∴.△4DFn△EAB; (2)解：，四边形ABCD为矩形， .∴.AD=BC=10, 在Rt△4DF中，由勾股定理得AF=√AD2-DF反=√102-6=8， .'△4Dn△EAB, .AF DF .BE=AB' .86 即E 解得BE=4, .∠FAD=∠BEA,DF⊥AE, ∴∠FAD+∠ADF=90°， ,四边形ABCD为矩形， ∴.∠ADC=90°， ∴∠CDF+∠ADF=90°， ∴∠CDF=∠FAD=∠AEB, 在Rt△4BE中，AB=3,BE=4, :∴tauc0F=tonAEB=是- 故答案为：圣 【点评】本题考查相似形的综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质，正切函数的定义和矩形的 性质，利用图形发现公共角、公共边等隐含条件证明相似三角形是解答本题的关键. 第10顺（共14项）2025年衡阳市八中“沃士计划”数学 满分：100分考试时间：70分钟 一.选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1.若√3-x乎=3-x成立，则x满足的条件是() A.≥3 B.≤3 C.x>3 D.x<3 2,如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm),根据图中所示数据计算这个几何体的 侧面积为（）cmr2. A.3n B.6m C.9n D.12m 3.如图，⊙0的半径为2，点C是圆上的-个动点，CA⊥x轴，CB⊥轴，垂足分别为A、B, D是AB的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为() A B.月 C.π D.2n 4.我国宋朝数学家扬辉在他的著作《详解九意算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（+b)” (为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律， 例如：(a+b)0=1,系数为1y 1 1 121 (a+b)1=a+b,系数分别1,1) 1331 14641 (a+b)2=a2+2ab+b2,系数分别妫1,2,1y 15101051 1615201561 (a+b)3=d+3b+3a心2+6，系数分别1,3,3,1) 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过8“天后是() A.星期三 B.星期四 C,星期五 D.星期六 5.如图，在R△ABC中，∠BAC=90,nB=手点D是边BC的中点，以AD为底边 在其右例作等要△4DB,使∠AD8=∠，连CB,则后能-() A号 c 5 D.2 6.已知抛物线，=m2+br+c(中0)经过点（-1,0)和(1,4)，且抛物线与x轴的其中一个交点的横 坐标m满足3<m<4,那么a的取值可能是(） A.-3 B.1 C.2 D.- 第顷（共4顷） 7,如图，点A的唑标为(0,4)，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按 逆时针方向旋转60°得到线段.4C.若点C的坐标为(m,6),则m的值为() a.号6 g团 c.96 D”a 8.不等式x2+2r-6≥a对于一切实数x都成立，则a的最大值为() A.5 B.6 c.7 D.8 二.空题（共6小题，每小通5分，共30分） 9.小明用2=(1-3)4(-3)24（的-3）24(4-3)2++(m0-3)计算一组数据的方差， 那么灼+*灯*…+n0=」 10.已知-付-1，则上+州的值为】 11.从1、-1、2这三个数中任取两个数，其中一个数记为m,另一个数记为”，则点P(m,”)怡好落 在一次函数=一x+1的图象上的凝率为 12.如图所示，点A在反比例经数y=是x>0)的图象上，⊙A与y轴切于点B,交x轴 于点C,D.若点C的唑标为(4-23,0)，点D的唑标为(4+2V5,0),则图中阴B 影部分面积为 13.如图，在△4BC中，4B=5,AC=4,血4=手BDLAC交AC于点D.点P为线段 BD上的动点，则PC+PB的最小值为 14.如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=2N3,点P是△4BC内部 动点，总满足∠APC=150°，连接BP,则BP的最小值为】 三.解答题（共5小题，共38分）》 15（6分)计算：-146-34+-+2血45+5- 16.(6分)若关于x的不等式组 +)>1”无解，且关于)的盼式方程，引+告 3x-a<1 2+2)=1有非负整数解， 满足条件的所有整数a的和为多少？ 第顷（共4顷） 17.(8分)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=10,点E在BC边上，DF⊥AE,垂足为F. (1)求证：△ADFP△EAB; 】 (2)若DF=6,则tan∠CDF的值为 18.(8分)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙0于点D,交AB于点E,过点D 作⊙O的切线交CO的延长线于点F. (1)求证：FD∥AB) (2)若AC=25,BC=5,求FD的张， D 第项（共4顷） 19.（10分)定义：对于一个团数，当自变量x=和时，函数值)=x0,贝则实数叫做这个函数的一个不动 点值.根据定义完成下列问题： (1)求出反比例还数y=的不动点值， (2)若二次函数)=m2+b有-1和2两个不动点值. ①求该二次避数的表达式， ②将该二次团数图豫平移，使其顶点为(1,2+2)，若平移后图豫所对应团数总有两个不同的不动点值 n,控，记z=好+号，求：的取值范围 ③若该二次函数图象与y轴交于点M,过点M作M4⊥MB分别交批物线于A,B两点.（点A在y轴 左侧)，试探究直线AB是否恒过定点，如过定点，请求出该定点坐标，不过定点，请说明理由， 第顷（共4顷）