9.1.1 简单随机抽样（共2课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.1.1 简单随机抽样 （第1课时） 第九章 统计 导入新知 在生活中，我们常接触到各种统计数据，例如，人口总量、经济增长率、就业状况、物价指数、产品的合格率、商品的销售额、农作物的产量、居民人均年收入、电视台节目的收视率、学生的平均身高等. 要正确阅读并理解这些数据，需要具备一些统计学的知识. 统计学： 是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学. 统计中数据分析的过程如下： 收集数据 整理数据 提取信息 构建模型 进行推断 获得结论 ？ 统计的研究对象是数据，核心是通过数据分析研究和解决问题. 导入新知 2020年我国进行了第七次人口普查，对全国人口普遍地、逐户逐人地进行一次性调查登记.调查内容包括每位居民的姓名、性别、年龄、民族、受教育程度等. 这里，居民为调查对象，而居民的性别、年龄、民族、受教育程度等是要调查的指标. 由于不同调查对象的指标值往往不同，它是一个变化的量，所以常把指标称为变量. 思考：什么是普查？你还能举出其它的调查方法吗？ 它们分别有什么好处呢？ 导入新知 像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又叫普查. 我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体. 为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体， 每一个调查对象的相应指标作为个体. 例如，在全国人口普查中： 总体： 个体： 全国所有居民. 每一个居民. /全国所有居民的性别、年龄等. /每一个居民的性别、年龄等. 导入新知 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查. 从总体中抽取的那部分个体称为样本， 样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量. 调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 两种基本的抽样方法—— 简单随机抽样、 分层随机抽样. 导入新知 思考：你能归纳出普查和抽样调查的各自特点吗？ 方式 优点 缺点 适用场景 普查 抽样调查 全面、 准确性高 花费少， 效率高 工作量大，时间长 耗人力、物力、财力 获得的信息不够全面 对象很少时 对象很多，或检验对对象具有破坏性 花费少，效率高 挨个查，准确性高 课堂练习 1. 在以下调查中，总体、个体各是什么? 哪些适合用全面调查? 哪些适合用抽样调查? (1) 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间； (2) 调查一个地区结核病的发病率； (3) 调查一批炮弹的杀伤半径； (4) 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例. (书P177) 全面调查 抽样调查 抽样调查 抽样调查 探究新知 抽查的目的是了解总体的情况. 我们希望样本含有和总体基本相同的信息. 探究 假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗? 总体： 个体： 变量： 袋中所有小球 每一个小球 小球的颜色 1. 放回摸球： 极端情况是每次摸到同一个小球，这样的抽样结果误差较大. 用摸到红球的频率估计口袋中红球所占的比例： 2. 不放回摸球： 避免同一个小球被重复摸中. 当样本量n=1000时，就完全了解了袋中红球的比例. 新知讲授 简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n<N） 个个体作为样本， 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样． 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到 的概率是相等的，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样． 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样． 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． 从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的． 由于不放回简单随机抽样的效率更高，因此在实践中人们更多采用不放回简单随机抽样. 除非特殊说明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样. 简单随机抽样有哪些主要特点？ （1）有限性：总体中个体数有限； （2）逐一性：从总体中逐一抽取； （3）等可能性：简单随机抽样是一种等可能抽样，在整个抽样过程中每个个体被抽取到的可能性相等. 新知讲授 探究新知 问题1 一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解 全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度. 已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？ 总体： 个体： 变量： 树人中学全部高一年级学生 每一位学生 学生的身高 实现简单随机抽样的方法有很多，其中抽签法和随机数法是比较常用的两种简单随机抽样方法. 探究新知 1. 抽签法 编号 制签 抽签 取样 思考 编号用学号可以吗？ 因为学号与学生之间也是一一对应的. 但学号位数太多，操作不简便. 抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形. 探究新知 2. 随机数法 步骤： ①编号：先给712名学生编号，例如001~712进行编号； ②选号：用随机数工具产生001~712范围内的整数随机数； ③取样：把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本. 注：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，只保留第一次，其余全部剔除，再重新产生随机数，直到抽足样本所需要的人数. 思考 随机数是如何产生的呢？ (2) 用信息技术生成随机数 ① 用计算器生成随机数； ② 用电子表格软件生成随机数； ③ 用R统计软件生成随机数. 准备10个大小、质地一样的小球, 小球上分别写上数字0, 1, 2, ... , 9，把它们放入一个不透明的袋中. 从袋中有放回摸取3次, 每次摸取前充分搅拌, 并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数, 这样就生成了一个三位随机数. 如果这个三位数在1~712范围内, 就代表对应编号的学生被选中, 否则舍弃编号. 这样产生的随机数可能会有重复. (1) 用随机试验生产随机数： 探究新知 ① 用计算器生成随机数 进入计算器的计算模式(不同的计算器型号可能会有不同)，调出生成随机数的函数并设置参数，例如RandInt，按“=”键即可生成1—712范围内的整数随机数.重复按“=”键，可以生成多个随机数.这样产生的随机数可能会有重复. random随机的 integer 整数 探究新知 (2) 用信息技术生成随机数 ② 用电子表格软件生成随机数 在电子表格软件的任意单元格中输入“=RANDBETWEEN(1，712)”，即可生成一个1—712范围内的整数随机数.再利用电子表格软件的自动填充功能，可以快速生成大量的随机数. 探究新知 (2) 用信息技术生成随机数 ③ 用R统计软件生成随机数 在R软件的控制台中，输入“sample (1: 712， 50， replace=F) ”，按回车键，就可以得到50个1～712范围内的不重复的整数随机数(如右图). R软件是免费的统计软件,该软件具有比较强大数据处理、绘图和分析等统计功能，在统计学研究和学习中被广泛使用. 用信息技术工具产生随机数最大的优点是方便、快捷. 探究新知 (2) 用信息技术生成随机数 思考1 比较抽签法和随机数法，它们各有什么优点和缺点？ 抽样方法 优点 缺点 适用范围 抽签法 随机数法 简单易行 总体容量较大时，制签费时费力，“均匀搅拌”困难 方便、效率高，可节省成本，解决了用抽签法中的制签难的问题 可能会产生重复随机数，需要剔除重复编号并重新产生 适用于总体量不多的情形 总体量较大，样本量较小的情形 探究新知 思考2 用简单随机抽样方法抽取样本，样本量是否越大越好? 探究新知 抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要，在精度和费用两者间进行权衡，并不一定是越大越好. 在简单随机抽样调查中，当样本量和总体一样大时，就是全面调查了. 2. 如图，由均匀材质制成的一个正20面体(每个面都是正三角形)，将20个面平分成10组，第1组标上0，第2组标上1，‧‧‧，第10组标上9. (1) 投掷正20面体，若把朝上一面的数字作为投掷结果，则出现0, 1, 2, ‧‧‧ , 9是等可能的吗? (2) 三个正20面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，分别代表百位、十位、个位，同时投掷可以产生一个三位数(百位为0的也看作三位数)，它是000~999范围内的随机数吗? 解：(1) 是等可能的； (2) 是. 课堂练习 (书P177) 3. 实验室的笼子里共有100只小白鼠，现要从中抽取10只作试验用. 下列两种情况是否属于简单随机抽样? 请说明理由. (1) 每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止； (2) 将笼中的100只小白鼠按1~100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠. 解：两种情况都属于简单随机抽样，因为每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等. 课堂练习 (书P177) 课堂小结 调查 全面调查（普查） 抽样调查 简单随机抽样 抽签法 随机数法 1. 判断正误. ①在总体规模比较大的调查中，抽样调查比全面调查更合理.( ) ②某学校在给学生制作校服前进行尺寸大小的调查，可以采用抽样调查方法.( ) ③某工程从1000件产品中抽出40件进行质量合格检查，样本是40.( ) ④抽签法和随机数法都适用于总体容量和样本容量较小时的抽样.( ) ⑤利用随机数法抽取样本时，若一共有总体容量为100，则给每一个分别个体编号为1，2，3，…，100.( ) 巩固提升 √ × × √ × 2. 下列抽取中，是简单随机抽样的是( ). . 一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回在拿一件，连续玩了5件 . 仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 . 某班从50名同学中选出五名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛 . 一彩民选号从装有36个形状、大小都相同的号签的盒子中无放回的抽出6个号签 巩固提升 3. 某大学为了支持运动会，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案. 解：① 将60名大学生编号，编号为1,2,3，…，60； ② 将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团， 制成号签； ③ 将60个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀； ④ 从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号； ⑤ 所得号码对应的学生就是志愿小组的成员. 巩固提升 4. 某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，线从500袋牛奶中抽取10袋进行检验. (1) 利用随机数法抽取样本时应如何操作？ 解：① 将500袋牛奶编号为001,002,…，500； ② 用随机数工具产生1—500范围内的随机数； ③ 把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进 入样本； ④ 重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量. 巩固提升 4. 某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，线从500袋牛奶中抽取10袋进行检验. (2) 如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号. 解：(2) 应抽取的袋装牛奶的编号为： 162，277, 354, 384, 263, 491, 175, 331, 455, 068. 巩固提升 9.1.1 简单随机抽样 （第2课时） 第九章 统计 探究新知 探究1 下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本，他们的身高变量值（单位：cm）如下： 156.0 166.0 157.0 155.0 162.0 168.0 173.0 155.0 157.0 160.0 175.0 177.0 158.0 155.0 161.0 158.0 161.5 166.0 174.0 170.0 162.0 155.0 156.0 158.0 183.0 164.0 173.0 155.5 176.0 171.0 164.5 160.0 149.0 172.0 165.0 176.0 176.0 168.5 171.0 169.0 156.0 171.0 151.0 158.0 156.0 165.0 158.0 175.0 165.0 171.0 试求树人中学高一年级学生的平均身高大约为多少？ 解：计算出样本的平均数为 由此可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm左右. 概念 条件 公式 总体均值(总体平均数) 总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN， 从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…yn， 样本均值(样本平均数) ∑为求和符号，读音为/sigmə/. 在简单随机抽样中，我们常用样本平均数 去估计总体平均数 . 新知讲授 新知讲授 身高 150 155 158 160 164 166 168 170 174 176 183 频数 2 7 9 5 6 4 1 4 6 5 1 为了统计方便，现将50个学生的身高数据整理如下： 我们还给可以这样算平均身高 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2， …Yk，其中Yi出现的频数f i (i=1，2，…k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式 探究2 小明想考察一下简单随机抽样的估计效果,他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据,计算出整个年级学生的平均身高为165.0cm.然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如下表所示，从小明多次抽样所得的结果中，你有什么发现？ 10个样本序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 样本量为50的平均数 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.7 165.7 165.0 样本量为100的平均数 164.4 165.0 164.7 164.9 164.6 164.9 165.1 165.2 165.1 165.2 探究新知 为了方便观察分析样本平均数的特点以及与总体平均数的关系，把这20次试验的平均数用图形表示出来，如下图. 思考： (1)样本平均数有怎样的特征，变还是不变？ (2)样本平均数与总体平均数有怎样的联系？ (3)比较样本量为50和样本量为100的样本平 均数波动幅度的大小？ 样本平均数是随机性的， 总体平均数是确定的 大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动 增加样本量可以提高估计效果. 探究新知 课堂练习 （书 P181） 1. 为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量. 若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的 平均数为5.5 kW‧h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数( ). (A) 一定为5.5 kW‧h (B) 高于5.5 kW‧h (C) 低于5.5 kW‧h (D) 约为5.5 kW.h D 课堂练习 （书 P181） 2. 在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样调查. 小明调查的样本平均数为166.4，样本量为100； 小华调查的样本平均数为164.7，样本量为200. 你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计? 是不是你选的值一定比另一个更接近总体平均数? 说说你的理由. 解：应把小华调查的平均数作为总体平均数的估计值. 因为样本量越大，样本平均数接近总体平均数的可能性越大. 但由于样本的随机性，并不能保证样本量大的估计一定优于样本量小的估计. 问题2 眼睛是心灵的窗户,保护好视力非常重要. 树人中学在“全国爱眼日”前，想通过简单随机抽样的方法,了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎样做？ 为了便于问题的描述，我们记“视力不低于5.0”为1，“视力低于5.0”为0，则 第i个(i=1，2，...，2174)学生的视力变量值为 总体平均数 探究新知 样本平均数 我们可以用样本平均数估计总体平均数，用样本中的比例 p估计总体中的比例 P. 例如，现在，我们从树人中学所有学生中抽取一个容量为50的简单随机样本，其视力变量取值如下： 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 由样本观测数据我们可以计算出样本平均数为 由样本平均数，我们估计在树人中学全体学生中，“视力不低于5.0”的比例约为0.54. 探究新知 思考 由以上实例，能否归纳出简单随机抽样有哪些优点、缺点？ 在实际应用中，简单随机抽样有一定局限性. 例如，当总体很大时，编号等准备工作耗费时间、人工，甚至难以做到；抽中个体较为分散，要找到样本中的个体进行调查会遇到很多困难；简单随机抽样没有其他辅助信息，估计效率不是很高. 简单随机抽样方法简单、直观，用样本平均数估计总体平均数也比较方便.简单随机抽样是一种基本抽样方法，是其他抽样方法的基础. 因此，在规模较大的调查中，直接采用简单随机抽样的并不多，一般是把简单随机抽样和其他抽样方法组合使用. 优点： 缺点： 探究新知 课堂小结 概念 公式 总体均值(总体平均数) 样本均值(样本平均数) 用样本估计总体 巩固提升 1. (1) 已知数据的平均数为， 则数据的平均数为______. (2) 已知 则，. 2+1 0 30 注：求和符号的性质： (1) (2) 1. 某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小,得到如下数据： 直径 12 13 14 频数 12 34 4 估计这批机械零件的直径大约为_ ______（保留整数）. [解析] 估计这50个零件的直径为 ， 即这批零件的直径大约是 . 巩固提升 2. 为了调查某校高一年级学生每天午餐的消费情况,从该校高一年级学生中抽 查了20名学生,通过调查得到这20名学生每天午餐的消费数据如下(单位:元) 8 10 6 6 8 12 15 6 8 6 10 8 8 15 6 8 10 8 8 10 试估计该校高一年级学生每天午餐的平均费用,以及午餐费用不低于10元的比例. [解析] 20名学生每天午餐的平均费用为 （元）, 20名学生的午餐费用不低于10元的比例为 , 所以估计该校高一年级学生每天午餐的平均费用为8.8元, 午餐费用不低于10元的比例为 . 巩固提升 下次课见！ 第九章 统计 $$