全册知识点复习要点归纳（知识清单）-2024-2025学年六年级下册数学北师大版

2024-2025学年北师大版小学数学六年级下册（全册）知识点复习要点归纳

一、圆柱与圆锥

（一）面的旋转

1. 圆柱的形成：以长方形的一边为轴旋转一周，得到的立体图形就是圆柱。旋转轴所在的边为圆柱的高，与其相邻的边旋转形成圆柱的底面半径 。例如，一个长为 5 厘米、宽为 3 厘米的长方形，以长为轴旋转一周，得到一个高为 5 厘米，底面半径为 3 厘米的圆柱。此时，圆柱的两个底面是完全相同的圆，且垂直于圆柱的高 。
2. 圆锥的形成：以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，得到的立体图形就是圆锥。作为轴的直角边为圆锥的高，另一条直角边旋转形成圆锥的底面半径 。如一个直角边分别为 4 厘米和 3 厘米的直角三角形，以 4 厘米的直角边为轴旋转一周，形成一个高为 4 厘米，底面半径为 3 厘米的圆锥，圆锥的底面是一个圆，侧面展开图是一个扇形 。
3. 圆柱和圆锥的特征

圆柱：有两个底面，是完全相同的圆；有一个侧面，是曲面，沿高展开后一般是长方形（当底面周长和高相等时是正方形）；有无数条高，且高都相等，高是两底面之间的距离 。

圆锥：有一个底面，是圆；有一个侧面，是曲面，展开图是扇形；只有一条高，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高 。

（二）圆柱的表面积

1. 表面积的组成：圆柱的表面积由两个底面的面积和一个侧面的面积组成 。

2.底面面积：根据圆的面积公式（π通常取 3.14），可计算出圆柱一个底面的面积，那么两个底面的面积为 。

3.侧面面积：圆柱侧面展开图的长等于底面圆的周长C =，宽等于圆柱的高h，所以侧面面积。

表面积公式：圆柱的表面积 。

例如半径r = 2，高 h = 5，

4. 。

2. 在实际应用中，要根据具体情况判断是否需要计算两个底面，如无盖水桶只需计算一个底面和侧面的面积 。

（三）圆柱的体积

1.体积公式推导：把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高h 。因为长方体体积 = 底面积 × 高，所以圆柱的体积 。

2.应用计算：已知圆柱的底面半径和高，可直接代入公式计算体积。如一个圆柱底面半径是 3 分米，高是 4 分米，体积为3.14×3^2×4 = 113.04立方分米 。若已知圆柱的底面直径d，需先算出半径r = 再计算；已知底面周长C，则先通过算出半径，再进行体积计算 。

（四）圆锥的体积

1.体积公式推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的 。所以圆锥的体积公式为（S是底面积，h是高，r是底面半径） 。

2.计算与应用：已知圆锥的底面半径和高，可代入公式计算体积。例如，一个圆锥底面半径为 2 厘米，高为 6 厘米，其体积为×3.14×2^2×6 = 25.12立方厘米 。在实际问题中，常涉及根据体积求高或底面半径的逆向计算，如已知圆锥体积和底面半径求高，可通过h = 进行计算 。

二、比例

（一）比例的认识

1. 比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如，2:3 = 4:6，因为2÷3 = ，4÷6 = ，两个比的比值相等，所以能组成比例 。
2. 比例的项：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项 。在2:3 = 4:6中，2 和 6 是外项，3 和 4 是内项 。
3. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。用字母表示为若a:b = c:d，则ad = bc 。例如，在比例3:5 = 9:15中，3×15 = 5×9 = 45 。该性质可用于判断两个比能否组成比例，以及解比例 。

（二）比例的应用

1. 解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项，求比例中的未知项，叫做解比例 。例如，解比例x:4 = 5:2，根据比例基本性质可得2x = 4×5，即2x = 20，解得x = 10 。
2. 解决实际问题：在实际生活中，许多问题可以通过比例关系来解决。如按比例分配问题，已知两个量的比和总量，求这两个量分别是多少。例如，把 200 本图书按照 3:2 的比例分给两个班级，先计算总份数为3 + 2 = 5份，那么一个班级分得200× = 120本，另一个班级分得200×  = 80本 。

（三）比例尺

1. 定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺，比例尺 = 图上距离：实际距离 。
2. 分类

数值比例尺：如 1:1000，表示图上 1 厘米代表实际距离 1000 厘米，即 10 米 。

线段比例尺：用线段表示图上距离与实际距离的关系，如 0  50  100 千米，表示图上 1 厘米代表实际距离 50 千米 。

1.应用：已知比例尺和图上距离，求实际距离，实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺；已知比例尺和实际距离，求图上距离，图上距离 = 实际距离 × 比例尺 。例如，在比例尺为 1:50000 的地图上，量得两地的图上距离是 4 厘米，实际距离为4÷= 200000厘米 = 2 千米 。

（四）图形的放大和缩小