8.6.2直线与平面垂直的定义与判定学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

直线与平面垂直的定义与判定学案

一、学习目标

1.能通过具体实例，说出线面垂直的定义.

2.通过折纸实验，探究发现线面垂直需要满足的条件，能说出线面垂直判定定理.​

3.学会用线面垂直的定义和判定定理去解决一些简单的证明题.

二、学习过程

（一）预习案 —— 温故知新（课前完成）

1.知识回顾

异面直线所成角：过空间任一点作两异面直线的平行线，所成的________或________称为异面直线所成的角.

直线与直线垂直的证明方法（至少写出 3 种）：________、________、________等.

直线与平面的位置关系有：________、________、________，其中 “垂直” 属于________关系的特殊情形.

2.问题思考

类比“线面平行”的定义（线面平行线线平行），你认为 “线面垂直” 可能与平面内的直线有怎样的关系？

 

若直线与平面内的一条直线垂直，能否说明线面垂直？举例说明：________________.

 

（二）探究案 —— 新知建构

探究一：直线与平面垂直的定义

1.直观感知（旗杆影子实验）

操作：用铅笔（代表旗杆AB）垂直于桌面（代表平面α），观察铅笔与桌面内任意直线（如影子 BC、不经过垂足的直线 BC'）的位置关系.

发现：铅笔 AB 与桌面内________一条直线都垂直，即 AB⊥α.

2.抽象定义

定义：若直线l与平面α内的________一条直线都垂直，则称直线l与平面α互相垂直，记作________.

关键词辨析：“任意一条直线” 等价于“________直线”，但不同于“无数条直线”.例如，平面内的平行直线族有无数条，但仅垂直于它们不能保证线面垂直.

3.深度思考

过一点垂直于已知平面的直线有几条？结论：________.

探究二：直线与平面垂直的判定定理

1.动手实验（折纸实验）

操作：将三角形纸片 ABC 过顶点 A 翻折，使折痕 AD 竖直 “站立” 在桌面上（即 AD⊥桌面）.

① 当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 与桌面内的直线 BD、CD 的关系是________，此时 AD________桌面.

② 若 AD 只垂直于桌面内的一条直线，能否保证 AD⊥桌面？________（能 / 不能），需垂直于至少________条________直线.

③ 为何是 “两条相交直线”？因为相交直线可确定唯一平面，且能覆盖平面内________方向的直线；而平行直线无法做到.

2.归纳定理

判定定理：如果一条直线与一个平面内的________都垂直，那么该直线与此平面垂直.

符号语言：

 

 

关键：“线不在多，________则灵”，定理本质是_______________________.

（三）典例解析 —— 定理应用

例1.（课本P152-T2）如图，四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是正方形，SD⊥平面 ABCD，求证：AC⊥平面 SDB.

分析：

①需证明 AC 垂直于平面 SDB 内的两条相交直线________和________.

②由正方形性质得 AC⊥________，

③由 SD⊥平面 ABCD 得 SD⊥________.

规范证明：