8.6.2直线与平面垂直的定义与判定课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

§8.6.2　直线与平面垂直的定义与判定 第八章 立体几何初步 1 学习目标 1.能通过具体实例，说出线面垂直的定义. 2.通过折纸实验，探究发现线面垂直需要满足的条件，能说出线面垂直判定定理. ​ 3.学会用线面垂直的定义和判定定理，去解决一些简单的证明题. 回顾复习 异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 异面直线平移至共面——立体问题平面化 回顾复习 直线与直线垂直的证明 (1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直． (2)利用勾股定理证明直角． (3)菱形的对角线相互垂直． (4)等腰三角形、等边三角形的三线合一． (5)利用一些事实:两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线,则其平行线也垂直此直线. 情景导入             A 空间中直线与平面的位置关系     情景导入 探究1 观察下列几幅图片，其中体现的是什么线面关系？ 直线与平面垂直 问题1 如何定义一条直线与一个平面垂直？ 类比线面平行——立体问题平面化 追问：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？ 探究新知 A B 通过旗杆与它在地面上影子的关系，可以发现 α 平面α内经过点B的直线⊥AB所在的直线 平面α内不经过点B的直线⊥AB所在的直线 综上所述，即 平面α内任意一条的直线⊥AB所在的直线 学习新知 直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α 互相垂直，记作l⊥α. 直线l 叫做平面α 的垂线； 平面α 叫做直线 l 的垂面.； 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足. 注意 1、上述定义可简记为“线线垂直⇒线面垂直” 2、定义中的“任意一条直线”与“每一条直线“等价，但不能换为“无数条直线”。 理解新知 理解1：一条直线垂直于一个平面，是指这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线。 线面垂直⇒线线垂直 理解2：如果一个平面内有一条直线与已知直线不垂直，则线面不垂直。 问题2 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. P l α O 情景导入 探究2 如何检测被吹斜的旗杆是否被扶正？（探究线面垂直的充分条件） 测量旗杆与地面内每一条直线是否都为直角 追问：“测量每一条”工作量太大，有没有其他更为简便的判定方法？ “每一条”—— 证无限 简化为 证有限 探究 准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置（即 AD⊥桌面）在桌面上(BD, DC 与桌面接触). 观察： (1) 折痕 AD 何时与桌面垂直？ (2) 若 AD 只垂直于桌面内的一条直线，能否保证 AD⊥桌面？ (3) 为何是 “两条相交直线”？ 探究新知 AD所在直线与桌面所在平面α垂直的充分条件是 折痕AD是BC边上的高 这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，DC都垂直。 直线AD垂直于这两条交线时，就能保证直线AD与平面α内的所有直线都垂直。 学习新知 线面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． l m α n P 符号语言 图像语言 理解关键 平面内的两条相交直线（线不在多，相交则灵） 简记为：线线垂直⇒线面垂直 典例解析 典例解析 巩固练习 课堂小结 直线与平面垂直的定义与判定 1.定义：如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α 互相垂直，记作l⊥α. 2.判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 3.转化思想： 4.应用：利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 （1）在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直; （2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线; （3）根据判定定理得出结论. $$