精品解析：河南省平顶山市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试卷

2024-2025学年九年级第三次质量检测试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据绝对值的性质进行作答，即可求解； 【详解】解：∵正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， ∴的绝对值是， 故选：A； 2. 通常晶体具有固定的熔点，当晶体达到纳米尺寸时却截然不同．例如：金的熔点为，而直径为的金粉熔点降低到，此特性可应用于粉末冶金工业．已知，则用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法可表示为． 故选：D． 3. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： 故选：B． 4. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，先根据对顶角相等和两直线平行，同位角相等得到，然后利用三角形的外角性质解题即可． 【详解】解：如图，， 由直尺的对边互相平行，可得 ， ， 故选：D． 5. 若分式是最简分式，则△表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可． 先将各选项因式分解，利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答． 【详解】解：因为，且分式是最简分式， ∴中不含或， A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 6. 世界是物质的，物质都是由化学元素组成的，其中化合物是由两种或两种以上不同元素组成的纯净物．在化学元素“”“”“”“”中，任意选择两种化学元素，可以组成化合物(氯化钠)的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，根据题意作出列表是解题关键．根据题意作出列表，结合列表即可获得答案． 【详解】解：根据题意，列表如下， － － － － 由表格，可知共有12种等可能的结果，其中可以组成化合物（氯化钠）的结果有2种， 所以，可以组成化合物的概率． 故选：A． 7. 如图，点在上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得的度数，再由直角三角形中两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴； 故选：C． 8. 如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是求解的关键；根据，以及可证，进而证得为等边三角形，有，再根据证≌，可得到，即可求出为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ∴≌ ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. (7， 0) 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，解直角三角形，坐标与图形，勾股定理，先求出，则由勾股定理得到，解直角三角形得到，根据线段中点的定义得到，则解直角三角形可得；由平移的性质可得，，则，求出，解得到，则，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵C是斜边的中点， ∴， ∵， ∴在中，， 由平移的性质可得，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系． 根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值． 【详解】连接， ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴， 又， ∴， ∴， ， 连接交于点， （三角形两边之和大于第三边）． 当点P运动到时， ， 解得， ． 连接，则． 在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 13. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：） 【答案】51 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 由题可知，， 设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：51． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，结合点 F 是边的中点，得，得到，，结合点 B，E 在反比例函数()的图象上，建立等式计算即可． 本题考查了矩形的性质，正方形性质，反比例函数性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】设， ∵点 F 是边的中点， ∴， ∵矩形和正方形，， ∴，轴，，，轴， ∴，， ∵点 B，E 在反比例函数()的图象上， ∴， 解得(舍去)， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．根据题意，由旋转性质，结合直线与的一边平行，分两类：当时；当时；两种情况讨论求解即可得到答案， 【详解】解：根据题意，将绕点D按顺时针方向旋转得到，即， 在中，， ∴． ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴ 当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴和均为等腰三角形，且， ∴， 由得到，则， 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是正方形， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）下面是某同学计算的解题过程： 解： ………① ………………② …………………………③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】（1）6； （2）从第②步开始出现错误，正确的解题过程如下： 解： ． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算和分式的加减运算． （1）根据算术平方根的定义，先开方、去括号、算乘法，最后算加减即可； （2）先观察已知条件中的解题过程，根据同分母分式相加减法则判断错误的步骤，然后写出正确的解题过程即可． 【详解】解：（1） ； （2）略 17. 为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学准备开展劳动教育实践活动．学校计划随机抽取部分学生，对他们进行问卷调查，问卷如下： 劳动教育实践活动的意向项目及近一个月平均每天的劳动时长调查问卷 1．你希望学校开展的劳动教育实践项目是（ ）（必选，单选题） A． 种植花草蔬菜 B． 房间的清洁与整理 C． 烹饪 D．传统工艺制作 2．你近一个月平均每天的劳动时长是 ．（必填题，填一 个数据） （1）下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A．从九年级随机抽取两个班的学生 B．从七、八、九年级各随机抽取若干名女生 C．从全校各个班级中各随机抽取若干名学生 （2）学校采用（1）中最合适的抽样方法进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图表（经核实，频数分布表中有个数据有误）： 意向项目扇形统计图 近一个月平均每天的劳动时长频数分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 时长 频数 6 12 15 21 6 所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： 填空：频数分布表中第 组对应的一个数据有误，应改为 ． 求样本中意向项目选择B项的人数 ． 若该地教育部门倡议本地区中学生每天参加劳动的时间不少于，请结合这次调查获得的数据给该中学提出一条合理化建议，并说明理由． 【答案】（1）C （2）4； 27 建议学校多开展劳动教育，让学生养成积极劳动的好习惯．理由如下： ， 则学生平均每天参加劳动的时间少于的人数占比为：， 这次调查中，的学生平均每天参加劳动的时间少于，故建议学校多开展劳动教育，让学生养成积极劳动的好习惯． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布表，以及抽样调查等知识． （1）根据抽样调查的广泛性选择即可． （2）根据第一组数据和第三组数据以及各组频数可得出总共频数为60，进而可得出第4组所占的百分比有误，进一步求出第4组所占百分比即可． 用计算即可． 求出，再根据学生平均每天参加劳动的时间少于的人数占比提出建议即可． 【小问1详解】 解：从全校各个班级中各随机抽取若干名学生比较合理， 故选：C； 【小问2详解】 解：由第一组数据可得：，由第三组数据可得：， 由各组频数可得， 而由第4组对应的数据可得， 故第4组所占的百分比有误，所占百分比应改为； ， 则样本中意向项目选择B项的人数为27． 略 18. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）①；②；③；④四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，直线和相交，交点分别为． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作直线l的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）点是外一点，分别连接交于点，连接．（1）中所作垂线和交于点，若，且，求的度数． 【答案】（1） 如图，直线即为所求 （2） 【解析】 【分析】（1）以为圆心，任意长为半径画弧交直线于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点一半的长度为半径画弧，两弧交于点，作直线，直线即为所求； （2）连接，得到，根据同圆或等圆种，同弧所对的圆周角相等，求出，利用即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，由（1）知， 对应的是 【点睛】本题考查了尺规作图、相似三角形的性质、补角以及圆周角定理，解题的关键在于正确画图． 20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是． （1）求出这两个函数的表达式，并直接写出这两个函数图象的另一个交点的坐标． （2）写出使反比例函数大于正比例函数的x的取值范围． （3）点在正比例函数的图象上，点，点，点都在反比例函数的图象上，比较，，，的大小关系，并用“<”连接． 【答案】（1），，这两个函数图象的另一个交点的坐标是 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，正比例函数与反比例函数的图象及性质，正比例函数与反比例函数的交点问题． （1）把代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可解答，解两函数组成的方程组即可得到另一交点坐标； （2）根据函数图象即可解答； （3）分别求出，，，，即可解答． 【小问1详解】 ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都过点， ∴，， ∴正比例函数为，反比例函数为． 解方程组得，， ∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为； 【小问2详解】 由图象可得，反比例函数大于正比例函数的x的取值范围为或． 【小问3详解】 ∵在正比例函数的图象上， ∴， ∵点，点，点都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴． 21. 为响应新农村建设，改善农村居住环境，某村村委会准备购买A，B两种桶装环保漆，对村里古建筑民居进行粉刷，已知A种环保漆每桶价格比B种环保漆多20元，购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元． （1）求A，B两种环保漆每桶价格分别是多少元． （2）已知A种环保漆每桶可粉刷的面积，B种环保漆每桶可粉刷的面积．村委会计划用46000元的专项资金购买200桶A，B两种环保漆，并支付粉刷工人的工资，且粉刷工人的工资不少于专项资金的，求这200桶环保漆可粉刷的最大面积． 【答案】（1）A，B两种环保漆每桶价格分别是180元和160元 （2）这200桶环保漆可粉刷的最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）设A种环保漆每桶a元，则B种环保漆每桶元，根据购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元列方程求解即可； （2）设购买A种环保漆x桶，可粉刷的总面积为，先根据粉刷工人的工资不少于专项资金的列不等式求出x的取值范围，然后列出关于x的函数解析式，再利用一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A种环保漆每桶a元，则B种环保漆每桶元， 根据题意，得， 解得：， ， 答：A，B两种环保漆每桶价格分别是180元和160元； 【小问2详解】 解：设购买A种环保漆x桶，可粉刷的总面积为， 根据题意，得， 解得：． ， ， 随x的增大而增大， 当时，S取最大值，最大值为18500． 答：这200桶环保漆可粉刷的最大面积为． 22. 在平面直角坐标系中，设二次函数（b，c为常数）． （1）写出一组b，c的值，使抛物线与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （2）若抛物线经过，． ①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； ②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围． 【答案】（1） 解：，理由如下： 由题意， ∵抛物线与x轴有两个不同的交点 ∴ 即 可取，代入 则，满足题意． （2）①，；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由抛物线与x轴有两个不同的交点，从而，进而可以举例得解； （2）①依据题意，由抛物线经过，，进而建立方程组计算可以得解析式，又化成顶点式即可得解； ②由题意，对于，令，可得，又点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，可得或，进而可得或，从而根据二次函数的性质进行分类讨论即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由题意，抛物线经过， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为． ∵ ∴顶点为 ②由题意，对于 令，则 ∴ ∵点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度 ∴或 ∴当时，；或当时， ∴或 a、当在，之间时 ∵抛物线开口向下 又当时，y取最大值为4 ∴ b、当在，之间时 ∴抛物线开口向下 又对称轴是直线，且 ∴此时y随x的增大而增大 ∴ 综上，且． 23. 定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形；如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上．若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3．已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接．若的面积为，直接写出的长． 【答案】 （1）如图1所示（答案不唯一）： （2）是四边形的“相似对角线”，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是四边形的“相似对角线”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，可知为的直角边，且两条直角边之比为，则可找出符合要求的点D； （2）由角平分线的定义得，则，从而得出，即可证明结论； （3）作于点M，根据相似三角形的性质可得，再利用锐角三角函数得，从而得出，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，作于点M， ∵，平分， ∴． 又∵是四边形的“相似对角线”， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，理解“相似对角线”的含义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级第三次质量检测试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 通常晶体具有固定的熔点，当晶体达到纳米尺寸时却截然不同．例如：金的熔点为，而直径为的金粉熔点降低到，此特性可应用于粉末冶金工业．已知，则用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若分式是最简分式，则△表示的是（ ） A. B. C. D. 6. 世界是物质的，物质都是由化学元素组成的，其中化合物是由两种或两种以上不同元素组成的纯净物．在化学元素“”“”“”“”中，任意选择两种化学元素，可以组成化合物(氯化钠)的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. (7， 0) 10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 13. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：） 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为____________． 15. 如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）下面是某同学计算的解题过程： 解： ………① ………………② …………………………③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 17. 为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学准备开展劳动教育实践活动．学校计划随机抽取部分学生，对他们进行问卷调查，问卷如下： 劳动教育实践活动的意向项目及近一个月平均每天的劳动时长调查问卷 1．你希望学校开展的劳动教育实践项目是（ ）（必选，单选题） A． 种植花草蔬菜 B． 房间的清洁与整理 C． 烹饪 D．传统工艺制作 2．你近一个月平均每天的劳动时长是 ．（必填题，填一 个数据） （1）下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A．从九年级随机抽取两个班的学生 B．从七、八、九年级各随机抽取若干名女生 C．从全校各个班级中各随机抽取若干名学生 （2）学校采用（1）中最合适的抽样方法进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图表（经核实，频数分布表中有个数据有误）： 意向项目扇形统计图 近一个月平均每天的劳动时长频数分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 时长 频数 6 12 15 21 6 所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： 填空：频数分布表中第 组对应的一个数据有误，应改为 ． 求样本中意向项目选择B项的人数 ． 若该地教育部门倡议本地区中学生每天参加劳动的时间不少于，请结合这次调查获得的数据给该中学提出一条合理化建议，并说明理由． 18. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 19. 如图，直线和相交，交点分别为． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作直线l的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）点是外一点，分别连接交于点，连接．（1）中所作垂线和交于点，若，且，求的度数． 20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是． （1）求出这两个函数的表达式，并直接写出这两个函数图象的另一个交点的坐标． （2）写出使反比例函数大于正比例函数的x的取值范围． （3）点在正比例函数的图象上，点，点，点都在反比例函数的图象上，比较，，，的大小关系，并用“<”连接． 21. 为响应新农村建设，改善农村居住环境，某村村委会准备购买A，B两种桶装环保漆，对村里古建筑民居进行粉刷，已知A种环保漆每桶价格比B种环保漆多20元，购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元． （1）求A，B两种环保漆每桶价格分别是多少元． （2）已知A种环保漆每桶可粉刷的面积，B种环保漆每桶可粉刷的面积．村委会计划用46000元的专项资金购买200桶A，B两种环保漆，并支付粉刷工人的工资，且粉刷工人的工资不少于专项资金的，求这200桶环保漆可粉刷的最大面积． 22. 在平面直角坐标系中，设二次函数（b，c为常数）． （1）写出一组b，c的值，使抛物线与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （2）若抛物线经过，． ①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； ②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围． 23. 定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形；如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上．若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3．已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接．若的面积为，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $