精品解析：山东省青岛市青岛第九中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

青岛九中2024-2025学年第二学期高一期中考试数学试题 2025.05 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第II卷两部分.第I卷为选择题，共58分；第II卷为非选题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2.第I卷共2页，有单选题和多选题，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上. 第II卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上. 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，然后结合复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】设， 则， 所以，，故， 故选：B． 2. 已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念可确定选项. 【详解】由b∥α得直线b与平面α无公共点，由a⊂α得a，b无公共点，充分性成立. 由a，b无公共点得a∥b或a，b为异面直线，b∥α不一定成立，必要性不成立. 故“b∥α”是“a，b无公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 如图的平面直角坐标系中，线段长度为2，且，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中求出，的值，根据斜二测画法，得到，的值，在中，根据余弦定理求出. 【详解】因为，， 所以，， 由斜二测画法得，， 因为， 所以在中， ， 故选：C. 4. 如图，已知直角梯形，，，，点F是CD中点，点E是线段靠近B点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律得，即可得. 【详解】由题设， . 故选：B 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台表面积公式计算得解. 【详解】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有： ，解 得, 所以圆台的表面积. 故选：C 6. 已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：C. 7. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（ ） A. 分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B. 分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C. 1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D. 1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象求出函数解析式可得选项A正确，选项B错误；求出和时的函数值可得选项C正确；根据可得一个周期内有分钟符合题意，由此可得选项D正确. 【详解】 如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 8. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用台体的体积公式，以及相似比性质，结合换元思想来求解即可. 【详解】设米斗的上底面边长为，高为，则米斗的下底面边长为， 故，得． 设米的深度为，半斗米所形成的正四棱台的下底面边长为， 则，则， 则， 得，则， 化简得．令， 则，， 即，则， 故选:A． 【点睛】关键点睛：（1）根据正四棱台的结构特征求出半斗米所形成的正四棱台的下底面的边长的表达式；（2）换元，令，将方程化为并配凑为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 每一点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度 B. 每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数的平移规则求解即可. 【详解】对于平移过程，我们分类讨论， 先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 再将所得图象向左平移个单位长度，所以A错误，B正确． 先平移后伸缩时：向左平移个单位长度， 再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所以C正确，D错误． 故选：BC 10. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，当为中点时，利用中位线的性质可证得，再证得线面平行；对于B，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可. 【详解】 对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面.故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为梯形，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故D正确. 故选：BD. 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数，则函数的最小值为 B. 的最大值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算向量坐标，求出函数解析式，利用二次函数求出最值，A正确；取的中点，得到，求出的最大值，从而得到的最大值，B正确；利用数量积的几何意义求解投影向量，C错误；计算向量坐标即可判断D错误，得到答案. 【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系， 设， 在中，根据余弦定理可得，，整理得到， ， ，，设， 对选项A：，， 所以， 所以 ， 所以当时，函数有最小值为，A正确； 对选项B：取的中点，则，， 则，， 两式相减得：， 由正八边形的对称性知，当点与点或重合时，最大， 又，所以， 所以， 所以的最大值为，B正确； 对选项C：，， 所以，即投影向量为，C错误； 对选项D：因为，，所以， 又 ，所以，D错误. 故选：AB 第II卷 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为是两个不共线的单位向量，， 若与共线，可设，即，则，解得： 故答案为：2 13. 复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题意，列出关于的方程组，解之得，求出，利用三角形面积公式计算即得. 【详解】设，依题意，， 即，解得.则有， 则, 由可得为直角三角形， 故的面积为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查复数与复平面内的点、对应向量之间的一一对应关系的应用，属于较难题. 解题思路，即是将复数对应的点或者向量在复平面内表示出来，通过图形理解，列出与复数的实部与虚部关联的方程组，求出点的坐标，得到相应的边长和角即可. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知的外接圆的半径为1，且，，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可得，，利用余弦定理可得，进而可得，进而可得面积. 【详解】因为，由正弦定理可得， 整理可得， 且， 即，由正弦定理可得， 因为的外接圆的半径为1，由正弦定理可知，则，， 又因为， 由余弦定理可得， 且，则， 可得，， 所以的面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足． （1）若，求向量与的夹角； （2）若．求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律，结合向量夹角公式求解. （2）利用数量积的运算律求解. 【小问1详解】 由，得，， 因此，而，则， 所以向量与的夹角为. 【小问2详解】 由，得，则，解得， 所以. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得 ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 17. 如图，在中，，点为和的交点，设． （1）若，求的值； （2）若在上，，且，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解； （2）利用平面向量线性运算，用基底表示，根据得到，从而得到系数与夹角的关系式，利用三角函数的值域确定系数的范围. 【小问1详解】 由题意，因为，所以. 设， 则，即, ，即， 所以，解得，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以. 设，与的夹角为，其中， 则 ， 而， 因为，所以, 即， 因为，所以， 解得. 因为，所以，即，解得. 所以的取值范围是. 18. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【小问1详解】 连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. 【小问3详解】 由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，． 19. 如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. （1）划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ （2）求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角. （3）若划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？ 【答案】（1）9；（2）；（3）划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员；. 【解析】 【分析】（1）设速度为，时间为，由余弦定理可得关于时间的函数，根据二次函数的性质得出的最小值； （2）利用余弦定理计算即可得出答案． （3）假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即方向行驶需要，而运动员刚好到点，即可得出结果. 【详解】（1）设划艇以的速度从处出发，沿方向，后与运动员在处相遇， 过作的垂线，则，， 在中，，，， 则，． 由余弦定理，得， 得． 整理得：． 当，即时，取得最小值81，即， 所以划艇至少以9的速度行驶才能把追上这位运动员． （2）当时， 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以， 所以划艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为． （3）划艇每小时最快行驶11.25km全速行驶， 假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即方向行驶，而， 此时到海岸距离最短，需要的时间最少， 所以需要：，而时运动员向东跑了：， 而，即时，划艇和运动员相遇在点. 所以划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员，最快需要. 【点睛】本题考查了利用余弦定理去解三角形，涉及余弦定理得实际运用，还考查学生的理解分析能力和计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛九中2024-2025学年第二学期高一期中考试数学试题 2025.05 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第II卷两部分.第I卷为选择题，共58分；第II卷为非选题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2.第I卷共2页，有单选题和多选题，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上. 第II卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上. 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图的平面直角坐标系中，线段长度为2，且，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为，则（ ） A. 4 B. C. D. 4. 如图，已知直角梯形，，，，点F是CD中点，点E是线段靠近B点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（ ） A. 分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B. 分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C. 1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D. 1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 8. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 每一点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度 B. 每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 10. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数，则函数的最小值为 B. 的最大值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 第II卷 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则______． 13. 复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______． 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知的外接圆的半径为1，且，，则的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足． （1）若，求向量与的夹角； （2）若．求的值． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 17. 如图，在中，，点为和的交点，设． （1）若，求的值； （2）若在上，，且，求的取值范围． 18. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 19. 如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. （1）划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ （2）求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角. （3）若划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $