精品解析：广东省部分高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：必修第一册，第二册占20%，选择性必修第一册，第二册，第三册第六章，第七章7.2结束占80%． 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. 1512 B. 504 C. －504 D. －1512 3. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ） A. 0.955 B. 0.954 C. 0.94 D. 0.945 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同排法种数共有（ ） A. 1152种 B. 384种 C. 288种 D. 144种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（ ） A. 事件，是互斥事件 B. 事件，是对立事件 C. D. 10. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 11. 已知过点的直线l与动圆相切，切点为M，记点M的轨迹为曲线Γ，则（ ） A. 曲线Γ经过原点 B. 曲线Γ是轴对称图形 C. 点在曲线Γ上 D. 曲线Γ在第二象限的点的纵坐标有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______． 13. 在中，若，则边上的高为______ 14. 设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则______；数列的前项和为，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某同学会做老师给出的道题中的道．现从这道题中随机选道让该同学做，试求：选出的题中该同学会做的题目数的分布列． 16. 记为正项等比数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，， （1）求证： （2）求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于两点（异于点）． （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）记直线与的斜率分别为，直线的斜率分别为，证明：． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：必修第一册，第二册占20%，选择性必修第一册，第二册，第三册第六章，第七章7.2结束占80%． 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法化简复数，根据复数几何意义求解即可. 【详解】由题意得， 故在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限． 故选：B 2. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. 1512 B. 504 C. －504 D. －1512 【答案】D 【解析】 【分析】展开二项式的通项即可求解. 【详解】展开式的通项为，则含的项为，故含项的系数为－1512． 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合指数函数的单调性、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】，故“”是“”的充要条件. 故选：C 4. 有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ） A. 0.955 B. 0.954 C. 0.94 D. 0.945 【答案】B 【解析】 【分析】先设事件，再利用全概率公式计算即可. 【详解】用事件表示“任取一件，取得正品”，事件表示“取到甲车床加工的零件”， 事件表示“取到乙车床加工的零件”， 则， 所以取到正品的概率为 ． 故选：B 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将两边平方，结合的向量数量积的定义求解方程即得. 【详解】由，得， 即， 整理得， 解得，或（舍去）． 故选：D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移可得的表达式，再根据函数的对称性求解. 【详解】由题知， 因为函数的图象关于原点对称， 所以，，所以， 因为，所以的最小值为． 故选：A. 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式解集. 【详解】令，由，得，函数在上单调递增， 由，得，不等式化为， 则，解得，所以不等式的解集为． 故选：B 8. 高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（ ） A. 1152种 B. 384种 C. 288种 D. 144种 【答案】A 【解析】 【分析】先将4名女同学捆绑在一起看成一个整体并内部排序，再用插空法安排教师和男同学的位置. 【详解】第一步：先将3名教师全排，共有种排法；第二步：将4名女同学＂捆绑＂在一起，共有种排法；第三步：将＂捆绑＂在一起的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有种排法；第四步：首先将2名男同学之中的一人，插人第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中1个，共有种排法，所以不同的排法种数有：种． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（ ） A. 事件，是互斥事件 B. 事件，是对立事件 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件和条件概率的计算公式依次判断各选项即可得出结果. 【详解】从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数，取出的数要么是奇数要么是偶数， 不可能既是奇数又是偶数，也不可能既不是奇数也不是偶数，所以事件，是互斥事件，A正确. 当取出的数字为3时，事件与事件，同时发生，事件，不是对立事件，B错误． ，，D错误. ，C正确． 故选：AC 10. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积、模、异面直线的夹角、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 11. 已知过点的直线l与动圆相切，切点为M，记点M的轨迹为曲线Γ，则（ ） A. 曲线Γ经过原点 B. 曲线Γ是轴对称图形 C. 点在曲线Γ上 D. 曲线Γ在第二象限的点的纵坐标有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】首先将圆方程化为标准方程，找到圆心和半径。根据直线与圆相切的性质，得到相关等式，进而求出点的轨迹方程，再根据轨迹方程的性质逐一分析选项. 【详解】圆化为，圆心，半径为， 设点，，， 由题意可知，，则， 整理得①. 又因为， 所以，展开化简得② 由①②消去，化简得，显然， 又由圆C的圆心在y轴左侧，且与y轴相切，所以， 其图象为： 对于A选项，曲线Γ不经过原点，所以A错误. 对于B选项，若为曲线上任意点，根据方程知也在曲线上，即曲线关于轴对称，所以B正确. 对于C选项，将点代入曲线方程中，等式成立，C正确. 对于D选项，根据，当时，显然第二象限的点的纵坐标无最大值，所以D错误， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以． 故答案为：. 13. 在中，若，则边上的高为______ 【答案】## 【解析】 【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用三角形等面积法即可求得边上的高. 【详解】由余弦定理，得， 设边上的高为，则，解得． 故答案为：. 14. 设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则______；数列的前项和为，则______ 【答案】 ①. 16 ②. 219 【解析】 【分析】列举出数列的各项，则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，得，分类讨论为或不为6的整数倍，求出对应的，即可求出；结合等差、等比数列前项求和公式计算即可求解. 【详解】由，且得， ， 所以数列各项除以4的余数为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…， 则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列， 所以， 当为6的整数倍时，； 当不为6的整数倍时，，所以； 当时， ， 故． 故答案为：16；219 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某同学会做老师给出的道题中的道．现从这道题中随机选道让该同学做，试求：选出的题中该同学会做的题目数的分布列． 【答案】分布列见解析 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列. 【详解】记该同学会做的题目数为，由题意，的可能取值为， ， ， 所以该同学会做的题目数的分布列为： 0 1 2 3 4 16. 记为正项等比数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设正项等比数列公比为，根据可构造方程求得，根据求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果. 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为， 因，所以，所以． 又， 解得． 所以． 【小问2详解】 由题知， 所以， ， 两式相减得． 所以． 17. 如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，， （1）求证： （2）求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到平面即可得到结果 （2）建立空间直角坐标系利用面面角的向量求法即可得到结果. 【小问1详解】 取AB中点N，连接PN，MN，则，而，故 因为，所以 又，MN，平面PMN， 所以平面 因为平面PMN，所以 【小问2详解】 因为平面平面ABC，平面，，所以平面 因为平面PMN，所以，故PN，AB，MN两两垂直， 以N为原点，AB，MN，PN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面PBM的法向量为， 则即取，则 设平面PBC的法向量为， 则即取，则， 所以， 即平面PBM与平面PBC夹角的余弦值为 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于两点（异于点）． （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）记直线与的斜率分别为，直线的斜率分别为，证明：． 【答案】（1） （2）或或或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组即可求解； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，进而根据韦达定理计算，再利用面积即可求出； （3）利用第（2）问的韦达定理计算并化简、即可证得. 【小问1详解】 由题知，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，点的坐标分别为， 联立方程，得， 由，得， 由韦达定理，有， 所以， 因原点到直线的距离为， 所以的面积为， 由，解得或， 故直线的方程为或或或． 【小问3详解】 因为 ， ， 所以． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入，对函数求导，求得斜率即可写出直线方程；（2）对函数求导，分，两种情况讨论； （3）由第二问的单调性可知，通过放缩即可证得不等式成立. 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ，则． 对于方程． 当，即时，，函数在上单调递减； 当，即时，方程有两不等根， ，且， 所以当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为，． 【小问3详解】 证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减， 又，所以当时，， 即当时，． 因为，所以，所以， 即， 所以， ， ， … ， 累加可得 ， 即， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$