精品解析：辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度（下）沈阳市五校协作体期中考试 高二年级数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1—11题 58分） 第二部分：非选择题型（12—19题 92分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或1 3. 甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（ ） A. B. C. D. 4. 若函数无极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. 变量服从正态分布 B. C. D. 6. 已知为等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 5 B. 9 C. D. 7. 已知定义在的函数，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数的图象在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域，满足，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 数列的前50项和 11. 如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2，0，它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为；点Q向左移动的概率为，向右移动的概率为．分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列的前n项和为，若，则______． 13. 已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时，______． 14. 已知成等差数列，函数在时有极值0，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 a 不是每天都整理数学错题人数 b 15 20 合计 40 （1）计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2）从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望． 16. 设函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，令，求证：． 18. 数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）设，求的前2n和． 19. 某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康活力无限”健身打卡活动． （1）公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数，统计结果如下： 月份x 1 2 3 4 5 身体指标明显改善人数y 330 260 200 140 90 若身体指标明显改善人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？ （2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了甲、乙、丙三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由甲组先发起竞赛，挑战乙组、丙组的概率均为．若甲组挑战乙组，则下次竞赛发起权在乙组；若甲组挑战丙组，则下次竞赛发起权在丙组．若竞赛发起权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为和；若竞赛发起权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为和． ①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在乙组的次数X的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（A是一个确定的实数），则称数列，为“聚点数列”，A称为数列的聚点．经过n次竞赛后，竞赛发起权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点A的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（下）沈阳市五校协作体期中考试 高二年级数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1—11题 58分） 第二部分：非选择题型（12—19题 92分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由独立事件乘法公式即可求解. 【详解】因为事件A，B相互独立，且，， 则. 故选：B. 2. 已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：A. 3. 甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由古典概型公式、条件概率公式计算可得答案. 【详解】事件A包含的基本事件有： 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”， 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“九一八纪念馆”，共有5个， 其中，事件B包含的基本事件有： 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”， 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 共有4个， 概率. 故选：A. 4. 若函数无极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得恒成立，求解即可. 【详解】的导数为， 函数不存在极值点， 在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：D. 5. 如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. 变量服从正态分布 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得，进而可求解AB，根据正态分布的对称性，即可求解CD. 【详解】依题意，，， 对于A，变量服从正态分布，A错误； 对于B, ,故B错误， 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 6. 已知为等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得，，进一步列用等比数列求和公式化简表达式即可求解. 【详解】设公比为，因为，所以，显然， 从而. 故选：A. 7. 已知定义在的函数，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过已知的递推公式，逐步推导出的表达式，进而求出的值.首先对递推公式进行变形，构造出一个新的数列，求出新数列的通项公式，再得到的通项公式，最后代入求值. 【详解】因为，等式两边同时除以， 得到. 设，则，且. 所以是以0为首项，为公差的等差数列. 所以该数列的通项公式为. 所以. 所以. 故选：B. 8. 已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据要求解的不等式可变形为，构造函数，并结合已知可得，从而得，利用求得参数c的值，由此可将不等式 化为，即可求得答案. 【详解】令 ①,则 ， ∵， ∴ ， 即 ， ∴（c为常数）②， 由①②知， ， ∴ ，又， ∴ ，即 ， ， 不等式 即， ∴ 或， 即不等式的解集为， 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数的图象在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由因式分解即可判断CD；利用基本不等式可判断AB. 【详解】因为，所以， 又在两点处的切线相互平行，所以， 整理得，因为，所以，C对D错； 又，且，所以，A错B对. 故选：BC 10. 已知函数的定义域，满足，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 数列的前50项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用即可求解A，根据，得，进而根据可判断B，根据并项求和可得的表达式，进而构造函数求导判定函数的单调性，即可求解C，利用并项求和，结合等差数列的求和公式求解D. 【详解】令，，，A不对； 令，，，， ， 即，，,所以为等差数列,B正确； ，， ， 令单调递增，,所以,即得，故，C正确； 故 ，D正确. 故选：BCD. 11. 如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2，0，它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为；点Q向左移动的概率为，向右移动的概率为．分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合独立事件的乘法公式保证一秒后两点的距离不变，这一步必须同方向移动可得A正确；两步后变动的距离可能是0或2，分三种情况可得B错误；保证两秒后重合，必须有一个点的位置不变可得C正确；举反例令可得D错误. 【详解】对于A，当，即一秒后两点的距离仍为2，所以同时往左或往右一步， 则，故A正确； 对于B，当，即两秒后两点坐标和仍为2， 所以；或；或，而且向左向右的顺序不影响结果， 所以，， ，，， 所以，故B错误； 对于C，当，即或时， 所以，故C错误； 对于D，，由C可得，故D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列的前n项和为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由通项公式，得到，当时，再由组合数的性质，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 当时，， 所以 . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求数列的前项和，考查组合数性质的应用，属于常考题型. 13. 已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，计算可得，进而得出的公差的范围，得到是递增数列，若存在，使得，则当时，取得最小值. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 则，，得， 则是递增数列，且，， 因此当时，，当时，， 因此最小，故取得最小值时，. 故答案为： 14. 已知成等差数列，函数在时有极值0，则______． 【答案】21 【解析】 【分析】由，求得，并验证，再结合等差数列概念即可求解. 【详解】， 由题意， 即，解得：或， 当时，，， 此时函数单调递增无极值，舍去， 经验证符合题意， 因成等差数列，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 a 不是每天都整理数学错题人数 b 15 20 合计 40 （1）计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2）从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望． 【答案】（1），，有把握 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先算出，再计算卡方对比临界值即可得解. （2）由题意可得X的所有可能值为0，1，2，3，计算出对应的概率即可得分布列，进一步即可求解数学期望. 【小问1详解】 依题意，，， 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 所以有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”． 【小问2详解】 不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，X的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望. 16. 设函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求，进而求切线斜率，再用点斜式求方程即可； （2）分和两种情况，分别研究的正负性即可； （3）利用参变分离，构造函数，求其最小值即可. 【小问1详解】 由题意，得，所以切线的斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即， 则在处的切线方程为. 【小问2详解】 由，则，， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，得；得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记，，则， 令得；可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 则实数a的取值范围为． 17. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，令，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得，解方程求出，即可求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，由累乘法可求出的通项公式，再由裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为． 由，得， 解得：，所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 即，，，……，， 利用累乘法可得： ，也符合上式， 所以． 18. 数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）设，求的前2n和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）对于，由与的关系，通过作差即可求解，对于，通过的奇偶，分别确定递推公式即可求解； （2）由等比数列的求和公式及错位相减法，分别计算奇数项、偶数项的和，即可. 【小问1详解】 由，当，可得，当，解得， 所以，所以， 即，而，所以从第二项起为等比数列，∴ 因为数列满足 因为所以， 当，时，， 当，时，， 所以，所以n为奇数时， 当，时，， 所以，所以，所以n为偶数时，， 所以 【小问2详解】 ∴ ∴ ∴， ∴ 19. 某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康活力无限”健身打卡活动． （1）公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数，统计结果如下： 月份x 1 2 3 4 5 身体指标明显改善人数y 330 260 200 140 90 若身体指标明显改善人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？ （2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了甲、乙、丙三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由甲组先发起竞赛，挑战乙组、丙组的概率均为．若甲组挑战乙组，则下次竞赛发起权在乙组；若甲组挑战丙组，则下次竞赛发起权在丙组．若竞赛发起权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为和；若竞赛发起权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为和． ①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在乙组的次数X的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（A是一个确定的实数），则称数列，为“聚点数列”，A称为数列的聚点．经过n次竞赛后，竞赛发起权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点A的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）24人 （2）①分布列见解析，；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法求解回归直线方程，即可代入求解， （2）①利用独立事件的概率乘法公式求解概率，即可求解分布列，由期望公式求解期望， ②根据题意列且，即可求解是以为首项，为公比的等比数列，可得，即可根据聚点数列的定义求证且. 【小问1详解】 由已知数据经计算可得：，，，，，，， 所以．所以当时，； 即第6个月身体指标明显改善的大约有24人： 【小问2详解】 ①X的所有可能值为0，1，2， ，，， X 0 1 2 P 所以次数X的数学期望． ②第n次挑战后挑战权在Y，Z组的概率分别是，，时，则且， 得：，由①得， ∴，∴，∴， ∴，∴，其中， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴，∴， 由聚点数列的定义：，由指数函数的单调性可知：当时， 所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，所以数列为“聚点数列”；∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $