期末押题卷（二）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

期末押题卷（苏科版）（二） 八年级下册数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版八年级下册第7—12章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·陕西西安·一模）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．黄球 D．红球 3．（24-25八年级下·天津东丽·阶段练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）如图1，这是某地的平地扶梯，图2是其示意图，扶梯的长为120米，小康在地面上行走的速度为60米/分，小明在地面上行走的速度为40米/分．若两人在平地扶梯上行走，扶梯向前移动，两人保持原来在地面上行走的速度同时从处出发，当小康到达处，小明还剩米，则平地扶梯每分钟移动（   ）    A．25米 B．28米 C．30米 D．32米 5．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（   ） A．的值为 B．用地面积在这一组的公园个数最多 C．用地面积在这一组的公园个数最少 D．这个公园中有一半以上的公园用地面积不超过公顷 6．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 7．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线交于点；②连接并延长，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点；③连接，．下列说法错误的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若与重合，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是正方形 8．（2025·河南洛阳·一模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（   ） A．该图象是反比例函数图象 B．R随的增大而增大 C．当烟雾浓度增大时，电压表示数变大 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率减小 9．（2025·绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，的两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　） A．36 B．48 C．49 D．64 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的对角线，过点作交于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（23-24八年级下·江苏·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当 时，事件为随机事件． 12．（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）若与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 13．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若分式值为0，则的值为 ． 14．（2025·广西南宁·一模）已知点在双曲线上，点在直线上且，两点关于轴对称，设点的坐标为，则的值是 ． 15．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，分别为，的中点，则为 16．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 17．（2024·广东·校考一模）已知一个三角形三边的长分别为5、7、a，且关于y的分式方程＝2的解是非负数，则符合条件的整数a的值为_____________。 18．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形中，，E，F，G分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）计算：(1)；(2)． 20．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）先化简，再求值：，其中为的整数． 21．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解分式方程：(1)(2) 22．（23-24九年级上·广东揭阳·开学考试）如今，很多人都是手机不离手．疫情期间，有的人手机使用时间比以前更长了，也有人养成健康、自律的手机使用习惯．近日，中国青年报社王记者对部分中学生、大学生和上班族进行了“每天使用手机时长”的情况调查．王记者根据调查结果制成下面两幅统计图，请根据各图中所获得的信息解答问题．    (1)参加调查的一共有多少人？请列式计算．(2)结合统计图的数据，补全两幅统计图． (3)的参与者坦言手机使用时间增加了，主要是用手机刷短视频、上网课和线上办公．众所周知，长期使用手机会使眼睛疲劳，视力下降．对此，你有什么好的建议？（写出两条） 23．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．(1)把向左平移个单位后得到对应的，请画出；(2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出；(3)观察图形：判断与是否成中心对称？如果是，请直接写出它们的对称中心的坐标；如果不是，请说明理由；(4)请求出的面积． 24．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）为了让学生充分了解古蜀文明的发展过程，增加民族自豪感，某校九年级全体师生去往三星堆博物馆研学．三星堆博物馆设计了A，B两种冰箱贴，已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵3元，用180元全部购买B种冰箱贴的数量与用225元全部购买A种冰箱贴的数量相同．(1)求A，B两种冰箱贴的单价分别是多少元？(2)该校计划购买A，B两种冰箱贴共120个来作为三星堆知识问答挑战的奖品，现要求A种冰箱贴的数量不少于B种冰箱贴数量的两倍，且购买A种冰箱贴的费用不超过1275元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 25．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（为常数）．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图像直接写出不等式的解集；(3)点是平面内任意一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 26．（2025·河南驻马店·一模）综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． (1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________；(2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由；(3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（苏科版）（二） 八年级下册数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版八年级下册第7—12章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·陕西西安·一模）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；故选：A． 2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．黄球 D．红球 【答案】C 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20， ∵，∴抽出某个球的颜色最有可能的是黄球；故选C． 3．（24-25八年级下·天津东丽·阶段练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故原选项错误，符合题意； B、，故原选项正确，不符合题意； C、，故原选项正确，不符合题意；     D、，故原选项正确，不符合题意；故选A 4．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）如图1，这是某地的平地扶梯，图2是其示意图，扶梯的长为120米，小康在地面上行走的速度为60米/分，小明在地面上行走的速度为40米/分．若两人在平地扶梯上行走，扶梯向前移动，两人保持原来在地面上行走的速度同时从处出发，当小康到达处，小明还剩米，则平地扶梯每分钟移动（   ）    A．25米 B．28米 C．30米 D．32米 【答案】C 【详解】解：设平地扶梯每分钟移动x米，根据题意得： ，解得：，经检验是原方程的解， 即平地扶梯每分钟移动30米．故选：C． 5．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（   ） A．的值为 B．用地面积在这一组的公园个数最多 C．用地面积在这一组的公园个数最少 D．这个公园中有一半以上的公园用地面积不超过公顷 【答案】C 【详解】解：A、由题意可得：，故A说法正确，不符合题意； B、用地面积在这一组的公园个数有个，数量最多，故B说法正确，不符合题意； C、用地面积在这一组的公园个数最少，故C说法不正确，符合题意； D、这个公园中有个公园用地面积不超过公顷，超过一半，故D说法正确，不符合题意；故选：C． 6．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】B 【详解】解： ∵为正整数，且为整数，∴或，∴的取值为6，4， 则所有符合条件的的值的和为，故选：B． 7．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线交于点；②连接并延长，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点；③连接，．下列说法错误的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若与重合，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：由题意可得，垂直平分，，∴， ∴四边形是平行四边形，故A选项正确； 若与重合，则与互相垂直平分，∴四边形是菱形，故选项B正确； 由题意可得，垂直平分，，∴，∴四边形是平行四边形， 若，则，∴四边形是矩形，故选项C正确； 若，无法证明四边形是正方形，故选项D错误．故选：D． 8．（2025·河南洛阳·一模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（   ） A．该图象是反比例函数图象 B．R随的增大而增大 C．当烟雾浓度增大时，电压表示数变大 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率减小 【答案】C 【详解】解：A、该图象与纵轴相交，所以不是反比例函数图象，故本选项说法错误，不符合题意； B、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法错误，不符合题意； C、当烟雾浓度增大时，光照强度减小，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R的电压，根据可知，电压表示数变大，故本选项说法正确，符合题意； D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C． 9．（2025·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，的两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　） A．36 B．48 C．49 D．64 【答案】A 【详解】解：过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图所示： 把代入得：，把代入得：，解得：， ∴，，∴，，∴， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴，，∴， 设，则，∵ ∴解得，∴， 把代入得．故选：A． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的对角线，过点作交于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，，，故①正确； ，， ，，即，四边形是平行四边形，故②正确； ，而不一定等于，故③错误； ，，，故平分的周长，故④正确； 如图，过点作，并延长交于点， ，，则， ，，故⑤正确，故正确的有４个，故选；C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（23-24八年级下·江苏·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当 时，事件为随机事件． 【答案】2 【详解】∵事件为随机事件．∴“摸出黑球”为随机事件，∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∵，∴m的值是2；故答案为：2． 12．（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）若与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并，∴，解得： 13．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若分式值为0，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴且，∴， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意），∴，故答案是：． 14．（2025·广西南宁·一模）已知点在双曲线上，点在直线上且，两点关于轴对称，设点的坐标为，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：点的坐标为，、两点关于轴对称，， 点在双曲线上，，，点在直线上，，即， ，故答案为：． 15．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，分别为，的中点，则为 【答案】10 【详解】解：如图，取边的中点，连接、． ∵，分别为，的中点，∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵，，，∴，，， ∴在直角中，由用勾股定理，得，即的长度是．故答案：10． 16．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 【答案】7 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵，∴ 故答案为：7． 17．（2024·广东·校考一模）已知一个三角形三边的长分别为5、7、a，且关于y的分式方程＝2的解是非负数，则符合条件的整数a的值为_____________。 【答案】4或5或6 【详解】解：∵一个三角形三边的长分别为5，7，a． ∴7﹣5＜a＜7+5．即：2＜a＜12． ∵2．解得，y＝6﹣a． ∵解是非负数．且y≠3．∴6﹣a≥0，且6﹣a≠3． ∴a≤6且a≠3．∴2＜a≤6且a≠3． ∴符合条件的所有整数a为：4或5或6． 18．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形中，，E，F，G分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：延长到点H，使，延长到点I，使，延长DC到点J，使，连 接，， ∵正方形，∴，，， ∴，∴四边形是正方形，则， ∵，，， ∴，，∴，即：， ∴，当H、E、G、J共线时取等号， ∴的最小值为的长度，在中，， 则，即的最小值为．故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）先化简，再求值：，其中为的整数． 【答案】， 【详解】解： ， ∵分式要有意义，∴，∴且， ∵为的整数，∴，∴原式． 21．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解分式方程：(1)(2) 【答案】(1)(2)无解 【详解】（1）解：， 在方程两边同乘以，得： ， 解得：， 检验：将代入，得：， ∴是原分式方程的解； （2）， 在方程两边同乘以，得： ， 解得：， 检验：将代入，得：， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 22．（23-24九年级上·广东揭阳·开学考试）如今，很多人都是手机不离手．疫情期间，有的人手机使用时间比以前更长了，也有人养成健康、自律的手机使用习惯．近日，中国青年报社王记者对部分中学生、大学生和上班族进行了“每天使用手机时长”的情况调查．王记者根据调查结果制成下面两幅统计图，请根据各图中所获得的信息解答问题．    (1)参加调查的一共有多少人？请列式计算．(2)结合统计图的数据，补全两幅统计图． (3)的参与者坦言手机使用时间增加了，主要是用手机刷短视频、上网课和线上办公．众所周知，长期使用手机会使眼睛疲劳，视力下降．对此，你有什么好的建议？（写出两条） 【答案】(1)2000，见解析(2)见解析(3)①尽量少使用手机；②控制手机使用的时长等 【详解】（1）解：总人数为：（人）． （2）解：每天使用手机小时以上的人数为：， 占全部受调查人数的百分比为： ， 每天使用手机少于1小时的人数为40人，占 补全统计图如图，    （3）解：①尽量少使用手机；②控制手机使用的时长等． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，熟练掌握统计图的意义是解题的关键． 23．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．(1)把向左平移个单位后得到对应的，请画出；(2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出；(3)观察图形：判断与是否成中心对称？如果是，请直接写出它们的对称中心的坐标；如果不是，请说明理由；(4)请求出的面积． 【答案】(1)作图见详解(2)作图见详解(3)是中心对称，对称中心为(4) 【详解】（1）解：根据平移的性质，作图如下， （2）解：根据旋转的性质，作图见图示； （3）解：根据中心对称图形的性质，连接对应点的连线交于点， ∴与是中心对称图形，对称中心的坐标为； （4）解：，∴的面积为． 24．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）为了让学生充分了解古蜀文明的发展过程，增加民族自豪感，某校九年级全体师生去往三星堆博物馆研学．三星堆博物馆设计了A，B两种冰箱贴，已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵3元，用180元全部购买B种冰箱贴的数量与用225元全部购买A种冰箱贴的数量相同．(1)求A，B两种冰箱贴的单价分别是多少元？(2)该校计划购买A，B两种冰箱贴共120个来作为三星堆知识问答挑战的奖品，现要求A种冰箱贴的数量不少于B种冰箱贴数量的两倍，且购买A种冰箱贴的费用不超过1275元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【答案】(1)种冰箱贴的单价为元，种冰箱贴的单价为元 (2)有种购买方案，购买种冰箱贴个，种冰箱贴个时总费用最少 【详解】（1）解：设种冰箱贴的单价为元，则种冰箱贴的单价为元， 由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，则， 答：种冰箱贴的单价为元，种冰箱贴的单价为元； （2）设购买种冰箱贴个，则购买种冰箱贴个，总费用为元， 由题意得：， ∵，解得：，∴有种购买方案，其中． ∵中，，∴随的增大而增大，∴当时，最小，此时， 答：有种购买方案，购买种冰箱贴个，种冰箱贴个时总费用最少． 25．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（为常数）．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图像直接写出不等式的解集；(3)点是平面内任意一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)，(2)或(3)，， 【详解】（1）解：依题意，将点的坐标代入，得：，； ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点， ∴把代入反比例函数，得：，∴， 则将和分别代入，得，解得，直线的解析式为； （2）解：∵，∴，根据图象可知： ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点， 不等式的解集为：或． （3）解：①以为对角线时：，∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分，，即为的中点．∵，点坐标为． ②当为对角线时，∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分，，即为的中点．∵，点坐标为， ③以为对角线时，∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分，，即为的中点． ∵，∴点坐标分别为．满足条件的点有三个，坐标分别是，，． 26．（2025·河南驻马店·一模）综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． (1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________；(2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由；(3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)或 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，点共线，，∴，，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 故答案为：； （2）解：成立，理由如下，∵四边形是平行四边形，∴， ∵折叠，点共线，，∴，，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，即（1）中两个结论仍然成立； （3）解：如图，当时，过点作交的延长线于点， ， ， 四边形是矩形，，， ，，， 根据折叠可得，， ，四边形为矩形，， 设，则，则，根据勾股定理可得， 即，解得，； 如图，当时，过点作交的延长线于点， 同理可得四边形为矩形，则，，， 设，则，根据勾股定理可得， 即，解得，； 综上，点的坐标为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$