期末押题卷（二）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

期末押题卷（沪科版）（二） 八年级下册数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：沪科版八年级下册第16—20章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25九年级下·北京·阶段练习）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川宜宾·一模）在“十·一”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：81，86，85，82，84，85，85，分析这组数据，下列说法错误的是（   ） A．中位数是85 B．众数是85 C．平均数是84 D．方差是3 4．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）将方程左边变成完全平方式后，方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·天津和平·阶段练习）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，且．若，．则下列判断错误的是（   ） A． B． C．四边形的面积是 D． 6．（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）如图，圆柱形容器高，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一只壁虎．此时一只蚊子正好在容器外壁，离容器上沿与壁虎相对的点A处．容器厚度忽略不计，则壁虎沿如图所示的路线捕捉蚊子需爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 7．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）     A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 8．（2025八年级下·山东·专题练习）从，5，三个数中任意选取两个数作为方程的根，可得到三个方程：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（　　） A．9 B．19 C．35 D．65 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上） 11．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年8月14日，莱西市人民政府发布了2023年青岛教育系统招聘工作人员拟聘用人员公示，为一年一度的教师招聘画上了圆满的句号．本次考试采用先笔试后面试的方式进行，（其中面试分值按照模拟上课70%、答辩30%的比例加权计算出面试得分，并设置最低分60分），总成绩按照笔试40%、面试60%的比例加权计算，保留两位小数，尾数四舍五入，择优录取．已知甲、乙、丙三名考生的各类成绩如下表，最终被录取的是 ．      成绩     项目 姓名 笔试 模拟上课 答辩 甲 90 60 50 乙 80 70 40 丙 70 80 40 12．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 13．（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩． 14．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则= 15．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，分别以，和为直径作半圆，已知，，则的值为 16．（2025·江西·一模）已知关于x的方程，若方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为 ． 17．（24-25八年级上·江苏常州·期中）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 18．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19题8分，20-21题每题7分，22-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级下·天津和平·阶段练习）计算与解方程： (1)．(2)计算：． (3) (4)． 20．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）年春节联欢晚会吉祥物“已升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．(1)据统计某“已升升”电商平台年月份的销售量是万件，年月份的销售量是万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率；(2)某实体店“已升升”的进价为每件元，若售价定为每件元，则每天能销售件．经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利元，则售价应降低多少元？ 21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知某消防车的云梯最大能伸长25米，在一次救援中，消防车云梯伸到最长25米，它的底部与建筑物之间的水平距离米，云梯底部与地面的距离米． (1)求此时云梯顶端C离地面的高度为多少米； (2)若云梯顶端需要伸到距离地面17的处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达处？ 22．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛．(1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                   ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是：92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题：①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 23．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形；(2)作于，若，求的长． 24．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）综合探究：像这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； ． 根据以上信息解答下列问题：(1)与________互为有理化因式； (2)化去分母中的根号：________（n为正整数）； (3)比较大小：________；（填“＞”“＜”或“＝”） (4)计算：． 25．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）等腰中，． (1)如图1，D，E是上两动点，且，若． ①求证：．②当时，求的长； (2)如图2，点D是等腰斜边上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰，当时，求的长． 26．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)四边形的形状为______；(2)如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明； (3)在（2）的条件下，如图3，过点M作，垂足为点 ①求的值；②若，，请直接写出四边形的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（沪科版）（二） 八年级下册数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：沪科版八年级下册第16—20章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25九年级下·北京·阶段练习）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．故选：D． 2.（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故不符合题意； B、，与是同类二次根式，故符合题意；C、与不是同类二次根式，故不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故不符合题意；故选：B． 3．（2025·四川宜宾·一模）在“十·一”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：81，86，85，82，84，85，85，分析这组数据，下列说法错误的是（   ） A．中位数是85 B．众数是85 C．平均数是84 D．方差是3 【答案】D 【详解】解：把这组数据从小到大排列为81，82，84，85，85，85，86，故中位数是85，故选项A不符合题意；众数是85，故选项B不符合题意；平均数为，故选项C不符合题意； 方差为，故选项D符合题意；故选：D． 4．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）将方程左边变成完全平方式后，方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故选：D． 5．（24-25八年级下·天津和平·阶段练习）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，且．若，．则下列判断错误的是（   ） A． B． C．四边形的面积是 D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得， ，，故选项D正确，不符合题意； ，，， ，，故选项A、B正确，不符合题意； ，，，， ， ，，故选项C错误，符合题意；故选∶C． 6．（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）如图，圆柱形容器高，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一只壁虎．此时一只蚊子正好在容器外壁，离容器上沿与壁虎相对的点A处．容器厚度忽略不计，则壁虎沿如图所示的路线捕捉蚊子需爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，将容器的半侧面展开，作关于的对称点，连接交于，则即为最短距离． 高为，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部的点处有一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，， 在中，．故选：D． 7．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）     A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【详解】解：要求的长，只需知道线段的长，理由如下：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，∴ ∵点分别是上的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴要求的长，只需知道线段的长，故选：D． 8．（2025八年级下·山东·专题练习）从，5，三个数中任意选取两个数作为方程的根，可得到三个方程：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（　　） A．9 B．19 C．35 D．65 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是明确题意，联立方程组. 分别计算、5，5、，、是方程的根时，，的值，进行比较． 【详解】解：当、5是方程的根时， ，解得：， 当5、是方程的根时， ，解得：， 当、是方程的根时， ，解得：，， ，的值最大为，故选：C． 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵m，n均为正实数，∴可化为， ∴，即， ∵，∴，∴，∴的最大值为．故选：B 10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，正方形纸片的边长为9，，, ， ， 折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，，， 设，则，在中，， 在中，，则可得，解得，，， 如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， 则可得，，， 设直线的解析式为，把，代入可得 ，解得，直线的解析式为， 当时，，，设直线的解析式为, 把代入可得，解得，直线的解析式为, 联立方程，解得，，则， ，，故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上） 11．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年8月14日，莱西市人民政府发布了2023年青岛教育系统招聘工作人员拟聘用人员公示，为一年一度的教师招聘画上了圆满的句号．本次考试采用先笔试后面试的方式进行，（其中面试分值按照模拟上课70%、答辩30%的比例加权计算出面试得分，并设置最低分60分），总成绩按照笔试40%、面试60%的比例加权计算，保留两位小数，尾数四舍五入，择优录取．已知甲、乙、丙三名考生的各类成绩如下表，最终被录取的是 ．      成绩     项目 姓名 笔试 模拟上课 答辩 甲 90 60 50 乙 80 70 40 丙 70 80 40 【答案】丙 【详解】解：甲的面试成绩为（分）， ，甲的面试成绩未达到录取标准；乙的面试成绩为（分）， ，乙的面试成绩达到录取标准， 乙的总成绩为（分）；丙的面试成绩为（分）， ，丙的面试成绩达到录取标准，丙的总成绩为（分） ，最终被录取的是丙，故答案为：丙． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 【答案】7 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵，∴ 故答案为：7． 13．（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩． 【答案】 【详解】解：由题意得的频率为， 抽取的学生人数为（名），故答案为：． 14．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则= 【答案】1 【详解】解：延长交于H， ，， ，是的中位线，，故答案为：1． 15．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，分别以，和为直径作半圆，已知，，则的值为 【答案】6 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，∴，∴， ∴或（舍去），故答案为：6． 16．（2025·江西·一模）已知关于x的方程，若方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，，∵，∴， ∴，，∴，， ∵方程的两个实数根都是整数，∴，故答案为：． 17．（24-25八年级上·江苏常州·期中）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，，∵朱入与朱出的三角形全等，∴，∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，∴，， ∴，，∴阴影部分面积为 ， ∵，，∴， 即阴影部分的面积为，故答案为：． 18．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， 在矩形中，， ，，， ，， 当三点共线（点与点）时，的值最大，即， ，，， 在中，，，， 的最大值为，故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19题8分，20-21题每题7分，22-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级下·天津和平·阶段练习）计算与解方程： (1)．(2)计算：． (3) (4)． 【答案】(1)6(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 20．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）年春节联欢晚会吉祥物“已升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．(1)据统计某“已升升”电商平台年月份的销售量是万件，年月份的销售量是万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率；(2)某实体店“已升升”的进价为每件元，若售价定为每件元，则每天能销售件．经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为；(2)售价应降低元． 【详解】（1）解：设月平均增长率为，由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元，由题意得，， 整理得：，解得：，， ∵尽量减少库存，∴，答：售价应降低元． 21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知某消防车的云梯最大能伸长25米，在一次救援中，消防车云梯伸到最长25米，它的底部与建筑物之间的水平距离米，云梯底部与地面的距离米． (1)求此时云梯顶端C离地面的高度为多少米； (2)若云梯顶端需要伸到距离地面17的处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达处？ 【答案】(1)此时云梯顶端离地面的高度为9米(2)4米 【详解】（1）解：为长方形， 在中，由勾股定理   答：此时云梯顶端离地面的高度为9米 （2）解：，   在中，由勾股定理    答：消防车需要向建筑物方向移动4米到达B处． 22．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛．(1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                   ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是：92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题：①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 【答案】(1)①；；②(2)乙； 【详解】（1）解：①由题意，共有名家长评委给每位选手打分， 家长评委打分的中位数为第个和第个数据的平均数，∴中位数故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为               平均数为：∴，故答案为：； （2）解：， ， 甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则解得：， ∵为整数，则或 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时，此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙故答案为：乙；． 23．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形；(2)作于，若，求的长． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，，，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ，， ，． 24．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）综合探究：像这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； ． 根据以上信息解答下列问题：(1)与________互为有理化因式； (2)化去分母中的根号：________（n为正整数）； (3)比较大小：________；（填“＞”“＜”或“＝”） (4)计算：． 【答案】(1)(2)(3)＜(4) 【详解】（1）解：∵， ∴与互为有理化因式；故答案为：； （2）；故答案为：； （3）∵， ∵，∴，即：；故答案为： （4） ． 25．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）等腰中，． (1)如图1，D，E是上两动点，且，若． ①求证：．②当时，求的长； (2)如图2，点D是等腰斜边上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰，当时，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②(2) 【详解】（1）证明：①如图1中，    ∵，，，∴，∴， ∵，∴． ②如图1中，，设，则． ∵，，∴，∵， ∴，，∴， ∵，，，∴，， 在中，∵，∴，解得，∴． （2）解：如图2中所示，连接： ，，，， ，， ， 26．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)四边形的形状为______；(2)如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明； (3)在（2）的条件下，如图3，过点M作，垂足为点 ①求的值；②若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正方形(2)，证明见解析(3)①2；② 【详解】（1）解：四边形的形状为正方形， 理由：四边形是矩形，，， 将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为， ，，，， ，，四边形是菱形， ，四边形是正方形，故答案为：正方形； （2）解：，证明：如图，连接， 四边形是矩形，，， 由折叠，得，，， ，，， ，， ，， 平分， 又，，， ，； （3）解：①证明：如图，过点M作于点H，作于点P，过点E作于点 ，四边形是矩形， ，，∴ 又，，，， ，，， ， 平分，，，， ，； ②由（2）知是等腰直角三角形， ，，，，， 平分，，，， ，，， ，，， ，四边形的面积 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$