期末押题卷（二）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

期末押题卷（北京版）（二） 八年级下册数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版八年级下册第14—17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25九年级下·北京·阶段练习）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西大同·期中）将一元二次方程配方后可得方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西朔州·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建泉州·一模）为了解九年级同学春节期间体育锻炼总时间，老师随机抽查了本校100名九年级同学，将所得数据整理后制作成如图所示的频数分布直方图．则可估计本校500名九年级同学春节期间体育锻炼总时间不少于30小时的人数大约是（   ） A．30人 B．70人 C．150人 D．200人 5．（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广西崇左·阶段练习）已知等腰的一条边为7．其余两边的边长恰好是方程的两个根．则m的值是（    ） A．2 B．4 C．2或10 D．4或10 7．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）     A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 8．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分，答案写在答题卡上） 9．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是 ．（写出一种即可） 10．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某校八（2）班体育委员统计了全班女生立定跳远测试的距离，列出频数分布表如下： 距离x（） 频数 1 6 7 5 1 根据“体质测定评分标准”，八年级女生立定跳远距离不低于的成绩为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为 11．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则= 12．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 13．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知数据，，的平均数为3，方差为5，则数据，，的平均数为 ，方差为 ． 14．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了 ． 15．（24-25八年级上·福建漳州·期中）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着的值的增大而增大； ②当，时，该函数图象经过第一、二、三象限； ③将该函数图象向下平移2个单位长度后得到，则； ④当时，无论取何值，直线一定过定点． 其中正确的是 ． （填写序号） 16．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形中，，E，F，G分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共12小题，共68分。其中：17-18题每题4分，19-20题每题6分，21-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分，答案写在答题卡上） 17．（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）解方程：(1) (2) 18．（2025·河南郑州·一模）小明家安排家庭旅行，计划从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行程为，该公司有A，B，C三种型号的电动汽车，每辆车每天的费用分别为360元、450元、600元．小明为了选择合适型号的汽车，进行网络调查，获得了这三种型号汽车充满电后行驶里程的数据，如图所示．    小明对数据进行分析，得到三种型号汽车的续航里程的统计量如下表所示． 型号 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差（） A 200 200 205 37.5 B 216 215 220 31.5 C 227.5 227.5 225 28.75 小明既想尽可能的避免行程中充电耽误时间，又想减少租车费用，应租借哪种型号的电动汽车？请结合统计图、统计量等信息综合分析，并给出合理的建议． 19．（24-25九年级上·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．(1)画出与关于原点对称的； (2)画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标是________； (3)试说明经过怎样的变换可以得到． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）2025年1月23日，中共中央、国务院、中央军委给神舟十八号航天员叶光富颁发“二级航天功勋奖章”，授予李聪、李广苏“英雄航天员”荣誉称号并颁发“三级航天功勋奖章”．神舟十八号载人飞行任务的圆满成功，标志着中国航天事业在实现高水平科技自立自强的新征程中迈出关键一步．此次任务不仅提升我国综合国力和中华民族凝聚力，更进一步增强了全体中华儿女的民族自信心和自豪感，对激励全党全军全国各族人民团结奋进、砥砺前行具有重要意义．某校为了解本校学生对航天知识的了解情况，对八年级学生进行了航天知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表： 分数段 频数 频率 9 36 27 请根据上述统计图表，解答下列问题：(1)表中_________，________；(2)请补全频数分布直方图； (3)根据以上数据，如果80分以上（含80分）为优秀，若该学校八年级学生有900名，请你估算一下该学校八年级学生成绩优秀的人数． 21．（23-24八年级下·北京通州·期末）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点E在上，点D在上，点F在上）； 作法：①作的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F； ③连接、．所以四边形为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：平分，． 是线段的垂直平分线，， ，， ，．（_____________）（填推理的依据） 四边形为平行四边形．（______________）（填推理的依据） ，四边形为菱形．（_____________）（填推理的依据） 22．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知关于的方程， (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)设、是方程的两根，且，求的值． 23．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长． 24．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）年春节联欢晚会吉祥物“已升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)据统计某“已升升”电商平台年月份的销售量是万件，年月份的销售量是万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)某实体店“已升升”的进价为每件元，若售价定为每件元，则每天能销售件．经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利元，则售价应降低多少元？ 25．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80千米小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是______千米，______；货车返回时的速度是______千米小时； (2)在整个运输途中，请适当说明巡逻车与货车在货车出发多久时相遇？ 26．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式；(2)关于的不等式的解集为 ； (3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ． 27．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动． 如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O．将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F．如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接． 【猜想发现】（1）如图1，是______三角形，______°；如图2，是______三角形． 【深入探究】（2）如图2，试探究线段和线段之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为．连接，交于点M，请直接写出三条线段之间的关系式． 28．（23-24八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零． 如图1，点，． (1)点与线段的“近点距离”是 ；点与线段的“近点距离”是 ； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为2，那么点P的坐标是 ； (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（北京版）（二） 八年级下册数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版八年级下册第14—17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25九年级下·北京·阶段练习）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．故选：D． 2．（24-25九年级上·山西大同·期中）将一元二次方程配方后可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，∴，∴，∴．故选C． 3．（2025·山西朔州·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， 设与的函数关系式为：，根据表格数据可得：，解得， 与的函数关系式为：，故选：A． 4．（2025·福建泉州·一模）为了解九年级同学春节期间体育锻炼总时间，老师随机抽查了本校100名九年级同学，将所得数据整理后制作成如图所示的频数分布直方图．则可估计本校500名九年级同学春节期间体育锻炼总时间不少于30小时的人数大约是（   ） A．30人 B．70人 C．150人 D．200人 【答案】C 【详解】解：春节期间体育锻炼总时间不少于30小时的人数所占的百分比：， 则该校春节期间体育锻炼总时间不少于30小时的人数有（人）；故选：C． 5．（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意可知，开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐增大；接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐减小，因此选项符合题意．故选：． 6．（24-25八年级下·广西崇左·阶段练习）已知等腰的一条边为7．其余两边的边长恰好是方程的两个根．则m的值是（    ） A．2 B．4 C．2或10 D．4或10 【答案】B 【详解】解：当7为底时，则等腰的腰长为的两个相等根． 可得，，即，则，解得， 此时一元二次方程为，解得，因为，舍去； 当7为腰时，则方程的一个根为7． 将代入，得， 即，解得或， 当时，此时一元二次方程为，解得， 得三边长为7、7、15，由于，不能构成三角形， 当时，此时一元二次方程为，解得， 得三边长为3、7、7，由于，可以构成三角形，故的值为4．故选：B． 7．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）     A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【详解】解：要求的长，只需知道线段的长，理由如下：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，∴ ∵点分别是上的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴要求的长，只需知道线段的长，故选：D． 8．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，正方形纸片的边长为9，，, ， ， 折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，，， 设，则，在中，， 在中，，则可得，解得，，， 如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， 则可得，，， 设直线的解析式为，把，代入可得 ，解得，直线的解析式为， 当时，，，设直线的解析式为, 把代入可得，解得，直线的解析式为, 联立方程，解得，，则， ，，故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分，答案写在答题卡上） 9．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是 ．（写出一种即可） 【答案】4（答案不唯一） 【详解】解：平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌． ∵正方形的一个内角的度数为，且， ∴只用正方形可以进行平面镶嵌，故答案为：4（答案不唯一）． 10．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某校八（2）班体育委员统计了全班女生立定跳远测试的距离，列出频数分布表如下： 距离x（） 频数 1 6 7 5 1 根据“体质测定评分标准”，八年级女生立定跳远距离不低于的成绩为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为 【答案】 【详解】解：由表中知，共有（人）， 其中八年级女生立定跳远距离不低于的有6人， 则该班女生立定跳远成绩的优秀率为，故答案为：． 11．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则= 【答案】1 【详解】解：延长交于H， ，， ，是的中位线，，故答案为：1． 12．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 【答案】 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是．故答案为：． 13．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知数据，，的平均数为3，方差为5，则数据，，的平均数为 ，方差为 ． 【答案】 5 20 【详解】解：数据，，的平均数为3，， 则，，数据，，的平均数为5， 数据，，的方差为5，，即， 则 ， 数据，，的方差为20，故答案为：5；20． 14．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了 ． 【答案】13人 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得，， 整理得，，解得：或（舍去）， 即每轮传染中平均一个人传染了13个人．故答案为：13人． 15．（24-25八年级上·福建漳州·期中）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着的值的增大而增大； ②当，时，该函数图象经过第一、二、三象限； ③将该函数图象向下平移2个单位长度后得到，则； ④当时，无论取何值，直线一定过定点． 其中正确的是 ． （填写序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：一次函数，当时，， ∴一次函数图象从左往右，呈上升趋势，即的值随着的值的增大而增大，故①正确； 当时，，∴该函数图象经过第一、二、三象限，故②正确； 将该函数图象向下平移2个单位长度后得到， ∴，解得，，故③正确； 当时，，∴时，，函数值与的取值无关， ∴当时，无论取何值，直线一定过定点，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，故答案为：①②③④ ． 16．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形中，，E，F，G分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：延长到点H，使，延长到点I，使，延长DC到点J，使，连 接，， ∵正方形，∴，，， ∴，∴四边形是正方形，则， ∵，，， ∴，，∴，即：， ∴，当H、E、G、J共线时取等号， ∴的最小值为的长度，在中，， 则，即的最小值为．故答案为：． 三、解答题（本题共12小题，共68分。其中：17-18题每题4分，19-20题每题6分，21-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分，答案写在答题卡上） 17．（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）解方程：(1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ， ， 所以． （2）解：， ， 或， 所以． 18．（2025·河南郑州·一模）小明家安排家庭旅行，计划从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行程为，该公司有A，B，C三种型号的电动汽车，每辆车每天的费用分别为360元、450元、600元．小明为了选择合适型号的汽车，进行网络调查，获得了这三种型号汽车充满电后行驶里程的数据，如图所示．    小明对数据进行分析，得到三种型号汽车的续航里程的统计量如下表所示． 型号 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差（） A 200 200 205 37.5 B 216 215 220 31.5 C 227.5 227.5 225 28.75 小明既想尽可能的避免行程中充电耽误时间，又想减少租车费用，应租借哪种型号的电动汽车？请结合统计图、统计量等信息综合分析，并给出合理的建议． 【答案】选择B型号汽车，见解析 【详解】解：A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择； B，C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中B型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车． 19．（24-25九年级上·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．(1)画出与关于原点对称的； (2)画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标是________； (3)试说明经过怎样的变换可以得到． 【答案】(1)见解析；(2)见解析，；(3)将绕原点逆时针旋转后可得到． 【详解】（1）解：根据题意，利用网格的特点分别作出，，关于原点对称的对应点，，，再依次连接，如图，即为所求， （2）解：根据题意，利用网格的特点分别作出，，绕原点顺时针旋转后的对应点，，，再依次连接，如图，即为所求，由图可知点的坐标为，故答案为：． （3）解：如下图， 将绕原点逆时针旋转后可以得到． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）2025年1月23日，中共中央、国务院、中央军委给神舟十八号航天员叶光富颁发“二级航天功勋奖章”，授予李聪、李广苏“英雄航天员”荣誉称号并颁发“三级航天功勋奖章”．神舟十八号载人飞行任务的圆满成功，标志着中国航天事业在实现高水平科技自立自强的新征程中迈出关键一步．此次任务不仅提升我国综合国力和中华民族凝聚力，更进一步增强了全体中华儿女的民族自信心和自豪感，对激励全党全军全国各族人民团结奋进、砥砺前行具有重要意义．某校为了解本校学生对航天知识的了解情况，对八年级学生进行了航天知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表： 分数段 频数 频率 9 36 27 请根据上述统计图表，解答下列问题：(1)表中_________，________；(2)请补全频数分布直方图； (3)根据以上数据，如果80分以上（含80分）为优秀，若该学校八年级学生有900名，请你估算一下该学校八年级学生成绩优秀的人数． 【答案】(1)(2)见解析(3)估计该学校八年级学生成绩优秀的人数为450人 【详解】（1）解：∵样本容量为，∴； （2）解：补全频数分布直方图如图所示： （3）解：（人）， 答：估计该学校八年级学生成绩优秀的人数为450人． 21．（23-24八年级下·北京通州·期末）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点E在上，点D在上，点F在上）； 作法：①作的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F； ③连接、．所以四边形为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：平分，． 是线段的垂直平分线，， ，， ，．（_____________）（填推理的依据） 四边形为平行四边形．（______________）（填推理的依据） ，四边形为菱形．（_____________）（填推理的依据） 【答案】(1)见解析 (2)内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组两边相等的平行四边形是菱形 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求， （2）证明：平分，． 是线段的垂直平分线，， ， ，．（内错角相等，两直线平行） 四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ，四边形为菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 故答案为：内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 22．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知关于的方程， (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得：，解得：； （2）解：由题意得：，∴，解得：． 23．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵O为的中点，， ∵四边形是平行四边形，，， 又，，，∴四边形是平行四边形， ，，∴平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点O作于点F， ∵四边形是矩形，，，，，， ，∴为的中位线，， ∵四边形是平行四边形，，， 在中，由勾股定理得：，即的长为． 24．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）年春节联欢晚会吉祥物“已升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)据统计某“已升升”电商平台年月份的销售量是万件，年月份的销售量是万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)某实体店“已升升”的进价为每件元，若售价定为每件元，则每天能销售件．经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为；(2)售价应降低元． 【详解】（1）解：设月平均增长率为，由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元，由题意得，， 整理得：，解得：，， ∵尽量减少库存，∴，答：售价应降低元． 25．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80千米小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是______千米，______；货车返回时的速度是______千米小时； (2)在整个运输途中，请适当说明巡逻车与货车在货车出发多久时相遇？ 【答案】(1)，，(2)巡逻车与货车在货车出发小时或小时时相遇 【详解】（1）解：（千米），，两地之间的距离是千米， 货车到达地填装货物耗时分钟，，（千米小时）， 故答案为：，，； （2）解：由题意可得，巡逻车的速度为：（千米小时）， 货车出发时，巡逻车行驶的路程为：（千米），，， 设巡逻车对应的函数表达式为，将，两点坐标代入，得： ，解得：，巡逻车对应的函数表达式为， ，，，，同理，可求得线段所在直线的函数表达式为，线段所在直线的函数表达式为， 货车对应的函数表达式为， 当时，根据题意可得：，解得：， 当时，根据题意可得：，解得：， 综上所述，巡逻车与货车在货车出发小时或小时时相遇． 26．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式；(2)关于的不等式的解集为 ； (3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ． 【答案】(1)，；(2)；(3)或． 【详解】（1）解：由题意得：，解得，， 解得：一次函数的表达式为：； （2）解：由图象得，当时，，故答案为； （3）解：设，由题意得：，解得：或， 或，或，故答案为：或． 27．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动． 如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O．将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F．如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接． 【猜想发现】（1）如图1，是______三角形，______°；如图2，是______三角形． 【深入探究】（2）如图2，试探究线段和线段之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为．连接，交于点M，请直接写出三条线段之间的关系式． 【答案】（1）直角，；等腰；（2）且，理由见解析；（3） 【详解】（1）解：在如图1中： ∵四边形是矩形，∴，， 由折叠可得，∴，∴，∵，∴， ∵矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，折痕是对称轴， ∴，即是直角三角形， 在如图2中：∵四边形是正方形，∴， ∵分别平分和，∴， 由折叠可得∴，∴，， 在中，，∴， 在中，，∴， ∴，∴是等腰三角形．故答案为：直角，；等腰． （2）且．理由如下：由（1）得，，， ∴，，即，∴且． （3）解：过点作的垂线,垂足为，设交于点，如图所示： ∴，∴四边形为矩形，∴， ∵正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为对称轴， ∴，， ∴，∴ ∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，， ∵，，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，即， 又∵，，∴． 28．（23-24八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零． 如图1，点，． (1)点与线段的“近点距离”是 ；点与线段的“近点距离”是 ； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为2，那么点P的坐标是 ； (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)1；(2)或(3) 【详解】（1）解：如图，∵，，∴点与线段的“近点距离”是； ∵，，∴，∴点与线段的“近点距离”是； （2）解：如图，当在的左边时，当时，最小， ∵点P与线段的“近点距离”为2，∴，∵，∴，∴，∴， 当在的右边时，如图中的，∴，过作轴的平行线，过作轴的垂线，交点为， ∵直线为，∴为等腰直角三角形，∴，∴； （3）解：如图，过作直线，则线段的长度为点G与四边形的“近点距离” ∵一次函数，∴，∴， ∴设，∴，，设直线为， ∴，解得：，∴直线为，∴，∴， 当时，，过作轴于， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 如图，过作直线，则线段的长度为点G与四边形的“近点距离” ∵由平移可得：，同理可得：直线为，∴，∴， 当时，则，过作轴于，∴， ∴，∴，∴，∴，解得：； ∴直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，b的取值范围为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$