专题07 分式方程（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末好题汇编（北师大版）

专题07 分式方程 题型概览 题型01分式方程的定义 题型02解分式方程 题型03根据分式方程的解求值 题型04根据分式方程无解求值 题型05分式方程的增根 题型06新定义问题 题型07根据实际问题抽象出分式方程 题型08分式方程的实际应用 ( 题型01 )分式方程的定义 1．（2023·24八年级下·山东威海·期末）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 2．（2023·24八年级下·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·24八年级下·河北邢台·期末）下列方程中，是分式方程的是（    ）． A． B． C． D． 4．（2023·24八年级下·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． ( 题型0 2 )解分式方程 5．（2023·24八年级下·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 6．（2020·西藏·中考真题）方程的解为 ． 7．（2023·24八年级下·河南洛阳·期末）解方程：的解为 ． 8．（2023·24八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 9．（2023·24八年级下·湖南岳阳·期末）解方程： (1)； (2)． ( 题型0 3 )根据分式方程的解求值 10．（2023·24八年级下·湖北荆州·期末）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 11．（2023·24八年级下·河南商丘·期末）已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 12．（2023·24八年级下·四川绵阳·期末）关于的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数的值的和是（   ） A． B．18 C． D．9 13．（2023·24八年级下·甘肃陇南·期末）已知关于x的分式方程的解是，则k的值为 ． 14．（2023·24八年级下·重庆沙坪坝·期末）若关于的分式方程的解是正整数，则所有符合条件的整数的和为 ． 15．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个分式方程的解是，求的值； (2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． ( 题型0 4 )根据分式方程无解求值 16．（2023·24八年级下·甘肃兰州·期末）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 17．（2023·24八年级下·河南商丘·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 18．（2023·24八年级下·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 19．（2023·24八年级下·湖南永州·开学考试）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． ( 题型0 5 )分式方程的增根 20．（2023·24八年级下·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 21．（2023·24八年级下·河北沧州·期末）若分式方程有增根，则增根一定是（　　） A． B． C． D．或 22．（2023·24八年级下·甘肃兰州·期末）若方程有增根，则的值是 ． 23．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 24．（2023·24八年级下·全国·单元测试）当 时，关于的方程有增根． 25．（2023·24八年级下·云南昭通·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． ( 题型0 6 )新定义问题 26．（2023·24八年级下·山东日照·期末）已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则 27．（2023·24八年级下·青海果洛·期末）定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为，若，则 ． 28．（2023·24八年级下·山东枣庄·期末）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．求方程的解． 29．（2023·24八年级下·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 30．（2023·24八年级下·四川广安·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值． ( 题型0 7 )根据实际问题抽象出分式方程 31．（2023·24八年级下·河南郑州·期末）共建“一带一路”倡议源于中国，机遇和成果属于世界，经过十多年的共同发展，一大批标志性项目和惠民生的“小而美”项目落地生根．中老铁路项目的建设就是“一带一路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相距约422千米，且较公路缩短了148千米，铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，若该铁路上动车的平均速度是汽车的2倍．设汽车的速度为千米／时，可列方程为（   ） A． B． C． D． 32．（2023·24八年级下·河北保定·期末）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 33．（2023·24八年级下·青海海东·期末）《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间．设规定时间为天，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 34．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 35．（2023·24八年级下·山西大同·期末）科技创新加速中国高铁技术的发展．某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 你们是用天完成了米长的高架桥铺设任务吗？ 是的，我们铺设米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设的长度是原来的倍．最后按期完成了任务． 若设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则可列方程为 ． ( 题型0 8 )分式方程的实际应用 36．（2023·24八年级下·陕西渭南·期末）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达基地，请问大巴车原计划的行驶速度是多少？ 37．（2023·24八年级下·四川绵阳·期末）某校组织学生乘汽车去三星堆博物馆开展研学实践活动，路途有两种方案选择： 方案一：省道 方案二：高速公路 路程 优缺点分析 路途短；但路上货车多，影响 速度，用时比方案二多分钟． 路途长；但是速度快，平 均速度是方案一的倍 问：方案二需要的时间是多少分钟？ 38．（2023·24八年级下·福建龙岩·期末）2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？ 39．（2023·24八年级下·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 40．（2023·24 八年级下·山西大同·期末）随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．求购进一个A产品，一个B产品各需要多少元？ 41．（2023·24八年级下·四川成都·期末）某电子商务店铺采购员预测一种应季衬衫能畅销，用万元购进这种衬衫，上市后果然供不应求．该店铺又用万元购进第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元，该店铺销售这种衬衫时每件定价都是元，最后剩下的件按折销售，很快售完．该店铺销售这种衬衫共盈利多少元？ 42．（2023·24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 43．（2023·24八年级下·甘肃武威·期末）春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)求A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？ 一、单选题 1．（2023·24八年级下·安徽淮南·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 3．（2023·24八年级下·山东临沂·期末）《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（   ） A． B． C． D． 4．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（    ） 的取值 4 6 分式的值 无意义 0 A． B．6 C．4 D．2 5．（2023·24八年级下·重庆南川·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·24八年级下·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题 7．（2023·24八年级下·四川眉山·期末）若关于的方程无解，则k的值为 ． 8．（2023·24八年级下·四川广元·期末）若分式方程有增根，则 ． 9．（2023·24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 10．（2023·24八年级下·陕西西安·期末）定义新运算：，若，则 ． 11．（2023·24八年级下·重庆荣昌·期末）已知关于的不等式组，有且只有两个整数解，若关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 三、期末题 12．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）解下列方程： (1)； (2)． 13．（2023·24八年级下·山西朔州·期末）下面是小柯同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 所以，原方程的解为．第五步． 任务： (1)小柯同学的求解过程从第_________步开始出现错误； (2)从解分式方程的步骤方面，请你对小柯同学提出两条建议：_________；_________； (3)请你写出完整的解上述分式方程的过程． 14．（2023·24八年级下·山东泰安·期末）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． (1)求两种图书的单价分别为多少元？ (2)为筹备数学节活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用为多少元？ 15．（2023·24八年级下·河北秦皇岛·期末）年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元/干瓦时 续航里程：千米 续航里程：干米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 16．（2023·24八年级下·河北唐山·期末）如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克． (1)“丰收号”的单位面积产量________千克/米，“丰收号”的单位面积产量________千克/米； (2)单位面积产量高的是________（填“丰收号”或“丰收号”）； (3)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长． 17．（2023·24八年级下·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 分式方程 题型概览 题型01分式方程的定义 题型02解分式方程 题型03根据分式方程的解求值 题型04根据分式方程无解求值 题型05分式方程的增根 题型06新定义问题 题型07根据实际问题抽象出分式方程 题型08分式方程的实际应用 ( 题型01 )分式方程的定义 1．（2023·24八年级下·山东威海·期末）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 2．（2023·24八年级下·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、不是分式方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：C． 3．（2023·24八年级下·河北邢台·期末）下列方程中，是分式方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.是分式方程，符合题意； B.是一元二次方程，不是分式方程； C. 是一元一次方程，不是分式方程； D. 是二元一次方程，不是分式方程； 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫做分式方程），掌握分式方程的定义是解题的关键． 4．（2023·24八年级下·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 【答案】② 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． ( 题型0 2 )解分式方程 5．（2023·24八年级下·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将方程转化为：， 方程的两根分别为m，， ，， 由，解得：， 由，解得：， 方程的根是：，， 故选：． 6．（2020·西藏·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：∵， 去分母得：， 去括号得， 移项得， 解得：， 检验：当时，． ∴是原方程的根； 故答案为：． 7．（2023·24八年级下·河南洛阳·期末）解方程：的解为 ． 【答案】 【详解】解：原方程可变形为， ， 化简得，， ∴， 即， ∴， 解得：， 检验，把代入， ∴原方程的解为． 故答案为： 8．（2023·24八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)（增根），原方程无解 (2) 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． （2）解： 方程两边同乘，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 9．（2023·24八年级下·湖南岳阳·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， ∴， 解得：， 经检验，增根， ∴原方程无解． ( 题型0 3 )根据分式方程的解求值 10．（2023·24八年级下·湖北荆州·期末）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 11．（2023·24八年级下·河南商丘·期末）已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解： ， ∵的解是非负数，， ∴， 解得：且， 故选：． 12．（2023·24八年级下·四川绵阳·期末）关于的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数的值的和是（   ） A． B．18 C． D．9 【答案】A 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵该不等式组的解中至少包含三个整数， ∴该不等式组至少有整数解5，6，7， 则有，解得， 解分式方程得： 且， ∵该分式方程的解是不小于的整数， ∴，则a的值为3的倍数，且， ∴，且， ∵， ∴，且a为3的倍数，， 则整数a的值为或或， 即满足条件的所有整数a的值之和为． 故选：A． 13．（2023·24八年级下·甘肃陇南·期末）已知关于x的分式方程的解是，则k的值为 ． 【答案】2 【详解】解：将代入分式方程可得： ， ∴， 解得 故答案为：2 14．（2023·24八年级下·重庆沙坪坝·期末）若关于的分式方程的解是正整数，则所有符合条件的整数的和为 ． 【答案】 【详解】解： ， ， ， 分式方程的解是正整数， 的值为或或或， 的值为或或或， ， ， ， 的值为或或， 所有符合条件的整数的和为， 故答案为： ． 15．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个分式方程的解是，求的值； (2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）解：∵这个分式方程的解是， ∴， 解得； （2）解：去分母，得， 解方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且． ( 题型0 4 )根据分式方程无解求值 16．（2023·24八年级下·甘肃兰州·期末）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【详解】解：， ， ， ①当时，整式方程无解，则分式方程无解； ②把增根代入得，， 解得：， 综上：或时，分式方程无解， 故选：D． 17．（2023·24八年级下·河南商丘·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【详解】解： 根据题意，原分式方程无解， ①当时，即时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意； ②当原分式方程最简公分母时，即，是原分式方程的增根，也符合题意， 此时，， 解得； ∴的值是1或2， 故选：D． 18．（2023·24八年级下·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 19．（2023·24八年级下·湖南永州·开学考试）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】或1 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， ， ∵原分式方程有无解， ∴或， 当，解得． ∴， 解得． 当时，． 故答案为：或1． ( 题型0 5 )分式方程的增根 20．（2023·24八年级下·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：． 故选：A ． 21．（2023·24八年级下·河北沧州·期末）若分式方程有增根，则增根一定是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：根据题意可知：当时，方程出现增根， 或， 故选：D． 22．（2023·24八年级下·甘肃兰州·期末）若方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：， 在分式方程两边同乘以，得： ， ∵当时，， ∴方程的增根为， 将代入， 得：， 解得：． 故答案为：． 23．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：关于的分式方程有增根， 解得， 分式方程有增根， 故答案为：． 24．（2023·24八年级下·全国·单元测试）当 时，关于的方程有增根． 【答案】 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， 分式方程有增根，则，解得， ，解得， 故答案为：． 25．（2023·24八年级下·云南昭通·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）解：去分母，得， 解得， 该分式方程有增根， ，即， ，解得， 当时，该分式方程有增根． ( 题型0 6 )新定义问题 26．（2023·24八年级下·山东日照·期末）已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则 【答案】 【详解】解：当，即时，已知等式变形得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，但，不符合题意，舍去； 当，即时，已知等式变形得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意． 故答案为：． 27．（2023·24八年级下·青海果洛·期末）定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 28．（2023·24八年级下·山东枣庄·期末）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．求方程的解． 【答案】 【详解】解：∵， ∴原方程化为：， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解为：． 29．（2023·24八年级下·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)1 (2)a的值为 【详解】（1）解：； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， ⸫a的值为． 30．（2023·24八年级下·四川广安·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值． 【答案】(1)5 (2)详见解析 (3) 【详解】（1），     分式与互为“5阶分式”； （2）∵正数x，y互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2阶分式”； （3）∵分式与互为“1阶分式”， ， 去分母，得，     ， ， ， ， ∵a，b为正数， ∴， 解得． ( 题型0 7 )根据实际问题抽象出分式方程 31．（2023·24八年级下·河南郑州·期末）共建“一带一路”倡议源于中国，机遇和成果属于世界，经过十多年的共同发展，一大批标志性项目和惠民生的“小而美”项目落地生根．中老铁路项目的建设就是“一带一路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相距约422千米，且较公路缩短了148千米，铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，若该铁路上动车的平均速度是汽车的2倍．设汽车的速度为千米／时，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设汽车的速度为千米／时，则该铁路上动车的平均速度为千米／时，根据题意得 故选：D． 32．（2023·24八年级下·河北保定·期末）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：装裱后的长为，宽为， 根据题意，得， 故选：C 33．（2023·24八年级下·青海海东·期末）《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间．设规定时间为天，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天， 根据题意列方程得． 故选：A． 34．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【详解】解：设采购x个篮球，可得方程为； 设标价都为每个y元，可得方程为； 故选项A符合题意． 故选：A． 35．（2023·24八年级下·山西大同·期末）科技创新加速中国高铁技术的发展．某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 你们是用天完成了米长的高架桥铺设任务吗？ 是的，我们铺设米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设的长度是原来的倍．最后按期完成了任务． 若设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥米， 根据题意得：， 故答案为：． ( 题型0 8 )分式方程的实际应用 36．（2023·24八年级下·陕西渭南·期末）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达基地，请问大巴车原计划的行驶速度是多少？ 【答案】 【详解】解：设原计划的行驶速度为，则提速后的速度为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：大巴车原计划的行驶速度是． 37．（2023·24八年级下·四川绵阳·期末）某校组织学生乘汽车去三星堆博物馆开展研学实践活动，路途有两种方案选择： 方案一：省道 方案二：高速公路 路程 优缺点分析 路途短；但路上货车多，影响 速度，用时比方案二多分钟． 路途长；但是速度快，平 均速度是方案一的倍 问：方案二需要的时间是多少分钟？ 【答案】方案二需要的时间为分钟． 【详解】解：设方案二需要的时间为分钟，则方案一需要的时间为，列方程得 ， 方程两边乘，得，， 解得：， 检验：当时，， 原分式方程的解为：， 答：方案二需要的时间为78分钟． 38．（2023·24八年级下·福建龙岩·期末）2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？ 【答案】10米 【详解】解：设施工队原计划每天修建保通便道x米，则实际每天修建保通便道米，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：施工队原计划每天修建保通便道10米． 39．（2023·24八年级下·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 40．（2023·24 八年级下·山西大同·期末）随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．求购进一个A产品，一个B产品各需要多少元？ 【答案】购进一个A产品元，购进一个B产品元 【详解】解：设购进一个B产品元，则购进一个A产品元， ∵用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等 ∴， 解得，， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解，则（元） ∴购进一个A产品元，购进一个B产品元． 41．（2023·24八年级下·四川成都·期末）某电子商务店铺采购员预测一种应季衬衫能畅销，用万元购进这种衬衫，上市后果然供不应求．该店铺又用万元购进第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元，该店铺销售这种衬衫时每件定价都是元，最后剩下的件按折销售，很快售完．该店铺销售这种衬衫共盈利多少元？ 【答案】元 【详解】解：设第一批购进衬衫件，则第二批购进衬衫件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， ∴销售额为元， ∴该店铺销售这种衬衫共盈利元， 答：该店铺销售这种衬衫共盈利多少元． 42．（2023·24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 【答案】(1)60件 (2)5台 【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 根据题意得，，解得， 检验：当时，， ∴是方程的解，且符合题意， 答：人工每人每小时分拣60件． （2）解：设需要安排台分拣机， 由题意，得：，解得， ∵为正整数， ∴的最小值为5， 答：至少需要安排5台这样的分拣机． 43．（2023·24八年级下·甘肃武威·期末）春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)求A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？ 【答案】(1)A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元 (2)6种 【详解】（1）解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元； （2）解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件， 根据题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴，6，7，8，9，10， ∴工厂共有6种购买方案． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·安徽淮南·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 分式方程无解， ， ， ， ， 故选：D． 2．（2023·24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的方程的解是正数， 且， 解得：且． 故选：A． 3．（2023·24八年级下·山东临沂·期末）《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据题意得， 即． 故选：B． 4．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（    ） 的取值 4 6 分式的值 无意义 0 A． B．6 C．4 D．2 【答案】D 【详解】解：∵当时分式无意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为， ∴， ∴； ∴分式为， ∴根据表格可知：，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 故选：D． 5．（2023·24八年级下·重庆南川·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，解得：， ， 不等式组有解， ， ， ， 解得：， 关于的分式方程有非负整数解， 且， 且， 且， 所有的值为，的和为， 故选：D． 6．（2023·24八年级下·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】∵ 解得： 经检验，是分式方程的解， 故选：C． 二、填空题 7．（2023·24八年级下·四川眉山·期末）若关于的方程无解，则k的值为 ． 【答案】0或1 【详解】解：原方程可化为：， 当，即时，方程无解，原分式方程无解． 当，即时，分式方程有增根或， 当时，代入可得，解得：； 当时，代入可得，该方程无解． 故答案为：0或1． 8．（2023·24八年级下·四川广元·期末）若分式方程有增根，则 ． 【答案】5 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 分式方程有增根， ， ， 解得， 故答案为：5． 9．（2023·24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 【答案】5 【详解】解：， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 关于的分式方程与的解相同， ∴将代入，得： ， 解得：， 故答案为：5． 10．（2023·24八年级下·陕西西安·期末）定义新运算：，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ， ∴， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 当时，则， 故答案为：． 11．（2023·24八年级下·重庆荣昌·期末）已知关于的不等式组，有且只有两个整数解，若关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， 关于的不等式组有且只有两个整数解， ，解得:， ， ， ， ， 关于的分式方程有非负数解， 且，解得：且， 且， 满足条件的所有整数的值为：或， 满足条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 三、解答题 12．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 当时，， 所以原分式方程的解为； （2）解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 当时，， 所以原分式方程无解． 13．（2023·24八年级下·山西朔州·期末）下面是小柯同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 所以，原方程的解为．第五步． 任务： (1)小柯同学的求解过程从第_________步开始出现错误； (2)从解分式方程的步骤方面，请你对小柯同学提出两条建议：_________；_________； (3)请你写出完整的解上述分式方程的过程． 【答案】(1)一 (2)去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根 (3)见解析 【详解】（1）解：小柯同学的求解过程从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：两条建议：去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根； 故答案为：去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， 系数化为1，得． 经检验，是原方程的解． 14．（2023·24八年级下·山东泰安·期末）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． (1)求两种图书的单价分别为多少元？ (2)为筹备数学节活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元 (2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元 【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； （2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本， 依题意得，， 解得， 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元）， 依题意得，， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，有最小值，此时（元）， （本） 答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元． 15．（2023·24八年级下·河北秦皇岛·期末）年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元/干瓦时 续航里程：千米 续航里程：干米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 【答案】(1)； (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 【详解】（1）解：， 即新能源车的每千米行驶费用为元， 故答案为：； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为千米， 由题意，得， 解得， 答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 16．（2023·24八年级下·河北唐山·期末）如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克． (1)“丰收号”的单位面积产量________千克/米，“丰收号”的单位面积产量________千克/米； (2)单位面积产量高的是________（填“丰收号”或“丰收号”）； (3)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长． 【答案】(1)， (2)“丰收号” (3)米 【详解】（1）解：由题意得，“丰收号”的单位面积产量千克/米，“丰收号”的单位面积产量千克/米， 故答案为：，； （2）解：∵ ∴， ∴“丰收号”单位面积产量高， 故答案为：“丰收号”； （3）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴“丰收号”小麦的试验田的边长米． 17．（2023·24八年级下·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2)有可能， (3) 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$