专题06 分式及其运算（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末好题汇编（北师大版）

专题06 分式及其运算 题型概览 题型01分式的定义 题型02分式有无意义的条件 题型03分式的基本性质 题型04最简分式、约分 题型05分式的四则运算 题型06分式的化简求值 题型07分式混合运算的实际应用 题型08分式的规律题 ( 题型01 )分式的定义 1．（2023·24八年级下·青海海东·期末）下列各式中是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·24八年级下·山东济宁·期末）下列各式，，，，是分式的有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2023·24八年级下·浙江绍兴·期末）下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）． 4．（2023·24八年级下·江苏无锡·期末）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式 ． ( 题型0 2 )分式有无意义的条件 5．（2023·24八年级下·福建福州·期末）下列式子一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 6．（2023·24八年级下·山西朔州·期末）当时，分式无意义，则□可以是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·24八年级下·山东潍坊·期末）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 8．（2023·24八年级下·福建南平·期末）下表描述了分式的部分信息： 的值 … … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2024八年级下·北京·专题练习）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 10．（2023·24八年级下·湖南郴州·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 11．（2023·24八年级下·河南新乡·期末）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． ( 题型0 3 )分式的基本性质 12．（2019·20八年级下·山西·期末）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 13．（2023·24八年级下·内蒙古通辽·期末）把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（　  ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 14．（2023·24八年级下·湖北襄阳·期末）改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 15．（2019·20八年级下·上海浦东新·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2023·24八年级下·山东滨州·期末）下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 17．（2023·24八年级下·山东济南·期末）对于分式，当a，b都扩大到原来的2倍时，分式的值是（   ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大6倍 D．扩大12倍 18．（2023·24八年级下·江西赣州·期末）分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（      ） A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的 ( 题型0 4 )最简分式、约分 19．（2023·24八年级下·江苏南通·期末）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 20．（2023·24八年级下·广东珠海·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A． B．6 C．3 D． 21．（2023·24八年级下·河北承德·期末）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 22．（2023·24八年级下·山西吕梁·期末）化简分式需要先约分，则分子和分母的公因式是（   ） A． B． C． D． 23．（2023·24八年级下·陕西延安·期末）约分的结果是（   ） A． B． C． D． 24．（2023·24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列各式与相等的是（    ） A． B． C． D． 25．（2023·24八年级下·广东广州·期末）从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． ( 题型0 5 )分式的四则运算 26．（2023·24八年级下·山东潍坊·期末）已知，则表示的代数式是（   ） A． B． C． D． 27．（2023·24八年级下·山东烟台·期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 ． 28．（2023·24八年级下·福建泉州·期末）计算： ． 29．（2023·24八年级下·北京·期末）化简的结果为 ． 30．（2023·24八年级下·山东济南·期末）计算 ． 31．（2023·24八年级下·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 32．（2023·24八年级下·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． ( 题型0 6 )分式的化简求值 33．（2023·24八年级下·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中． 34．（2023·24八年级下·河北沧州·期末）先化简，再求值：，其中从中选择一个适当的数． 35．（2023·24八年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中． 36．（2023·24八年级下·辽宁·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 37．（2023·24八年级下·贵州铜仁·期末）下面是某同学化简的过程： 解： …………第①步 …………第②步 …………第③步 (1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 38．（2023·24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… (1)甲同学解法的依据是__________；乙同学解法的依据是____________________． (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程． ( 题型0 7 )分式混合运算的实际应用 39．（2023·24八年级下·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 40．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（   ） A．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C．“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D．无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 41．（2023·24八年级下·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式) 42．（2023·24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是 元/，乙所购面粉的平均单价是 元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 43．（2023·24八年级下·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读 页． 44．（2023·24八年级下·内蒙古包头·期末）小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ ( 题型0 8 )分式的规律题 45．（2023·24八年级下·四川眉山·期末）对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 46．（2023·24八年级下·重庆江津·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．（2023·24八年级下·河南信阳·期末）已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·福建福州·期末）下列式子从左到右的变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·24八年级下·云南昆明·期末）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 3．（2023·24八年级下·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023·24八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·24八年级下·江苏南通·期末）若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 二、填空题 6．（2023·24八年级下·全国·期末）当，时， ． 7．（2023·24八年级下·江苏常州·期末）已知，且，则的值为 ． 8．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 9．（2023·24八年级下·福建福州·期末）已知，且，求的值为 ． 10．（2023·24八年级下·四川泸州·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与 互为“5阶分式”． 三、解答题 11．（2023·24八年级下·广东广州·期末）已知 (1)化简； (2)当，求的值． 12．（2023·24八年级下·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 13．（2023·24八年级下·广西南宁·期末）如图1，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为米（）的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分；如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了千克．    (1)“丰收1号”试验田的面积为________，单位面积产量________；“丰收2号”试验田的面积为________，单位面积产量________； (2)哪块试验田的小麦单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 14．（2023·24八年级下·山西吕梁·期末）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 …………第五步 任务一： 填空： 以上化简步骤中，第一步是依据______（填运算律）进行变形的； 第三步是进行分式的约分，约分的依据是 ； 第______步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请直接写出该分式化简后的正确结果 ． 任务二：请写出分式化简的注意事项（至少写一条）． 15．（2023·24八年级下·陕西西安·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 16．（2023·24八年级下·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 分式及其运算 题型概览 题型01分式的定义 题型02分式有无意义的条件 题型03分式的基本性质 题型04最简分式、约分 题型05分式的四则运算 题型06分式的化简求值 题型07分式混合运算的实际应用 题型08分式的规律题 ( 题型01 )分式的定义 1．（2023·24八年级下·青海海东·期末）下列各式中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是分式，故此选项错误，不合题意； B、不是分式，故此选项错误，不合题意； C、是分式，故此选项正确，符合题意； D、不是分式，故此选项错误，不合题意． 故选：C． 2．（2023·24八年级下·山东济宁·期末）下列各式，，，，是分式的有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：由题意得，分式有，，，共3个． 故选：C． 3．（2023·24八年级下·浙江绍兴·期末）下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据分式定义，可以组成分式的有，，等， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 4．（2023·24八年级下·江苏无锡·期末）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式 ． 【答案】 【详解】解：∵当时，分式的值为0， ∴分子可以为， ∴分式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． ( 题型0 2 )分式有无意义的条件 5．（2023·24八年级下·福建福州·期末）下列式子一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，无意义，不符合题意； B、当时，无意义，不符合题意； C、当时，无意义，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴一定有意义，符合题意； 故选：D． 6．（2023·24八年级下·山西朔州·期末）当时，分式无意义，则□可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴当时，分式的分母等于0， ∵当时，， ∴B选项符合． 故选：B． 7．（2023·24八年级下·山东潍坊·期末）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，当时分式无意义， ∴不合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 8．（2023·24八年级下·福建南平·期末）下表描述了分式的部分信息： 的值 … … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为的值当时无意义， 所以． 又因为，所以， 当时，，所以，则， 故选：C． 9．（2024八年级下·北京·专题练习）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 即的值为． 故选：C． 10．（2023·24八年级下·湖南郴州·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得：， 解这个不等式可得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 11．（2023·24八年级下·河南新乡·期末）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【答案】 【详解】解：时，分式没有意义， 时，分式的值为零， ． ( 题型0 3 )分式的基本性质 12．（2019·20八年级下·山西·期末）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键． 13．（2023·24八年级下·内蒙古通辽·期末）把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（　  ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】B 【详解】解：把原分式中的、换成、，则 ， 所以缩小为原来的 故选：B． 14．（2023·24八年级下·湖北襄阳·期末）改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解∵中只有分子中系数含有小数，     ∴，， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 15．（2019·20八年级下·上海浦东新·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 故选：D 16．（2023·24八年级下·山东滨州·期末）下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】D 【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意； B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 17．（2023·24八年级下·山东济南·期末）对于分式，当a，b都扩大到原来的2倍时，分式的值是（   ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大6倍 D．扩大12倍 【答案】B 【详解】解：把、替换原来的、可得， 由此可知分式的值扩大2倍， 故选：B． 18．（2023·24八年级下·江西赣州·期末）分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（      ） A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的 【答案】D 【详解】解：把，都扩大到原来的5倍代入原式得， ∴分式的值缩小到原来的． 故选：D． ( 题型0 4 )最简分式、约分 19．（2023·24八年级下·江苏南通·期末）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式2，不属于最简分式，故A选项不符合题意； B、该分式的分子、分母中不含有公因数，则该分式是最简分式，故B选项符合题意； C、该分式的分子、分母中含有公因式，则该分式不是最简分式，故C选项不符合题意； D、该分式的分子、分母中含有公因式，则该分式不是最简分式，故D选项不符合题意； 故选：B． 20．（2023·24八年级下·广东珠海·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】D 【详解】解：A． ，不是最简分式，故该选项不符合题意；     B．，不是最简分式，故该选项不符合题意；     C．，不是最简分式，故该选项不符合题意；     D．，是最简分式，故该选项符合题意； 故选：D． 21．（2023·24八年级下·河北承德·期末）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 22．（2023·24八年级下·山西吕梁·期末）化简分式需要先约分，则分子和分母的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴分子和分母的公因式是． 故选：C． 23．（2023·24八年级下·陕西延安·期末）约分的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 24．（2023·24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列各式与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 25．（2023·24八年级下·广东广州·期末）从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． ( 题型0 5 )分式的四则运算 26．（2023·24八年级下·山东潍坊·期末）已知，则表示的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：， 即表示的代数式是， 故选：A． 27．（2023·24八年级下·山东烟台·期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知， ∴被污染的代数式为， 故答案为：． 28．（2023·24八年级下·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】1 【详解】解： ， 故答案为：1． 29．（2023·24八年级下·北京·期末）化简的结果为 ． 【答案】1 【详解】解：， 故答案为：1． 30．（2023·24八年级下·山东济南·期末）计算 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 31．（2023·24八年级下·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式= 32．（2023·24八年级下·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ( 题型0 6 )分式的化简求值 33．（2023·24八年级下·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【详解】解： ， 当时， 原式． 34．（2023·24八年级下·河北沧州·期末）先化简，再求值：，其中从中选择一个适当的数． 【答案】，当时，原式的值为 【详解】解：原式 ． ， 当时，原式． 35．（2023·24八年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ． ∵， ∴原式． 36．（2023·24八年级下·辽宁·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； （3）解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 37．（2023·24八年级下·贵州铜仁·期末）下面是某同学化简的过程： 解： …………第①步 …………第②步 …………第③步 (1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)① (2)过程见解析，， 【详解】（1）解：该同学的解答过程中，从第①步开始出现错误； 故答案为：①； （2）解：正确的化简过程如下： ， 当时，原式． 38．（2023·24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… (1)甲同学解法的依据是__________；乙同学解法的依据是____________________． (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)分式的基本性质，乘法分配律； (2)见解析 【详解】（1）根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：分式的基本性质，乘法分配律； （2）甲同学的解法： 原式 ， 乙同学的解法为： 原式 ( 题型0 7 )分式混合运算的实际应用 39．（2023·24八年级下·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵， ∴， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即， ∴， ∴①路用时较小． 故选：A． 40．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（   ） A．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C．“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D．无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 【答案】A 【详解】解：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为： （元/千克）， 取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为： （元/千克）， ∵， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，解决本题的关键是根据题意求出甲、乙两种“什锦糖”的单价． 41．（2023·24八年级下·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式) 【答案】 【详解】解：由题意可得： 提速前火车速度为：，提速前火车速度为：， 提速后火车比原来速度快了． 故答案为：． 42．（2023·24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是 元/，乙所购面粉的平均单价是 元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 【答案】；； 【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/）， 乙购买面粉的平均单价是：（元/）， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/）， 故答案为：；；． 43．（2023·24八年级下·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读 页． 【答案】 【详解】平均每天比原计划要多读的页数新工作效率原工作效率． 解：按原计划每天读页，实际每天读页， 故每天比原计划多读的页数是：， 故答案为：． 44．（2023·24八年级下·内蒙古包头·期末）小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 【答案】(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． ( 题型0 8 )分式的规律题 45．（2023·24八年级下·四川眉山·期末）对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴原式 ． 故选：C． 46．（2023·24八年级下·重庆江津·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴发现是6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴, 故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 故④错误， 故选：A． 47．（2023·24八年级下·河南信阳·期末）已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 的值每个一循环， ， 且， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·福建福州·期末）下列式子从左到右的变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（2023·24八年级下·云南昆明·期末）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】D 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 3．（2023·24八年级下·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 4．（2023·24八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 5．（2023·24八年级下·江苏南通·期末）若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解： ， ，，， ∴原式． 故选：D． 二、填空题 6．（2023·24八年级下·全国·期末）当，时， ． 【答案】 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 7．（2023·24八年级下·江苏常州·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 8．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 【答案】/0.5 【详解】解：由题意知：当时，分式无意义， ， ， 当时，分式的值为0， ， 解得：， ， 故答案为：． 9．（2023·24八年级下·福建福州·期末）已知，且，求的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2023·24八年级下·四川泸州·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与 互为“5阶分式”． 【答案】 【详解】解：由题意得，的“5阶分式”为：， 故答案为： 三、解答题 11．（2023·24八年级下·广东广州·期末）已知 (1)化简； (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 12．（2023·24八年级下·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 13．（2023·24八年级下·广西南宁·期末）如图1，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为米（）的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分；如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了千克．    (1)“丰收1号”试验田的面积为________，单位面积产量________；“丰收2号”试验田的面积为________，单位面积产量________； (2)哪块试验田的小麦单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)，，， (2)第一块试验田的小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的 【详解】（1）解：由题意知，“丰收1号”试验田的面积为，单位面积产量为； “丰收2号”试验田的面积为，单位面积产量； 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴第一块试验田的小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 14．（2023·24八年级下·山西吕梁·期末）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 …………第五步 任务一： 填空： 以上化简步骤中，第一步是依据______（填运算律）进行变形的； 第三步是进行分式的约分，约分的依据是 ； 第______步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请直接写出该分式化简后的正确结果 ． 任务二：请写出分式化简的注意事项（至少写一条）． 【答案】任务一：乘法分配律；分式的基本性质；四，括号前面是“”，去掉括号时，没有给变号；；任务二：结果要化成最简分式；注意去括号时括号前面是“”时，去括号，里面的每一项都要变号（答案不唯一）． 【详解】解：任务一：以上化简步骤中，第一步是依据乘法分配律进行变形的， 故答案为：乘法分配律； 第三步是进行分式的约分，约分的依据是分式的基本性质， 故答案为：分式的基本性质； 第四步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“”，去掉括号时，没有给变号， 故答案为：四，括号前面是“”，去掉括号时，没有给变号； …………第三步 故答案为：； 任务二：分式化简的注意事项：结果要化成最简分式；注意去括号时括号前面是“”时，去括号，里面的每一项都要变号（答案不唯一）． 15．（2023·24八年级下·陕西西安·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 【答案】(1)为的“雅中式”，关于的“雅中值”为，理由见详解 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴为的“雅中式”，关于的“雅中值”为 （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 16．（2023·24八年级下·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解： ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$