专题08 平行四边形的判定与性质（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末好题汇编（北师大版）

专题08平行四边形的性质与判定 题型概览 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02利用平行四边形的性质证明 题型03添一个条件成为平行四边形 题型04证明四边形是平行四边形 题型05利用平行四边形的性质与判断综合 题型06平行四边形的折叠问题 题型07平行四边形的动点问题 ( 题型01 )利用平行四边形的性质求解 1．（2023·24八年级下·广西河池·期末）已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（    ） A．3 B．6 C．4 D．12 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴ ． 故选：A． 2．（2023·24 八年级下·广东潮州·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2023·24八年级下·浙江台州·期末）如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据平行四边形的性质得：， ∵， ∴为的垂直平分线， 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：， ∴的周长． 故选：D． 4．（2023·24八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知平行四边形中，则如图：的值为 ． 【答案】68 【详解】解：过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N， ∴， 又∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∴， ∴ ， 故答案为：68． 5．（2023·24八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，的平分线交于点，，，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ． ． 故答案为：． 6．（2023·24八年级下·河北保定·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 【答案】 【详解】解：如图，把拼在一起，得到平行四边形，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为 ． 【答案】14 【详解】∵四边形是平行四边形，周长为20， ， ， 在和中， ， ， ， 则四边形的周长， ， 故答案为：14． ( 题型0 2 )利用平行四边形的性质证明 8．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 、的平分线、分别与相交于点、， ， ； （2）解：如图，过作，交于点， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 9．（2023·24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点E，F在对角线上，且，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 10．（2023·24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)55° (2)见解析 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ， 又平分， 又四边形是平行四边形， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ∴， 又平分，平分， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；全等三角形的对应角相等、对应边相等． 11．（2023·24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平行四边形中，，求证： 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ∴． 12．（2023·24八年级下·广东广州·期末）如图，、为 的对角线 上的两点，请你添加一个条件，使得 ． (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【详解】（1）解：添加条件：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13．（2023·24八年级下·河南周口·期末）如图，在中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分． (1)当时，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵, ∴, ∵, ∴, ∵平分, ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴； （2）证明: ∵四边形是平行四边形, ∴,, ∴， ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ∴. ( 题型0 3 )添一个条件成为平行四边形 14．（2023·24八年级下·全国·期末）在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形；故选项B符合题意； 当时，四边形是平行四边形； 当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； 当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 当，则：，无法判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选B 15．（2023·24八年级下·安徽阜阳·期末）如下是不完整的推理过程： 证明∶∵， ∴． ∵_______________， ∴四边形 是平行四边形． 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故横线上添加的条件可以是， 故选∶C． 16．（2023·24八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 17．（2023·24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. ( 题型0 4 )证明四边形是平行四边形 18．（2023·24八年级下·河北唐山·期末）已知∶如图，中，，根据作图痕迹判断四边形是（  ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选：． 19．（2023·24八年级下·广东茂名·期末）如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ． 在与中，， ． ，． 又， ． ． 又， 四边形是平行四边形． 20．（2023·24八年级下·广西玉林·期末）如图，点D，C在上，，，． (1)求证：； (2)连接，，猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ∴， ∴； （2）解：猜想：四边形为平行四边形，理由如下： 连接 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 21．（2023·24八年级下·陕西延安·期末）如图，在中，O是的中点，延长至点D，使得，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵O是的中点， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 22．（2023·24八年级下·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，点O是对角线中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形； 【答案】见解析 【详解】证明：∵平行四边形中，是对角线中点， ∴， ∴，且，， ∴ ∴，且， ∴四边形是平行四边形； 23．（2023·24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：设 在中，，， ∴ ∴ ∴ 解得，（舍去） ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ （2）∵是等边三角形 ∴， ∵点F是线段AD的中点 ∴ 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴四边形是平行四边形 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． ( 题型0 5 )利用平行四边形的性质与判断综合 24．（2023·24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：如图，设交于点，取的中点，连接， ，， ，， 是的中点，是的中点， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．（2023·24八年级下·山东威海·期末）如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ． 【答案】6 【详解】解：如图：连接， ， 由平移的性质可得：，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故A正确，不符合题意； ∵，平分， ∴， 又， ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 如图，过点E作， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 27．（2023·24八年级下·广东深圳·期末）如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（       ）    A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长，过点C作，交于点E，如图所示：    ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：D． 28．（2023·24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：如图，过点F作，交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：A 29．（2023·24八年级下·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴． 30．（2023·24八年级下·广东清远·期末）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F 分别是和上的点， 且． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)求证：； (3)求证：经过点O ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 即， ∴； （3）证明：连接， ∵点O是平行四边形的对角线的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴经过点O． ( 题型0 6 ) 平行四边形的折叠问题 31．（2023·24八年级下·安徽宿州·期末）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，与交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴平行四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故选：C． 32．（2023·24 八年级下·福建泉州·期末）如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 33．（2023·24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【答案】2或 【详解】解：如图1，四边形是平行四边形， ∵，点E为的中点， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ； 如图2，四边形是平行四边形，作于点G， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点F与点G重合， ∴， 综上所述，线段的长为2或， 故答案为：2或． 34．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点，连接． 【问题探究】 (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，，，当点落在上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：作交的延长线于点H， ∵， ∴． ∵点落在上， ∴， ∴， 则． ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴的长是． 35．（2023·24八年级下·四川成都·期末）如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：作于，    ，， ， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 平行四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键． ( 题型0 7 )平行四边形的动点问题 36．（2023·24八年级下·河南洛阳·期末）如图，等边三角形的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：①当点在的左侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故选：B． 37．（2023·24八年级下·四川自贡·期末）如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：在中， ，， ∴，， ∵点P从点A出发、以的速度沿运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：， ∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动， ∴点Q从点C出发到B点的时间为：， ∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形为等腰梯形， ∴， 设同时运动的时间为， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 如图：过点分别作的垂线，分别交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时是等腰梯形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 综上，当或或或时，，共4次， 故选：B． 38．（2023·24八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，对角线相交于点O．点E在上，，，，点F是的中点，若点P以的速度从点A出发，沿向点E运动，点N同时以的速度从点C出发，沿向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动 s时，以点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4或 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴, ∴. ∵, ∴, ∴. ∵, ∴. ∵点是的中点, ∴. 要使点为顶点的四边形是平行四边形，则即可. 设当点运动秒时，点为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意得或, 解得或 ∴当点运动秒或 秒时, 以为顶点的四边形是平行四边形. 故答案为：或 39．（2023·24八年级下·河南周口·期末）如图，在中，，于点D，且，点 M以点 A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点 P从点 B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点 P 的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，当t为 时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【详解】解：如图1所示： ， ， ， ，即， ， ， ， ； 分两种情况： ①当点在点的上方时，如图2所示： 由题意得：，，， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， 即：当时，四边形是平行四边形， 解得：； ②当点在点的下方时，如图3所示： 根据题意得：，，， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， 即：当时，四边形是平行四边形， 解得：； 综上所述，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； 故答案为：或． 40．（2023·24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，对角线相交于点．点在上，，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止坛动，当点运动 s时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4或 【详解】解：四边形是平行四边形 cm cm cm 是的中点 cm 要使以点为顶点的四边形是平行四边形 则 或 解得或． 41．（2023·24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，有两种情况； 点在线段上， 点在线段的延长线上， 【详解】（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动， ， ， ，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动， ， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分，则是平行四边形， ， 即， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 点在线段上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 点在线段的延长线上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．    【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、列代数式、解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 一、单选题 1．（2023·24 八年级下·浙江宁波·期末）如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解法一：延长到使，则四边形是平行四边形， ，， 是的中点， 是的中点， ， ， ， ； 解法二：延长交于， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．（2023·24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，交于点，过点作于点，连接，如图所示， 在平行四边形中，，， ， 是等腰三角形， ， ， ， 在中，， ， ， 当点与点重合时，最小， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三线合一、勾股定理解直角三角形、垂线段最短，解题关键是利用等面积法求解． 3．（2023·24八年级下·辽宁大连·期末）如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】解：∵平行四边形，，， ∴，， ∴，， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 4．（2023·24 八年级下·河北石家庄·期末）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． 5．（2023·24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：∵，即且 ∴四边形是平行四边形， ∴故①正确； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又，即 ∴四边形是平行四边形， ∴故②正确； 设间的距离为， ∴ ∴故③正确； 又 ∵ ∴故④正确； 综上，正确的绪论是①②③④，共4个， 故选：D 6．（2023·24八年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长是（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（2023·24八年级下·四川遂宁·期末）如图，在四边形中，，，则 ． 【答案】15 【详解】解：如下图，将绕点D顺时针旋转得到，连接，作于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：15． 8．（2023·24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】17 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 9．（2023·24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】3或5 【详解】解：设经过t秒，四边形是平行四边形， ∵P在上运动， 根据题意，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， 分为以下情况：①点Q的运动在上时，方程为， 解得， ②点Q的运动在上时，方程为， 解得：； 故答案为：3或5． 10．（2023·24八年级下·浙江湖州·期末）如图，是平行四边形内一点，是正三角形，连结，，若，，且，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， 为等边三角形， ， 在中， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握30度直角三角形的性质． 11．（2023·24八年级下·上海徐汇·期末）已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于 ．      【答案】 【详解】解：过D点作，交BC的延长线于E， ∴， ∵， ∴， 在等腰梯形中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即梯形的上下底之和等于， 故答案为：．      【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，解题的关键是根据等腰梯形的对角线长度相等解答． 12．（2023·24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，点、分别在、的延长线上，，，，，则的长是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即为中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵，, ∴,即, ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质及含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键． 三、解答题 13．（2023·24八年级下·广西河池·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 14．（2023·24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，且，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：． 15．（2023·24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形中，，在取一点E，使得，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点F，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现，请你证明学习小组发现的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：所作图形，如图： ； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 即． ∵在中，． ∴． 16．（2023·24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． (1)求证：； (2)若，当四边形是平行四边形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接． 将绕点沿顺时针旋转得到， ，，， ， 又， ， ． ． ，， ． ． 在和中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． 由勾股定理，可求得． ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．（2023·24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)8 【详解】（1）证明 ：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； （3）解：， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ． 18．（2023·24八年级下·广东佛山·期末）如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵D、E分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：过点D作于H，如图所示： 是等边三角形，D为的中点 ，， ， ， ， ， ， ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08平行四边形的性质与判定 题型概览 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02利用平行四边形的性质证明 题型03添一个条件成为平行四边形 题型04证明四边形是平行四边形 题型05利用平行四边形的性质与判断综合 题型06平行四边形的折叠问题 题型07平行四边形的动点问题 ( 题型01 )利用平行四边形的性质求解 1．（2023·24八年级下·广西河池·期末）已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（    ） A．3 B．6 C．4 D．12 2．（2023·24 八年级下·广东潮州·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023·24八年级下·浙江台州·期末）如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A． B． C． D． 4．（2023·24八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知平行四边形中，则如图：的值为 ． 5．（2023·24八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，的平分线交于点，，，则的长为 ． 6．（2023·24八年级下·河北保定·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 7．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为 ． ( 题型0 2 )利用平行四边形的性质证明 8．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（2023·24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点E，F在对角线上，且，求证：． 10．（2023·24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 11．（2023·24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平行四边形中，，求证： 12．（2023·24八年级下·广东广州·期末）如图，、为 的对角线 上的两点，请你添加一个条件，使得 ． (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：． 13．（2023·24八年级下·河南周口·期末）如图，在中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分． (1)当时，求的大小； (2)求证：． ( 题型0 3 )添一个条件成为平行四边形 14．（2023·24八年级下·全国·期末）在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 15．（2023·24八年级下·安徽阜阳·期末）如下是不完整的推理过程： 证明∶∵， ∴． ∵_______________， ∴四边形 是平行四边形． 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 16．（2023·24八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 17．（2023·24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． ( 题型0 4 )证明四边形是平行四边形 18．（2023·24八年级下·河北唐山·期末）已知∶如图，中，，根据作图痕迹判断四边形是（  ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 19．（2023·24八年级下·广东茂名·期末）如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形． 20．（2023·24八年级下·广西玉林·期末）如图，点D，C在上，，，． (1)求证：； (2)连接，，猜想四边形的形状，并说明理由． 21．（2023·24八年级下·陕西延安·期末）如图，在中，O是的中点，延长至点D，使得，连接．求证：四边形是平行四边形． 22．（2023·24八年级下·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，点O是对角线中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形； 23．（2023·24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． ( 题型 0 5 )利用平行四边形的性质与判断综合 24．（2023·24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 25．（2023·24八年级下·山东威海·期末）如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ． 26．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 27．（2023·24八年级下·广东深圳·期末）如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（       ）    A．8 B． C． D． 28．（2023·24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 29．（2023·24八年级下·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 30．（2023·24八年级下·广东清远·期末）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F 分别是和上的点， 且． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)求证：； (3)求证：经过点O ． ( 题型0 6 ) 平行四边形的折叠问题 31．（2023·24八年级下·安徽宿州·期末）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，与交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．（2023·24 八年级下·福建泉州·期末）如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 33．（2023·24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 34．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点，连接． 【问题探究】 (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，，，当点落在上时，求的长． 35．（2023·24八年级下·四川成都·期末）如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求平行四边形的面积． ( 题型0 7 )平行四边形的动点问题 36．（2023·24八年级下·河南洛阳·期末）如图，等边三角形的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 37．（2023·24八年级下·四川自贡·期末）如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 38．（2023·24八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，对角线相交于点O．点E在上，，，，点F是的中点，若点P以的速度从点A出发，沿向点E运动，点N同时以的速度从点C出发，沿向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动 s时，以点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形． 39．（2023·24八年级下·河南周口·期末）如图，在中，，于点D，且，点 M以点 A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点 P从点 B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点 P 的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，当t为 时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 40．（2023·24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，对角线相交于点．点在上，，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止坛动，当点运动 s时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 41．（2023·24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2023·24 八年级下·浙江宁波·期末）如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·24八年级下·辽宁大连·期末）如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 4．（2023·24 八年级下·河北石家庄·期末）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 5．（2023·24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2023·24八年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长是（  ） A．2 B．1 C． D． 二、填空题 7．（2023·24八年级下·四川遂宁·期末）如图，在四边形中，，，则 ． 8．（2023·24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 9．（2023·24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 10．（2023·24八年级下·浙江湖州·期末）如图，是平行四边形内一点，是正三角形，连结，，若，，且，，则的长是 ． 11．（2023·24八年级下·上海徐汇·期末）已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于 ．      12．（2023·24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，点、分别在、的延长线上，，，，，则的长是 ．    三、期末题 13．（2023·24八年级下·广西河池·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 14．（2023·24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 15．（2023·24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形中，，在取一点E，使得，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点F，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现，请你证明学习小组发现的结论． 16．（2023·24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． (1)求证：； (2)若，当四边形是平行四边形时，求的长． 17．（2023·24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 18．（2023·24八年级下·广东佛山·期末）如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$