精品解析：天津市渤海石油第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

渤油一中2024-2025学年度第二学期高二年级 数学学科期中考试试卷 本试卷包括I、II卷，满分150分，考试时间100分钟，只交答题纸。 一、选择题（每小题5分，共80分） 1. 若2名女生4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有（ ）种. A. 120 B. 240 C. 360 D. 480 2. 5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（ ） A. 70种 B. 72种 C. 36种 D. 12种 3. 某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移(单位：)关于时间：(单位：)的函数关系式为，则的实际意义是（ ） A. 汽车刹车后1内的位移 B. 汽车刹车后1内的平均速度 C. 汽车刹车后1时瞬时速度 D. 汽车刹车后1时的瞬时加速度 4. 设是可导函数，当，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品概率是（ ）. A. B. C. D. 6. 在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是 A. B. C. D. 7. 一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.23 D. 0.32 8. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（     ） A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 B. 若a是常数，则D（a）＝0 C. 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度 D. 随机变量的方差和标准差越小，则偏离变量的平均程度越小 11. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 12. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. 和 D. 13. 已知函数的图象如图所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有（ ） A. 60个 B. 106个 C. 156个 D. 216个 15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 函数图象大致为（ ） A. B. C D. 二、填空题（每题5分，共30分） 17. 小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是______ 18. 一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有________种排法；前3个节目中要有相声节目，有________种排法． 19. 若，则的展开式的第4项的系数为______.（用数字作答） 20. 对于的展开式，下列说法正确的是____________ ①所有项的二项式系数和为64 ②所有项的系数和为64 ③常数项为1215 ④二项式系数最大的项为第3项 21. 已知函数在处有极值0，则的值为______． 22. “双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元.设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则_________________，____________. 三、解答题：（共40分） 23. 一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数．若有放回摸球，求X的分布列、均值、方差． 24. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白粽个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取个． （）求三种粽子各取到个的概率． （）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望． 25 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渤油一中2024-2025学年度第二学期高二年级 数学学科期中考试试卷 本试卷包括I、II卷，满分150分，考试时间100分钟，只交答题纸。 一、选择题（每小题5分，共80分） 1. 若2名女生4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有（ ）种. A. 120 B. 240 C. 360 D. 480 【答案】D 【解析】 【分析】利用插空法解决不相邻问题. 【详解】将4名男生排成一排，有种排法， 由2名女生不相邻，在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有种排法， 根据分步计数原理，不同的排法种数是． 故选：D. 2. 5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起不同排法有（ ） A. 70种 B. 72种 C. 36种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】相邻问题用捆绑法即可得解. 【详解】甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列， 则共有种排法. 故选：C 3. 某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移(单位：)关于时间：(单位：)的函数关系式为，则的实际意义是（ ） A. 汽车刹车后1内的位移 B. 汽车刹车后1内的平均速度 C. 汽车刹车后1时的瞬时速度 D. 汽车刹车后1时的瞬时加速度 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的物理意义判断． 【详解】由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 故选：C. 4. 设是可导函数，当，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得，即可得答案． 【详解】根据题意，， 故. 故选：C 5. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得都是二等品的概率为，求解计算即可. 【详解】全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为. 故选：D. 6. 在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此为条件概率典型题，求出第一次抽到一等品的概率，然后求出两次都抽到一等品的概率，后者除以前者，即得答案. 【详解】记事件为第二次抽到一等品，事件为第一次抽到一等品， 则由条件概率公式可知： 故选：C. 【点睛】本题考查了学生处理不放回事件的概率问题，能运用条件概率公式处理相关实际问题，为基础题.小记，在事件发生条件下事件发生的概率公式为：. 7. 一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.23 D. 0.32 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式来求得正确答案. 【详解】依题意，教授迟到的概率为. 故选：C 8. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用概率分布列的性质求出，再求即可. 【详解】依题意，分布列概率之和为1，则，解得. 即，所以. 故选：A. 9. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（     ） A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 B. 若a是常数，则D（a）＝0 C. 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度 D. 随机变量的方差和标准差越小，则偏离变量的平均程度越小 【答案】A 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的方差的概念与意义判断即可； 【详解】解：方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度，方差越大，随机变量越不稳定，故A错误，C正确；常数的方差为，故B 正确； 标准差等于方差算术平方根，故随机变量的方差和标准差越小，则偏离变量的平均程度越小，即D正确； 故选：A 11. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 12. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数求导，然后由求解. 【详解】因为函数， 所以， 由，解得， 所以函数的单调递减区间是， 故选：B 13. 已知函数的图象如图所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断与、与，及其与0的大小关系. 【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率， 结合图象知：，而. 故选：B. 14. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有（ ） A. 60个 B. 106个 C. 156个 D. 216个 【答案】C 【解析】 【分析】分为0在个位和0不在个位两类，计算每一类中符合要求的数的个数，结合分类加法和分步乘法计数原理进行求解. 【详解】第一类，0在个位，共有种； 第二类，0不在个位，从2、4中选一个数排个位，种方法；从余下的数字中选一个排千位，种方法；再排十位、百位，种方法；所以共有种； 所以这样四位偶数共有种，所以C正确； 故选：C. 15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数可求得时的单调性和最值，从而可得的图象；将问题转化为与有3个交点，通过数形结合可求得结果. 【详解】当时，函数，可得 当时，；当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以时， 由此可得图象如图所示： 若函数有3个零点，则与有3个交点 由图象可知：当时，与有3个交点， 则，即实数a的取值范围是 故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，着重考查数形结合思想的应用. 16. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义法判断函数的奇偶性，结合导数研究函数的单调性即可求解. 【详解】由题意知，的定义域为，关于原点对称， ，为奇函数. 当时，， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C正确. 故选：C 二、填空题（每题5分，共30分） 17. 小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】小王通过英语听力测试的次数为，则，从而求出相应的概率. 【详解】设小王通过英语听力测试的次数为，则， 则，所以恰有1次获得通过的概率是. 故答案为： 18. 一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有________种排法；前3个节目中要有相声节目，有________种排法． 【答案】 ①. 36 ②. 108 【解析】 【分析】利用特殊元素优先选择，即可求解第一空；利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解第二空. 【详解】选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为； 5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有． 故答案为：36；108 19. 若，则的展开式的第4项的系数为______.（用数字作答） 【答案】560 【解析】 【分析】先计算得到，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】，故，的展开式：， 取，得到系数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了组合数性质的应用，以及二项式展开式通项的应用，意在考查学生的计算能力. 20. 对于的展开式，下列说法正确的是____________ ①所有项的二项式系数和为64 ②所有项的系数和为64 ③常数项为1215 ④二项式系数最大的项为第3项 【答案】 【解析】 【分析】根据二项系数和为判断①；利用赋值法求得各项系数和，判断②；利用二项式展开式的通项公式可求得常数项，判断③；根据二项式系数的性质即可判断④. 【详解】的展开式中所有项的二项式系数和为，故①正确； 中，令，得，故②正确； 展开式的通项为， 令，得，所以常数项为，故③正确； 二项式系数为，其中最大，为第4项，故④不正确． 故答案为：①②③ 21. 已知函数在处有极值0，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据，解得或，再验证函数在时是否取得极值，即可得解． 【详解】因为，所以， 由题意可知，，即，解得或， 当时，， 函数为上的递增函数，此时函数无极值，不合题意； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在和上递增，在上递减， 所以在时取得极大值，符合题意，所以， 故答案为：11． 22. “双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元.设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则_________________，____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 根据题意得可以取得0，2，3分别求得各情况下的概率，即可求数学期望. 【详解】 故答案为：；. 三、解答题：（共40分） 23. 一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数．若有放回摸球，求X的分布列、均值、方差． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列与均值、方差. 【详解】对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的， 因此. ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ， . 24. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白粽个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取个． （）求三种粽子各取到个的概率． （）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) ;(2)见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望 试题解析：（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有 P（A）＝＝. （2）X的可能取值为0,1,2，且 P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝ 综上知，X的分布列为： X 0 1 2 P 故E（X）＝0×＋1×＋2×＝ （个） 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 25. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）单调减区间是，单调增区间是，极小值为，无极大值；（3）. 【解析】 【分析】（1）求导，代值，算出斜率即可求出切线方程； （2）分和讨论导函数符号，研究单调性，从而得到极值； （3）问题转化为对于恒成立，再分离变量研究函数的最值即可. 【详解】（1）， ，则 所以在点处的切线方程为 即 （2）因为， 所以， ①当时，因为，所以， 函数的单调增区间是，无单调减区间，无极值 ②当时，令，解得， 当时，；当，， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是， 在区间上的极小值为，无极大值. 综上， 当时，函数的单调增区间是，无单调减区间，无极值 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是，极小值为，无极大值. （3）因为对于任意，都有成立，所以， 即问题转化为对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，，则， 所以在区间上单调递增， 故，进而， 所以在区间上单调递增， 函数， 要使对于恒成立，只要， 所以，即实数m的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题，常用的方法是通过分离变量转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $