清单05 线性回归方程与独立性检验（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期人教B版

清单05 线性回归方程与独立性检验 清单01 相关关系 1.变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2.样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：. ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱. 通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 清单02 回归模型 1.一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中， . 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 2.判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 清单03 独立性检验 1.2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 【考点题型一】相关关系的概念和判断（） 【例1】观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 【答案】D 【详解】根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关； 图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关； 图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关． 故选：D 【变式1-1】下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（    ） A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜 【答案】D 【详解】瑞雪对农作物有好处，可能使得农作物丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系， 名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系， 而喜鹊叫喜，没有必然的关系，所以ABC正确，D错误. 故选：D. 【变式1-2】下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关． 结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个． 故选：B 【变式1-3】如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（    ） A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C．两种证券的收益有同向变动的倾向 D．两种证券的收益有反向变动的倾向 【答案】C 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，C对，ABD错. 故选：C. 【变式1-4】2023年3月6日，中华人民共和国国务院新闻办公室举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会，介绍“加快推进新型工业化做强做优做大实体经济”有关情况．经综合研判，今年我国新能源汽车产业将保持良好的发展态势，生产和销售将实现稳定增长．据统计，去年10月至今年2月某品牌新能源汽车的市场销售量如下表． 月份 10月 11月 12月 1月 2月 销售量万辆 0.6 0.7 1.0 1.3 1.6 (1)根据数据作出散点图； (2)判断与之间的相关关系． 【答案】(1)作图见解析 (2)正相关关系 【详解】（1）作出散点图如下： （2）由散点图可知，5组样本数据呈正相关关系． 【考点题型二】相关系数的比较和计算（） 【例2】为考察两个变量，的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（    ） 5 10 15 20 25 103 105 110 111 114 （参考数据：，，） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 【答案】A 【详解】由题可得，， 则 ， 因为相关系数很接近于1，故两个变量的线性相关程度很强. 故选：A. 【变式2-1】已知变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，变量U与V相对应的一组数据为，，，，．表示变量X与Y之间的线性相关系数，表示变量U与V之间的线性相关系数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由变量X与Y相对应的一组数据，可得变量X与Y之间正相关，∴； 由变量U与V相对应的一组数据，可知变量U与V之间负相关，∴； 综上所述：与的大小关系是． 故选:C． 【变式2-2】（多选）记变量与相对应的一组数据的样本相关系数为，变量与相对应的一组数据的样本相关系数为，则（    ） A．当与不相关 B．当与呈函数关系 C．当与的相关性强于与的相关性 D．当与的相关性强弱等于与的相关性 【答案】BD 【详解】对于A中，当样本相关系数为0，只能说明两变量不是线性相关关系，不能说明两变量之间没有其他关系，所以A错误； 对于B中，当样本相关系数为1，两变量呈确定的函数关系，所以B正确； 对于C中，当与的相关性强于与的相关性，所以C错误； 对于D中，样本相关系数相等，说明相关性强弱相等，所以D正确． 故选：BD. 【变式2-3】在一次试验中，测得的四组值分别是，，，，则与的相关系数为 . 【答案】－1 【详解】由题得，， 则相关系数. 故答案为：－1. 【变式2-4】已知变量和变量的4对随机观测数据为，，计算成对样本数据的样本相关系数，并推断它们的相关程度（保留3位小数）． 附：． 【答案】0.999，具有很强的相关性． 【详解】依题意，， ， ， ， 因此， 所以这组成对的样本数据相关系数为0.999，具有很强的相关性. 【考点题型三】线性回归方程与样本中心（） 【例3】已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（   ） 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由表格中的数据，可得，， 又样本中心点必在线性回归直线上，将代入回归直线方程， 可得，解得. 故选：D. 【变式3-1】某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数 【答案】 【详解】由表格中的数据可知，，， 所以，样本中心点的坐标为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：. 【变式3-2】已知变量x与y的5组观测值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 8 12 且y对x呈线性相关关系，则y关于x的回归直线必过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】回归直线必过点 因为，， 所以y关于x的回归直线必过点. 故选：B. 【变式3-3】已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（   ） 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由表格中的数据，可得，， 所以样本中心点必在线性回归直线上，将代入回归直线方程， 可得，解得. 故选：D. 【变式3-4】下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为（    ） A．146.5 B．164.8 C．179.5 D．197.8 【答案】B 【详解】由表中数据得，因为点在经验回归直线上， 所以，所以. 故选：B. 【考点题型四】求线性回归方程（） 【例4】某种产品销售价格x（万元/吨）和销售量y（吨）的变化情况如表： x 5 5.5 6 6.5 7 y 13 11 10 9 7 (1)计算y与x的相关系数r，并说明y与x的关系是否可用线性回归模型拟合；（一般地，若，则可认为线性相关程度较高，可用线性回归模型拟合．） (2)若该产品每吨成本为4万元，请利用y与x的回归．关系预测：销售价格定为多少时该产品的销售利润最大？（结果精确到0.01） 参考公式：对于一组数据， 其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 参考数据：，． 【答案】(1)答案见解析 (2)预测销售价格为6.79万元/吨 【详解】（1）由题意，，， ， ， ． 所以， 所以，故与的线性相关程度较高，可以用线性回归模型拟合与的关系． （2）， 所以关于的经验回归方程为． 由题意，销售利润为， 当时，取得最大值， 所以预测销售价格为6.79万元/吨时，该产品销售利润最大． 【变式4-1】下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表： 平均气温/℃ －1 4 10 13 18 26 数量／万个 0.2 0.24 0.34 0.38 0.5 0.64 若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求经验回归方程. 【答案】 【详解】， ， ， ． ,， 即所求的经验回归方程为． 【变式4-2】在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根据表中数据，建立关于的线性回归方程. (2)根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量. 附：对于一组数据，，…，， 其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，． 【答案】(1) (2)7.56万吨 【详解】（1）由题意可知：， ， ， 所以， 又， 故关于的线性回归方程为. （2）（2）由（1）可得，当年份为2025年时，年份代码为， 此时. 所以可预测2025年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨. 【变式4-3】咸阳市进入3月份以来，昼夜温差较大，若人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，所以要多加防范．某高中数学兴趣小组研究了昼夜温差大小与某社区新增感冒就诊人数之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到社区卫生服务中心查阅了这六天中每天新增感冒就诊的人数，得到数据如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差 4 7 8 9 14 12 新增感冒就诊人数（位） (1)已知第一天新增感冒就诊的人群中有4位男性，从第一天新增感冒就诊的人群中随机抽取2位，其中男性人数记为，若抽取的2人中仅有一位女性的概率为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计昼夜温差为时，该社区卫生服务中心新增感冒就诊的人数． 参考数据：，． 参考公式：，，． 【答案】(1)分布列见解析， (2)，37人． 【详解】（1）因为，所以，解得． 即第一天新增感冒就诊人数为9，其中男生4位，女生5位， 则随机变量的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，其中，，，，，， 的分布列为 0 1 2 的数学期望． （2）因为，所以，所以， 由于， 所以， 所以， 因为，，解得， 所以，所以， 当时，， 据此估计昼夜温差为16℃时，该社区卫生服务中心新增感冒就诊的人数为37人． 【变式4-4】大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究的浓度受车流量影响的程度，某校数学建模社团选择了学校附近5个监测点，统计每个监测点内的车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的的平均浓度（单位：），得到的数据如表所示： 监测点编号 1 2 3 4 5 车流量（千辆） 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9 的平均浓度 66 72 113 34 35 (1)建立关于的一元线性回归模型，并用样本相关系数加以说明（一般地，样本相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）认为线性相关性较强，否则认为线性相关性较弱）； (2)我国规定空气中的浓度安全标准为平均浓度为，该地为使平均浓度不超过，拟对车流量作适当控制，请你根据本题数据估计车流量控制的最大值. 参考公式：在经验回归方程中，，； 样本相关系数. 【答案】(1)，与的线性相关性较强； (2)1.24千辆. 【详解】（1）由表格数据，得，， ， ， ， 所以，， 所以. 样本相关系数. 因为，所以与的线性相关性较强. （2）令，得，故估计车流量控制的最大值为1.24千辆. 【考点题型五】残差及相关指数的应用（） 【例5】在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析： （1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示； （2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625； （3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为； 经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是 ．（填“甲”或“乙”或“丙”） 【答案】丙 【详解】甲的残差图中，模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，且水平带状区域更窄，说明模型①拟合效果更好； 残差平方和越大，即决定系数越小，说明数据点越离散， 所以乙的计算结果显示模型①的拟合效果更好，而丙的计算结果显示模型②的拟合效果更好． 故答案为：丙. 【变式5-1】某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高180cm，则小王身高的残差为（   ） A． B． C．2cm D．3cm 【答案】A 【详解】当时，得，则（）， 所以小王身高的残差为. 故选：A 【变式5-2】某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数r变小 B．决定系数变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 【答案】D 【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好， 对于A，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r变大，故A错误； 对于B，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故B错误； 对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C错误； 对于D，若去掉后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确． 故选：D． 【变式5-3】近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2020—2025年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2020—2025年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：） 【答案】 【详解】 ， 所以． 故答案为：． 【变式5-4】已知变量和的经验回归直线方程为，则时的观测值为6.5，此时残差为 （注：观测值减去预测值称为残差）. 【答案】 【详解】当时，， 所以时的残差为. 故答案为： 【考点题型六】非线性回归方程（） 【例6】当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：    30.5 15 15 46.5 表中，． (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， (2)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元，记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）． 附：若随机变量，则，． 【答案】(1)适合， (2)2.27元 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型 对两边取对数，得，即， 由表中数据得：，， ，所以， 所以关于的回归方程为. （2）因为，，所以 ， ， （元）. 【变式6-1】红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型 比较合适？ （2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是 ．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】 ① 【详解】（1）模型①更合适，理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适； （2）令，则， 由所给的参考数据可得，， 所以， 所以关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数关于温度的回归方程为， 故答案为：①；． 【变式6-2】网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 【答案】(1)； (2)乙建立的回归模型拟合效果更好. 【详解】（1）将两边取对数得：， 令，则， 因为， 所以根据最小二乘估计可知：， 所以， 所以回归方程为，即. （2）甲建立的回归模型的. 所以乙建立的回归模型拟合效果更好. 【变式6-3】为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出 月份x 1 2 3 4 5 6 体重超标人数y 98 77 54 48 32 27 (1)该年级体重超重人数y与月份x之间的经验回归方程系数的最终结果精确到； (2)预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下. 附：经验回归方程：中，，；参考数据：，，， 【答案】(1) (2)从第十个月开始 【详解】（1）由得， 由题意得，， 所以， ， 所以， 即y关于x的经验回归方程为 （2）令， 所以， 又由于，所以解得，且， 所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下. 【变式6-4】某书业出版集团为适应新时期学生的需要，不断改革创新，得到了广大师生的一致认可与好评，该集团为应对教材改革的需要，为今后的工作做好准备，为此特别统计了近9年以来数学学科教辅材料的年销售额（单位：十万本，），得到如图所示的散点图及一些统计量的值：（其中1~9对应的年份是2014~2022） 2.72 19 139.09 1095 表中，． (1)从9个样本点中任意选取2个，在2个点的年销售额都不高于三十万本的条件下，求2个点都高于二十万本的概率； (2)由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，求关于的回归方程，并估计该书业出版集团从哪一年开始数学教辅材料的年销售额超过四十万本． 参考公式：回归直线方程中，， 参考数据：． 【答案】(1) (2)，2027年 【详解】（1）9个样本点的年销售额中不高于三十万本的有5个，高于二十万本且不高于三十万本的有3个， 设事件“所取2个点的年销售额都不高于三十万本”， 事件“所取2个点的年销售额高于二十万本”， 则事件“所取2个点的年销售额高于二十万本且不高于三十万本”， 依题得，，， 故. （2）由可得，， 则，， 于是，， ，． 令， 解得，， 即该书业出版集团从2027年开始数学教辅材料的年销售额超过四十万本． 【考点题型七】独立性检验的理解（） 【例7】根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 【答案】D 【详解】由，得吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，D正确； 卡方检验仅说明吸烟与患肺癌两个变量间的关联性，无法量化个体情况，这两个变量间也无因果关系，ABC错误. 故选：D 【变式7-1】设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（   ） A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确 C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳 【答案】D 【详解】依题意，，因此有95%的把握反驳， 故选：D. 【变式7-2】（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到，则可以认为（    ） A．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果没有差异 B．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果存在差异 C．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果没有差异 D．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果存在差异 【答案】BC 【详解】零假设为两种疗法相互独立，且两种疗法的效果没有差异， 因为，故根据小概率值的独立性检验，两种疗法的效果存在差异，故A错误，B正确， 因为，故根据小概率值的独立性检验，两种疗法的效果没有差异，故C正确，D错误， 故选：BC 【变式7-3】某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（    ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【详解】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 【变式7-4】在饮酒与患肝脏病是否有关的研究中，关于饮酒与患肝脏病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的序号是 ． ①若的临界值是2.706，我们有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，那么在1000个饮酒的人中，必有900人患肝脏病； ②从独立性的检验可知有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系时，则若某人饮酒，那么他有的可能患有肝脏病； ③若从统计量中求出有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，是指有的可能性使得推断错误． 【答案】③ 【详解】①若的临界值，我们有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系， 但在1000个饮酒的人中未必有900人患有肝脏病，所以①错误； ②从独立性检验可以知道99%的把握认为饮酒与患肝脏病有关系时， 是指饮酒与患肝脏病有关系的概率，而不是饮酒的人有99%的可能性有肝脏病，所以②错误： ③若从统计量中求出有99.5%的把握认为饮酒与患肝脏病有关系， 则有0.5%的可能性使得推断错误，所以③正确． 故答案为：③. 【考点题型八】独立性检验的实际应用（） 【例8】某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（　　） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附：， P 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 A．有90%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】A 【详解】由题设， 所以有90%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，A对，B、C、D错； 故选：A 【变式8-1】（多选）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的．若根据小概率值的独立性检验，可以推断追星和性别有关，则调查样本中男生人数可以是（    ） （参考公式及数据：，临界值） A．10 B．11 C．12 D．18 【答案】CD 【详解】设样本中男生人数为，得列联表 追 不追 合计 男 女 合计 所以，即，又，故C、D正确． 故选：CD. 【变式8-2】（多选）某中学为更好的开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．若依据的独立性检验，可以认为“选修外出研学课程与性别有关”．则调查人数中男生可能有（    ） 男生 女生 合计 选修外出研学课程 未选修外出研学课程 合计 附： ，其中 A．150人 B．225人 C．300人 D．375人 【答案】BCD 【详解】设男生人数为，根据题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 选修外出研学课程 不选修外出研学课程 合计 则， 若有的把握认为喜欢选修外出研学课程与性别有关，则， 解得，则． 故选：BCD． 【变式8-3】为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 45 B社区 55 合计 25 (1)完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？ (2)现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)列联表见解析，居民满意度与所在社区无关. (2)分布列见解析， 【详解】（1）根据题目数据可完善列联表： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 15 45 B社区 45 10 55 合计 75 25 100 零假设为：居民满意度与所在社区不具有相关性. 根据列联表中的数据， 得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即认为居民满意度与所在社区无关. （2）已抽取的“不满意”的居民中，A社区有15人，B社区有10人， 所以随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【变式8-4】某社区进行了一场AI知识竞赛，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷作为样本A，并根据成绩绘制了频率分布直方图. (1)估计样本的上四分位数和方差 (2)为了调查社区居民对这次竞赛活动的满意程度，在所有参加AI知识竞赛的居民中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 年龄 合计 40岁以下 40岁以上 满意 120 不满意 150 合计 200 请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与参与人员年龄有关系 (3)为了进一步提高满意度，工作人员又从剩余答卷中抽取了400人的答卷作为样本B，计算得到这些答卷得分的平均数为69，方差比样本A的方差多1，之后将这两组样本混合，估计混合后样本的方差 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)上四分位数为，方差 (2)列联表见解析，能认为满意程度与参与人员年龄有关系 (3) 【详解】（1）题意可得：每组的频率依次为， 则，则，解得， 因为，则成绩的上四分位数为分. 平均值为：， 方差为： （2）由题意可得列联表为 满意程度 年龄 合计 40岁以下 40岁以上 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 零假设：满意程度与参与人员年龄无关， 因为， 则零假设不成立，且犯错的可能性不大于， 所以认为满意程度与参与人员年龄有关系. （3）样本A的， 样本B的， 所以500人的平均分为， 混合后样本的方差为. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 线性回归方程与独立性检验 清单01 相关关系 1.变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2.样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：. ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱. 通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 清单02 回归模型 1.一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中， . 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 2.判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 清单03 独立性检验 1.2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 【考点题型一】相关关系的概念和判断（） 【例1】观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 【变式1-1】下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（    ） A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜 【变式1-2】下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（    ） A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C．两种证券的收益有同向变动的倾向 D．两种证券的收益有反向变动的倾向 【变式1-4】2023年3月6日，中华人民共和国国务院新闻办公室举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会，介绍“加快推进新型工业化做强做优做大实体经济”有关情况．经综合研判，今年我国新能源汽车产业将保持良好的发展态势，生产和销售将实现稳定增长．据统计，去年10月至今年2月某品牌新能源汽车的市场销售量如下表． 月份 10月 11月 12月 1月 2月 销售量万辆 0.6 0.7 1.0 1.3 1.6 (1)根据数据作出散点图； (2)判断与之间的相关关系． 【考点题型二】相关系数的比较和计算（） 【例2】为考察两个变量，的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（    ） 5 10 15 20 25 103 105 110 111 114 （参考数据：，，） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 【变式2-1】已知变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，变量U与V相对应的一组数据为，，，，．表示变量X与Y之间的线性相关系数，表示变量U与V之间的线性相关系数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）记变量与相对应的一组数据的样本相关系数为，变量与相对应的一组数据的样本相关系数为，则（    ） A．当与不相关 B．当与呈函数关系 C．当与的相关性强于与的相关性 D．当与的相关性强弱等于与的相关性 【变式2-3】在一次试验中，测得的四组值分别是，，，，则与的相关系数为 . 【变式2-4】已知变量和变量的4对随机观测数据为，，计算成对样本数据的样本相关系数，并推断它们的相关程度（保留3位小数）． 附：． 【考点题型三】线性回归方程与样本中心（） 【例3】已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（   ） 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A． B． C． D． 【变式3-1】某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数 【变式3-2】已知变量x与y的5组观测值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 8 12 且y对x呈线性相关关系，则y关于x的回归直线必过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（   ） 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A． B． C． D． 【变式3-4】下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为（    ） A．146.5 B．164.8 C．179.5 D．197.8 【考点题型四】求线性回归方程（） 【例4】某种产品销售价格x（万元/吨）和销售量y（吨）的变化情况如表： x 5 5.5 6 6.5 7 y 13 11 10 9 7 (1)计算y与x的相关系数r，并说明y与x的关系是否可用线性回归模型拟合；（一般地，若，则可认为线性相关程度较高，可用线性回归模型拟合．） (2)若该产品每吨成本为4万元，请利用y与x的回归．关系预测：销售价格定为多少时该产品的销售利润最大？（结果精确到0.01） 参考公式：对于一组数据， 其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 参考数据：，． 【变式4-1】下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表： 平均气温/℃ －1 4 10 13 18 26 数量／万个 0.2 0.24 0.34 0.38 0.5 0.64 若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求经验回归方程. 【变式4-2】在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根据表中数据，建立关于的线性回归方程. (2)根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量. 附：对于一组数据，，…，， 其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，． 【变式4-3】咸阳市进入3月份以来，昼夜温差较大，若人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，所以要多加防范．某高中数学兴趣小组研究了昼夜温差大小与某社区新增感冒就诊人数之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到社区卫生服务中心查阅了这六天中每天新增感冒就诊的人数，得到数据如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差 4 7 8 9 14 12 新增感冒就诊人数（位） (1)已知第一天新增感冒就诊的人群中有4位男性，从第一天新增感冒就诊的人群中随机抽取2位，其中男性人数记为，若抽取的2人中仅有一位女性的概率为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计昼夜温差为时，该社区卫生服务中心新增感冒就诊的人数． 参考数据：，． 参考公式：，，． 【变式4-4】大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究的浓度受车流量影响的程度，某校数学建模社团选择了学校附近5个监测点，统计每个监测点内的车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的的平均浓度（单位：），得到的数据如表所示： 监测点编号 1 2 3 4 5 车流量（千辆） 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9 的平均浓度 66 72 113 34 35 (1)建立关于的一元线性回归模型，并用样本相关系数加以说明（一般地，样本相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）认为线性相关性较强，否则认为线性相关性较弱）； (2)我国规定空气中的浓度安全标准为平均浓度为，该地为使平均浓度不超过，拟对车流量作适当控制，请你根据本题数据估计车流量控制的最大值. 参考公式：在经验回归方程中，，； 样本相关系数. 【考点题型五】残差及相关指数的应用（） 【例5】在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析： （1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示； （2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625； （3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为； 经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是 ．（填“甲”或“乙”或“丙”） 【变式5-1】某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高180cm，则小王身高的残差为（   ） A． B． C．2cm D．3cm 【变式5-2】某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数r变小 B．决定系数变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 【变式5-3】近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2020—2025年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2020—2025年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：） 【变式5-4】已知变量和的经验回归直线方程为，则时的观测值为6.5，此时残差为 （注：观测值减去预测值称为残差）. 【考点题型六】非线性回归方程（） 【例6】当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：    30.5 15 15 46.5 表中，． (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， (2)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元，记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）． 附：若随机变量，则，． 【变式6-1】红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型 比较合适？ （2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是 ．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【变式6-2】网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 【变式6-3】为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出 月份x 1 2 3 4 5 6 体重超标人数y 98 77 54 48 32 27 (1)该年级体重超重人数y与月份x之间的经验回归方程系数的最终结果精确到； (2)预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下. 附：经验回归方程：中，，；参考数据：，，， 【变式6-4】某书业出版集团为适应新时期学生的需要，不断改革创新，得到了广大师生的一致认可与好评，该集团为应对教材改革的需要，为今后的工作做好准备，为此特别统计了近9年以来数学学科教辅材料的年销售额（单位：十万本，），得到如图所示的散点图及一些统计量的值：（其中1~9对应的年份是2014~2022） 2.72 19 139.09 1095 表中，． (1)从9个样本点中任意选取2个，在2个点的年销售额都不高于三十万本的条件下，求2个点都高于二十万本的概率； (2)由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，求关于的回归方程，并估计该书业出版集团从哪一年开始数学教辅材料的年销售额超过四十万本． 参考公式：回归直线方程中，， 参考数据：． 【考点题型七】独立性检验的理解（） 【例7】根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 【变式7-1】设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（   ） A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确 C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳 【变式7-2】（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到，则可以认为（    ） A．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果没有差异 B．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果存在差异 C．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果没有差异 D．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果存在差异 【变式7-3】某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（    ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【变式7-4】在饮酒与患肝脏病是否有关的研究中，关于饮酒与患肝脏病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的序号是 ． ①若的临界值是2.706，我们有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，那么在1000个饮酒的人中，必有900人患肝脏病； ②从独立性的检验可知有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系时，则若某人饮酒，那么他有的可能患有肝脏病； ③若从统计量中求出有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，是指有的可能性使得推断错误． 【考点题型八】独立性检验的实际应用（） 【例8】某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（　　） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附：， P 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 A．有90%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【变式8-1】（多选）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的．若根据小概率值的独立性检验，可以推断追星和性别有关，则调查样本中男生人数可以是（    ） （参考公式及数据：，临界值） A．10 B．11 C．12 D．18 【变式8-2】（多选）某中学为更好的开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．若依据的独立性检验，可以认为“选修外出研学课程与性别有关”．则调查人数中男生可能有（    ） 男生 女生 合计 选修外出研学课程 未选修外出研学课程 合计 附： ，其中 A．150人 B．225人 C．300人 D．375人 【变式8-3】为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 45 B社区 55 合计 25 (1)完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？ (2)现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【变式8-4】某社区进行了一场AI知识竞赛，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷作为样本A，并根据成绩绘制了频率分布直方图. (1)估计样本的上四分位数和方差 (2)为了调查社区居民对这次竞赛活动的满意程度，在所有参加AI知识竞赛的居民中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 年龄 合计 40岁以下 40岁以上 满意 120 不满意 150 合计 200 请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与参与人员年龄有关系 (3)为了进一步提高满意度，工作人员又从剩余答卷中抽取了400人的答卷作为样本B，计算得到这些答卷得分的平均数为69，方差比样本A的方差多1，之后将这两组样本混合，估计混合后样本的方差 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$