清单03 条件概率与事件的独立性（考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期人教B版

清单03 条件概率与事件的独立性 清单01 条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 ⑤条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则． （3）设和B互为对立事件，则． 清单02 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 清单03 贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 清单04 相互独立事件 ①相互独立事件的概念：对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． ②判断事件是否相互独立的方法： （1）定义法：事件，相互独立的充要条件是． （2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 【考点题型一】条件概率的计算（） 【例1】从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从5，6，7，8，9中任取两个不同的数有种取法。 事件A=“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：共4种取法，故， 事件B=“取到的两个数均为偶数”所包含的基本事件有共1种取法， 故，所以. 故选：C. 【变式1-1】某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的条件下，求学生丙第一个出场的概率． 【答案】 【详解】设事件为“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”， 事件为“学生丙第一个出场”， 第一类：乙最后一个出场，则优先从中间4个位置中选一个给甲，再将余下的4个人全排列，有（种）演讲顺序； 第二类：乙不是最后一个出场，则优先从中间4个位置中选两个给甲和乙，再将余下的4个人全排列，有（种）演讲顺序， 故． 对于事件，此时丙第一个出场，优先从除了甲和丙以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列，有（种）演讲顺序， 故． 【变式1-2】某单位计划从4名男职工和3名女职工中选2人在周末时间值班，则在周六值班的是男职工的条件下，周日值班是女职工的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件A为周六值班的是男职工，事件B为周日值班的是女职工， 由题意可知，事件AB表示周六值班的是男职工，周日值班的是女职工，二者同时发生， 一共有种符合条件的情况，总情况数有，所以， 由条件概率的计算公式可知. 故选：B. 【变式1-3】已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为.则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该家族某位成员出现A性状为事件，出现B性状为事件， 则有， 所以， 又, 所以， 所以， 故选：D. 【变式1-4】田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》．齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛．双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等．上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序． (1)求在第一局比赛中田忌胜利的概率： (2)若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、， 齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、， 并且用马的记号表示该马上场比赛． 设事件，事件， 由题意得， ，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是； （2）设事件， 事件， 由题意得， ， 则本场比赛田忌胜利的概率是． 【考点题型二】条件概率的性质及应用（） 【例2】某一时期某影院对影片M排片的概率为，对影片N排片的概率为，同时对两部影片排片的概率为，则该影院在没有对影片N排片的条件下，对影片M排片的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该影院对影片M排片为事件，对影片N排片为事件， 则，，，， 又， 所以， 所以． 故选：D. 【变式2-1】已知两个随机事件，若，，，则 . 【答案】 【详解】由可得，故, 故答案为：, 【变式2-2】若事件，互斥，，，，则 ． 【答案】/ 【详解】由于事件，互斥， ,故， 故， ， 故答案为： 【变式2-3】（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：BC． 【变式2-4】（多选）记，分别为，的对立事件，且，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题可知，，则， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：ABC 【考点题型三】全概率公式的应用（） 【例3】已知某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是85%，乙厂产品的合格率是90%．在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（    ） A．86% B．87% C．88% D．89% 【答案】B 【详解】该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为. 故选：B 【变式3-1】长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为80%，其余学生的近视率约为50%，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是 . 【答案】 【详解】设事件A为“任意调查一名学生，每天玩手机超过1h”，事件B为“任意调查一名学生，该学生近视”， 则，，，， ∴. 故答案为： 【变式3-2】（多选）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件为“取出的两球都是红球”，事件为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意知，，，， ，， 所以， ， . 故选：AD. 【变式3-3】一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.则（1）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次取出红球的概率为 ；（2）两次取出的都是红球的概率为 . 【答案】 【详解】（1）当第一次取出红球后，放回并放入2个红球，此时袋中有4个红球，3个黑球，总球数为7个， 所以第2次取出红球的概率为； （2）由题意可知第一次取出红球的概率为，在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率为， 所以两次取出的都是红球的概率为. 故答案为：； 【变式3-4】小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为 . 【答案】 【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，， 事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子. 则，，，， 当时，， 由题知，， 所以， 又， 所以. 故答案为： 【考点题型四】贝叶斯公式的应用（） 【例4】某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设患病为事件，设检测结果为阳性为事件， 某疾病在人群中的患病率为，检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为， 则，，， 则，， 所以， 如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为. 故选：B. 【变式4-1】甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ． 【答案】 0.1/ 0.3/ 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”， 则，，， B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得： ， 由贝叶斯公式得：. 故答案为：0.1；0.3. 【变式4-2】随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 【变式4-3】有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，则它确实为次品的概率约为 （精确到小数点后三位）． 【答案】0.892 【详解】设“产品经检验被认为是次品”，“产品确实为次品”， 由题意知，，，，， 由贝叶斯公式得，所求概率为 ． 故答案为：0.892. 【变式4-4】5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 【答案】 【详解】设“取到第号袋子”，， “取到白球”， 根据题意得， ，， 由贝叶斯公式得， ． 所以这个球来自1号袋中的概率为． 【考点题型五】相互独立事件的判断（） 【例5】为两个随机事件，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．事件相互独立 D． 【答案】D 【详解】由，且， 所以 ，则，同理，A对； 由，，即，B对； 由，即事件相互独立，C对； 由，D错. 故选：D 【变式5-1】一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 【变式5-2】一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（    ） A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立 B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立 C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立 D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立 【答案】B 【详解】当时，， 则，所以当2时，事件与事件不相互独立； 当时，， 则，所以当时，事件与事件相互独立. 故选：B. 【变式5-3】抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【答案】C 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则 ，共18个基本事件，则， 设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是9， 则共4个基本事件，则， 且，则， ，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件两次朝上面的数字之和是10， 则，则， 且，则， 因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C. 【变式5-4】（多选）现有甲､乙､丙､丁四名同学，甲擅长乒乓球，乙擅长篮球，丙既擅长乒乓球又擅长篮球，丁擅长足球与羽毛球，现从这四名同学中任选一位，记事件“所选学生擅长乒乓球”，事件“所选学生擅长篮球”，事件“所选学生擅长足球”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BC 【详解】由题设，事件所选学生为甲或丙，且， 事件所选学生为乙或丙，且， 事件所选学生为丁，且， 显然不互斥，存在都选丙的可能，且，A错、C对； 互斥，即，B对、D错； 故选：BC 【考点题型六】求相互独立事件的概率（） 【例6】甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 【答案】C 【详解】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件， 则恰有一人破译密码为，而互斥， 由互斥事件概率公式得， 由题意得相互独立，相互独立， 由独立事件概率公式得， ， 由题意得，，则， ，得到， 则恰有一人破译密码的概率为，故C正确. 故选：C 【变式6-1】小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得 元． 【答案】60 【详解】若小王最后获胜的情况为第四局小王赢或第五局小王赢、 故小王赢的概率为， 若小明最后获胜的情况为后两局小明获胜，故小明获胜的概率为， 故两人获胜的比例为，故按获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得元. 故答案为：. 【变式6-2】甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 . 【答案】 【详解】设甲乙比赛中甲胜乙负为事件，甲负乙胜为事件；甲丙比赛中甲胜丙负为事件，甲负丙胜为事件;乙丙比赛中乙胜丙负为事件，乙负丙胜为事件. 设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件， 则 故答案为： 【变式6-3】已知事件A，B相互独立，且，，则当 时，取得最大值，最大值为 ． 【答案】 / / 【详解】由得， 则， 当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：； 【变式6-4】每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)① ，；② 【详解】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为. （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 【考点题型七】全概率公式与数列（） 【例7】甲、乙、丙、丁、戊、已6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之后球在乙手中的概率为．则 ， ． 【答案】 【详解】依题意可知， 第次传球之后球在乙手中，则当时，第次传球之后球不在乙手中的概率为， 第次传球有的可能传给乙，因此， 于是，而， 则是以为首项，公比为的等比数列； 所以，即， 时，适合上式，故. 当时，可得. 故答案为：，. 【变式7-1】（多选）某大学有A，B两个餐厅，学生只能选择其中一个就餐，经过统计分析发现：学生第一天选择两个餐厅的概率均为，而前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为，如此反复．记某同学第n天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为.一个月（30天）后，记甲、乙，丙三位同学选择B餐厅的人数为X，则下列说法中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由于每人每次只能选择有A，B两个餐厅中的其中一个，所以，即A正确； 对于B，依题意可知，可得， 又时，可得，所以， 因此数列是以为首相，为公比的等比数列，即B正确； 对于C，由选项B分析可知，所以； 当时，，所以，可得，即C正确； 对于D，结合C选项分析可得，因此D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出递推公式，再由递推公式利用数列构造可证明是等比数列，再由等比数列定义计算可得通项公式，进而判断出结论. 【变式7-2】记为数列的前n项和，且，若每个数字出现的概率相同，则是奇数的概率为 ． 【答案】 【详解】记事件为“为奇数”，设事件为“为奇数”， 由题可知，当为奇数时，若2，则仍然为奇数， 若为偶数，或3时，仍然为奇数， 从而：，（其中表示的概率，）， 设，， 从而有：， 进而， ， 故答案为：． 【变式7-3】盒子中有大小形状完全相同的1个白球，2个黑球．每次从该盒中取出1个球，若取出的是白球，则把它放回盒中；若取出的是黑球，则该黑球不放回，并且另外补1个白球放入盒中，则第2次从盒中取出白球的概率是 ；重复上述过程次后，盒中白球个数的数学期望是 ． 【答案】 ； （或者）； 【详解】易知若第1次从盒中取出的是白球，其概率为，此时盒中仍为1白2黑，第2次从盒中取出白球的概率为； 若第1次从盒中取出的是黑球，其概率为，此时盒中仍为2白1黑，第2次从盒中取出白球的概率为； 由全概率公式计算可得第2次从盒中取出白球的概率为； 设为第次操作后的白球数的期望值，重复上述过程次后，总球数始终为3， 因此可得若取出白球，其概率为，此时白球数不变，即； 若取出黑球，其概率为，此时白球数加1，即； 所以可得，化简可得; 因此可得， 又易知，则可得是以为首项，公比为的等比数列； 因此可得，即. 故答案为：，. 【变式7-4】已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立． (1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列； (2)求第3次操作取到红球的概率； (3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和． 【答案】(1) 1 3 (2) (3) 【详解】（1）由题意， 的所有可能取值为1,3， , 故的分布列为 1 3 （2）由题意， （方法一）设事件表示第次取到红球， 则 （方法二）由（1）知第3次操作取到红球的概率为． （3）由题意及（1）（2）得， 设次操作后，盒中全是黑球、1个红球和2个黑球、2个红球和1个黑球、全是红球的概率分别为． 由操作规则可知， 当为奇数时，盒中全是黑球或2个红球、1个黑球， 当为偶数时，盒中全是红球或1个红球、2个黑球， 即，其中． 因为， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则． 故． 即 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 条件概率与事件的独立性 清单01 条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 ⑤条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则． （3）设和B互为对立事件，则． 清单02 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 清单03 贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 清单04 相互独立事件 ①相互独立事件的概念：对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． ②判断事件是否相互独立的方法： （1）定义法：事件，相互独立的充要条件是． （2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 【考点题型一】条件概率的计算（） 【例1】从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的条件下，求学生丙第一个出场的概率． 【变式1-2】某单位计划从4名男职工和3名女职工中选2人在周末时间值班，则在周六值班的是男职工的条件下，周日值班是女职工的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为.则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》．齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛．双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等．上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序． (1)求在第一局比赛中田忌胜利的概率： (2)若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率． 【考点题型二】条件概率的性质及应用（） 【例2】某一时期某影院对影片M排片的概率为，对影片N排片的概率为，同时对两部影片排片的概率为，则该影院在没有对影片N排片的条件下，对影片M排片的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知两个随机事件，若，，，则 . 【变式2-2】若事件，互斥，，，，则 ． 【变式2-3】（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（多选）记，分别为，的对立事件，且，，.则（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】全概率公式的应用（） 【例3】已知某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是85%，乙厂产品的合格率是90%．在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（    ） A．86% B．87% C．88% D．89% 【变式3-1】长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为80%，其余学生的近视率约为50%，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是 . 【变式3-2】（多选）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件为“取出的两球都是红球”，事件为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.则（1）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次取出红球的概率为 ；（2）两次取出的都是红球的概率为 . 【变式3-4】小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为 . 【考点题型四】贝叶斯公式的应用（） 【例4】某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ． 【变式4-2】随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，则它确实为次品的概率约为 （精确到小数点后三位）． 【变式4-4】5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 【考点题型五】相互独立事件的判断（） 【例5】为两个随机事件，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．事件相互独立 D． 【变式5-1】一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【变式5-2】一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（    ） A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立 B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立 C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立 D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立 【变式5-3】抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【变式5-4】（多选）现有甲､乙､丙､丁四名同学，甲擅长乒乓球，乙擅长篮球，丙既擅长乒乓球又擅长篮球，丁擅长足球与羽毛球，现从这四名同学中任选一位，记事件“所选学生擅长乒乓球”，事件“所选学生擅长篮球”，事件“所选学生擅长足球”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【考点题型六】求相互独立事件的概率（） 【例6】甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 【变式6-1】小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得 元． 【变式6-2】甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 . 【变式6-3】已知事件A，B相互独立，且，，则当 时，取得最大值，最大值为 ． 【变式6-4】每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【考点题型七】全概率公式与数列（） 【例7】甲、乙、丙、丁、戊、已6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之后球在乙手中的概率为．则 ， ． 【变式7-1】（多选）某大学有A，B两个餐厅，学生只能选择其中一个就餐，经过统计分析发现：学生第一天选择两个餐厅的概率均为，而前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为，如此反复．记某同学第n天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为.一个月（30天）后，记甲、乙，丙三位同学选择B餐厅的人数为X，则下列说法中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【变式7-2】记为数列的前n项和，且，若每个数字出现的概率相同，则是奇数的概率为 ． 【变式7-3】盒子中有大小形状完全相同的1个白球，2个黑球．每次从该盒中取出1个球，若取出的是白球，则把它放回盒中；若取出的是黑球，则该黑球不放回，并且另外补1个白球放入盒中，则第2次从盒中取出白球的概率是 ；重复上述过程次后，盒中白球个数的数学期望是 ． 【变式7-4】已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立． (1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列； (2)求第3次操作取到红球的概率； (3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和． 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$