猜押05 锐角三角函数的实际应用（5大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（南京专用）

猜押05 锐角三角函数的实际应用（5大题型） 猜押考点 3年南京真题 考情分析 押题依据 仰俯角问题 2023年南京卷第23题； 从近年的南京中考数学来看，锐角三角函数的实际应用是必考内容之一，重点考查的是锐角三角函数的实际应用，包括仰俯角问题和方位角问题；一般在解答题的第23题进行考查，难度不大，重点掌握锐角三角函数的辅助线添加方法，学会“横平竖直”的辅助线添加方式；考生要学会联系生活实际，准确理解题意。 锐角三角函数的实际应用是中考的常考考点，也是我们南京中考数学解答题的必考题；最近两年涉及到的都是仰俯角问题、方位角问题等，故考生复习的重点仍是这两种题型，同时注意下坡比问题；这一块的问题主要在于辅助线的添加，把关键的边长求出来就可以解决此类问题； 方位角问题 2024年南京卷第23题；2022年南京卷第23题； 其他应用 2021年南京卷第23题； 题型一 仰角俯角问题 1．（2025·江苏南京·一模）（跨学科融合）如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键．延长交于点，则，在中，根据正切定义可得出，设，在中，，根据正切的定义得出，解方程求出x，然后根据勾股定理求出和，进而求出从A处移动到B处，物体上升的高度，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则， 在中，，， ∴， 设， 在中，， ， ， 解得， ∴，， ∴，， ∴从A处移动到B处，物体上升了， ∴． 2．（2025·江苏南京·一模）南京青奥双子塔是南京的地标建筑物之一，对南京人民具有重要的生活意义．小文家住在双子塔附近，从她家阳台能看见双子塔．如图，和是双子塔，小文从阳台正好能看见双子塔的塔顶在一条直线上，已知她眼睛距离地面米，测得仰角为，此时她操控无人机竖直向上飞了秒到达点处（无人机速度不变），测得塔顶的仰角为，又继续操控无人机竖直向上飞了秒到达处，测得塔顶的仰角为，已知双子塔间的距离为米，求双子塔和的高度（结果精确到）． （参考数据：） 【答案】双子塔的高度为米，的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键． 根据题意，设无人机的速度为，利用三角函数值列出对应方程，求解即可． 【详解】解：如图，设无人机的速度为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 答：双子塔的高度为米，的高度为米． 3．（2023·江苏南京·一模）（新情境）如图，大楼上有一块液晶屏幕，小明在坡面D处测得屏幕顶部A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得屏幕底部B的仰角为，此时小明距大楼底端N处20米．已知坡面米，DE的坡度，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求液晶屏幕的长度（结果保留根号）．（参考数据： ， ） 【答案】液晶屏幕的长度为． 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定与性质等知识，过点D作，垂足为P，过点D作，垂足为Q，则四边形为矩形，，先求出，在中，求出，在中，求出 ，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为P，过点D作，垂足为Q，则四边形为矩形，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，的坡度，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：液晶屏幕的长度为． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，平地上有一竖直旗杆，从地面上的点C，D，E处测得旗杆顶端A的仰角分别是，，．若点C，D之间的距离为m，用含m的代数式表示旗杆的高和点C，E之间的距离．（图中所有点均在同一平面内，参考数据：） 【答案】旗杆的高为，点C，E之间的距离为 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的计算是解题的关键．根据垂直的定义得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：旗杆的高为，点C，E之间的距离为． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）（新情境）如图①，是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为，铁塔顶端的仰角为，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为．已知，点构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点处只要再测量，通过计算即可求出铁塔的高度，若记为，则铁塔的高度是 ．（用含的式子表示）（参考数据：，，，） 【答案】(1)铁塔的高度约为米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）设铁塔的高度为米，在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，再根据建立方程，解方程即可得； （2）先求出的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后在中，解直角三角形即可得． 【详解】（1）解：设铁塔的高度为米， 由题意得：，，米， ∵， ∴在中，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得（米）， 答：铁塔的高度约为米． （2）解：由题意得：，， 由（1）可知，米， ∵， ∴在中，米， ∵， ∴在中，（米）， 故答案为：米． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在山脚A，B处测得山顶处的仰角分别为，，在山腰处测得的仰角为．已知，求山顶的高度．（参考数据：．） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形应用——仰角问题．添加辅助线，构建直角三角形、矩形，熟练掌握等腰直角三角形性质，矩形性质，正切定义，构建一元一次方程，是解题的关键． 过点C作于点F，过点D作于E，作于G，得四边形是矩形，得，根据， ，得，，得，得，，根据，，得，解得． 【详解】解：如图，过点C作于点F，过点D作于E，作于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 7．（2024·江苏南京·二模）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶B的仰角为，求山的高度．（参考数据：．） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题．设．解直角三角形，分别求出，，根据，求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：过D作，垂足为F，，垂足为E， 设． 在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴． 解得 ． ∴． 答：山的高度为． 8．（2024·江苏南京·二模）如图，为了测量某学校旗杆的高度，将固定在旗杆顶端A上的绳子拉直后，绳子的末端恰好可以落在截面为矩形的主席台底的点C处，也可以落在主席台上的点处．主席台高为，和分别为，图中所有点均在同一平面内．求旗杆的高度．（参考数据：．）    【答案】旗杆的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点，根据题意可得：，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点，    由题意得：， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴旗杆的高度约为． 题型二 方位角问题 9．（2025·江苏南京·一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为．小明在处通过窗口看到远处两棵树（记为和），此时在小明的北偏东方向，在小明的北偏东方向．后，小明到达处，此时和恰好都在自己的南偏东方向．求两棵树之间的距离．（参考数据：，．） 【答案】100m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点分别作，，垂足为点，先求出，解，可设，由勾股定理得，确定为等腰直角三角形，则，由，求出，则即可求解，解 设，，解可得，由，求出，即可求解，最后由即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∵在中，， ∴设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵在中，， ∴设， 同理可得：， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 答：两棵树之间的距离为． 10．（2025·江苏南京·一模）如图，港口B位于港口A的北偏西方向，港口C位于港口A的北偏东方向，港口C位于港口B的北偏东方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为，求港口C到航线的距离．（参考数据：．） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作航线于点，过点作，过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】解：过点作航线于点，过点作，过点作于点，则四边形为矩形， ∴， 由题意，得：，设，则： 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； 即：港口到航线的距离为． 11．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头，在距码头西端M的正西方向千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． (1)求两地的距离；结果保留根号 (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头靠岸？请说明理由参考数据：，， 【答案】(1)千米 (2)能行至码头靠岸，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点A作于点，可知为直角三角形．根据勾股定理解答． （2）延长交l于D，证明，求出，比较与的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：过点A作于点， 由题意，得千米，千米， （千米） 在中，（千米） （千米） 在中，（千米）； （2）解：如果该轮船不改变航向继续航行，能行至码头靠岸， 理由：延长交l于点， ，， ， ， ， （千米） ， 该轮船不改变航向继续航行，能行至码头靠岸． 12．（2025·江苏南京·一模）如图，点、、在同一水平线上，在处测得点在正北处，点在北偏东；在处测得点在北偏东，点在北偏西，，求、两点间的距离．（结果保留根号，参考数据：．） 【答案】 【分析】本题主要考查方位角，直角三角形的勾股定理，矩形的综合，掌握方位角构成直角三角形，矩形等，并熟练运用矩形的性质，勾股定理是解题的关键．如图所示（见详解），过点作于，过点作于，可证四边形是矩形，，是直角三角形，根据矩形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，过点作于， ∵在处测得点在正北处，点在北偏东，点、、在同一条直线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，即，， 在处测得点在北偏东，点在北偏西，， ∴在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴（米）， ∴、两个小区的物业服务中心距离是． 13．（2024·江苏南京·二模）如图，处的一艘货轮位于处的一艘护卫舰的北偏东方向，此时两船之间的距离为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达处，此时货轮到达处，测得货轮位于护卫舰的北偏东方向．求货轮航行的路程．（参考数据：，，，，，） 【答案】货轮航行的路程为23.5海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点， 由题意得：，， 在中，海里，， （海里）， （海里）， 海里， 在中，， （海里）， 海里， （海里）， 货轮航行的路程约为23.5海里． 14．（2024·江苏南京·一模）（新情境）随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：） (1)求的长度； (2)骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 【答案】(1)米 (2)骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理： （1）如图所示，过点K作于H，由题意得，，则，先解得到米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先解得到米，米，进而分别计算出两条路线的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点K作于H， 由题意得，， ∴ 在中，米， 米， 在中，由勾股定理得米， ∴米； （2）解：在中，米， 米， ∴米， ∴路线②的时间为分钟； ∵米， ∴路线①的时间为分钟， ∵， ∴骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家． 15．（2024·江苏南京·二模）如图，避风港在岛礁正东方向上．一艘渔船正以40海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在北偏东方向上，继续航行1.8小时后到达处时测得岛礁在北偏东方向，避风港在北偏东方向上．求此时渔船离避风港的距离．（参考数据：，）    【答案】约为海里 【分析】过点分别作于于，交的延长线于点．设海里，在中，，在中，，解方程求得,在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：过点分别作于于，交的延长线于点． 由题意可知：海里， 则四边形为矩形， ， 设海里， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 在中，（海里）． 答：渔船离避风港的距离约为海里．    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形并熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 16．（2023·江苏南京·一模）（新情境）如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东45°、距离为海里的C处，并测得该渔轮正沿南偏东53°的方向行进．海军舰艇立即沿北偏东67.4°的方向前去营救，与渔轮在B处相遇，求渔轮的航程BC和海军舰艇的航程AB．（参考数据：sin53°＝cos37°≈0.80，cos53°＝sin37°≈0.60，tan67.4°≈2.4） 【答案】BC=10海里，AB=26海里； 【分析】设BC=x海里，解Rt△ADC，Rt△COB求得边AE和BE的表达式，根据∠ABE的正切值列方程求得x，最后由勾股定理求得AB的长； 【详解】解：分别过A、B、C延长方向线，交点如图所示 设BC=x海里， Rt△ADC中，AC=海里，∠DAC=45°，则CD=AD=16海里， Rt△COB中，∠OCB=53°，则，OC=xcos53°，OB=xsin53°， Rt△AEB中，∠ABE=∠DAB=67.4°， AE=AF+EF=DC+OB=16+ xsin53°（海里）， BE=AD-OC=16- xcos53°（海里）， ∴16+ xsin53°=（16- xcos53°）tan67.4°， 16+0.8x=（16-0.6x）×2.4， 解得：x=10， ∴AE=16+8=24海里，BE=16-6=10海里， AB==26海里， ∴BC=10海里，AB=26海里； 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，方位角的概念，掌握三角函数的定义是是解题关键． 题型三 坡度坡比问题 17．（2024·江苏南京·二模）如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）    【答案】该建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．在中，根据三角函数的定义得到，过作于，则，，在中，设，根据三角函数的定义得到，求得，，在中，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：在中， ，， ， 过作于，    则，， 在中，设， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， 答：该建筑物的高度为． 18．（2024·江苏南京·一模）为测量某建筑物的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡前行到达D处，此时测得顶端C的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据：    【答案】建筑物的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再设，则，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，    由题意得：， 在中，， ， ， ， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ∴建筑物的高度约为． 19．（2024·江苏南京·模拟预测）（文化背景）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从B点出发，沿坡度的山坡走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水平距离80米的C点观看，此时烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为，亮亮在C处测得E点的仰角为，（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中）是否属实？（参考数据：，） 【答案】说明书写的烟花燃放高度属实 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．过作于，根据矩形的性质得到，，，设，，根据勾股定理得到，米，根据米，米，求得米，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过作于，于， 则四边形是矩形， ，，， 在中，米，， 设，， ， ， 米．米， ∵米，米， 米， ， ， ， 在中，，，， ， ， （米． ∵在即425与435的范围内， 答：说明书写的烟花燃放高度属实． 20．（2024·江苏宿迁·一模）（文化背景）某校组织九年级学生到三台山森林公园游玩，数学兴趣小组同学想利用测角仪测量天和塔的高度．如图，塔前有一座高为的斜坡，已知，，点E、C、A在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为45°，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为39°． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.8，取1.7，取1.4，结果取整数） 【答案】(1)的长为； (2)塔的高度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ． 即的长为； （2）解：设， 在中，， ． 在中，由，，， 则． ． 如图，过点作，垂足为．    根据题意，， 四边形是矩形． ，． 可得． 在中，，， ．即． ． 答：塔的高度约为． 21．（2024·江苏南京·二模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（参考数据：，，）    【答案】约为 【分析】延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，则，   山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ，， ， 在中，， （m）， （m）； 答：古树的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键． 22．（2024·江苏南京·三模）如图，为了测量大楼的高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在处测得大楼顶端的仰角为，同时测得大楼底端的俯角为，求大楼的高度．（参考数据：，．）    【答案】 【分析】如图所示，过点D作于G，延长交于F，先证明四边形是矩形，得到，，再解得到，设，则，再解得到，进而得到，同理可证是等腰直角三角形，则，可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于G，延长交于F， 由题意得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴大楼的高度为．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（2024·江苏南京·一模）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为，，． (1)求点距水平面的高度； (2)求宣传牌的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)2米 (2)米 【分析】（1）根据得到，设，利用勾股定理计算即可． （2）过点B作，垂足为F，判定四边形是矩形，解直角三角形计算计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 设， ∵m， ∴， 解得（舍去）， ∴（m）． （2）如图，过点B作，垂足为F， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵，，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键． 24．（2023·江苏南京·一模）（新情境）图①是2023年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离． (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．) 【答案】EF到AB的距离为45米 【分析】过点C作，交AB于点G，设AC的长度为x米，则DE的长度为（80-x）米，根据直角三角形的性质得，根据三角函数得，根据EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍得，解得，即AC=10，则，即可得． 【详解】解：如图所示，过点C作，交AB于点G， 设AC的长度为x米，则DE的长度为（80-x）米， 由题意得，，， 则， ， ∴AC=30， ∴， ∴EF到AB的距离为：（米）． 【点睛】本题考查了三角函数，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握三角函数和直角三角形的性质． 题型四 解直角三角形中的光线问题 25．（2024·江苏南京·模拟预测）（跨学科融合）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．求的长度．（结果精确到．参考数据：，，，．） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点E，根据直角三角形的性质求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，即可根据正切的定义求出，进而求出． 【详解】解：如图，延长交于点，则． 在中，，， ，． 在中，， ， 在中，， ， ． 即的长度约为． 26．（2024江苏南京·二模）（跨学科融合）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且，． (1)求出路灯的高度． (2)现在小明想让光线透过窗子照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为，如图2所示，需将路灯的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答） 【答案】(1) (2)图形见解析，将路灯的高度升高米，此时光线照亮地面的最近端位置离点的距离是 【分析】本题考查了相似三角形的应用、平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键 （1）利用条件证明和，得和求出和即可得出答案； （2）证和得和，求出OM即可解决问题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 即， 解得∶， 答∶路灯的高度为； （2）解：如图所示，将路灯的高度升高至， 由(1)得∶，， ， ， 由题意得∶，则， ， ，， ， ，， ， 即， 解得∶，， ， 答∶需将路灯的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是． 27．（2024·江苏南京·二模）如图，一艘潜艇在海面下沿水平方向保持同一深度航行，其潜望镜的最高点距海面．潜艇水手在航程为（即）的两个位置分别透过潜望镜观测正前方岸上凸起的崖壁，测量到入射光线的，与海面的夹角分别是，折射光线，与海面的夹角分别是．求崖壁到海面的距离． （说明：图中点，，，，在同一平面内，参考数据：，，．）    【答案】 【分析】如图所示，过点P作于G，过点Q作于H，过点M作于T，则四边形是矩形，可得，解得到，解得到，则；设，解得到，解得到，由此可建立方程，解方程求出，即崖壁到海面的距离为． 【详解】解：如图所示，过点P作于G，过点Q作于H，过点M作于T，则四边形是矩形，      ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴崖壁到海面的距离为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 28．（2024·江苏盐城·二模）（跨学科融合）我们在物理课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象，如图1，记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得．（参考数据：，，． (1)求入射角的度数； (2)若，求光线从空气射入水中的折射率n． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意求出值是关键． （1）作法线，根据平行线性质可得入射角的度数； （2）利用勾股定理可得长，继而得到，解直角三角形可得，继而得到值，根据折射率公式计算即可得到值． 【详解】（1）解：如图2，法线过点， ，， ， ， ． （2）在中，， ， ， ，， ， ， ， ． 29．（2024·江苏南京·三模）（跨学科融合）学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； （2）解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 30．（2024·江苏泰州·一模）（跨学科融合）如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，，，两个反光镜，直线之间的距离为，．与平行的一束光线经两个反光镜反射后沿射出，其中．（参考值：，，，，，） (1)当G、A、I三点共线时，求反光镜的长度；（结果保留一位小数） (2)已知米，求点A到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过K作，垂足为S，求出，由得，解可求出； （2）由平行线的性质，解可求出 【详解】（1）解：过K作，垂足为S， ∵，， ∴，， 由题意：， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 答：反光镜的长度约为． （2）解：过A作，垂足为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴． 答：点A到直线的距离为． 31．（2024·江苏南京·三模）（跨学科融合）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．    (1)求的长；（结果保留根号） (2)如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85） 【答案】(1)米 (2)4米 【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； （2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【详解】（1）解：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； （2）解：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为4米．    【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 32．（2023·江苏泰州·二模）（跨学科融合）中国建筑师以潜望镜为灵感设计了一个在私密空间内也能享受到窗外美景的未来公共卫生间（如图1）．该建筑总高BE=6.2m，剖面设计如图2，BE⊥ED，CD⊥ED，ABCGED，点F为CG与BE的交点，FE=3.2m，其中HI为平面镜，在墙面BC上也全部安装与之贴合的镜面，HIBC，HI=0.6m，HE=1.2m，记BC与CG的夹角为α，AB与GF之间为外界光线入射的区域．（提示：法线垂直于平面镜，入射角等于反射角，外界射入的均为与地面平行的水平光线） (1)如图3，当α=60°时（其中JK为入射光线，HK为反射光线，LK为法线）： ①求∠BKH的度数； ②若入射光线JK经平面镜BC反射后，刚好到达平面镜HI的最顶端H处成像，求该入射光线与地面的距离； (2)当α=45°时，利用图2分析，要在不影响观景体验的同时尽可能地节约建筑成本，可以在BC边上安装镜面时减少 米耗材．（直接在横线上填写答案，参考数据：≈1.41） 【答案】(1)①120°；②3.7米 (2)1.62米 【分析】（1）①根据题意可知法线LK垂直于平面镜BC，可知，再借助平行线的性质可推导，然后计算，根据光的反射定律可知，再由计算∠BKH的度数即可；②由①可知，，由直角三角形的性质可知，再借助三角形内角和定理推导，即可证明为等腰三角形，由等腰三角形 “三线合一”的性质，可知，由已知条件计算，，由即可计算入射光线与地面的距离； （2）假设入射光MP经镜面反射正好到达I处，先证明四边形BPIH为平行四边形，借助平行四边形的性质可知，当入射光线到达镜面在P点之下时，反射后也无法到达HL，故只需要在BP处安装镜面，借助三角函数可求得，由即可确定减少耗材的数量． 【详解】（1）解：①∵法线LK垂直于平面镜BC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴N为BH中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴入射光线与地面的距离为3.7米； （2）当时，， ∵， ∴， 假设入射光MP经镜面反射正好到达I处，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形BPIH为平行四边形， ∴， 当入射光线到达镜面在P点之下时，反射后也无法到达HL， ∴只需要在BP处安装镜面， ∵， ∴， ∴， 即可减少1.62米耗材． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、利用三角函数解直角三角形等知识，综合性较强，解题关键是读懂题意，结合光的反射定律分析问题． 题型五 解直角三角形的其他应用 33．（2025·江苏苏州·一模）如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． (1)如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； (2)如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可； （2）过点作，设，求出的长，利用双勾股定理，列出方程求出的长，再利用余弦的定义，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：此时书钉的长度为； （2）过点作， 由题意，得：， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 34．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 【答案】(1)点到的距离约为 (2)点在竖直方向上升了 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质； （1）过作于，在根据代入计算即可； （2）过作于，由旋转可得，，，先求出再根据，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可． 【详解】（1）解：过作于， 中，，， ∴， ∴， 即点到的距离约为； （2）解：过作于， 由旋转可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点在竖直方向上上升了． 35．（2025·江苏南京·一模）（新情境）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 【答案】(1)秋冬 (2)①；②见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案； （2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答； （3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解． 影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解． 【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向， 结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节． 故答案为：秋冬． （2）解：①月日在春分日和夏至日之间， 结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的； ②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点， 道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向． （3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求： ②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为， ∴， ∴； 设于点，设，则 如图， ∵斜坡坡角为，即， ∴， ∴ ∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 答：到地平面的距离为． 36．（2025·江苏苏州·一模）（文化背景）中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，） 【答案】11.5尺 【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度． 【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长10尺． ∴，即(尺)， ∵， ∴，即(尺)， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为(尺)． 答：春分和秋分时日影长度11.5尺． 37．（2025·江苏苏州·一模）（跨学科融合）某液压式千斤顶有两根支撑杆，如图①，支撑杆可绕A点旋转，支撑杆的一端与杆相连，另一端C在液压棒的推动下沿滑动．已知支撑杆的长度的长度为，点A到的距离为． (1)千斤顶的起始（收起）状态如图②所示，此时，求的长； (2)如图③，为抬高某物体，液压棒推动点C从起始位置滑动到点，此时支撑杆与所夹的，且，求点C滑动的距离的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)的长度为 (2)点C滑动的距离的长度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，股股定理，矩形的判定与性质： （1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，设，求出．然后在中，根据勾股定理求出的值，即可解答； （2）过点作于点H，过点作于点G，设交点为，交点为，则四边形都是矩形，解直角三角形求出，，，，，勾股定理求出，在中，，即可求出，由，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ， ， 设， ， ． ， 在中，． ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴ 答：的长度为； （2）解：过点作于点H，过点作于点G，设交点为，交点为， 则四边形都是矩形， ∴， 由题意可知， 在中，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， 答：点C滑动的距离的长度为． 38．（2024·江苏南京·模拟预测）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行．小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作交于点，由平行线的性质及入射角等于反射角得，由正切函数得，即可求解；理解实际意义，掌握直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： 点在点正下方， ，即， 房顶与水平地面平行，为墙面， 四边形为矩形． ， ， ， 地面上的点经过平面镜反射后落在点，结合物理学知识可知： ， ， ， 在中， ， ， ， 即水平地面上最远处到小强的距离是． 39．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，商场自动扶梯从一楼到三楼与水平面所成的角度分别是：和，每层楼自动扶梯爬坡的坡面长度相同，如果从一楼到二楼的层高为5米，求一楼到三楼的层高是多少米？（忽略楼层之间厚度，参考数据：） 【答案】一楼到三楼的层高是11米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图，过D作于点F，过E作于点G．在中，解直角三角形可得，则；在中可得，最后根据矩形的性质和线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过D作于点F，过E作于点G． ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，则． 在中，， ∴， ∴， ∴． 答：一楼到三楼的层高是11米． 40．（2024·江苏南京·一模）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一架斜靠在墙上的梯子，为了能够安全使用，该梯子前后移动的最大距离为．使用这架梯子最高可以攀上多高的墙？ （参考数据：，，，，，    【答案】使用这架梯子最高可以攀上高约为的墙 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题意可得：，，设，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 设米， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 在中，， 使用这架梯子最高可以攀上高约为的墙． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押05 锐角三角函数的实际应用（5大题型） 猜押考点 3年南京真题 考情分析 押题依据 仰俯角问题 2023年南京卷第23题； 从近年的南京中考数学来看，锐角三角函数的实际应用是必考内容之一，重点考查的是锐角三角函数的实际应用，包括仰俯角问题和方位角问题；一般在解答题的第23题进行考查，难度不大，重点掌握锐角三角函数的辅助线添加方法，学会“横平竖直”的辅助线添加方式；考生要学会联系生活实际，准确理解题意。 锐角三角函数的实际应用是中考的常考考点，也是我们南京中考数学解答题的必考题；最近两年涉及到的都是仰俯角问题、方位角问题等，故考生复习的重点仍是这两种题型，同时注意下坡比问题；这一块的问题主要在于辅助线的添加，把关键的边长求出来就可以解决此类问题； 方位角问题 2024年南京卷第23题；2022年南京卷第23题； 其他应用 2021年南京卷第23题； 题型一 仰角俯角问题 1．（2025·江苏南京·一模）（跨学科融合）如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 2．（2025·江苏南京·一模）南京青奥双子塔是南京的地标建筑物之一，对南京人民具有重要的生活意义．小文家住在双子塔附近，从她家阳台能看见双子塔．如图，和是双子塔，小文从阳台正好能看见双子塔的塔顶在一条直线上，已知她眼睛距离地面米，测得仰角为，此时她操控无人机竖直向上飞了秒到达点处（无人机速度不变），测得塔顶的仰角为，又继续操控无人机竖直向上飞了秒到达处，测得塔顶的仰角为，已知双子塔间的距离为米，求双子塔和的高度（结果精确到）． （参考数据：） 3．（2023·江苏南京·一模）（新情境）如图，大楼上有一块液晶屏幕，小明在坡面D处测得屏幕顶部A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得屏幕底部B的仰角为，此时小明距大楼底端N处20米．已知坡面米，DE的坡度，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求液晶屏幕的长度（结果保留根号）．（参考数据： ， ） 4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，平地上有一竖直旗杆，从地面上的点C，D，E处测得旗杆顶端A的仰角分别是，，．若点C，D之间的距离为m，用含m的代数式表示旗杆的高和点C，E之间的距离．（图中所有点均在同一平面内，参考数据：） 5．（2025·江苏南京·模拟预测）（新情境）如图①，是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为，铁塔顶端的仰角为，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为．已知，点构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点处只要再测量，通过计算即可求出铁塔的高度，若记为，则铁塔的高度是 ．（用含的式子表示）（参考数据：，，，） 6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在山脚A，B处测得山顶处的仰角分别为，，在山腰处测得的仰角为．已知，求山顶的高度．（参考数据：．） 7．（2024·江苏南京·二模）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶B的仰角为，求山的高度．（参考数据：．） 8．（2024·江苏南京·二模）如图，为了测量某学校旗杆的高度，将固定在旗杆顶端A上的绳子拉直后，绳子的末端恰好可以落在截面为矩形的主席台底的点C处，也可以落在主席台上的点处．主席台高为，和分别为，图中所有点均在同一平面内．求旗杆的高度．（参考数据：．）    题型二 方位角问题 9．（2025·江苏南京·一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为．小明在处通过窗口看到远处两棵树（记为和），此时在小明的北偏东方向，在小明的北偏东方向．后，小明到达处，此时和恰好都在自己的南偏东方向．求两棵树之间的距离．（参考数据：，．） 10．（2025·江苏南京·一模）如图，港口B位于港口A的北偏西方向，港口C位于港口A的北偏东方向，港口C位于港口B的北偏东方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为，求港口C到航线的距离．（参考数据：．） 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； 即：港口到航线的距离为． 11．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头，在距码头西端M的正西方向千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． (1)求两地的距离；结果保留根号 (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头靠岸？请说明理由参考数据：，， 12．（2025·江苏南京·一模）如图，点、、在同一水平线上，在处测得点在正北处，点在北偏东；在处测得点在北偏东，点在北偏西，，求、两点间的距离．（结果保留根号，参考数据：．） 13．（2024·江苏南京·二模）如图，处的一艘货轮位于处的一艘护卫舰的北偏东方向，此时两船之间的距离为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达处，此时货轮到达处，测得货轮位于护卫舰的北偏东方向．求货轮航行的路程．（参考数据：，，，，，） 14．（2024·江苏南京·一模）（新情境）随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：） (1)求的长度； (2)骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 15．（2024·江苏南京·二模）如图，避风港在岛礁正东方向上．一艘渔船正以40海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在北偏东方向上，继续航行1.8小时后到达处时测得岛礁在北偏东方向，避风港在北偏东方向上．求此时渔船离避风港的距离．（参考数据：，）    16．（2023·江苏南京·一模）（新情境）如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东45°、距离为海里的C处，并测得该渔轮正沿南偏东53°的方向行进．海军舰艇立即沿北偏东67.4°的方向前去营救，与渔轮在B处相遇，求渔轮的航程BC和海军舰艇的航程AB．（参考数据：sin53°＝cos37°≈0.80，cos53°＝sin37°≈0.60，tan67.4°≈2.4） 题型三 坡度坡比问题 17．（2024·江苏南京·二模）如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）    18．（2024·江苏南京·一模）为测量某建筑物的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡前行到达D处，此时测得顶端C的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据：    19．（2024·江苏南京·模拟预测）（文化背景）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从B点出发，沿坡度的山坡走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水平距离80米的C点观看，此时烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为，亮亮在C处测得E点的仰角为，（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中）是否属实？（参考数据：，） 20．（2024·江苏宿迁·一模）（文化背景）某校组织九年级学生到三台山森林公园游玩，数学兴趣小组同学想利用测角仪测量天和塔的高度．如图，塔前有一座高为的斜坡，已知，，点E、C、A在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为45°，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为39°． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.8，取1.7，取1.4，结果取整数） 21．（2024·江苏南京·二模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（参考数据：，，）    22．（2024·江苏南京·三模）如图，为了测量大楼的高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在处测得大楼顶端的仰角为，同时测得大楼底端的俯角为，求大楼的高度．（参考数据：，．）    23．（2024·江苏南京·一模）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为，，． (1)求点距水平面的高度； (2)求宣传牌的高度．（结果保留根号） 24．（2023·江苏南京·一模）（新情境）图①是2023年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离． (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．) 题型四 解直角三角形中的光线问题 25．（2024·江苏南京·模拟预测）（跨学科融合）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．求的长度．（结果精确到．参考数据：，，，．） 26．（2024江苏南京·二模）（跨学科融合）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且，． (1)求出路灯的高度． (2)现在小明想让光线透过窗子照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为，如图2所示，需将路灯的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答） 27．（2024·江苏南京·二模）如图，一艘潜艇在海面下沿水平方向保持同一深度航行，其潜望镜的最高点距海面．潜艇水手在航程为（即）的两个位置分别透过潜望镜观测正前方岸上凸起的崖壁，测量到入射光线的，与海面的夹角分别是，折射光线，与海面的夹角分别是．求崖壁到海面的距离． （说明：图中点，，，，在同一平面内，参考数据：，，．）    28．（2024·江苏盐城·二模）（跨学科融合）我们在物理课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象，如图1，记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得．（参考数据：，，． (1)求入射角的度数； (2)若，求光线从空气射入水中的折射率n． 29．（2024·江苏南京·三模）（跨学科融合）学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 30．（2024·江苏泰州·一模）（跨学科融合）如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，，，两个反光镜，直线之间的距离为，．与平行的一束光线经两个反光镜反射后沿射出，其中．（参考值：，，，，，） (1)当G、A、I三点共线时，求反光镜的长度；（结果保留一位小数） (2)已知米，求点A到直线的距离． 31．（2024·江苏南京·三模）（跨学科融合）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．    (1)求的长；（结果保留根号） (2)如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85） 32．（2023·江苏泰州·二模）（跨学科融合）中国建筑师以潜望镜为灵感设计了一个在私密空间内也能享受到窗外美景的未来公共卫生间（如图1）．该建筑总高BE=6.2m，剖面设计如图2，BE⊥ED，CD⊥ED，ABCGED，点F为CG与BE的交点，FE=3.2m，其中HI为平面镜，在墙面BC上也全部安装与之贴合的镜面，HIBC，HI=0.6m，HE=1.2m，记BC与CG的夹角为α，AB与GF之间为外界光线入射的区域．（提示：法线垂直于平面镜，入射角等于反射角，外界射入的均为与地面平行的水平光线） (1)如图3，当α=60°时（其中JK为入射光线，HK为反射光线，LK为法线）： ①求∠BKH的度数； ②若入射光线JK经平面镜BC反射后，刚好到达平面镜HI的最顶端H处成像，求该入射光线与地面的距离； (2)当α=45°时，利用图2分析，要在不影响观景体验的同时尽可能地节约建筑成本，可以在BC边上安装镜面时减少 米耗材．（直接在横线上填写答案，参考数据：≈1.41） 题型五 解直角三角形的其他应用 33．（2025·江苏苏州·一模）如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． (1)如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； (2)如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 34．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 35．（2025·江苏南京·一模）（新情境）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 36．（2025·江苏苏州·一模）（文化背景）中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，） 37．（2025·江苏苏州·一模）（跨学科融合）某液压式千斤顶有两根支撑杆，如图①，支撑杆可绕A点旋转，支撑杆的一端与杆相连，另一端C在液压棒的推动下沿滑动．已知支撑杆的长度的长度为，点A到的距离为． (1)千斤顶的起始（收起）状态如图②所示，此时，求的长； (2)如图③，为抬高某物体，液压棒推动点C从起始位置滑动到点，此时支撑杆与所夹的，且，求点C滑动的距离的长度（结果保留根号）． 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ， ， 38．（2024·江苏南京·模拟预测）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行．小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 39．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，商场自动扶梯从一楼到三楼与水平面所成的角度分别是：和，每层楼自动扶梯爬坡的坡面长度相同，如果从一楼到二楼的层高为5米，求一楼到三楼的层高是多少米？（忽略楼层之间厚度，参考数据：） 40．（2024·江苏南京·一模）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一架斜靠在墙上的梯子，为了能够安全使用，该梯子前后移动的最大距离为．使用这架梯子最高可以攀上多高的墙？ （参考数据：，，，，，    1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$