猜押06 二次函数的图象与性质（8大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（南京专用）

猜押06 二次函数的图象与性质（8大题型） 猜押考点 3年南京真题 考情分析 押题依据 二次函数的图象与性质 2024年南京卷第25题；2023年南京卷第25题；2022年南京卷第13题； 从近年的南京中考数学来看，二次函数的图象与性质具体考查的题号在试卷的第25题，主要集中考查图象的性质、平移、大小比较、交点问题等等；这一块的题型难度中等，需加强对二次函数的图象与性质的学习，掌握其单调性、图象与各系数的关系等； 二次函数的图象与性质是函数中最重要的内容，也是解决函数类问题的重要方法；主要考查学生对二次函数的图象与性质的掌握情况，尤其是对二次函数的性质和图形变换的理解，是我们解决这一问题的重要技巧；同时，二次函数也会和其他的知识点一起考查，如相似三角形、三角函数和圆等，预计2025年仍是第25题考查二次函数，重点研究二次函数的性质； 题型一 二次函数的图象与性质 1．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数图象经过、两点，的值在下列数字中可能为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2024·江苏南京·三模）已知整式，下列关于整式的值的结论： ①的值可能为； ②当时，的值随的增大而增大； ③当为小于的实数时，的值大于； ④不存在这样的实数，使得的值小于． 其中所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（2024·江苏南京·一模）已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当 时，a取得最大值． 4．（2023·江苏南京·一模）（新情境）如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 ． 5．（2025·江苏南京·一模）（新情境）已知二次函数的图象为． (1)用表示图象的顶点坐标； (2)证明：当时，图象与轴有两个交点； (3)记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m为常数） (1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________． (2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 7．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 题型二 二次函数的图象与系数的关系 8．（2023·江苏南京·一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＜0，c＜0 9．（2022·江苏南京·一模）如图，抛物线与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·江苏南京·二模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴交于点A，对称轴为直线．下面结论：①；②；③；④(m为实数)．其中正确的是 ．(只填序号)    11．（2024·江苏南京·一模）如图是二次函数图象一部分，对称轴为且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．其中正确的是 ． 12．（2023·江苏南京·二模）已知二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，，．对于下列四个结论： ①； ②； ③方程的解为，； ④对于任意实数，总有． 其中正确的结论是 ．（填写序号）． 13．（2022·江苏南京·二模）（新情境）已知二次函数（是常数，且）的图像的对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点在和（不包括这两点）之间，则下列结论：①；②一元二次方程有两个不相等的实数根；③函数可取得最大值；④．其中所有正确结论的序号是 ． 14．（2025·江苏扬州·一模）如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）． 题型三 二次函数的最值 15．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 16．（2025·江苏南京·一模）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ． 17．（2025·江苏南京·一模）（新情境）在数学课上，刘老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（为常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ． 18．（2024·江苏南京·三模）如图，在中，，，．点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且，是线段的中点，运动过程中，的最小值为 ．    19．（2024·江苏南京·三模）如图，在中，，，足够长，点D，E分别在边，上，F为的中点，若，则的长的最小值为 ． 20．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 21．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，． (1)当时，求的值； (2)当，且时，求的取值范围； (3)线段长的最小值为　　． 题型四 二次函数的平移 22．（2024·江苏南京·模拟预测）二次函数的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的图像的函数表达式为 ． 23．（2023·江苏南京·一模）若二次函数有最大值6，则的最小值为 ． 24．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围； (3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 25．（2024·江苏南京·二模）（新情境）已知函数（为常数）． (1)若，，求该函数图像与轴的两个交点之间的距离； (2)若函数的图象与轴有两个交点，将该函数的图像向右平移个单位长度得到新函数的图象，且这两个函数图象与轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等． 若函数的图象如图所示，直接写出新函数的表达式； 若函数的图象经过点，当时，求的值． 26．（2024·江苏南京·三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 27．（2023·江苏南京·二模）（新情境）我们在研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质．在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图像．利用此方法对函数进行探究． 绘制图像： （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图像． 观察探究： （2）结合图像，写出该函数的一条性质：______． （3）方程的解是______． （4）若关于x的方程有两个不相等的实数解，则b的取值范围是______． 延伸思考： （5）将该函数的图像经过怎样的变换可以得到函数的图像？写出变换过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围． 28．（2023·江苏南京·一模）（新情境）阅读下面的问题及解决途径． 结合阅读内容，完成下面的问题． (1)填写下面的表格． (2)将函数y＝－2x2＋3x＋1的图像沿y轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为 ． (3)将函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式． 题型五 二次函数与方程、不等式 29．（2023·江苏南京·一模）已知二次函数 (m为常数)，它的图像与x轴的公共点个数的情况是（   ） A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．没有公共点 D．无法确定 30．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（是正整数）图像经过点，且与轴有两个不同的交点，则的最大值为 ． 31．（2024·江苏南京·二模）二次函数（是常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 ．    32．（2024·江苏南京·一模）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ． 33．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 34．（2025·江苏南京·模拟预测）（新情境）数、形二法“战”不等式！ (1)解不等式时，根据“两数相乘，同号的正，异号得负”可得x应满足不等式组①或②． 解不等式组①，得 ，解不等式组②，得 ． 所以，不等式的解集是 ． (2)已知函数的大致图象如图所示，根据图象，可得不等式的解集是 ． 35．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，拋物线存在两点． (1) ； (2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ． 题型六 二次函数的图象交点问题 36．（2024·江苏南京·一模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上． (1)写出该函数图象的对称轴； (2)已知点． ①若函数图象恰好经过点，求的值； ②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 37．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（，且为常数） (1)若，求证：该二次函数图象与轴有两个公共点； (2)该函数一定经过两个定点，分别是 ， ； (3)若该二次函数的图象与函数有不少于两个交点，直接写出的取值范围． 38．（2024·江苏南京·一模）已知二次函数 ． (1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点； (2)若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且 ，求证 (3)若，，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围． 39．（2024·江苏南京·模拟预测）已知函数（a是常数）． (1)若该函数的图象与x轴只有1个公共点，求a的值； (2)当时，设该函数图象的顶点为M，与y轴交点为C，平面直角坐标系原点为O，若点C关于的对称点恰好在x轴上，直接写出a的值． 40．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴． (2)求证：当时，该函数图象与轴的两个交点均在正半轴． (3)点、在该函数图象上，直接写出与的大小关系及相应的的取值范围． 41．（2024·江苏南京·一模） 已知二次函数 （m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 42．（2024·江苏南京·模拟预测）（新情境）已知二次函数（a为常数且）． (1)求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点 (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9． ①直接写出a的取值范围； ②若a为负整数，则函数的图像与函数的图像的交点个数随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围． 题型七 二次函数的求参问题 43．（2025·江苏南京·一模）（新情境）如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 44．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，动点M从点A出发以的速度沿折线运动到点C停止．连接，作交于点N．设点M运动时，长为，则y关于t的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 45．（2025·江苏南京·一模）（新情境）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 46．（2024·江苏南通·一模）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 47．（2025·江苏宿迁·一模）（新情境）如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为 ． 48．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为 ．    49．（2023·江苏宿迁·二模）已知，动点在矩形的边上，过点作的垂线，交于点，，，在点从点出发沿方向运动到点的过程中，求的最小值为 ． 题型八 二次函数与几何综合 50．（2024江苏南京·阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 51．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 52．（2024·江苏苏州·二模）（新情境）已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．的面积与的面积相等时，m的值为 ． 53．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，，其中对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 54．（2025·江苏苏州·一模）（新情境）已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 55．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．（2024·江苏·模拟预测）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押06 二次函数的图象与性质（8大题型） 猜押考点 3年南京真题 考情分析 押题依据 二次函数的图象与性质 2024年南京卷第25题；2023年南京卷第25题；2022年南京卷第13题； 从近年的南京中考数学来看，二次函数的图象与性质具体考查的题号在试卷的第25题，主要集中考查图象的性质、平移、大小比较、交点问题等等；这一块的题型难度中等，需加强对二次函数的图象与性质的学习，掌握其单调性、图象与各系数的关系等； 二次函数的图象与性质是函数中最重要的内容，也是解决函数类问题的重要方法；主要考查学生对二次函数的图象与性质的掌握情况，尤其是对二次函数的性质和图形变换的理解，是我们解决这一问题的重要技巧；同时，二次函数也会和其他的知识点一起考查，如相似三角形、三角函数和圆等，预计2025年仍是第25题考查二次函数，重点研究二次函数的性质； 题型一 二次函数的图象与性质 1．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数图象经过、两点，的值在下列数字中可能为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 设点关于抛物线对称轴的点坐标为，则，根据抛物线在对称轴右侧的增减性可得即可得到结果． 【详解】解：设点关于抛物线对称轴的点坐标为，则， 二次函数， 抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小， ， ， 故选：． 2．（2024·江苏南京·三模）已知整式，下列关于整式的值的结论： ①的值可能为； ②当时，的值随的增大而增大； ③当为小于的实数时，的值大于； ④不存在这样的实数，使得的值小于． 其中所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可． 【详解】当， ∴， 解得：，， ∴的值可能为， ∴正确； 设函数的解析式为：，如图 ∴对称轴为：，函数图象的开口向上， ∴当，函数随的增大而增大， ∴正确； 同理，当，函数随的增大而减小， ∴当时，函数在轴是上方，即， ∴正确； 设函数的解析式为：，如图 ∴当时，函数有最小值，最小值为： ∴无论取任何数， ∴正确； 综上所述：正确的为： 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数图象和性质，实数的性质． 3．（2024·江苏南京·一模）已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当 时，a取得最大值． 【答案】2 【分析】先求出顶点坐标，再根据，，，进行分类讨论求出a的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵函数的顶点坐标为：， ①当，即时，y在处取最小值， 即， ∴， ②当，即时，y在处取最小值， 即， ∵当时，， ∴，即， ③当，即时，y在处取最小值， 即， ∴， 综上所述，a的最大值为0，此时， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2023·江苏南京·一模）（新情境）如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 ． 【答案】或 【分析】根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】∵A，B关于直线对称， ∴设，则， 如图所示， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∵在上， ∴， 即， 整理得：， 解得，， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为或； 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度． 5．（2025·江苏南京·一模）（新情境）已知二次函数的图象为． (1)用表示图象的顶点坐标； (2)证明：当时，图象与轴有两个交点； (3)记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或时，图象与线段恰有一个公共点． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据根据一次函数与二次函数的性质确定函数图象的交点． 把二次函数的解析式化成顶点坐标式，即可得到图象的顶点坐标为； 当时，可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可证当时，图象与轴有两个交点； 根据一次函数的解析式可知点的坐标为，点的坐标为，根据图象与线段恰有一个公共点，分或两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：整理， 可得：， 图象的顶点坐标为； （2）解：当时， 可得：， ， 整理得：， 当时，， 方程有两个不相等的实数根， 图象与轴有两个交点； （3）解：①当时， 设点的坐标为，点的坐标为， 一次函数（是常数，，）的图象为线段， 当时，，当时， 依题意，图象与线段恰有一个公共点， 如图， 当时，， 解得：或 当时，， 解得： ∴ ②当时， 解得： 综上所述，或时，图象与线段恰有一个公共点． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m为常数） (1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________． (2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的开口方向，函数值正负，对称性，增减性，是解题的关键．（1）根据二次函数（m为常数）时，图像开口向上，判断①；根据  得对称轴是直线，判断②； ③令，则， ，两点关于对称轴对称，得函数的图像一定经过，两点，判断③； （2）根据与对称，当时，当时，y随x增大而增大，得，根据，得当时，， ，解得，或 当时，得，解得；当时，当时，y随x增大而减小，则，当时，， ，解得，或当时，得，解得，即可． 【详解】（1）①∵二次函数（m为常数）， ∴当时，该函数的图像开口向上， 正确． ②∵   ∴该函数的图像的对称轴是直线， 不正确． ③令，则， ∴函数的图像一定经过， ∵，两点关于对称轴对称， ∴函数的图像一定经过，两点， 正确． 故答案为：①③． （2）解：∵点在函数图像上， ∴的对称点为， 若， ∵当时，y随x增大而增大， ∴， ∵， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴； 或当时， ， ∴， 不合； 若， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴； 或当时， ， ∴， 不合． 综上， 或． 7．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】（1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 题型二 二次函数的图象与系数的关系 8．（2023·江苏南京·一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＜0，c＜0 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴当x=0时，y=c＞0， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，注意数形结合思想的运用． 9．（2022·江苏南京·一模）如图，抛物线与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由二次函数图象的性质逐一判断． 【详解】解：开口向上则，与y轴交点在原点下方，， 故①正确； 对称轴为，与x轴一个交点是（4，0），则另一个交点为，则点在x轴下方， 故②正确； 时，图象在对称轴右侧，开口向上，y随x的增大而增大， 故③正确； 图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，对称轴，增减性，与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图像与各系数的关系，对称轴，增减性是解题的关键． 10．（2024·江苏南京·二模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴交于点A，对称轴为直线．下面结论：①；②；③；④(m为实数)．其中正确的是 ．(只填序号)    【答案】①③ 【分析】根据二次函数的对称性及二次函数的图象与系数的关系，结合二次函数与x轴的交点，逐个选项作出判断即可． 【详解】解：由图象可得， ，， ∴， 则，故①正确； 函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵二次函数的最小值为， ∴， ∴，故④错误． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 11．（2024·江苏南京·一模）如图是二次函数图象一部分，对称轴为且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．其中正确的是 ． 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对①进行判断；由于经过点，则得到，则可对③进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对②进行判断；通过点和点离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以（其中，由代入则可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①正确； 抛物线经过点， 时，， ，所以③错误； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，方程的两个根为2或， 由根与系数的关系可得， ， ，所以②错误； 点离对称轴要比点离对称轴要远，且， ，所以④正确． 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最大值， （其中， （其中， ， ， ，所以⑤正确； 故答案为①④⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 12．（2023·江苏南京·二模）已知二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，，．对于下列四个结论： ①； ②； ③方程的解为，； ④对于任意实数，总有． 其中正确的结论是 ．（填写序号）． 【答案】②③/③② 【分析】根据二次函数的开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大可判断①；由对称轴为 可得 它的图象经过点， 从而可判断②；由二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，可得抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 从而可判断③；当时，函数取得最小值 从而可判断④． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴函数图象的开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大，对称轴为直线 ∵它的图象经过点，， 而 ∴ 故①不符合题意； 由对称轴为 可得 ∵它的图象经过点， ∴ ∴ 故②符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为： ∴方程的解为，；故③符合题意； 当时，函数取得最小值 ∴对于任意实数有 即 故④不符合题意； 故答案为：②③ 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练的利用二次函数的性质“判断代数式的符号，判断方程的根，代数式的最值”是解本题的关键． 13．（2022·江苏南京·二模）（新情境）已知二次函数（是常数，且）的图像的对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点在和（不包括这两点）之间，则下列结论：①；②一元二次方程有两个不相等的实数根；③函数可取得最大值；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数对称轴、顶点、开口方向、特殊点等性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：①对称轴为直线，即，得出同号； 与轴的交点在和（不包括这两点）之间，得出； ，故①正确； ②由对称性得，与轴的两个交点为，且图像与轴交于正半轴， 则图像开口向下，即， 由下图可知，和有两个不同的交点，故②正确； ③将代入解析式，得，结合，得出， ，故③错； ④，， ，故④正确． 【点睛】此题主要考查了二次函数的有关性质，涉及到对称轴、开口方向、顶点、图像与系数的关系等基础知识，熟练掌握相关基础知识和性质是解题的关键． 14．（2025·江苏扬州·一模）如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由二次函数图象可知， ∵该二次函数对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知，当时，，即． ∵， ∴，故②正确； 当时，y取得最小值， ∴，即，故③正确； 当时，， ∴顶点坐标为， 根据题意得， 即将位于x轴下方的图像向上翻折， ∴翻折后的顶点坐标为， ∵若关于x的方程恰有三个解， ∴即函数与恰有三个解， 即恰好经过向上翻折后的图像的顶点， ∴， ∵， 代入得到，则， 故④正确； 综上可知正确的结论为①②③④， 故答案为：①②③④． 题型三 二次函数的最值 15．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，则，，根据勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出当最小时，的值，据此即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， ，， ， ， ∴当时，最短，此时点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，二次函数的性质，表示出的长度是解题的关键． 16．（2025·江苏南京·一模）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵, ∴当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 17．（2025·江苏南京·一模）（新情境）在数学课上，刘老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（为常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，二次函数的最值问题，先把（是常数）变形，再对比求出，的值，最后进行相加，计算出最小值，解题的关键是利用配方法和非负数的性质来解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 18．（2024·江苏南京·三模）如图，在中，，，．点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且，是线段的中点，运动过程中，的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，由直角三角形的性质可得，可知当取最小值，则取最小值，设，则，可得，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握直角三角形和二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 当取最小值，则取最小值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 19．（2024·江苏南京·三模）如图，在中，，，足够长，点D，E分别在边，上，F为的中点，若，则的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由直角三角形斜边上的中线的性质得到，设，则，则对运用勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，F为的中点， ∴，， ∴， 当时，取得最小值为8， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 20．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. （1）把代入，求出顶点坐标即可； （2）把变形为,即可求出定点坐标； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， ∴函数的图象的顶点坐标； （2）解：， ∴当 时, ， 当时, , 当时, , ∴该函数的图象总经过点和； （3）∵二次函数的对称轴为， ∴点的对称点坐标为， 当时, ∵二次函数的对称轴为， ∴点在线段上，即， ∴； 当时,点在抛物线内， 即时, , 则满足题意， 此时, 解得， 故； 若该函数顶点在线段上时，即方程有两个相等时实数根， ∴ 解得， 综上所述，m的取值范围为或或． 21．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，． (1)当时，求的值； (2)当，且时，求的取值范围； (3)线段长的最小值为　　． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，利用数形结合是解决本题的关键． （1）把代入得，可得，即可求解； （2）把代入得，把代入得，分类讨论，利用数形结合思想即可解决； （3）先表示出，再由一元二次方程根于系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， ∵ 图像与x轴的公共点为，， ∴． ∵， ∴； （2）解：把代入得，      把代入得， 当时，则， ∴． 当时，则， ∴． 综上所述，m的范围是：或； （3）解：把代入得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型四 二次函数的平移 22．（2024·江苏南京·模拟预测）二次函数的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的图像的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移．熟练掌握二次函数图像的平移是解题的关键． 根据二次函数图像的平移求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的图像的函数表达式为， 故答案为：． 23．（2023·江苏南京·一模）若二次函数有最大值6，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值，根据向上平移4个单位即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数有最大值6， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称 ∴的顶点坐标为，且开口向上， ∵向上平移4个单位得到： 此时顶点坐标为，则最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 24．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围； (3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）依据题意，由（1）可得二次函数为，从而当时，y取最小值为，结合当时，；当时，，然后判断即可解答； （3）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时和当时两种情形解答即可． 【详解】（1）解：由题意：将点代入可得： ，解得：． （2）解：由（1）可得二次函数为， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：由题意，∵二次函数为， ∴可设向右平移后得到的新函数为． ∴新抛物线的对称轴是直线， ①当时，即， 又∵若当时，，则或（不合题意，舍去）； 若当时，，则（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴． ②当时，即， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去． 综上，． 答：平移的距离为3． 25．（2024·江苏南京·二模）（新情境）已知函数（为常数）． (1)若，，求该函数图像与轴的两个交点之间的距离； (2)若函数的图象与轴有两个交点，将该函数的图像向右平移个单位长度得到新函数的图象，且这两个函数图象与轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等． 若函数的图象如图所示，直接写出新函数的表达式； 若函数的图象经过点，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)或；或或或． 【分析】（）用待定系数法求出函数解析式，再求出与轴的交点坐标，二者相减取绝对值即可； （）利用待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，根据新函数的对称轴是将原函数的对称轴向右平移与轴的两个交点 1 之间距离的倍或倍解答即可求解； 根据值为函数与轴的两个交点之间距离的倍 或2倍，结合点在函数图象上，列出方程组解答即可； 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则有， 当时，， 解得或， ∴该函数图象与轴的两个交点之间的距离为； （2）解：将和代入得， ， 解得， ∴， ∴， 若，则的对称轴为， ∴， 即； 若时，则的对称轴为， ∴， 即 ； ∴新函数的表达式为或； 将点代入，得 ， 设和分别为函数与 轴的交点坐标， ∴，， ∴， ∴， 当时，有， ∴， ∴， 解得或； 当，有， ∴， ∴， 解得或； 综上，的值为或或或． 26．（2024·江苏南京·三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：抛物线向下平移个单位后解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，， 解得，此时抛物线与只有1个交点； ②当抛物线经过点时，， 解得， 当抛物线经过时，， 解得，    根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点， ∴时，满足题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，准确计算． 27．（2023·江苏南京·二模）（新情境）我们在研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质．在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图像．利用此方法对函数进行探究． 绘制图像： （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图像． 观察探究： （2）结合图像，写出该函数的一条性质：______． （3）方程的解是______． （4）若关于x的方程有两个不相等的实数解，则b的取值范围是______． 延伸思考： （5）将该函数的图像经过怎样的变换可以得到函数的图像？写出变换过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）此函数的函数值最大为0（答案不唯一）（3）或；（4）或；（5），函数经过向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数的图像，当时，或 【分析】（1）利用描点法画函数图象即可； （2）根据（1）所画函数图象求解即可； （3）直接解方程即可； （4）分别求出当直线恰好经过（0，-4）时，则，当，当直线与函数恰好只有一个交点时，；当，当直线与函数恰好只有一个交点时，，结合函数图象即可得到答案； （5）根据图象的平移规律“左加右减，上加下减”结合函数图象进行求解即可． 【详解】解：（1）列表得： x … -3 -2 0 2 3 … … -1 0 -4 0 1 … 函数图象如下所示： （2）由（1）中函数图象可知，此函数的函数值最大为0（答案不唯一）； （3）∵方程， ∴， ∴， 解得或， ∴或； （4）如图所示，当直线恰好经过（0，-4）时，则， ∴结合函数图象，当时，直线与函数有两个不同的交点， ∴当时，关于x的方程有两个不相等的实数解； 当，当直线与函数恰好只有一个交点时， ∴，即， ∴， 解得； 同理当，当直线与函数恰好只有一个交点时，求得， ∴当时，直线与函数有两个不同的交点， ∴当时，关于x的方程有两个不相等的实数解； 综上所述，当或时，关于x的方程有两个不相等的实数解； （5）如图所示，函数经过向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数的图像，当时，或． 【点睛】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数与一次函数综合，二次函数的平移，二次函数的性质等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 28．（2023·江苏南京·一模）（新情境）阅读下面的问题及解决途径． 结合阅读内容，完成下面的问题． (1)填写下面的表格． (2)将函数y＝－2x2＋3x＋1的图像沿y轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为 ． (3)将函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）阅读题干材料，弄清题中材料中图形平移的规律，“左加右减”进行求解即可； （2）根据二次函数图像与几何变换，将换成，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论； （3）利用图像向左平移、关于轴翻折、绕坐标原点旋转的规律进行解答． 【详解】（1）解：设平移后新的函数图像上任意点的坐标为， 将点向右平移1个单位长度得点 平移后的图像对应的函数表达式为：， 故答案为：，，； （2）解：将二次函数的图像沿着轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是，即， 故答案为：； （3）解：将(a，b，c是常数，a≠0)的图像先向左平移1个单位长度， 得， 再沿y轴翻折， 得， 即， 最后绕原点旋转180°， 得， 整理得：， 故答案为：． 答：所得到的图像对应的函数表达式． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，绕原点旋转、二次函数的平移、关于，轴翻折的变化规律，解题的关键是明确关于轴对称的点的横坐标化为相反数． 题型五 二次函数与方程、不等式 29．（2023·江苏南京·一模）已知二次函数 (m为常数)，它的图像与x轴的公共点个数的情况是（   ） A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．没有公共点 D．无法确定 【答案】A 【分析】直接根据二次函数的解析式求解判别式即可． 【详解】由题意得，判别式， ∴二次函数 (m为常数)，它的图像与x轴有两个公共点， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 30．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（是正整数）图像经过点，且与轴有两个不同的交点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，明白“在已知两个三元一次方程的时候，要善于用一个字母表示其它的字母，根据其中一个字母的取值范围来确定要求的代数式的取值范围”是解题的关键．根据已知条件得到关于，，的方程组，用表示和，根据与轴有两个不同的交点，求得的取值范围，再进一步分析求出的最大值 【详解】解：把，代入，得：， 整理得：， ∵二次函数（是正整数）图像与轴有两个不同的交点， ∴， ∴， ， ， ∴或， 解得：或， 又∵是正整数， ∴， ∵， ∴， ， ∴的最大值为， 故答案为：． 31．（2024·江苏南京·二模）二次函数（是常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 ．    【答案】或 【分析】利用图象法解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 将不等式转化为两个函数：与的交点问题， 由图可知：点在抛物线， 又∵满足直线的解析式， ∴两个函数的交点坐标为：，    由图象可知：当或时，， ∴不等式的解集是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．解题的关键是将不等式转化为二个函数图象交点的问题，利用数形结合的思想进行求解． 32．（2024·江苏南京·一模）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键． 过作轴于点，可求，设出各点坐标，则，，重新设抛物线表达式为，代入点C即可求解． 【详解】解：过作轴于点． 由题意可知， ， ， 设，则，， 抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， 故答案为：． 33．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，则当和时，函数值相等，从而确定m的值； （2）设顶点式，然后把代入求出a即可； （3）先确定抛物线和直线的交点坐标为，，然后利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， ∵时，， ∴； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式可设为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （3）解：联立， 解得：或， ∴抛物线和直线的交点坐标为，， 如图，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上面， ∴关于x的不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法求二次函数解析式． 34．（2025·江苏南京·模拟预测）（新情境）数、形二法“战”不等式！ (1)解不等式时，根据“两数相乘，同号的正，异号得负”可得x应满足不等式组①或②． 解不等式组①，得 ，解不等式组②，得 ． 所以，不等式的解集是 ． (2)已知函数的大致图象如图所示，根据图象，可得不等式的解集是 ． 【答案】(1)，，或 (2)或 【分析】本题考查了本题考查二次函数与不等式（组，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式的解集． （1）解不等式组即可得到结论； （2）根据函数图象可以直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：①， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 则解不等式组①，得， ②， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 解不等式组②，得． 所以，不等式的解集是或； 故答案为：，，或； （2）解：由图象知，不等式的解集是或， 故答案为：或． 35．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，拋物线存在两点． (1) ； (2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出的值，从而可得点的坐标，再利用两点之间的距离公式计算即可得； （2）根据一元二次方程根的判别式可得关于的一元二次方程没有实数根，由此即可得证； （3）先求出，，再设点关于对称轴的对称点为点，则，分两种情况：①和②，得出点的纵坐标的最大值与最小值，建立不等式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将代入得：， 将代入得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为 ， ∴这个一元二次方程没有实数根， ∴不论为何值，函数的图象与轴没有公共点． （3）解：由（1）已得：， ∴， 将点代入得：， ∴， 二次函数化成顶点式为， ∴其对称轴为直线，顶点坐标为， 设点关于对称轴的对称点为点，则， ∴抛物线在之间的部分上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为． 则分以下两种情况： ①如图，当点在点左侧时，，即， 此时在图形内，随的增大而减小， ∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ∴，即， 令，则当时，，解得或， ∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线， ∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去）， ∴此时的取值范围是； ②如图，当点在点右侧时，，即， 此时在图形内，点的纵坐标最大，顶点的纵坐标最小， ∴，即， 令，则当时，，解得或， ∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线， ∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去）， ∴此时的取值范围是； 综上，的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间的距离公式、利用二次函数解不等式，二次函数与一元二次方程等知识，难度较大，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 题型六 二次函数的图象交点问题 36．（2024·江苏南京·一模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上． (1)写出该函数图象的对称轴； (2)已知点． ①若函数图象恰好经过点，求的值； ②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为 (2)①；②或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算，图形交点的计算方法是解题的关键． （1）根据点的平移即对称轴的计算方法即可求解； （2）①根据二次函数的对称轴，可得，结合二次函数过点，即可求解；②根据二次函数图象的性质可得顶点坐标为，分类讨论，当时，点在二次函数图象上；当时，点在二次函数图象上；图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：二次函数图象与轴交于点，则， ∵点向右平移个单位长度得到点，点 恰好也在该函数的图象上， ∴， ∴该函数图象的对称轴为， ∴对称轴为； （2）解：①∵二次函数图象的对称轴为， ∴， ∵二次函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得，； ②根据题意，， ∴二次函数解析式为， ∴当时，，即顶点坐标为； 当时，，即二次函数与轴的交点为； 当时，， 解得，； ∴当时，如图所示，    ∴点在二次函数图象上， ∴， 解得，， ∴当时，二次函数与线段只有一个交点； 当，如图所示，    ∴点在二次函数图象上， ∴， 解得，， ∴当时，二次函数与线段只有一个交点； 综上所示，的取值范围为：或． 37．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（，且为常数） (1)若，求证：该二次函数图象与轴有两个公共点； (2)该函数一定经过两个定点，分别是 ， ； (3)若该二次函数的图象与函数有不少于两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)，； (3)的取值范围为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）根据二次函数与一元二次方程的联系即可求解； （）先令，然后解一元二次方程即可； （）根据图象分情况即可； 【详解】（1）证明：由， ∵， ∴， ∴该二次函数图像与轴有两个公共点； （2）解：， 当时，都有， ∵， ∴或， 该函数一定经过两个定点，分别是，， 故答案为：，； （3）解：如图，时，不少于两个交点， 如图， 当经过时，， 解得：， ∴当时，不少于两个交点， 综上可知：的取值范围为或． 38．（2024·江苏南京·一模）已知二次函数 ． (1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点； (2)若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且 ，求证 (3)若，，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先求出，然后利用不等式的性质证明即可； （2）利用根与系数的关系得出，，结合，求出， ，然后代入，整理即可得证； （3）分对称轴在y轴左侧和右侧讨论，分别画出草图，结合图象列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 又， ∴，即， ∴该函数的图像与x轴总有两个公共点； （2）解∵该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为 ∴，是的两个根， ∴，， 联立方程组， 解得， 把代入，得， 整理得； （3）解：∵，都在该二次函数的图像上， ∴抛物线的对称轴为， 当，即时， ∵， ∴画出草图，如下： 或 此时B的横坐标小于0，不符合题意，舍去； 当，即时， ∵， ∴画出草图，如下： ∴，解得； 或 ∴，解得， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，明确题意，合理分类讨论，画出函数图象，数形结合列出不等式组是解答第（3）的关键． 39．（2024·江苏南京·模拟预测）已知函数（a是常数）． (1)若该函数的图象与x轴只有1个公共点，求a的值； (2)当时，设该函数图象的顶点为M，与y轴交点为C，平面直角坐标系原点为O，若点C关于的对称点恰好在x轴上，直接写出a的值． 【答案】(1)或 (2)当或时，点C关于的对称点恰好在x轴上． 【分析】本题主要考查了二次函数系数与函数图象的关系． （1）需考虑为0和不为0的情况，当时图象为一直线；当时图象是一抛物线，由判别式判断； （2）先求得抛物线的顶点为，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点C关于的对称点的坐标为或，根据两对称点的中点在直线上，求解即可． 【详解】（1）解：当时，函数为，它的图象显然与轴只有一个交点； 当时，依题意得方程有两相等实数根， ∴， ∴， ∴当或时函数图象与轴只有一个交点； （2）解：∵， ∴顶点为， 令，则， ∴， ∵点C关于的对称点恰好在x轴上， ∴这个对称点的坐标为或， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 和的中点坐标为，在直线上， ∴， 解得； 和的中点坐标为，在直线上， ∴， 解得； ∴当或时，点C关于的对称点恰好在x轴上． 40．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴． (2)求证：当时，该函数图象与轴的两个交点均在正半轴． (3)点、在该函数图象上，直接写出与的大小关系及相应的的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)见解析 (3)当或时，；或时，． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，抛物线对称轴是直线，即可得解； （2）依据题意，令，从而可得或，故该函数图象与轴的两个交点为，，又，则，从而，进而可以判断得解； （3）依据题意，对称轴是直线，又点、在该函数图象上，故可得，，进而再根据和分别讨论计算可以得解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）证明：由题意，令． 或． 该函数图象与轴的两个交点为，． ， ． ． ，． ． 该函数图象与轴的两个交点均在正半轴； （3）解：由题意，对称轴是直线， 又点、在该函数图象上， ，． ①当时，若，即点离对称轴比点离对称轴远， ． 若， ． ． 此时． 若， ． ． 此时． 综上，时，． 当时，若，即点离对称轴比点离对称轴近， ． 若， ． ． 此时． 若， ． ． 此时． 综上，或时，． ②当时，若，即点离对称轴比点离对称轴远， ． 此时， ，不合题意． 当时，若，即点离对称轴比点离对称轴近， ． 此时， ． 时，． 综上所述，当或时，；或时，． 41．（2024·江苏南京·一模） 已知二次函数 （m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴，与y轴的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式． （1）令，即可把二次函数化为一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）先求出二次函数与y轴的交点坐标为，则当时，，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：令，则 ∴ ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）∵二次函数的解析式为， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， ∵当时，， ∴当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 42．（2024·江苏南京·模拟预测）（新情境）已知二次函数（a为常数且）． (1)求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点 (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9． ①直接写出a的取值范围； ②若a为负整数，则函数的图像与函数的图像的交点个数随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2)①或； ②当时， 当时，函数的图像与函数没有交点； 当时，函数的图像与函数有1个交点； 当或时，函数的图像与函数有2个交点； 当时，函数的图像与函数有3个交点； 当时，函数的图像与函数有4个交点． 当时， 当时，函数的图像与函数没有交点； 当时，函数的图像与函数有1个交点； 当或时，函数的图像与函数有2个交点； 当时，函数的图像与函数有3个交点； 当时，函数的图像与函数有4个交点． 【分析】（1）令，得到一元二次方程，证明即可； （2）①当，，则 与x轴交于，由或，得或； ②讨论和的情况，逐个画图，找临界状态即可，重点在于画出函数的图像． 【详解】（1）解：当，则，， ∵， ∴， ∴不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点； （2）①当，， ∴ 与x轴交于， ∵或， ∴或； ②当时， 第一种情况，直线经过时，得， ∴时，函数的图像与函数有一个交点，如图示：    第二种情况：时，函数的图像与函数没有交点； 第三种情况：直线经过时，则，此时有3个交点，如图示：    第四种情况：当时，有2个交点，如图示：    当直线与函数相切时，有2个交点，如图示：    联立直线与函数 得， ∴，由得：， ∴第五种情况：时，直线与函数有2个交点； 第六种情况：当，有4个交点，如图示：    第七种情况：当时，有2个交点，如图示：    综上，当时， 当时，函数的图像与函数没有交点； 当时，函数的图像与函数有1个交点； 当或时，函数的图像与函数有2个交点； 当时，函数的图像与函数有3个交点； 当时，函数的图像与函数有4个交点． 当时， 同理可求： 当时，函数的图像与函数没有交点； 当时，函数的图像与函数有1个交点； 当或时，函数的图像与函数有2个交点； 当时，函数的图像与函数有3个交点； 当时，函数的图像与函数有4个交点． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与x轴交点问题，与直线的交点问题，与不等式的关系，题目综合性强，难度大． 题型七 二次函数的求参问题 43．（2025·江苏南京·一模）（新情境）如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可设，且，然后分别求出当，，时，路程与运动时间之间的函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 44．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，动点M从点A出发以的速度沿折线运动到点C停止．连接，作交于点N．设点M运动时，长为，则y关于t的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分点M在和上运动两种情况，分别根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质求出函数解析式，最后根据函数解析式判断即可． 【详解】解：①当点M在边上时，即， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即， 此时，图象为一次函数； ②当点M在边上时，即，则，， 如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，，，， ∴， 此时，图象为二次函数，最大值为； 只有D选项中图象符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象等知识点，根据题意确定函|数解析式是解答本题的关键． 45．（2025·江苏南京·一模）（新情境）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【分析】根据当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点可知点Q的速度是点P速度的3倍，进而可判断②正确；由图象可知，2秒后点Q到达点B，进而求出菱形的边长，可判断①正确；当点Q到达点C时，的面积最大，求出此时的面积可判断③正确；当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，．证明，求出，的面积为，设曲线段的函数解析式为，把代入求出函数解析式可判断④正确． 【详解】解：∵动点，同时从点出发，同时到达点D， ∴点Q的速度是点P速度的3倍， ∵点以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点的运动速度为每秒3个单位长度，故②正确； 由图象可知，2秒后点Q到达点B， ∴，即菱形的边长为6，故①正确； 作于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即时，的面积为5，此时， ∴， ∴， ∴， 当点Q到达点C时，的面积最大，此时，，的面积为，即当时，，故③正确； 当点Q运动到点D时，， 当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 设曲线段的函数解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴，故④正确． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，从函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． 46．（2024·江苏南通·一模）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 47．（2025·江苏宿迁·一模）（新情境）如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为 ． 【答案】 【分析】先由矩形性质得到，，进而证的，证明得到，即，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由图象知， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∴点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 48．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，三角形中位线定理以及抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，确定点的运动轨迹是解题的关键．由题意可知点在以为圆心，2为半径的半圆上，则点在以为圆心，1为半径的半圆上，的最小值为，求出即可求解． 【详解】解：如图，作直线，则为抛物线的对称轴，取的中点，连接，，    令，则， 解得或， ∴，， ∵为的中点，， ∴，， ∵， ∴顶点， ∴，， 由中位线的性质可得：， ∴点在以为圆心，1为半径的半圆上运动， 连接交于， ∴， 如图，当A、G、F三点共线时，即与重合，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 49．（2023·江苏宿迁·二模）已知，动点在矩形的边上，过点作的垂线，交于点，，，在点从点出发沿方向运动到点的过程中，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】设OP＝x，则PA＝4－x，证明△OQP∽△APB，根据相似三角形的性质求出，利用二次函数的性质可得OQ的最大值，进而可得的最小值． 【详解】解：设OP＝x，则PA＝4－x， ∵四边形是矩形， ∴∠O＝∠A＝90°，AB＝OC＝3， ∴∠OPQ＋∠OQP＝90°， ∵PQ⊥PB， ∴∠BPQ＝90°， ∴∠OPQ＋∠BPA＝90°， ∴∠OQP＝∠BPA， ∴△OQP∽△APB， ∴，即， ∴， ∵， ∴当x＝2时，OQ有最大值，此时CQ有最小值，BQ有最小值， ∴此时CQ＝，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值以及勾股定理的应用等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，表示出OQ的长是解题的关键． 题型八 二次函数与几何综合 50．（2024江苏南京·阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】P为中点，D为中点，所以是的中位线，则，当最大时，则最大．由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，最大，分别求出B、C的坐标，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，如图所示：    ∵P为中点，D为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， 由圆的性质可知，当G、C、B三点共线且点在上时，最大， 把代入得：， 解得：或， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴， ∴， ∵半径为2， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、三角形的中位线定理、勾股定理，一点到圆上一点的最值问题等等，通过构造三角形中位线把求的最大值转换成求出的最大值是解题的关键． 51．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 52．（2024·江苏苏州·二模）（新情境）已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．的面积与的面积相等时，m的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出点和点的坐标，根据的面积与的面积相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：， 当时，， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， 解得：或或； 故答案为：或或 53．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，，其中对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，连接，过点P作，垂足为H，先解直角三角形求出，进而得到，则要使的值最小，只要使的值最小，此时H、P、D在同一条直线上，且，再解直角三角形即可． 【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为H， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， 要使的值最小，只要使的值最小，此时H、P、D在同一条直线上，且． 二次函数图象的对称轴为， ． 在中，，，， 的最小值为， 故答案为：． 54．（2025·江苏苏州·一模）（新情境）已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，三角形面积，熟练掌握相关知识得是解题的关键． （1）令，则，解得，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得到，得到，即可得到答案； ②由抛物线解析式得到，得到，求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，得到，，，，求出的面积，得到的面积． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ； （2）解：①抛物线的对称轴为直线， ，， 抛物线解析式为， 故答案为：； ②抛物线解析式为， ， 令，则， 解得或， 点在点左侧， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， ，，，， ， 的面积， 的面积． 55．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将、两点代入抛物线， 则， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：将代入中，则， ∴， 又∵， 设直线的解析为， 则，解得：， ∴直线的解析为， 设，则， ∴， ∵，且， ∴当时，线段有最大值为； （3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与相似， ∴或， ∵， . ∴， 设，则， ∴， ∴或， 解得(P与C重合，舍去)或或， 当时，， 当，时，，, ∴.P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用， 56．（2024·江苏·模拟预测）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①6 ，②存在； 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的图象和性质． （1）把代入即可解答； （2）①设直线l与交于点F，用待定系数法求出抛物线的解析式为，则，，再求出直线的解析式为，则，进而得出，最后根据的面积即可解答；②设直线交x轴于H，则，通过证明，得出，根据得出函数关系式，结合二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点， ∴代入得：， 化简得：； （2）解：①如图1，设直线l与交于点F，    把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，点P为抛物线顶点， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴的面积， ②存在最大值，理由如下： 如图2，设直线交x轴于H，    由①得，，，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$