期末真题必刷计算110题（11大计算题型专练）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

期末真题必刷计算110题（11大计算题型专练） · 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 幂的混合运算 · 题型二 幂的新定义运算 · 题型三 由幂的运算确定字母关系计算 · 题型四 整式的乘法计算 · 题型五 乘法公式 · 题型六 乘法公式的变形计算 · 题型七 二元一次方程组的计算 · 题型八 二元一次方程组的含参计算问题 · 题型九 一元一次不等式（组）的计算 · 题型十 一元一次不等式（组）的含参计算 · 题型十一 一元一次不等式（组）的新定义计算 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 计算题型一 幂的混合运算（共10小题） 1．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算 (1) (2)； 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 4．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1) (2) 5．（2025七年级下·江苏苏州·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 6．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 7．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）计算． (1) ； (2) ． 8．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2) 9．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（2023八年级上·江苏·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 计算题型二 幂的新定义运算（共10小题） 11．（24-25七年级下·江苏南京·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故， 则，即． (1)根据上述规定，填空：_______；________． (2)计算______，并说明理由． 13．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 14．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 16．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． (2)当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 19．（2025七年级下·江苏·专题练习）新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若，求e与f的数量关系． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 计算题型三 由幂的运算确定字母关系计算（共10小题） 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）已知，，，那么a，b，c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25·七年级下·江苏无锡·阶段练习）若是正整数，且满足，则下列与关系正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 25．（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，，则代数式与之间关系是 ． 26．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 27．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如果，那么我们规定．例如，因为，所以． （1）根据上述规定填空： ； （2）记，，，则，，之间的等量关系 ． 28．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[应用]若，，，试求a，b，c之间的等量关系． 29．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如果，那么我们规定．例如；因为，所以． (1)根据上述规定填空：______，______； (2)记，，．判断，，之间的等量关系，并说明理由． 30．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：　　　　　，　　　　； (2)【应用】若，试求之间的等量关系． 计算题型四 整式的乘法计算（共10小题） 31．（23-24七年级下·江苏南京·期末）计算：． 32．（24-25七年级下·江苏·课后作业）计算： (1)； (2)（是正整数）； (3)； (4)． 33．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 35．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 36．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 37．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算：． 38．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算∶ (1)； (2) 39．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 40．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) 计算题型五 乘法公式（共10小题） 41．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算：． 43．（24-25·七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算： 44．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）计算： 45．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 46．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 47．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 48．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 49．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) 50．（2025七年级下·全国·专题练习）用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 计算题型六 乘法公式的变形计算（共10小题） 51．（2025·江苏无锡·一模）已知．求下列各式的值： (1)； (2) (3) 52．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知， (1)求的值 (2)求的值 53．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，求的值． 54．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）阅读理解： 已知，求的值． 解：因为， 所以，即． 因为， 所以． 参考上述过程解答下列问题： (1)若． ①________； ②求的值； (2)已知，，求的值． 55．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，，求下列各式的值： (1)； (2)． 56．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知：，．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 57．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 58．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值； 59．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）我们学过很多数学公式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．根据你所学的知识解决下列问题： (1)若，求出的值； (2)若，求出的值． 计算题型七 二元一次方程组的计算（共10小题） 61．（24-25七年级下·重庆潼南·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 62．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）解方程组： (1)； (2)． 63．（24-25七年级下·山东德州·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 64．（23-24七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 65．（23-24七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列二元一次方程组： (1) (2) 66．（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组： (1) (2) 67．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1)； (2)． 68．（24-25七年级下·重庆开州·期中）解方程组 (1) (2) 69．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1) (2) 70．（24-25七年级下·山西长治·期中）解方程（组）： (1)； (2)． 计算题型八 二元一次方程组的含参计算问题（共10小题） 71．（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 72．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 73．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 74．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于 x、y的方程组，给出下列说法： ①当时，x、y的值都相等；    ②当时，x、y的值互为相反数； ③无论a为何值，y的值都不变；    ④若，则． 其中说法正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 75．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 76．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知关于的方程组，若，则的值为 ． 77．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确结果，后来发现●，★处被墨水污损了，●，★两处的值分别是 ． 78．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 79．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值． 80．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 计算题型九 一元一次不等式（组）的计算（共10小题） 81．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式（组） (1)解不等式； (2)解不等式组 ，并把解集表示在数轴上． 82．（2025·浙江杭州·一模）用数轴解不等式组． 83．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组并写出它的整数解． 84．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1)； (2)． 85．（2025·陕西西安·模拟预测）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 86．（2025·浙江金华·二模）下面是小亮解不等式的过程： 解：去分母，得① 移项，得② 合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程． 87．（24-25七年级下·全国·课后作业）解一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 88．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集． 89．（24-25七年级下·四川泸州·期末）解不等式：． 90．（24-25七年级下·云南昆明·期中）解下列不等式或不等式组． (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 计算题型十 一元一次不等式（组）的含参计算（共10小题） 91．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 92．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 93．（24-25八年级下·广东深圳·期中）关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 94．（24-25七年级下·北京通州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 95．（2025年黑龙江省牡丹江市初中学业水平考试第一次适应性考试数学试题）关于的不等式组的解集为，则所有正整数的和为 ． 96．（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 97．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 98．（24-25八年级下·江西九江·期中）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 99．（甘肃省白银市2024-2025学年下学期期中八年级数学试卷）若关于x的不等式组的解集为，求的值． 100．（24-25七年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集为，求m的取值范围． 计算题型十一 一元一次不等式（组）的新定义计算（共10小题） 101．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）定义新运算：对于任意数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求的值； (2)若的值小于16而大于10，求x的取值范围． 102．（23-24七年级下·全国·课后作业）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求x的值； (2)若，求x的取值范围． 103．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 104．（24-25七年级下·四川广安·期末）请你根据方框内所给的内容，完成下列各小题． 我们定义一个关于有理数，的新运算，规定： ． 例如：． (1)若，，分别求出和的值； (2)若满足，且，求的取值范围． 105．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如，，，． (1)______． (2)如果，那么的取值范围是______． (3)如果，求的取值范围． 106．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．． (1)若，则______． (2)若关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 107．（24-25七年级下·河南三门峡·阶段练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中，是不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 108．（24-25八年级下·山西运城·期中）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 109．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）【定义】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在不等式①，②， ③中，是的“相斥不等式”的有______（填序号）； (2)若关于x的不等式是的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； (3)若是关于x的不等式（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 110．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$期末真题必刷计算110题（11大计算题型专练） · 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 幂的混合运算 · 题型二 幂的新定义运算 · 题型三 由幂的运算确定字母关系计算 · 题型四 整式的乘法计算 · 题型五 乘法公式 · 题型六 乘法公式的变形计算 · 题型七 二元一次方程组的计算 · 题型八 二元一次方程组的含参计算问题 · 题型九 一元一次不等式（组）的计算 · 题型十 一元一次不等式（组）的含参计算 · 题型十一 一元一次不等式（组）的新定义计算 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 计算题型一 幂的混合运算（共10小题） 1．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了幂的运算法则和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过同底数幂相乘和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）把看作整体，再用幂的乘方和合并同类项进行解答； （3）变形后逆用积的乘方进行计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘法最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算 (1) (2)； 【答案】(1) (2)8 【分析】此题主要考查了整式的混合运算以及实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用，有理数的乘方，零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂和幂运算，把握运算规则是解题关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，乘方，再合并即可； （2）先算积的乘方，同底数幂的除法，化简后在算加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，负整数指数幂，零指数等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 5．（2025七年级下·江苏苏州·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 6．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算幂的乘方，再算乘除即可； （2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2） 7．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）计算． (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； （1）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘除法则计算即可； （2）计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： ． 8．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 9．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的除法运算，实数的加减运算，解题的关键是熟练掌握相关的幂的运算法则， 根据有理数指数幂的运算法则进行计算或化简即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 10．（2023八年级上·江苏·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方以及同底数幂的乘法，再算减法即可； （2）先计算幂的乘方再算减法即可； （3）先计算幂的乘方再算加、减法即可； （4）观察底数的特征，利用幂的运算法则将底数转化进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 计算题型二 幂的新定义运算（共10小题） 11．（24-25七年级下·江苏南京·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 【答案】(1)96 (2) (3)21 【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用等知识，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，再计算有理数的乘方即可得； （2）根据新运算的定义和同底数幂乘法的逆用可得，则可得，由此即可得； （3）先根据新运算的定义可得，再利用同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵运算的结果为108， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：21． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故， 则，即． (1)根据上述规定，填空：_______；________． (2)计算______，并说明理由． 【答案】(1)0；3 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义，零指数幂，同底数幂乘法计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义求解即可； （2）设，根据新定义可得，则可得到，可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：，理由如下； 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算代入求解即可； （2）根据新定义得到，再根据同底数幂的乘法得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：． 14．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． （1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，得出，进而结合定义，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形得出，，比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴， ∵ ∴ 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 16．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． (2)当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了同底数幂相除，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合幂的定义证明同底数幂的除法法则，即可作答． （2）运用负整数指数幂运算法则验证，即可作答． 【详解】（1）证明：，、是正整数， ， 即（，、是正整数，）； （2）解：，、是正整数 ∴， ， 故． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 19．（2025七年级下·江苏·专题练习）新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若，求e与f的数量关系． 【答案】(1)2，4 (2)见解析 (3)当为奇数时，当为偶数时， 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）证明：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当为奇数时,； 当为偶数时，； 综上所述，当为奇数时，当为偶数时，． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 计算题型三 由幂的运算确定字母关系计算（共10小题） 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解∶∵，，， 即， ． 故选：D． 22．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）已知，，，那么a，b，c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键在于熟练掌握同底数幂乘法法则．由，得，两边都乘以6得，进而可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选D． 23．（24-25·七年级下·江苏无锡·阶段练习）若是正整数，且满足，则下列与关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据同底数幂的运算法则可将原式变形为，即为，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即； 故选：C. 24．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 25．（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，，则代数式与之间关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点．利用幂的乘方和积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断． 【详解】解：，, ， ， ，②关系成立； ， ，①关系成立； ， ，③关系成立； 则①②③成立， 故答案为：①②③． 27．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如果，那么我们规定．例如，因为，所以． （1）根据上述规定填空： ； （2）记，，，则，，之间的等量关系 ． 【答案】 0； ． 【分析】本题考查新定义运算和同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）根据，然后结合新定义运算求解即可； （2）首先根据题意得到，，，进而得到，即可求出． 【详解】（1）∵， ∴； （2）由题意可得，，， ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：0，． 28．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[应用]若，，，试求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，同底数幂乘法计算： （1）根据所给新定义结合乘方计算法则求解即可； （2）根据新定义得到，则有，进而得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如果，那么我们规定．例如；因为，所以． (1)根据上述规定填空：______，______； (2)记，，．判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)3，0， (2) 【分析】本题考查幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算； （1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 30．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：　　　　　，　　　　； (2)【应用】若，试求之间的等量关系． 【答案】(1)3；2 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法运算．熟练掌有理数的乘方，同底数幂的乘法运算是解题的关键． （1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由题意知，，由，可得，进而可得． 【详解】（1）解：由题意知，∵，， ∴，， 故答案为：3；2； （2）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴，即． 计算题型四 整式的乘法计算（共10小题） 31．（23-24七年级下·江苏南京·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘单项式，多项式乘多项式，先运算多项式乘多项式，多项式乘单项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 32．（24-25七年级下·江苏·课后作业）计算： (1)； (2)（是正整数）； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了整式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式法则计算求解，即可解题； （2）根据单项式乘单项式法则计算求解，即可解题； （3）根据单项式乘多项式法则计算求解，即可解题； （4）根据多项式乘多项式法则计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 33．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相应的多项式乘以多项式，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方法则． （1）先利用同底数幂的除法，积的乘方运算，然后合并解题即可； （2）利用多项式乘以多项式计算，然后合并解题． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 35．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，熟练相关相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 36．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 37．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式，直接利用多项式乘多项式的运算法则化简，进而合并同类项得出即可． 【详解】解： ， 38．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算∶ (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式和多项式乘以单项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解； ． 39．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式运算，解题的关键是掌握多项式乘以多项式运算法则． （1）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （2）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （3）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （4）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 40．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算—多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 计算题型五 乘法公式（共10小题） 41．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，正确计算是解题的关键； （1）将变形为，再根据完全平方公式计算即可； （2）将式子变形为，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先根据平方差公式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．熟练掌握乘法公式是解题的关键； 【详解】解： 43．（24-25·七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整数的运算．利用单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 44．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟记乘法公式是解答的关键．根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式进行计算，再加减运算即可，注意符号问题． 【详解】解： ． 45．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查乘法公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）首先将原式变形为，然后利用平方差公式化简即可； （2）将原式变形为，然后两次应用完全平方公式展开化简即可． 【详解】（1） 解：原式 ． （2） 解：原式 ； 46．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答； （3）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （4）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 47．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 48．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查乘法公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）先运用平方差公式运算，再利用平方差公式计算即可． （2）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将其化成，看成与1差的平方再应用公式运算； （3）转化成，将看成一个整体，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 49．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)9801 (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键： （1）利用完全平方公式进行计算； （2）利用平方差公式进行计算； （3）利用平方差公式进行计算； （4）利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ； （4）． 50．（2025七年级下·全国·专题练习）用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题主要考查整式的运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键． （1）根据平方差公式解决此题即可． （2）根据完全平方公式以及平方差公式解决此题即可． （3）根据完全平方公式解决此题即可． （4）先根据积的乘方的逆运算进行变形，再运用平方差公式，最后运用完全平方公式即可． 【详解】（1） 解： （2） 解： ； （3） 解： ； （4） 解： ． 计算题型六 乘法公式的变形计算（共10小题） 51．（2025·江苏无锡·一模）已知．求下列各式的值： (1)； (2) (3) 【答案】(1)7 (2)8 (3)47 【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用配方法对整式进行整理，解题的关键是熟练掌握配方法，并灵活应用． （1）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可； （2）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可； （3）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， 将代入上式得： 原式； （2）解：， 将代入上式得： 原式； （3）解： ， 将代入上式得： 原式． 52．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知， (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用完全平平方公式变形计算即可； （2）利用完全平平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：， 把代入上式得： ； （2） 把代入上式得： ， ． 53．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，求的值． 【答案】30 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是注意整体思想的运用． 将两边展开，得到，再将代入，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）阅读理解： 已知，求的值． 解：因为， 所以，即． 因为， 所以． 参考上述过程解答下列问题： (1)若． ①________； ②求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． （1）①根据材料提示，结合完全平方公式的变形计算即可；②根据完全平方公式的计算即可求解； （2）运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，即， ∵， ∴； ②∵， ∴， 由①可知，， ∴原式； （2）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴原式． 55．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题考查完全平方公式应用，已知式子的值求代数式的值． （1）利用完全平方公式得，代入式子的值即可得到本题答案； （2）利用完全平方公式得，代入式子的值即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴． 56．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知：，．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)12 (2)8 (3)136 【分析】本题考查了利用完全平方公式及其变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由即可求解； （2）由即可求解； （3），再代入和值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：由（1）得 ∴ ． 57．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，然后代入数值计算，即可作答． （2）由（1）得，再结合，然后代入数值计算，即可作答． （3）由（2）得，得，则或，分别代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 则 即． （2）解：由（1）得， ∵， 则， ∴； （3）解：由（2）得， ∴， ． 或 ． 58．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值； 【答案】（1）28；（2）14 【分析】此题考查依据完全平方公式变形的计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形整体代入计算即可． （2）根据完全平方公式变形整体代入计算即可 【详解】解：（1） ∵， ∴； （2）， ， 即 ． 59．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）结合（1）所得结果，利用完全平方公式求解即可； （3）根据多项式乘多项式展开计算求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，， （2）解：由（1）可知，， 则； （3）解：． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）我们学过很多数学公式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．根据你所学的知识解决下列问题： (1)若，求出的值； (2)若，求出的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为，然后代入计算即可； （2）根据已知得出，推出，再结合已知即可求出的值． 【详解】（1）解： 当时， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 计算题型七 二元一次方程组的计算（共10小题） 61．（24-25七年级下·重庆潼南·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代入消元法，加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可， （2）先去分母，去括号整理，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． （2）解： 方程①去括号，整理得：③， 方程②去分母，整理得：④， ④×2③得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为． 62．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法，灵活运用适当的方法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先将第二个方程去分母，再应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： ①+②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解： 方程①去括号，整理得：③ 方程②去分母，整理得：④， ④×2③得：， 把代入④得：， 解得：， ∴方程组的解为． 63．（24-25七年级下·山东德州·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）代入消元法，解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把②代入①，得：，解得：， 把代入②，得：； ∴方程组的解为：； （2） ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 64．（23-24七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入法的计算是关键． （1）把代入，解一元一次方程，得到，则即可求解； （2）把代入，解一元一次方程，得到，则即可求解； （3）把代入，解一元一次方程，得到，则即可求解； （4）把代入，解一元一次方程，得到，则即可求解． 【详解】（1）解： 把①代入②得，， 解得，， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解： ①变形得，， 把③代入②得，， 解得，， ∴， ∴原方程组的解为； （3）解： 把①代入②得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴原方程组的解为； （4）解： ①变形得，， 把③代入②得，， 解得，， ∴， ∴原方程组的解为． 65．（23-24七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． （1）把消去y，求出x的值，再把求得的x的值代入①，求出y的值即可； （2）把消去y，求出x的值，再把求得的x的值代入①，求出y的值即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴； （2）解：， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴． 66．（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用代入消元法解答即可； （2）用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 把代入得：， 去括号，得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为； （2）解： ， 由得：， 把代入得：， 去分母，得：， 移项合并同类项，得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为． 67．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组的知识，解答本题的关键是熟练掌握“消元法”的应用． （1）利用代入消元法即可解答； （2）利用代入消元法即可解答． 【详解】（1）解：， 由①得， 把代入②可得， 解得， 把代入，可得， 是原方程组的解； （2）解：， 由①得， 把代入②可得， 解得， 把代入，可得， 是原方程组的解． 68．（24-25七年级下·重庆开州·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先把方程组变形为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得③， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 整理，得， ，得④， ，得⑤， ，得， 解得：， 把代入③，得， 解得：， ∴方程组的解为． 69．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，会熟练运用代入消元法与加减消元法解方程组是解决问题的关键． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 得，， 将代入①得， 解得： 所以原方程组的解为：； （2）解： 原方程组整理为： 得， 解得：， 将代入①得， 解得： 所以原方程组的解为： 70．（24-25七年级下·山西长治·期中）解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法和二元一次方程组的解法，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程化简最终求出解； （2）先通过去分母将含分数的方程转化为整式方程，再利用代入法或消元法联立方程求解． 【详解】（1） 解：去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得 （2） 解：原方程组整理得， 得：， 将代入②得：， 解得：， 故原方程组的解为 计算题型八 二元一次方程组的含参计算问题（共10小题） 71．（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组两方程左右两边相加表示出，代入计算即可求出k的值． 【详解】解：， ①②得：， 整理得：， 代入得：， 解得：． 故选：B． 72．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，涉及解二元一次方程组、一元一次方程等知识，熟练掌握解二元一次方程组是解决问题的关键．先利用加减消元法得出，得出，解即可得到答案． 【详解】解： ，得：， 得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 73．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．利用加减消元法求得，得出，解得，即可得到答案． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 74．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于 x、y的方程组，给出下列说法： ①当时，x、y的值都相等；    ②当时，x、y的值互为相反数； ③无论a为何值，y的值都不变；    ④若，则． 其中说法正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，将每个命题代入方程组中，对各选项进行判断，结合不等式的性质，求a的取值范围即可． 【详解】解：①当时，方程组为， 解得：， x，y的值相等，故①正确； ②当时，方程组为， 解得：， x，y的值互为相反数，故②正确； ③解方程组，得， 无论a为何值，y的值不变，故③正确； ④若，则，，即，故④正确， 综上所述，其中说法正确的有①②③④共4个． 故选：D． 75．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键． 运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 76．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知关于的方程组，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用加减消元法把方程组变形为，得到，得出，解得，即可得到答案． 【详解】解∶ 得， ， ， ， ， 故答案为：． 77．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确结果，后来发现●，★处被墨水污损了，●，★两处的值分别是 ． 【答案】2，1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，一元二次方程组的解的定义，设●表示的数为a，把把代入原方程组得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设●表示的数为a， 把代入原方程组得， 解得， ∴●，★两处的值分别是2，1， 故答案为：2，1． 78．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将方程组两个方程相加得到，整理得到，结合方程组的解满足，得到关于的方程，解出的值即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 方程组的解满足， ， 解得：． 故答案为：． 79．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键，也是本题的难点所在． （1）根据二元一次方程组的解的定义进行解答即可； （2）根据方程解的定义得到二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：因为关于x，y的方程组与方程组有相同的解， 所以这两个方程组的解也是方程组的解， 解得； （2）把分别代入方程与方程，得 解得 80．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 计算题型九 一元一次不等式（组）的计算（共10小题） 81．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式（组） (1)解不等式； (2)解不等式组 ，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1)原不等式的解集为： (2)原不等式组的解集为，解集表示在数轴上见详解 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，掌握不等式的性质，解集表示在数轴上的方法是关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，结合不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质分别得到一元一次不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴原不等式的解集为：； （2）解： ， 解①得，， 解②得，， ∴原不等式组的解集为， 解集表示在数轴上如图所示， 82．（2025·浙江杭州·一模）用数轴解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分别求出不等式组中两不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”，即可确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来． 【详解】解： 由①得， 由②得， 不等式组的解为． 在数轴上表示如下： 83．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】，整数解为 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质求解不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，结合题意即可求解． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式的解集为：， ∴整数解为：． 84．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式的步骤，正确计算是解题的关键； （1）去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，即可求得每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可； （2）第一个不等式按照去分母、去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，求得其解集；第二个不等式按照去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，求得其解集；再求出两解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 则不等式组的解集为：； （2）解：第一个不等式去分母得：， 整理得：， 解得：； 第二个不等式去括号、移项、合并同类项，得：， 解得：， 则不等式组的解集为：． 85．（2025·陕西西安·模拟预测）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，0、1、2 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的非负整数解为0、1、2． 86．（2025·浙江金华·二模）下面是小亮解不等式的过程： 解：去分母，得① 移项，得② 合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程从第步开始出现错误，正确解答见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，系数化为需要注意不等号的方向是否需要改变． 【详解】解：从不等号的右边移到不等号的左边需要变号，小明没有变号， 小明的解答过程从第步开始出现错误， 正确解答过程如下： ， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 87．（24-25七年级下·全国·课后作业）解一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项得， 系数化为1，得， 不等式的解集为：， 在数轴上表示为： （2）解： 去分母，得 移项、合并同类项得， 系数化为1，得， 不等式的解集为：， 在数轴上表示为： 88．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】．数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：，解得：， 由②得：，解得：， 在数轴上表示不等式组的解集如下： ∴不等式组的解集为：． 89．（24-25七年级下·四川泸州·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 90．（24-25七年级下·云南昆明·期中）解下列不等式或不等式组． (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 【答案】(1) (2)；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式或不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先去括号，然后再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： 计算题型十 一元一次不等式（组）的含参计算（共10小题） 91．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A． 92．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，即可求解；理解不等式组的解集是解题的关键. 【详解】解：不等式组化为， 解集是， ， 解得：， 故选：D． 93．（24-25八年级下·广东深圳·期中）关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解，即可确定整数解，然后得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组得：， ∵恰有4个整数解， ∴整数解是2，1，0，， ∴ ∴． 故选：B． 94．（24-25七年级下·北京通州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的问题，不等式组无解，即两个不等式的解集无公共部分，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故选：． 95．（2025年黑龙江省牡丹江市初中学业水平考试第一次适应性考试数学试题）关于的不等式组的解集为，则所有正整数的和为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，先分别解出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出，进而可求出a的取值范围，根据a的取值范围得出所有正整数，最后相机即可得出答案． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， ∴ 则正整数有1，2，3，4， ∴， 故答案为：10 96．（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键． 求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，求出a即可． 【详解】解：解不等式得， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴当，即时 不等式， ， ， 可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立， 所以满足条件． 当，即时 不等式其解为． 因为的解都能使成立， 所以． 解不等式： ，结合前提，这种情况满足条件． 当，即时 不等式其解为． 要使的解都能使成立，那么． 解不等式： ，结合前提，得到． 综合以上三种情况． 故答案为：． 97．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据有三个整数解列不等式组求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 又不等式组有三个整数解， ∴不等式组的整数解为， ， 解得：． 实数a的取值范围为． 98．（24-25八年级下·江西九江·期中）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于的不等式组只有一个整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 关于的不等式组只有一个整数解， ， 故答案为：． 99．（甘肃省白银市2024-2025学年下学期期中八年级数学试卷）若关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据不等式组的解集求参数，代数式求值问题，根据不等式组的解集求出参数是解决本题的关键． 首先可求得不等式组的解集，再根据不等式组的解集为，即可求得a、b的值，据此即可求得结果． 【详解】解：解第一个不等式，得 解第二个不等式，得， 不等式组的解集为， ，，解得：，， ． 100．（24-25七年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集为，求m的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式组的解集为，得，解不等式即可． 本题考查了不等式组的解集，解不等式，正确理解题意、熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：不等式组的解集为， 得， 解得． 计算题型十一 一元一次不等式（组）的新定义计算（共10小题） 101．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）定义新运算：对于任意数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求的值； (2)若的值小于16而大于10，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下的有理数四则运算，解一元一次不等式组； （1）根据新定义运算法则直接计算即可； （2）根据新定义可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 熟练新定义的运算法则列出相应的式子是解题的关键． 【详解】（1）解： （2）由题意得， 解不等式①得； 解不等式②得； ， 的取值范围为． 102．（23-24七年级下·全国·课后作业）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求x的值； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，一元一次方程，一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握新定义的运算． （1）根据新定义构建方程求解； （2）根据新定义构建不等式求解． 【详解】（1）根据题意，得， 解得． （2）根据题意，得， 解得． 103．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，一元一次方程，一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握新定义的运算． （1）根据新定义构建方程求解； （2）根据新定义构建不等式求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：依题意，， ∴， 解得：． 104．（24-25七年级下·四川广安·期末）请你根据方框内所给的内容，完成下列各小题． 我们定义一个关于有理数，的新运算，规定： ． 例如：． (1)若，，分别求出和的值； (2)若满足，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义列出关于、的方程组，解之可得； （2）根据新定义列出关于、的不等式组，解之可得． 【详解】（1）解：根据题意，得： ， 解得：； （2）根据题意，得：， 解得：． 故的取值范围是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组与二元一次方程组，解题的关键是掌握新定义，并根据新定义列出关于、的二元一次方程组与一元一次不等式组． 105．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如，，，． (1)______． (2)如果，那么的取值范围是______． (3)如果，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）由题中所给定义可直接进行求解； （3）由题意可得，然后求解即可． 【详解】（1）由题意得： ， 故答案为； （2）∵符号表示不大于的最大整数，， ∴的取值范围是； 故答案为； （3）∵符号表示不大于的最大整数，， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 106．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．． (1)若，则______． (2)若关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据定义得出，再解出方程，即可求解 （2）先根据定义得出，再结合可得关于x的不等式组，然后根据方程组无解，可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：； 故答案为： （2）解：∵， ∴， 即， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是截一元一次方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 107．（24-25七年级下·河南三门峡·阶段练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中，是不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)① (2) 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“相依方程”的定义列出关于k的不等式组并求解即可． 【详解】（1）① 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； ② 移项得， 系数化为1得，； ③ 移项得， 系数化为1得，； 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组的“相依方程”是①， 故答案为：①； （2）解不等式，得． 解不等式，得． ∴原不等式组的解集为． 解方程，得． ∵关于x的方程是不等式组的“相依方程”． ∴． 解得． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． 108．（24-25八年级下·山西运城·期中）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了一元一次方程，解一元一次不等式组，能理解关联方程定义是本题的关键． （1）分别求出三个方程的解，再求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的定义即可判断； （2）先求出一元一次不等式组的解集，找到整数解代入关联方程求解即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ； ③， ， ， ； 解不等式组，得， ∵， ∴不等式组的关联方程是③； （2）解：解不等式组，得． 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程， 得． 109．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）【定义】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在不等式①，②， ③中，是的“相斥不等式”的有______（填序号）； (2)若关于x的不等式是的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； (3)若是关于x的不等式（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定义是解题的关键． （1）根据“相斥不等式”的定义即可求解； （2）根据“相斥不等式”的定义可得，，解不等式组即可求解； （3）先“相斥不等式”的定义可得，然后求出不等式的解集为，然后得到，解关于k的不等式即可． 【详解】（1）解：∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； ∵的解有可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”； ∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； 故答案为：①③； （2）解：解不等式得， 解不等式得， 解不等式得， 根据“相斥不等式”的定义得， 解得：； （3）解：∵是关于的不等式的“相斥不等式”， ∴（因为k小于0时不等式的解集是大于等于某个数）， 解不等式得， ∴， 解得：． 110．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴， ∴m的整数解为． $$