清单05 二次根式（9个考点清单+19种题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

清单05 二次根式 （9个考点梳理+19类题型解读+提升训练） 清单01 二次根式的概念 二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 清单02 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 清单03 二次根式的性质 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 清单04 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 清单05 二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 清单06 最简二次根式 最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 清单07 二次根式的加减法 二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 清单08 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 清单09 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 【考点题型一 二次根式的相关概念】（） 【例1】下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的识别，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、是二次根式，符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】在式子（m、n异号）中，二次根式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式可得答案． 【详解】解：根据二次根式的定义可知：为二次根式，不是二次根式， 故选：B 【变式1-2】存在整数，它同时满足以下三个条件：①二次根式和均有意义；②的值仍为整数；③若，则也是整数．的值为 ． 【答案】16 【分析】此题考查了二次根式的性质，正确理解二次根式被开方数大于等于零是解题的关键．先根据二次根式的性质得出a的取值范围，然后根据a为完全平方数得出a的值，然后结合条件②和③进一步求解即可． 【详解】解：由条件①，可得 解得， 则整数的取值可能为13，14，15，16，17，18，19，20， 其中符合条件②的整数只有16，且同时符合条件③， ． 故答案为：16． 【变式1-3】如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 【变式1-4】在下列式子中，一定是二次根式的有（    ） ，，，，，． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义：形如叫二次根式． 根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：当时，不是二次根式， ，，则是二次根式， ，是二次根式， ，不是二次根式， ，是二次根式， 不是二次根式， 则一定是二次根式的有：，，， 故选：B 【考点题型二 求二次根式的值】（） 【例2】当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的求值，将代入所求二次根式，再求解即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：A． 【变式2-1】当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 【变式2-2】已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式2-3】（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 【变式2-4】当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 【考点题型三 求二次根式的参数】（） 【例3】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 【变式3-1】已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 【变式3-2】若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 【变式3-3】二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 【变式3-4】已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【答案】n的最小值是15 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值． 【详解】解：∵＝3，n是一个正整数， ∴n的最小值是15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 【考点题型四 二次根式有意义的条件】（） 【例4】在实数范围内，若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性，不等式的解法．二次根式两个非负：被开方数非负，二次根式本身非负，解题时要注意这两个非负性．根据二次根式的被开方数非负，解不等式即可完成． 【详解】解：由题意，，解得： 故选：B． 【变式4-1】若，则等于（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及不等式组的解法，正确掌握被开方数的符号是解题关键．直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故， 则． 故选：D． 【变式4-2】若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的两个性质：，由这两个性质即可求解． 【详解】解：， 则，解得； 故答案为：． 【变式4-3】在函数中，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得出求解，然后进行验证即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，且当时，， 故答案为：． 【变式4-4】当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】该题考查了二次根式和分式有意义的条件． （1）根据二次根式和分式有意义解答即可； （2）根据二次根式有意义解答即可； （3）根据二次根式有意义解答即可； 【详解】（1）解：根据题意可得且，即且． （2）解：根据题意可得，解得：． （3）解：根据题意可得，解得：． 【考点题型五 利用二次根式的性质化简】（） 【例5】已知，．给出下列等式：①；②；③；④．其中，正确的是（   ）． A．①和② B．③和④ C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，利用二次根式的性质化简并判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故①②③错误，④正确， 故选：D 【变式5-1】化简结果为（    ） A． B． C．2ab D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：； 故选：A． 【变式5-2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值，掌握二次根式的性质即是解题的关键；根据二次根式的性质及绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故答案为：． 【变式5-3】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式化简；由非负数的性质可求得a与b的值，再代入二次根式中化简即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：． 【变式5-4】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值和二次根式的非负性成为解题的关键． 【详解】解：根据数轴可得：，，，   ∴                                   ． 【考点题型六 复合二次根式的化简】（） 【例6】下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式6-1】化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 【变式6-2】形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 【变式6-3】阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 【变式6-4】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 【考点题型七 二次根式的乘除法】（） 【例7】若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 【变式7-1】计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选C． 【变式7-2】（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； 解：， 故答案为：． 【变式7-3】计算的结果是 . 【答案】1 【分析】根据二次根式的运算法则直接求解即可得到答案； 【详解】解：原式， 故答案为：1； 【点睛】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握：． 【变式7-4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用二次根式的乘法公式进行计算即可得出答案； （2）应用二次根式的乘法公式进行计算即可得出答案． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型八 最简二次根式的判断】（） 【例8】下列各式中，已化为最简形式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数是整数或是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，故没有化为最简二次根式，不符合题意； B、已经化为最简二次根式，符合题意； C、，故没有化为最简二次根式，不符合题意； D、，故没有化为最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式8-1】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中，最简二次根式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式为最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：，，，，故①，②，⑤，⑦都不是最简二次根式，③，④，⑥，都是最简二次根式，共3个； 故选B． 【变式8-2】在根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，直接利用最简二次根式的定义判断得出结论即可，解题的关键是掌握在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 【详解】解：，，为最简二次根式，有3个， 故答案为：． 【变式8-3】在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式定义是解决本题的关键．根据被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式分析判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是二次根式， 是最简二次根式； 故答案为：． 【变式8-4】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【答案】是最简二次根式；其余的式子都不是最简二次根式，化简见解析 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解： 是最简二次根式 【考点题型九 化为最简二次根式】（） 【例9】化为最简二次根式，结果应为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把的被开方数的分子和分母同时乘上，再化简，即可作答．本题考查二次根式的性质和最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母以及被开方数不含能开得尽的因式或因数. 【详解】解： 即化成最简二次根式， 故选：D. 【变式9-1】把根式化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质以及最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：． 故选：A ． 【变式9-2】若与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把化简成最简的二次根式，即可得到关于t的一元一次方程，求出t即可． 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得： 【变式9-3】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式：， 故答案为：． 【变式9-4】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【考点题型十 已知最简二次根式求参数】（） 【例10】已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 【变式10-1】若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 【详解】解：是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 【变式10-2】若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 【变式10-3】若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 【变式10-4】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 【考点题型十一 同类二次根式】（） 【例11】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行逐项分析，即可作答．． 【详解】解：A、， 与是同类二次根式，故该选项符合题意； B、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式11-1】有下列二次根式：①、②、③、④，其中，与是同类二次根式的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识．将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是①④ 故选：C． 【变式11-2】如果最简二次根式和是同类二次根式，那么这两个二次根式的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的知识，一元一次方程，注意掌握同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同且根指数均为2．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于的方程，解出的值，再求和即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：． 故这两个二次根式的和为， 故答案为：． 【变式11-3】若最简二次根式与可以合并，则使有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式有意义的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由最简二次根式与可以合并，得出，又有意义，则，最后解不等式即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【变式11-4】已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：． 【考点题型十二 二次根式的加减运算】（） 【例12】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简各个二次根式，再去括号，然后进行加减运算，即可作答． （2）先化简各个二次根式，然后进行加减运算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式12-1】计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质与加减运算法则是解题的关键； （1）直接合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （3）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （4）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （5）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （6）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式12-2】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了二次根式的加减运算： （1）先去括号，再合并，即可求解； （2）先去括号和绝对值，再合并，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式12-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的加减运算，先去括号以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 【变式12-4】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据算术平方根定义，立方根定义，进行计算即可； （2）根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十三 二次根式的混合运算】（） 【例13】计算： (1)： (2)： (3)： (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是牢记运算法则． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再去括号，合并同类二次根式即可； （3）先化简各项，再合并同类二次根式即可； （4）先化简各项与去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式13-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）运用平方差公式计算即可； （2）运用二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）运用二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式13-2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则混合运算，先计算二次根式的乘除法，然后根据二次根式的性质化简，最后再合并二次根式即可． 【详解】解： 【变式13-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． （1）先化简，再算括号里面的减法，最后算除法即可； （2）先算乘法和化简绝对值，再化简后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【变式13-4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是； （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘、除法，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点题型十四 分母有理化】（） 【例14】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式分母同乘以即可化简，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式14-1】在学习二次根式的过程中，小明发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，例如：由，可得与互为倒数，即，根据小明发现的规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，能够归纳总结规律及掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【变式14-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算；先化简分式，再代入求值即可． 【详解】原式 ； ∵， ∴原式． 【变式14-3】观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）模仿题干，补充第5个等式，即可作答． （2）根据规律，即可写出第个等式； （3）根据规律将各项分母有理化即可求解； （4）先求倒数，再分母有理化，在比较大小即可求解． 【详解】（1）解：依题意，观察以上规律，第5个等式：， 故答案为：． （2）解：依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式， 则第n个等式：， 故答案为：． （3）解：依题意，， ， ， …… 以此类推得， ； （4）解：与（3）同理得，， ， ， ． 【变式14-4】定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：化简 ________，  可以这样解答： ； 又例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 已知，所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)化简：______； (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算， 对于（1），分子和分母都乘以，根据平方差公式计算即可； 对于（2），根据平方差公式求出，再根据，可得答案． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）解：因为 = 已知， 所以 ． 【考点题型十五 已知字母的值、条件式化简求值】（） 【例15】若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 【变式15-1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 【变式15-2】已知，则代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 【变式15-3】利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当时， ①得到的整系数方程为 ； ②计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． ①根据已知可得，然后利用完全平方公式进行计算即可解答； ②利用①的结论可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：①， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式15-4】小芳在解决问题：“已知，求的值”时，她是这样分析与解的： ， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值：________． 【答案】(1)10 (2)①5② 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值； ②将式子整理成，再代入，即可求解． 本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 故答案为： 【考点题型十六 比较二次根式的大小】（） 【例16】比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 【变式16-1】已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 【变式16-2】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，先利用平方法比较与，然后再利用计算法比较与． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【变式16-3】比较大小： （填写“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质和实数的大小比较，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据，，可求得，据此即可求得答案． 【详解】∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式16-4】【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题考查了互为有理化因式，分母有理化的概念，正确理解互为有理化因式，分母有理化是解题的关键． ［理解应用］（1）根据互为有理化因式定义，分母有理化定义解答即可； （2）先分母有理化，然后再把被开方数相同的二次根式合并解答即可． ［拓展应用］（3）可以把分子有理化，根据分子相等，再通过比较分母大小进行比较； （4）先把等式左边各项分母有理化，根据为有理数，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 的有理化因式为， 故答案为：； ， 故答案为：． （2）原式 ， ， ； （3），理由如下： ， ； （4） ， ． 【考点题型十七 二次根式的应用】（） 【例17】已知梯形的面积为，上底长为2，高为，求梯形的下底长． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的应用，设梯形的下底长为，再利用面积公式建立方程即可求解． 【详解】解：设梯形的下底长为，则 ， ∴， ∴， 解得：， ∴梯形的下底长为． 【变式17-1】当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一个半径为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由． 【答案】(1)长方形绣布的周长为 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的应用，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用长方形的面积等于长乘宽，得，故，分别得出长方形绣布的宽为，长方形绣布的长为，结合周长公式列式计算，即可作答． （2）先得出直径，再结合 ，故，所以不能裁出半径为的圆形绣布， 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 由题意可知， ∴ ， ， 由边长的实际意义得 ∴长方形绣布的宽为，长方形绣布的长为， 即长方形绣布的周长为 ， （2）解：不能，理由如下： 圆形绣布的直径， ∵， ， ， ∴不能裁出半径为的圆形绣布， 【变式17-2】摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：s），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为多少？（结果保留整数；参考数据：） 【答案】在内该摆钟发出滴答声的次数约为159 【分析】此题考查了二次根式的应用，根据公式代入数值进行计算即可． 【详解】解：一个周期 在内该摆钟发出滴答声的次数约为159． 【变式17-3】汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准． 【答案】该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据题意求出刹车距离是解题的关键． 根据题意，代入数据计算即可． 【详解】解∶ 根据题意得， 解得， ， 该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准． 【变式17-4】有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【详解】（1）解： 两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原矩形木板的面积为； （2）解：最多能裁出4块这样的木条．理由如下： ，， （块），（块）， （块）． 从剩余的木块（阴影部分）中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 【考点题型十八 二次根式的规律计算】（） 【例18】观察下列等式： ①； ②； ③； 回答下列问题： (1)利用你观察到的规律，化简：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解题关键在于找到运算规律． （1）利用平方差公式，把分母有理化求解即可； （2）分别利用平方差公式化简，然后相加求解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式18-1】观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律，二次根式的性质，解题的关键在于能够根据题意找到规律． （1）根据题意写出第五个式子即可； （2）根据式子间的规律可以发现第n个式子为． 【详解】（1）解：由题意得，第五个式子为． （2）解：第n个式子为，理由如下： ， ∴． 【变式18-2】观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)请写出第④个等式； (2)利用规律计算：． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了分母有理化，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据所给算式的特点写出第④个等式即可； （2）先分母有理化，再算加减即可． 【详解】（1）解：第④个等式：． （2）解： ． 【变式18-3】阅读下列材料，然后解答问题： 我们可以将其进一步化简：；， 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． (1)根据上面规律化简：______；______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）根据分母有理化的方法，进行解答即可； （2）根据分母有理化的方法进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 【变式18-4】观察下列计算结果： ， ， ，            ． (1)写出的化简过程； (2)根据上面的规律，写出第n个式子并验证； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)，验证过程见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）利用分母有理化，进行求解即可； （2）根据已有等式，概括出相应规律，利用分母有理化进行验证即可； （3）利用规律，先化简，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）由题干可知：第n个式子为， ； （3）原式 ． 【考点题型十九 二次根式的新定义运算】（） 【例19】用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※． 如：1※．则※的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答；本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ※ ； 故选：A． 【变式19-1】对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，根据题中的新定义正确列式计算是解题的关键． 根据新定义分别求出和，然后利用平方差公式结合二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式19-2】对于有理数和，定义了一种新运算：，例如，则为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据新定义代入计算求值即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式19-3】在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简，根据题意得到即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【变式19-4】定义：我们用表示不大于的最大整数，的值称为实数的小数部分．如的小数部分为． (1)______，的小数部分______． (2)若的小数部分为，化简：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分的含义，二次根式的混合运算； （1）由表示不大于的最大整数，可得，结合的值称为实数的小数部分，可得的小数部分； （2）由题意得，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵用表示不大于的最大整数， ∴，的小数部分； （2）解：∵由题意得． ∴， ∴． 【变式19-1】 【变式19-2】 【变式19-3】 【变式19-4】 1．下列化简过程中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，注意运用二次根式的性质时，被开方数的符号为非负，当二次根式在分母时，被开方数为正数；根据二次根式的性质进行计算即可作出判断． 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算正确； D、成立的条件是m，n均非负，错误； 故选：C． 2．设，则数m的值应在（   ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．先计算二次根式乘法，再合并，最后由无理数估算的计算方法即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 则数m的值应在5和6之间， 故选：B ． 3．有下列等式：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的加法运算，熟练掌握二次根式的加法运算法则是解决本题的关键． 根据二次根式的加法法则分别计算，再判断即可． 【详解】解：①与不是同类二次根式，无法合并，错误； ②2与不是同类二次根式，无法合并，错误； ③，正确； ④，错误； 所以正确的有1个． 故选：A 4．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定，，a的符号是解题的关键． 利用数轴上点的位置确定，，，再利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：根据数轴可得，，，， ∴，， ∴原式 ． 故选：A． 5．对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数运算、二次根式的化简等知识．根据二次根式的性质化简逐项进行解答判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴或， 解得或， 故①错误； ②进行“新运算操作”得到， ∵在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ∴， 则， ∵在数轴上和的距离为8， ∴在数轴上找不到一个数，使得到和的距离之和为6， ∴无解， 故②错误， a，b，c的“新运算操作”结果为， 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 根据a，b，c的取值范围，化简结果可能存在的不同表达式共有8种． 故③错误， 故选：A 6．若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 7．已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，二次根式的化简，求得的值是解题的关键．根据算术平方根的非负性，求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 8．填空： （1）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ； （2）若a、b都是无理数，且，请写出一组符合条件的a、b的值： ． 【答案】 3 （答案不唯一） 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的加减运算： （1）根据同类二次根式的定义，列出方程进行求解即可； （2）根据无理数的和为有理数，得到无理数部分互为相反数，进行构造即可． 【详解】解：（1）∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）由题意，可设，则：，满足题意； 故答案为：（答案不唯一）． 9．观察下列等式：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：，…， 按上述规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，找出规律后，根据运算法则进行运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， ， ∴第个等式为：， ∴ ， ， 故答案为：． 10．如图，在正方形中，E是边上一点，F是边延长线上一点，连接，，，若，， ，则的面积为 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得出，证明，得出，由勾股定理得出，，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ，即， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：4． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据二次根式的性质化简以及分母有理化． （1）先利用二次根式的性质化简，然后再进行分母有理化即可． （2）先利用二次根式的性质化简，然后再进行分母有理化即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 12．（1）在下列横线上填写“”“”或“”： ___________；___________； ___________；___________． （2）观察第（1）小题中的式子，若和都是正数，猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1），，，；（2），理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）分别计算每个式子的值，再比较即可； （2）由二次根式的性质和非负数的性质即可判断． 【详解】解：（1），，， ， ，，， ， ，，， ， ，，， ， 故答案为：，，，； （2），理由如下： ，即， ． 13．利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和比较大小． （1）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算即可； （2）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算，然后比较即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①∵，，， ∴， 故答案为：； ②∵，，， ∴， 故答案为：． 14．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)点A、C、E在一条直线上； (3)25 【分析】本题考查了勾股定理和最短路径问题，涉及到了二次根式等知识，解题关键是理解题意，会构造图形，利用了数形结合的思想方法． （1）利用勾股定理分别求出，，即可求解； （2）延长至F，使，连接，证明四边形是矩形，得到，求出，由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，即可求解； （3）利用前面两题的方法先构造出图形，再求解即可． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． （2）解：当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是； 理由如下：如图，延长至F，使，连接 由， 则，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是． （3）解： 如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设． ∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小， 延长至G，使，连接， 同理可证四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，最小值是25， ∴代数式的最小值是25． 15．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较； （2）原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：，． 显然， 所以． 所以 （2）解： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 二次根式 （9个考点梳理+19类题型解读+提升训练） 清单01 二次根式的概念 二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 清单02 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 清单03 二次根式的性质 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 清单04 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 清单05 二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 清单06 最简二次根式 最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 清单07 二次根式的加减法 二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 清单08 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 清单09 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 【考点题型一 二次根式的相关概念】（） 【例1】下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在式子（m、n异号）中，二次根式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】存在整数，它同时满足以下三个条件：①二次根式和均有意义；②的值仍为整数；③若，则也是整数．的值为 ． 【变式1-3】如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【变式1-4】在下列式子中，一定是二次根式的有（    ） ，，，，，． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点题型二 求二次根式的值】（） 【例2】当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式2-1】当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2-2】已知，则代数式的值是 ． 【变式2-3】（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【变式2-4】当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【考点题型三 求二次根式的参数】（） 【例3】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【变式3-2】若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【变式3-3】二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【变式3-4】已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【考点题型四 二次根式有意义的条件】（） 【例4】在实数范围内，若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【变式4-1】若，则等于（　　） A．1 B．5 C． D． 【变式4-2】若，则m的取值范围是 ． 【变式4-3】在函数中，自变量的取值范围是 ； 【变式4-4】当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【考点题型五 利用二次根式的性质化简】（） 【例5】已知，．给出下列等式：①；②；③；④．其中，正确的是（   ）． A．①和② B．③和④ C．③ D．④ 【变式5-1】化简结果为（    ） A． B． C．2ab D． 【变式5-2】若，则 ． 【变式5-3】已知，则 ． 【变式5-4】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【考点题型六 复合二次根式的化简】（） 【例6】下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【变式6-3】阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【变式6-4】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【考点题型七 二次根式的乘除法】（） 【例7】若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【变式7-2】（1） ；（2） ． 【变式7-3】计算的结果是 . 【变式7-4】计算： (1)； (2)． 【考点题型八 最简二次根式的判断】（） 【例8】下列各式中，已化为最简形式的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中，最简二次根式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-2】在根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【变式8-3】在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【变式8-4】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【考点题型九 化为最简二次根式】（） 【例9】化为最简二次根式，结果应为（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】把根式化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】若与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【变式9-3】化简： ． 【变式9-4】化简： (1)； (2)． 【考点题型十 已知最简二次根式求参数】（） 【例10】已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【变式10-1】若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式10-2】若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【变式10-3】若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【变式10-4】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【考点题型十一 同类二次根式】（） 【例11】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式11-1】有下列二次根式：①、②、③、④，其中，与是同类二次根式的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【变式11-2】如果最简二次根式和是同类二次根式，那么这两个二次根式的和为 ． 【变式11-3】若最简二次根式与可以合并，则使有意义的的取值范围是 ． 【变式11-4】已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【考点题型十二 二次根式的加减运算】（） 【例12】计算： (1) (2) 【变式12-1】计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【变式12-2】计算 (1) (2) 【变式12-3】计算：． 【变式12-4】计算 (1) (2) 【考点题型十三 二次根式的混合运算】（） 【例13】计算： (1)： (2)： (3)： (4)． 【变式13-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式13-2】计算：． 【变式13-3】计算： (1) (2) 【变式13-4】计算： (1) (2) 【考点题型十四 分母有理化】（） 【例14】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】在学习二次根式的过程中，小明发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，例如：由，可得与互为倒数，即，根据小明发现的规律，计算 ． 【变式14-2】先化简，再求值：，其中． 【变式14-3】观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 【变式14-4】定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：化简 ________，  可以这样解答： ； 又例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 已知，所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)化简：______； (2)已知：，求的值． 【考点题型十五 已知字母的值、条件式化简求值】（） 【例15】若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【变式15-1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】已知，则代数式的值为 ． 【变式15-3】利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当时， ①得到的整系数方程为 ； ②计算： ． 【变式15-4】小芳在解决问题：“已知，求的值”时，她是这样分析与解的： ， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值：________． 【考点题型十六 比较二次根式的大小】（） 【例16】比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【变式16-2】比较大小： ． 【变式16-3】比较大小： （填写“”，“”或“”） 【变式16-4】【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【考点题型十七 二次根式的应用】（） 【例17】已知梯形的面积为，上底长为2，高为，求梯形的下底长． 【变式17-1】当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一个半径为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由． 【变式17-2】摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：s），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为多少？（结果保留整数；参考数据：） 【变式17-3】汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准． 【变式17-4】有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 【考点题型十八 二次根式的规律计算】（） 【例18】观察下列等式： ①； ②； ③； 回答下列问题： (1)利用你观察到的规律，化简：； (2)计算：． 【变式18-1】观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 【变式18-2】观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)请写出第④个等式； (2)利用规律计算：． 【变式18-3】阅读下列材料，然后解答问题： 我们可以将其进一步化简：；， 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． (1)根据上面规律化简：______；______； (2)化简：． 【变式18-4】观察下列计算结果： ， ， ，            ． (1)写出的化简过程； (2)根据上面的规律，写出第n个式子并验证； (3)利用上面的规律计算：． 【考点题型十九 二次根式的新定义运算】（） 【例19】用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※． 如：1※．则※的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式19-1】对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 【变式19-2】对于有理数和，定义了一种新运算：，例如，则为 ． 【变式19-3】在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．则的值是 ． 【变式19-4】定义：我们用表示不大于的最大整数，的值称为实数的小数部分．如的小数部分为． (1)______，的小数部分______． (2)若的小数部分为，化简：． 【变式19-1】 【变式19-2】 【变式19-3】 【变式19-4】 1．下列化简过程中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．设，则数m的值应在（   ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 3．有下列等式：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 4．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（    ） A． B． C． D． 5．对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．若有意义，则的取值范围是 ． 7．已知为实数，且，则的值为 ． 8．填空： （1）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ； （2）若a、b都是无理数，且，请写出一组符合条件的a、b的值： ． 9．观察下列等式：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：，…， 按上述规律，计算 ． 10．如图，在正方形中，E是边上一点，F是边延长线上一点，连接，，，若，， ，则的面积为 11．计算： (1)； (2)． 12．（1）在下列横线上填写“”“”或“”： ___________；___________； ___________；___________． （2）观察第（1）小题中的式子，若和都是正数，猜想与的大小关系，并说明理由． 13．利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 14．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 15．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$