微专题：一元一次不等式组的应用（11大题型62题）-2024-2025学年七年级下册数学同步练（人教版2024）

题型目录 题型1 工程问题 1 题型2 销售问题 2 题型3 运输问题 2 题型4 计费问题 3 题型5 行程问题 3 题型6 积分问题 4 题型7 盈亏问题 4 题型8 数字问题 5 题型9 几何问题 5 题型10 方案问题 5 题型11 其他问题 6 题型1 工程问题 1．2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件． 2．“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． （1）甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ （2）已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 3．某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． （1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 题型2 销售问题 4．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 5．圆圆去商店购买A，B两种书签，共用了10元钱，A种书签每枚1元，B种书签每枚2元．若每种书签至少买一枚，且A种书签的数量比B种书签的数量多，则A种书签至少购买 枚． 6．某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品件和乙商品件，共需要资金元；若购进甲商品件和乙商品件，共需要资金元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ (2)该超市计划购进这两种商品共件，而可用于购买这两种商品的资金不超过元，根据市场行情，甲商品的售价为元，乙商品的售价为元，该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于元．则该超市有几种进货方案？ 题型3 运输问题 7．某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 8．某集团需运输一批物资，据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输物资850箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输物资1900箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用4000元．若运输物资不少于2050箱，且总费用不大于55000元．请问共有哪几种运输方案？ (3)在（2）的方案中，哪种方案所需费用最少？最少费用是多少？ 9．中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 题型4 计费问题 10．某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 11．某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x干米，则x的范围是 ． 12．为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 （1）该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? （2）刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 题型5 行程问题 13．若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 14．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ． 15．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 　 　． 题型6 积分问题 16．小亮和小颖共下了8盘围棋（没有平局），两人商定的规则为：小亮胜一盘记1分，小颖胜一盘记2分．下完第7盘后，小亮得分高于小颖；下完第8盘后，小颖得分高于小亮，小亮最终胜（    ） A．2盘 B．3盘 C．4盘 D．5盘 17．学校工会举行了一场趣味排球比赛，比赛为单循环制，即所有参赛选手彼此只比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得2分、负者扣1分，平局各得1分．赛后统计结果，发现所有参赛者的得分总和为32分，且平局数至少有5局，那么本次趣味排球赛共有参赛选手 人． 18．一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 甲 17 3 79 乙 11 9 37 (1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？ (2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分． (3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？ 题型7 盈亏问题 19．八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 20．现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍间数为 ． 21．把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 题型8 数字问题 22．有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，且这个两位数在50和70之间，则这个两位数是 ． 23．若一个自然数，其十位数字比个位数字大3，百位数字比十位数字大3，千位数字比百位数字大3，… ，这样的数，我们称为“大3数”． 例如：52，9630．写出一个两位数，要求既是奇数又是“大3数” ．将一个两位的“大3数”，再加上这个“大3数”各位数字之和的2倍，所得的结果能被4整除，求满足条件的两位“大3数”的和 ． 24．一个正数N的各位数字不全相等，且都不为为0，现要将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数与最小数的差记为N的“差数”，此最大数与最小数的和记为N的“和数”，例如，245的“差数”为542-245=297，“和数”为：542+245=787，一个四位数M，其中千位数字和百位数字为a，十位数字为1，个位数字为b（且a≥1，b≥1）若它的“和数”是6666，求M的“差数”． 题型9 几何问题 25．用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度AC＝30m，要使靠墙的一边长不小于25rn，那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围为（　　） A．0≤x≤5 B． C． D． 26．如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过 秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 27．已知用于国际比赛的足球场的长在之间，宽在之间．一个长方形足球场的长为，宽为，如果它的周长大于，而面积小于，求的取值范围，并判断这个足球场是否可以用于国际比赛． 题型10 方案问题 28．学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 29．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 30．小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并且，当卖出特色文化书签个和特色中性笔支时，获得总利润元． (1)求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？ (2)校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为，并且投入的总成本不超过元，获得的总利润不少于元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？ (3)义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足，则a的值可能为多少？说明理由． 题型11 其他问题 31．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 32．鱼缸里饲养两种鱼，种鱼的生长温度的范围是，种鱼的生长温度的范围是，那么鱼缸里的温度应该控制在 范围内 33．有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生念外语，还剩下不足6位同学在操场踢足球”．试问这个班有多少位学生？ 34．用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 35．将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友（　　） A．7位 B．6位 C．5或6位 D．37或42位 36．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 37．1．某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元的资金购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元．若每种笔记本至少买5本，则购买方案有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 38．研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 39．为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，则学校购买篮球 　 个． 40．绿波路段是城市交通管理的一项重要措施，它能够有效地解决交通拥堵问题，提高交通效率，为城市的可持续发展做出贡献，如图是绿波路段的一部分，该路段限速60千米/小时，AB间的距离为1000米，在路口B处绿灯时间为30秒，小车过路口A后，以36千米/小时的速度匀速行驶1分钟后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车要在这个绿灯能顺利通过B路口，求小车行驶速度v的取值范围为 　 ． 41．有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带2瓶，则剩余5瓶；若每人带4瓶，则有1个人带了矿泉水，但不足3瓶．这家人参加登山的人数为　 　 ． 42．杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有 　 　种购买方案． 43．七年级下册数学课本有如下6章：《相交线与平行线》、《实数》、《平面直角坐标系》、《二元一次方程组》、《不等式与不等式组》、《数据的收集、整理与描述》．期末试卷编题要求，每章至少有3个题，全卷总题数不超过26题，若本次期末试卷的全卷总题数为，则的取值范围是 ． 44．认真阅读下面三个人的对话． 小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）． 售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是有剩余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱． 旁观者：一盒饼干的标价可是整数哦！ 根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？ 45．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题： (1)笼中鸡、兔各有多少只？ (2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ 46．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过15立方米时，按基本价格x元/立方米进行收费；超过15立方米时，加价收费，超过的部分按y元/立方米收费.该市某户居民今年3、4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量(立方米) 水费(元) 3 16 50 4 20 70 5 m 不低于36元且不超过95元 （1）求x、y的值； （2）求该居民5月份用水量m的范围. 47．“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加． (1)比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？ (2)比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？ 48．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答） 49．如图，某农场准备用80米的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x米，宽为y米． （1）当y=22时，求x的值； （2）由于受场地条件的限制，y的取值范围为16≤y≤26，求x的取值范围． 50．为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨辆） 45 30 租金（元辆） 400 300 51．某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有（　　） A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 52．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 53．每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间．某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割．已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩． (1)求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？ (2)每台中型收割机和每台小型收割机每天的租金分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩，合作社计划租用两型收割机共8台，在5天时间内将小麦全部收割，要使租用收割机的总金额不超过65000元，试求出所有满足条件的租用方案．并指出最经济的方案，计算出此种方案的总租金． 54．如图，长青农产品加工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料甲运回工厂，经过加工后制成产品乙运B地，其中原料甲和产品乙的重量都是正整数．铁路运价为2元/（吨•千米），公路运价为8元/（吨•千米）． （1）若由A到B的两次运输中，原料甲比产品乙多9吨，工厂计划支出铁路运费超过5700元，公路运费不超过9680元，问购买原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？ （2）由于国家出台惠农政策，对运输农产品的车辆免收高速通行费，并给予一定的财政补贴，综合惠农政策后公路运输价格下降m（0＜m＜4且m为整数）元，若由A到B的两次运输中，铁路运费为5760元，公路运费为5100元，求m的值． 55．根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 56．2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元． (1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ (2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 57．某工厂为扩大生产规模，决定分三批采购A，B，C三种型号的设备，以加大生产力度，已知B型设备的单价是A型设备单价的2倍．第一批购进A，B，C三种设备的数量分别为10台，10台，15台，第二批购进A，B，C三种设备的数量分别比第一批对应数量增加了，采购总价比第一批采购总价提高了，第三批购进三种设备的总数量是第一批的倍，其中采购C型设备的数量最多，采购A型设备的数量最少，同时第三批的采购总价是第二批采购总价的倍，则该工厂第三批采购的A型设备与C型设备数量之比是 ． 58．某商店决定购进A、B两种小礼品．若购进A种小礼品15件，B种小礼品10件，需要450元；A种小礼品9件，B种小礼品12件，需360元． (1)求A、B两种小礼品每件进价各多少元？ (2)若该商店决定购进这两种小礼品共100件，考虑市场需求和资金周围，用于购买这100件小礼品的资金不少于1800元，但不超过1812元，那么该商店共有哪几种进货方案？ (3)已知该商店出售一件A种小礼品可获利t元，出售一件B种小礼品可获利元，在（2）的条件下，商店采用哪种进货方案获利最多？（商店出售的小礼品标价均不低于进价） 59．2024年央视春晚上的扑克牌魔术不仅是一场视觉盛宴，还是数学文化的传播．受此启发，小丽设计了一个魔术：从代表数字1到9的扑克牌中，依次抽出两张牌，记下牌面上的数字．将第一个数乘7后加6，然后乘3，再加上第二个数，最后减去8，得到计算结果．根据计算结果，可以知道抽出两张牌的牌面数字． (1)如果小明依次抽出两张牌的牌面数字是2和5，则计算结果是______； (2)如果小明得到的计算结果是143，求小明抽出两张牌的牌面数字； (3)如果小明得到的计算结果是106，小图思考片刻后，认为小明算错了．你赞成小图的观点吗？请说明理由． 60．一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 61．有一种规格为的标准板材，可按如图所示的两种裁法得到规格为的A型板材与规格为的B型板材． 项目 裁法一 裁法二 x（张） ______（张） A型板材（张） ______ B型板材（张） ______ （1）某公司装修需要A型板材140张，B型板材215张．现购得标准板材100张，将其全部裁完．设按裁法一裁剪的标准板材为x张． ①根据题意，完成以上表格： ②按以上两种裁法的张数来分，共有哪几种裁剪方案？ （2）若装修师傅购买标准板材若干张，按以上两种方法裁剪后，得到A型板材恰为140张，B型板材恰为a张，则购进的标准板材可以是______张（写出一种即可）． 62．甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍． (1)求甲、乙两人行驶的速度； (2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围； (3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由． 试卷第 1 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型目录 题型1 工程问题 1 题型2 销售问题 3 题型3 运输问题 5 题型4 计费问题 8 题型5 行程问题 10 题型6 积分问题 11 题型7 盈亏问题 13 题型8 数字问题 15 题型9 几何问题 18 题型10 方案问题 19 题型11 其他问题 23 题型1 工程问题 1．2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件． 【答案】每个小组原来平均每天生产49个零件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设每个小组原来平均每天生产x个零件，根据题意可知原来2个小组10天内生产的零件数小于1000，在每天比原来多生产2个零件后2个小组10天内生产的零件数大于1000，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：设每个小组原来平均每天生产x个零件， 根据题意，得， 解得． ∵x是整数， ∴． 答：每个小组原来平均每天生产49个零件． 2．“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． （1）甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ （2）已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 【答案】（1）甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里；（2）甲队4个月，乙队9个月； 【解析】 【分析】（1）设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，根据题意列式求解即可得到答案； （2）根据总费用不超过万元列式求解即可得到答案； 【详解】解：（1）解：设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，由题意可得， ， 解得：， 答：甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里； （2）解：由题意可得， 且、均为正整数， 解得， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴最低的施工方案是：甲队4个月，乙队9个月； 3．某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． （1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【答案】（1）每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每台型挖掘机一小时挖土立方米，每台型挖掘机一小时挖土立方米，根据“3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设调配台型挖掘机，则调配台型挖掘机，根据“不同数量的型和型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各调配方案． 【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得： 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7，8，9， 施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 题型2 销售问题 4．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 【详解】解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 5．圆圆去商店购买A，B两种书签，共用了10元钱，A种书签每枚1元，B种书签每枚2元．若每种书签至少买一枚，且A种书签的数量比B种书签的数量多，则A种书签至少购买 枚． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键．设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可． 【详解】解：设圆圆购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件， 根据题意得， 解得，， ∵x为整数，也为整数， ∴或6或8， ∴A种书签至少购买4枚． 故答案为：4． 6．某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品件和乙商品件，共需要资金元；若购进甲商品件和乙商品件，共需要资金元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ (2)该超市计划购进这两种商品共件，而可用于购买这两种商品的资金不超过元，根据市场行情，甲商品的售价为元，乙商品的售价为元，该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于元．则该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元 (2)有三种进货方案 【解析】 【分析】（1）设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解， （2）设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意列出不等式组，根据整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意得， ， 解得：， 答：甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元： （2）解：设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴，， ∴有三种进货方案， 题型3 运输问题 7．某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的应用，解题的关键是理解题意．设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，根据行李和学生人数列不等式组即可求解． 【详解】解：设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，对于人数需要满足：， 对于行李则要满足：， 故选：A． 8．某集团需运输一批物资，据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输物资850箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输物资1900箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用4000元．若运输物资不少于2050箱，且总费用不大于55000元．请问共有哪几种运输方案？ (3)在（2）的方案中，哪种方案所需费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输200箱物资，1辆小货车一次运输150箱物资 (2)整数，6，7．共有三种方案：5辆大货车，7辆小货车；6辆大货车，6辆小货车；7辆大货车，5辆小货车 (3)当有5辆大货车，7辆小货车时，费用最小，最小费用为53000元 【解析】 【分析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设有a辆大货车，辆小货车，根据题意列一元一次不等式组求解即可； （3）根据（2）中的方案，列式求解即可． 【详解】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资， 由题意可得：，解得：， 答：1辆大货车一次运输200箱物资，1辆小货车一次运输150箱物资； （2）设有a辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， ∴， ∴整数，6，7．共有三种方案； 即：5辆大货车，7辆小货车；6辆大货车，6辆小货车；7辆大货车，5辆小货车； （3）当有5辆大货车，7辆小货车时，费用元， 当有6辆大货车，6辆小货车时，费用元， 当有7辆大货车，5辆小货车时，费用元， ∵， ∴当有5辆大货车，7辆小货车时，费用最小，最小费用为53000元． 9．中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨 (2)第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆；第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆；第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆．大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元． 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车辆，根据题意可以列出不等式组，从而可以求得有几种方案，然后求出各方案的费用即可得出结论． 【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，则 ， 解得． 即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨； （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车（）辆，由题意可得， 解得： 故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆； 第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆； 第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆． 元； 元； 元； ∵ ∴大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元． 题型4 计费问题 10．某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 11．某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x干米，则x的范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 设甲地到乙地的路程为千米，根据题意列出一元一次不等式组，并求解即可获得答案． 【详解】解：设甲地到乙地的路程为千米， 根据题意，可得， 解得：． 故答案为：． 12．为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 （1）该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? （2）刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【答案】（1）该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元/度，第二阶梯电费单价为0.6元/度．；（2）他家最大用电量为300度． 【解析】 【分析】（1）设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度，根据刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设刘先生6月份用电量为度，根据刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】解：（1）解：设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度， 依题意得：， 解得：． 答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元度，第二阶梯电费单价为0.6元度． （2）解：设刘先生6月份用电量为度， 依题意得：， 解得：． 答：他家最大用电量为300度． 题型5 行程问题 13．若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速， 船只逆流速度船静水中的速度水流流速， 根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案． 【详解】根据题意，得， 故选：． 14．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，根据题意，得， 解得， ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是15， 故答案为：15． 15．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 　 　． 【答案】 【解析】 【分析】根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 题型6 积分问题 16．小亮和小颖共下了8盘围棋（没有平局），两人商定的规则为：小亮胜一盘记1分，小颖胜一盘记2分．下完第7盘后，小亮得分高于小颖；下完第8盘后，小颖得分高于小亮，小亮最终胜（    ） A．2盘 B．3盘 C．4盘 D．5盘 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的运用， 设小亮赢了x盘，然后列出一元一次不等式组，化简后得出x的取值范围，找出取值范围中的整数即可得出本题的答案． 【详解】解：设小亮最终胜了x盘． 根据题意得， 解得． ∵x为正整数 ∴ 答：小亮最终胜5盘． 故选：D． 17．学校工会举行了一场趣味排球比赛，比赛为单循环制，即所有参赛选手彼此只比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得2分、负者扣1分，平局各得1分．赛后统计结果，发现所有参赛者的得分总和为32分，且平局数至少有5局，那么本次趣味排球赛共有参赛选手 人． 【答案】7或8/8或7 【解析】 【分析】由比赛的规则可知每场比赛会有两种结果，一种结果一胜一负，一种结果两个平局，设所有参赛者共胜了x局，平局y局，则共负了x局，共赛了场，根据所有参赛者的得分总和为32分，即可得出x+y=32，进而可得出=32-，结合x为非负整数且y≥5，y为偶数，即可得出16≤≤29，设本次趣味排球赛共有参赛选手m人，则共赛了m（m-1）场，进而可得出32≤m（m-1）≤58，结合m为正整数即可得出m的值． 【详解】解：设所有参赛者共胜了x局，平局y局，则共负了x局，共赛了场， 依题意，得：2x+y-x=32， ∴x+y=32， ∴=32-． 又∵y≥5且y为偶数，x为非负整数， ∴16≤≤29． 设本次趣味排球赛共有参赛选手m人，则共赛了m（m-1）场， ∴16≤m（m-1）≤29， ∴32≤m（m-1）≤58． 又∵m为正整数， ∴m可以为7或8． 故答案为：7或8． 18．一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 甲 17 3 79 乙 11 9 37 (1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？ (2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分． (3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？ 【答案】(1)小亮的得分是72分 (2)参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分 (3)小王答对了17道题 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式和一元一次不等组的应用： （1）先根据表格列出二元一次方程组，求出的值，进而根据得分规则，列出算式进行计算即可； （2）设参赛学生要答对道题，总分才不会低于60分，列出不等式进行求解即可； （3）设小王答对了道题，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：， 故对1题得5分，答错或不答1题扣2分， ， 答：小亮的得分是72分； （2）设参赛学生要答对道题，由题意，得： ， 解得：， ∴参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分； （3）设小王答对了道题，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， 答：小王答对了17道题． 题型7 盈亏问题 19．八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设同学人数为x人，植树的棵数为棵，有植树但植树棵数不到3棵意思是植树棵数在1棵和3棵之间，包括1棵，不包括3棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入列出不等式组，解不等式组即可得解，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键． 【详解】解：设同学人数为x人，植树的棵数为棵， ∵有1位同学有植树但植树的棵数不到3棵，植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为 解不等式组得：， ∵人数要取非负整数， ∴ 故选：A． 20．现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍间数为 ． 【答案】5或6 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式组．设宿舍间数为x,则住宿生有人，若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，据此可列不等式组，求得，因x为正整数，即可得到答案． 【详解】解：设宿舍为x间，则住宿生有人， 根据题意得， 解得， ∵x为正整数， ∴x可取5或6， 故答案为：5或6． 21．把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【答案】学生最少有5名，奖品至少有22个 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．设学生有x人，则有奖品本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有名，根据题意得： ， 解得：， 因为为学生人数，只能为正整数， 所以或，则学生最少有5名， 当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个）， 答：学生最少有5名，奖品至少有22个． 题型8 数字问题 22．有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，且这个两位数在50和70之间，则这个两位数是 ． 【答案】53或64 【解析】 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为：x+2， 可得50＜10(x+2)+x＜70，再解不等式组可得答案． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为：x+2， 由题意得，50＜10(x+2)+x＜70， ∴ 50＜11x+20＜70， ∴ 30＜11x＜50， ∴ ＜x＜， ∵x为非负整数， ∴x=3或x=4， ∴这个两位数为：53或64． 故答案为：53或64． 23．若一个自然数，其十位数字比个位数字大3，百位数字比十位数字大3，千位数字比百位数字大3，… ，这样的数，我们称为“大3数”． 例如：52，9630．写出一个两位数，要求既是奇数又是“大3数” ．将一个两位的“大3数”，再加上这个“大3数”各位数字之和的2倍，所得的结果能被4整除，求满足条件的两位“大3数”的和 ． 【答案】 41或63或85 104 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和一元一次方程的应用．设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是，根据， 得到，结合是奇数，确定，计算即可；设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是，根据题意，，根据所得的结果能被4整除，分类计算即可． 【详解】设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是， 根据题意，得， ∴， ∵是奇数， ∴， ∴既是奇数又是“大3数”的两位数有41或63或85； 故答案为：41或63或85． 设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是， 根据题意，得， ∵所得的结果能被4整除， ∴是整数即可，且， 故或， ∴所有“大3数”是30或74， ∴， 故答案为：． 24．一个正数N的各位数字不全相等，且都不为为0，现要将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数与最小数的差记为N的“差数”，此最大数与最小数的和记为N的“和数”，例如，245的“差数”为542-245=297，“和数”为：542+245=787， 一个四位数M，其中千位数字和百位数字为a，十位数字为1，个位数字为b（且a≥1，b≥1）若它的“和数”是6666，求M的“差数”． 【答案】4356或3996 【解析】 【分析】分a>b，a=b，a<b，三种情况讨论，分别利用和数列出方程，求出a，b，从而确定这个数并求“差数”． 【详解】①当a>b时，最大数千位数字和百位数字为a，十位数字为b，个位数字为1， 即最大数是， 最小数千位数字为1，百位数字为b，十位数字和个位数字为a， 即最小数是． ∵M的“和数”是6666， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 将代入解得， 所以这个数是5511，最大数是5511，最小数是1155，所以M的“差数”是：5511-1155=4356． ②当a=b时，最大数千位数字、百位数字和十位数字为a，个位数字为1，此时 即最大数是， 最小数千位数字为1，百位数字、十位数字和个位数字为a， 即最小数是． ∵M的“和数”是6666， ∴， ∴（不是整数舍去）， 即此时无解． ③当a<b时，最大数千位数字为b，百位数字和十位数字为a，个位数字为1， 即最大数是， 最小数千位数字为1，百位数字和十位数字为a，个位数字为b， 即最小数是． ∵M的“和数”是6666， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 将代入解得(不是整数，舍去)， 将代入解得， ∴这个数是3315，最大数是5331，最小数是1335，所以M的“差数”是：5331-1335=3996． 综上所述，M的“差数”为4356或3996． 题型9 几何问题 25．用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度AC＝30m，要使靠墙的一边长不小于25rn，那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围为（　　） A．0≤x≤5 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直于墙的一边长为xm知AC＝（40﹣3x）m，再根据“靠墙的一边长不小于25m且不超过30m”列出关于x的不等式组，解之即可． 【详解】解：垂直于墙的一边长为xm， 则AC＝（40﹣3x）m， 根据题意，得：25≤40﹣3x≤30， 解得x≤5， 故选：D． 26．如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过 秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设运动时间为t秒，根据题意可得，解得，当时，此时第一次两动点相距100米，当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米，据此可得答案． 【详解】解：设运动时间为t秒， 由题意得，， 解得， 当时，此时第一次两动点相距100米，此时甲、乙位置如图所示， 当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米， ∴此时两动点都在上， ∴经过70秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 故答案为：70． 27．已知用于国际比赛的足球场的长在之间，宽在之间．一个长方形足球场的长为，宽为，如果它的周长大于，而面积小于，求的取值范围，并判断这个足球场是否可以用于国际比赛． 【答案】这个足球场可以用于国际足球比赛 【解析】 【分析】长方形足球场的长为，根据长方形的周长大于，而面积小于，列不等式组进行求解即可得． 【详解】解：长方形足球场的长为，根据题意，得 ， 解这个不等式组，得， 已知用于国际比赛的足球场的长在之间，而这个足球场的长在之间，宽符合标准，因此这个足球场可以用于国际足球比赛． 题型10 方案问题 28．学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． (2)共有3种方案． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【详解】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根． 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 29．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人 (2)见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键． （1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可； （2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，根据题意列出不等式组求出整数解即可． 【详解】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人； （2）解：师生总数为（人）， ∵每位老师负责一辆车的组织工作， ∴一共租8辆车， 设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆， 根据题意，得： ， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可取3，4，5， ∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． 30．小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并且，当卖出特色文化书签个和特色中性笔支时，获得总利润元． (1)求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？ (2)校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为，并且投入的总成本不超过元，获得的总利润不少于元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？ (3)义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足，则a的值可能为多少？说明理由． 【答案】(1)每个特色文化书签的售价是元，每支特色中性笔的售价是元； (2)见详解； (3)或或； 【解析】 【分析】（1）本题考查一元一次方程的应用，设特色中性笔售价为x元，则特色文化书签的售价为元，根据利润列方程求解即可得到答案； （2）本题考查不等式组择优方案的运用，设特色中性笔的数量为b，则特色书签的数量为，根据总金额及利润列不等式组求解即可得到答案； （3）本题考查不等式整数解问题，根据利润求出特色笔的数量是正整数即可得到答案； 【详解】（1）解：设特色中性笔售价为x元，则特色文化书签的售价为元，由题意可得， ， 解得：，， 答：每个特色文化书签的售价是元，每支特色中性笔的售价是元； （2）解：设特色中性笔的数量为b支，则特色书签的数量为个，由题意可得， ， 解得：， ∴方案为： ①    购买特色中性笔支，特色书签个； ②    购买特色中性笔支，特色书签个； ③    购买特色中性笔支，特色书签个； ④    购买特色中性笔支，特色书签个； ⑤    购买特色中性笔支，特色书签个； （3）解：或或，理由如下， 由题意可得， 特色书签的数量为：， ∵，且是整数， ∴是3的倍数， ∴或或． 题型11 其他问题 31．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 32．鱼缸里饲养两种鱼，种鱼的生长温度的范围是，种鱼的生长温度的范围是，那么鱼缸里的温度应该控制在 范围内 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，求不等式组解集的公共部分即可． 【详解】解：由题意，解得：20≤x≤25， 故答案为：20≤x≤25． 33．有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生念外语，还剩下不足6位同学在操场踢足球”．试问这个班有多少位学生？ 【答案】这个班有28位学生 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，根据一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，可知该班学生一定是2、4、7的倍数，从而可以解答本题． 【详解】解：设这个班有x人， 由题意可得：， 解得，， 又∵一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语， ∴该班学生一定是2、4、7的倍数， ∴， 答：这个班有28位学生． 34．用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】如果设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组． 【详解】解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物． ∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空， ∴装满的有x﹣1辆车， 由题意，得， 即：． 故选：D． 35．将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友（　　） A．7位 B．6位 C．5或6位 D．37或42位 【答案】C 【解析】 【分析】设有x位小朋友，则共有（5x+12）个苹果，根据“若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出结论． 【详解】解：设有x位小朋友，则共有（5x+12）个苹果， 依题意得：， 解得：4＜x， 又∵x为整数， ∴x＝5或6． 故选：C． 36．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】解：根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 37．1．某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元的资金购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元．若每种笔记本至少买5本，则购买方案有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式组的应用，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 设购买x本A种笔记本，根据B种笔记本的数量分类讨论即可解答． 【详解】解：设购买x本A种笔记本，y本B种笔记本．则，， 当购买5本B种笔记本时， ∴，解得：， 又∵为正整数， ∴x可以为5，6， ∴当购买5本B种笔记本时，有2种购买方案； 当购买6本B种笔记本时， ，解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为5， ∴购买6本B种笔记本时，有3种购买方案； 当购买7本B种笔记本时，， 不等式组无解，即不存在该种情况． 上所述，购买方案共有（种）． 故选：C． 38．研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，熟悉掌握不等式的运算法则是解题的关键． 根据心率的最高值和最低值列出不等式，再把年龄代入求解即可． 【详解】解：∵最佳燃脂心率最高值为，最低值为， ∴ ∴把年龄代入可得：， ∴， ∴不等式的解集为：， 故选：C． 39．为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，则学校购买篮球 　 个． 【答案】11 【解析】 【分析】设学校购买x个篮球，则购买（20﹣x）个足球，根据“学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出结论． 【详解】解：设学校购买x个篮球，则购买（20﹣x）个足球， 根据题意得：， 解得：10＜x≤11， 又∵x为正整数， ∴x＝11， ∴学校购买篮球11个． 故答案为：11． 40．绿波路段是城市交通管理的一项重要措施，它能够有效地解决交通拥堵问题，提高交通效率，为城市的可持续发展做出贡献，如图是绿波路段的一部分，该路段限速60千米/小时，AB间的距离为1000米，在路口B处绿灯时间为30秒，小车过路口A后，以36千米/小时的速度匀速行驶1分钟后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车要在这个绿灯能顺利通过B路口，求小车行驶速度v的取值范围为 　 ． 【答案】48km/h≤v≤60km/h． 【解析】 【分析】利用路程＝速度×时间，结合AB间的距离及该路段的限速，可列出关于v的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：48≤v≤60， ∴小车行驶速度v的取值范围为48km/h≤v≤60km/h． 故答案为：48km/h≤v≤60km/h． 41．有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带2瓶，则剩余5瓶；若每人带4瓶，则有1个人带了矿泉水，但不足3瓶．这家人参加登山的人数为　 　 ． 【答案】4 【解析】 【分析】设登山人数为x人，则矿泉水有（2x+5）瓶，根据题意列出不等式组，解不等式组后确定整数解即可． 【详解】解：设登山人数为x人，则矿泉水有（2x+5）瓶， 依题列方程组得：， 解得， ∵人数应为整数， ∴x＝4， 即这家人参加登山的人数为4人， 答：这家人参加登山的人数为4人． 故答案为：4． 42．杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有 　 　种购买方案． 【答案】3 【解析】 【分析】设购买篮球x个，则购买足球（100﹣x）个，利用总价＝单价×数量，结合“篮球购买的数量不少于40个，且总价不超过10260元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出共有3种购买方案． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买足球（100﹣x）个， 依题意得：， 解得：40≤x≤42． 又∵x为正整数， ∴x可以为40，41，42， ∴共有3种购买方案． 故答案为：3． 43．七年级下册数学课本有如下6章：《相交线与平行线》、《实数》、《平面直角坐标系》、《二元一次方程组》、《不等式与不等式组》、《数据的收集、整理与描述》．期末试卷编题要求，每章至少有3个题，全卷总题数不超过26题，若本次期末试卷的全卷总题数为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】设本次期末试卷的全卷总题数为，根据七年级下册数学课本有6章，每章至少有3个题，全卷总题数不超过26题，即可列出关于的不等式组． 【详解】解：设本次期末试卷的全卷总题数为，根据题意得， ， 解得． 故答案为：． 44．认真阅读下面三个人的对话． 小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）． 售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是有剩余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱． 旁观者：一盒饼干的标价可是整数哦！ 根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？ 【答案】饼干的标价为每盒9元，牛奶的标价为每袋1.1元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用．设一盒饼干x元，则一袋牛奶为元，根据元买一盒饼干有剩余的钱，买一盒饼干和一袋牛奶10元不够，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设一盒饼干x元，则一袋牛奶为元，根据题意得： ， 解得：， ∵一盒饼干的价钱为整数元， ∴， （元）， 答：一盒饼干9元，则一袋牛奶为1.1元． 45．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题： (1)笼中鸡、兔各有多少只？ (2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ 【答案】(1)笼中鸡有23只，兔有12只 (2)这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元 【解析】 【分析】（1）设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设笼中有m只鸡，则兔有只，根据“笼中鸡兔至少30只且不超过32只”列出不等式，再根据“鸡每只值80元，兔每只值60元”解答即可． 【详解】（1）解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只， 依题意得：， 解得：. 答：笼中鸡有23只，兔有12只； （2）设笼中鸡有只，则兔有只， 依题意得：， 解得：13≤≤17. ∵为整数 ∴=13、14、15、16、17 ①当=13时， 这笼鸡兔共值80×13+60×17=2060（元） ②当=14时， 此种情况不符合题意 ③当=15时， 这笼鸡兔共值80×15+60×16=2160（元） ④当=16时， 此种情况不符合题意 ⑤当=17时， 这笼鸡兔共值80×17+60×15=2260（元） 综上所述，当=13，=15，=17，符合实际意义 答：这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元. 46．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过15立方米时，按基本价格x元/立方米进行收费；超过15立方米时，加价收费，超过的部分按y元/立方米收费.该市某户居民今年3、4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量(立方米) 水费(元) 3 16 50 4 20 70 5 m 不低于36元且不超过95元 （1）求x、y的值； （2）求该居民5月份用水量m的范围. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当x≤15时；当x>15时，求得用户用水为x立方米时的水费，列出方程组求解即可； （2）根据所交水费，列出不等式组求解即可. 【详解】解：（1）设基本水费价格为：x元/立方米，超过的部分的水费价格为：y元/立方米， 根据题意得， ， 解这个方程组得， 答：该市居民用水的基本价格为3元/立方米，超过15立方米部分的价格为5元/立方米. （2）根据题意得， 解之得， ∴该居民5月份用水量m的范围是 47．“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加． (1)比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？ (2)比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？ 【答案】(1)该班级胜了6场，负了8场 (2)该班级在这场比赛中多选题最多能得44分 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审请题意、正确列出方程组和不等式组成为解题的关键． （1）设该班级胜了x场，负了y场．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设该班级在这场比赛中全部选对的有道，则选对但选不全的有道．然后根据题意列不等式组求解，然后根据实际意义即可解答． 【详解】（1）解：设该班级胜了x场，负了y场． 根据题意，得解得． 答：该班级胜了6场，负了8场． （2）解：设该班级在这场比赛中全部选对的有道，则选对但选不全的有道． 根据题意可列出不等式组解得：． 根据题意知全部选对的题越多，得分越多． 当时，多选题得分最多，为（分）． 答：该班级在这场比赛中多选题最多能得44分． 48．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答） 【答案】见解析 【解析】 【分析】设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，根据“如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵”，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出结论． 【详解】解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树， 依题意，得：， 解得：44＜x＜45， 又∵x为正整数， ∴x＝45，3x+86＝221． 答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树． 49．如图，某农场准备用80米的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x米，宽为y米． （1）当y=22时，求x的值； （2）由于受场地条件的限制，y的取值范围为16≤y≤26，求x的取值范围． 【答案】（1）x=29（2）27≤x≤32 【解析】 【分析】（1）由题意得2x+y=80，再将y=22代入即可求x； （2）由题意可得16≤80﹣2x≤26，求出x的范围即可． 【详解】解：（1）由题意得2x＋y=80， 当y=22时，2x+22=80， ∴x=29； （2）∵16≤y≤26，y=80﹣2x, ∴， ∴27≤x≤32． 50．为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨辆） 45 30 租金（元辆） 400 300 【答案】最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆，费用是2200元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，先设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，再根据为正整数，求出租车方案，再分别求出每种方案的费用，即可得出答案，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系列出不等式组，注意为正整数． 【详解】设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意得： ， 解得：， 为正整数， 共有两种方案， 方案1：租甲型货车4辆，乙型货车2辆， 方案2：租甲型货车5辆，乙型货车1辆， 方案1的费用为：元； 方案2的费用为：元； ∵， 则选择方案1最省钱， 即最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆． 51．某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有（　　） A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 【答案】C 【解析】 【分析】当购买6本B种笔记本时，分购买4本B种笔记本、购买5本B种笔记本及购买6本B种笔记本及购买7本B种笔记本四种情况考虑，根据“A种笔记本至少购买4本，且总价不超过100元”，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，即可得出购买方案的数量． 【详解】解：设购买x本A种笔记本． 当购买4本B种笔记本时，， 解得：4≤x， 又∵x为正整数， ∴x可以为4，5，6，7， ∴当购买4本B种笔记本时，有4种购买方案； 当购买5本B种笔记本时，， 解得：4≤x， 又∵x为正整数， ∴x可以为4，5，6， ∴购买5本B种笔记本时，有3种购买方案； 当购买6本B种笔记本时，， 解得：4≤x≤5， 又∵x为正整数， ∴x可以为4，5， ∴当购买6本B种笔记本时，有2种购买方案； 当购买7本B种笔记本时，， 不等式组无解，即不存在该种情况． 上所述，购买方案共有4+3+2＝9（种）． 故选：C． 52．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 【详解】解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 53．每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间．某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割．已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩． (1)求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？ (2)每台中型收割机和每台小型收割机每天的租金分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩，合作社计划租用两型收割机共8台，在5天时间内将小麦全部收割，要使租用收割机的总金额不超过65000元，试求出所有满足条件的租用方案．并指出最经济的方案，计算出此种方案的总租金． 【答案】(1)每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩 (2)方案1、租用5台中型收割机，3台小型收割机；方案2、租用6台中型收割机，2台小型收割机；最经济的方案为：方案1，此种方案的总租金为60000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准各数量之间的关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）设每台中型收割机平均每天收割小麦亩，每台小型收割机平均每天收割小麦亩，根据“1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩”，可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用台中型收割机，则租用台小型收割机，根据“恰好用5天时间将小麦全部收割，且租用收割机的总费用不超过65000元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租用方案，分别计算各租用方案的租金进行比较即可． 【详解】（1）解：设每台中型收割机平均每天收割小麦亩，每台小型收割机平均每天收割小麦亩， 由题意得：， 解得：， 答：每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩； （2）解：设租用台中型收割机，则租用台小型收割机， 由题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为5或6， 共有2种租用方案， 方案1、租用5台中型收割机，3台小型收割机； 方案2、租用6台中型收割机，2台小型收割机； 方案1租金为：（元）， 方案2租金为：（元）， ， 最经济的方案为：方案1：租用5台中型收割机，3台小型收割机，此种方案的总租金为60000元． 54．如图，长青农产品加工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料甲运回工厂，经过加工后制成产品乙运B地，其中原料甲和产品乙的重量都是正整数．铁路运价为2元/（吨•千米），公路运价为8元/（吨•千米）． （1）若由A到B的两次运输中，原料甲比产品乙多9吨，工厂计划支出铁路运费超过5700元，公路运费不超过9680元，问购买原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？ （2）由于国家出台惠农政策，对运输农产品的车辆免收高速通行费，并给予一定的财政补贴，综合惠农政策后公路运输价格下降m（0＜m＜4且m为整数）元，若由A到B的两次运输中，铁路运费为5760元，公路运费为5100元，求m的值． 【答案】（1）见解析（2）3 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决； （2）根据题意可以得到相应的方程组，从而可以求得m的值． 【详解】解：（1）设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨， ， 解得，11.8＜x≤14 ∵x为整数， ∴x＝12，13，14， ∴x+9为21，22，23， ∴购买原料甲有三种方案，分别是21吨、22吨、23吨； （2）设运送原料甲a吨，运送产品乙b吨， 化简，得 ， ∵a、b都为正整数，0＜m＜4且m为整数， ∴当m＝1时，求得a、b不是整数，故不符合题意； 当m＝2时，求得a、b不是整数，故不符合题意； 当m＝3时，得a＝21，b＝12， 由上可得，m的值为3． 55．根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 【答案】任务1：长方体的高度为；任务2：共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒；任务3：方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为2350元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； 任务3：根据题意列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； 任务3：由题意，根据任务2中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为（元）． 56．2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元． (1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ (2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务． (2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 【解析】 【分析】（1）设乙单独完成需要个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．”建立分式方程求解即可； （2）由题意可得：，可得，结合，，可得，结合都为正整数，可得为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案． 【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则 ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； 答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务． （2）由题意可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∵都为正整数， ∴为3的倍数， ∴或或， ∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式， 方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元）， 方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元）， 方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元）， ∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 57．某工厂为扩大生产规模，决定分三批采购A，B，C三种型号的设备，以加大生产力度，已知B型设备的单价是A型设备单价的2倍．第一批购进A，B，C三种设备的数量分别为10台，10台，15台，第二批购进A，B，C三种设备的数量分别比第一批对应数量增加了，采购总价比第一批采购总价提高了，第三批购进三种设备的总数量是第一批的倍，其中采购C型设备的数量最多，采购A型设备的数量最少，同时第三批的采购总价是第二批采购总价的倍，则该工厂第三批采购的A型设备与C型设备数量之比是 ． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查三元一次方程及不等式组的应用，设A型设备的单价为x，C型设备的单价为y，则B型设备的单价为，根据题意列出方程得出，设第三批购进a台A型设备，b台B型设备，c台C型设备，列出方程组及不等式组求解即可，理解题意，分析清楚各个变量之间的关系是解题关键． 【详解】解：设A型设备的单价为x，C型设备的单价为y，则B型设备的单价为， 根据题意得： ， ∴， 设第三批购进a台A型设备，b台B型设备，c台C型设备， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵a，b，c均为正整数， ∴，b，均为正整数， ∴， ∴， ∴第三批采购的A型设备与C型设备数量之比是， 故答案为：． 58．某商店决定购进A、B两种小礼品．若购进A种小礼品15件，B种小礼品10件，需要450元；A种小礼品9件，B种小礼品12件，需360元． (1)求A、B两种小礼品每件进价各多少元？ (2)若该商店决定购进这两种小礼品共100件，考虑市场需求和资金周围，用于购买这100件小礼品的资金不少于1800元，但不超过1812元，那么该商店共有哪几种进货方案？ (3)已知该商店出售一件A种小礼品可获利t元，出售一件B种小礼品可获利元，在（2）的条件下，商店采用哪种进货方案获利最多？（商店出售的小礼品标价均不低于进价） 【答案】(1)A，B两种小礼品的价格分别为20元和15元 (2)3种方案方案，一：购买60件A种小礼品，40件B种小礼品；方案二：购买61件A种小礼品，39件B种小礼品；方案三：购买62件A种小礼品，38件B种小礼品． (3)当时，三种方案获利相同；当时，方案一获利最多；当时，方案三获利最多 【解析】 【分析】（1）设A，B两种小礼品的价格分别为x元和y元，由题意列出二元一次方程组即可求解． （2）设购买A种小礼品a件，则购买B种小礼品件，根据不等关系列出不等式组即可求解． （3）分类讨论：当时；当时；当时，带入3种方案，计算即可求解． 【详解】（1）解：设A，B两种小礼品的价格分别为x元和y元，则 ，解得， ∴A，B两种小礼品的价格分别为20元和15元． （2）设购买A种小礼品a件，则购买B种小礼品件， 故， 解得：． ∵a是整数， ∴，61，62， ∴，39，38， ∴共有3种方案，分别如下： 方案一：购买60件A种小礼品，40件B种小礼品； 方案二：购买61件A种小礼品，39件B种小礼品； 方案三：购买62件A种小礼品，38件B种小礼品． （3）由题可得，， 方案一可获利元；方案二可获利元；方案三可获利元． ∴当时， 则方案一可获利（元）； 方案二可获利（元）； 方案三可获利（元）； 则三种方案获利相同； 当时， 假设， 则方案一可获利（元）； 方案二可获利（元）； 方案三可获利（元）； 则方案一获利最多； 当时， 假设， 则方案一可获利（元）； 方案二可获利（元）； 方案三可获利（元）； 则方案三获利最多． 59．2024年央视春晚上的扑克牌魔术不仅是一场视觉盛宴，还是数学文化的传播．受此启发，小丽设计了一个魔术：从代表数字1到9的扑克牌中，依次抽出两张牌，记下牌面上的数字．将第一个数乘7后加6，然后乘3，再加上第二个数，最后减去8，得到计算结果．根据计算结果，可以知道抽出两张牌的牌面数字． (1)如果小明依次抽出两张牌的牌面数字是2和5，则计算结果是______； (2)如果小明得到的计算结果是143，求小明抽出两张牌的牌面数字； (3)如果小明得到的计算结果是106，小图思考片刻后，认为小明算错了．你赞成小图的观点吗？请说明理由． 【答案】(1)57 (2)6，7 (3)赞成，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，列出不等式组． （1）根据题意列式计算即可； （2）设小明抽出两张牌的牌面数字依次为x，y，，根据小明得到的计算结果是143得出，整理得出，根据得出，求出，根据x取正整数，得出，再求出y即可； （3）设小明抽出两张牌的牌面数字依次为x，y，，计算结果是106得出，得出，再根据解析（2）的方法得出，根据x取整数，得出没有适合x的值，即可证明结论． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：设小明抽出两张牌的牌面数字依次为x，y，，根据题意得： ， 整理得：， ∴， ∴， 解得：， ∵x取正整数， ∴， ∴， ∴小明抽出两张牌的牌面数字为6，7． （3）解：赞成；理由如下： 设小明抽出两张牌的牌面数字依次为x，y，，根据题意得： ， 整理得：， ∴， ∴， 解得：， ∵x取正整数， ∴没有适合x的值， ∴小明得到的计算结果不可能是106． 60．一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 【答案】(1)这两种水果获得的总利润为元； (2)该经营户第二天批发车厘子，苹果 【解析】 【分析】（1）设第一天，该经营户批发车厘子，苹果，根据该经营户用元批发了车厘子和苹果共，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润每千克的销售利润销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）该经营户购进车厘子，则购进苹果，根据“车厘子的进货量不低于，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发车厘子，苹果， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：这两种水果获得的总利润为元； （2）设第二天，该经营户购进车厘子，则购进苹果， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴， ∴． 答：该经营户第二天批发车厘子，2苹果． 61．有一种规格为的标准板材，可按如图所示的两种裁法得到规格为的A型板材与规格为的B型板材． 项目 裁法一 裁法二 x（张） ______（张） A型板材（张） ______ B型板材（张） ______ （1）某公司装修需要A型板材140张，B型板材215张．现购得标准板材100张，将其全部裁完．设按裁法一裁剪的标准板材为x张． ①根据题意，完成以上表格： ②按以上两种裁法的张数来分，共有哪几种裁剪方案？ （2）若装修师傅购买标准板材若干张，按以上两种方法裁剪后，得到A型板材恰为140张，B型板材恰为a张，则购进的标准板材可以是______张（写出一种即可）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）①根据裁法一可知，一块标准板可裁一张，3张；根据裁法二可知，一块标准板可裁2张，1张，由此可完成表格．②根据型板材共不小于140张，型板材共不小于215张，作为不等关系列不等式组求其正整数解，即可求得裁板方案； （2）结合（1）中不等式组即可求解． 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 【详解】（1）解：①依题意， 标准板材裁法一（张 标准板材裁法二（张 型板材（张 型板材（张 ②由题意，得 ， 解得， 又是整数， ，59，60； 答：共有三种裁剪方案：按裁法一裁剪58张，按裁法二裁剪42张；按裁法一裁剪59张，按裁法二裁剪41张；按裁法一裁剪60张，按裁法二裁剪40张． （2）解：设标准板中有张按裁法1裁剪，有张按裁法2裁剪， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 由于为正整数，则，46，47， 则，48，46， 故标准板材为：95张，94张，93张， 故答案为：95（答案不唯一）． 62．甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍． (1)求甲、乙两人行驶的速度； (2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围； (3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时 (2) (3)当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据甲的路程和时间求出速度，从而得到乙的速度； （2）根据题意列出不等式组，解之可得x的范围； （3）分若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，两种情况，列出不等式组，根据解集即可得解． 【详解】（1）解：由题意，知甲从A地到B地用了2小时，行程是40千米， ∴甲行驶的速度是（千米/时）．                     ∵乙的速度是甲的3倍， ∴乙行驶的速度是（千米/时）． 答：甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时． （2）由题意，得， 解之，得． 答：所求的取值范围是． （3）∵， ∴由（2）可知，当时，在甲从B地到C地的行驶过程中，乙与甲第一次相遇．                                         若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中， 则，即，此不等式组无解．         若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中， 则有， 解之，得． 答：当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是． 试卷第 1 页，共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$