第19章 矩形、菱形与正方形拓展之最值篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）
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内容正文：
第19章 矩形、菱形与正方形拓展之最值篇思维导图
【类型覆盖】
类型一、平行线之间的距离最短
【解惑】如图，已知平行四边形的顶点A、 C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．过点作直线，过点作轴，证明，当最小时，对角线取得最小值，即可得到答案．
【详解】解：过点作直线，过点作轴，直线与交于点，与轴交于点，直线与交于点，
平行四边形，
，
直线和均垂直于轴，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
由于的长不变，故当最小时，即点在轴上时，对角线取得最小值，
最小值为，
故选D．
【融会贯通】
1．如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，交于点，过点作于点，连接，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点与点，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解．
【详解】解：设，交于点，过点作于点，连接，如图所示，
在平行四边形中，，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
在中，，
，
，
当点与点重合时，最小，
的最小值为．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三线合一、勾股定理解直角三角形、垂线段最短，解题关键是利用等面积法求解．
2．如图，在等边三角形中，，M为上一点（不与A，C重合），连接，以，为邻边作，则的最小值为
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识点，由平行四边形的性质可得，，当时，此时有最小值，即可求解．灵活运用这些性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图，设与交于点，连接，
四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，，
，，
，则
，
当时，此时有最小值，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
3．如图，在中，，，，为斜边边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识．在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
在中，，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴，
当时，有最小值，
此时：，
故答案为：．
类型二、矩形的对角线最短
【解惑】如图，在中，，且，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为 （ ）
A．5 B．12 C． D．13
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短，矩形性质，解题的关键是掌握矩形对角线相等．
连接，根据勾股定理求出，通过证明四边形为矩形，得出，则当时，最小，根据，即可解答．
【详解】解：连接，
∵，且，，
∴根据勾股定理可得，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，最小，
此时，
∴，
解得：，
∴的最小值为．
故选：C．
【融会贯通】
1．如图，在中，，点是斜边上的一个动点，于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8
【答案】D
【分析】本题考查动点最值问题-点线模型，涉及勾股定理、矩形的判定与性质、等面积法求线段长等知识，先由勾股定理求出，再由题意判断出四边形是矩形，进而根据矩形性质得到，从而由动点最值问题-点到直线上点的距离垂线段最短，利用等面积法列方程求解即可得到答案，熟练掌握勾股定理、矩形的判定与性质及动点最值问题的求法是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
在中，，
由勾股定理可得，
于点，于点，
四边形是矩形，则，即求的最小值为就是求线段的最小值，
为定点，点是斜边上的一个动点，
当时，取到最小值，
由可得，则的最小值为，
故选：D．
2．如图，在中，，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，点为的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，求出的最小值是解题的关键．
根据矩形的性质就可以得出，，互相平分，且，垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，由勾股定理求出，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：∵，，，
∴
∴四边形是矩形，
，互相平分．且，
，的交点就是点．，
当的值最小时，的值就最小，
当时，的值最小，即的值最小．
，
∴
在中， ，，
得．
．
故答案为：．
3．如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的长是 ，的最小值是 ．
【答案】 10 4.8
【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．先由勾股定理求出，连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长．
【详解】解：中，，，，
，
连接，
∵于点，于点，
四边形是矩形，
，
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，
．
故答案为：10；4.8．
类型三、将军饮马(最小值)
【解惑】如图，已知菱形的两条对角线分别为10和24，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则的最小值是（ ）
A．13 B．10 C．24 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，作M关于的对称点Q，连接，交于P，连接，此时的值最小，连接，求出，根据勾股定理求出长，证出，即可得出答案．
【详解】解：作M关于的对称点Q，连接，交于P，连接，此时的值最小，
∵四边形是菱形，
∴，
即Q在上，
∵，
∴，
∵M为中点，
∴Q为中点，
∵N为中点，四边形是菱形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
∴，
故选：A．
【融会贯通】
1．如图，点E为正方形的边上一点，且，F为上的一动点，连接和，若，则的最小值是（ ）
A．9 B．10 C． D．12
【答案】B
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，由于四边形是正方形，故可得出点与点关于直线对称，连接，则线段的长就是的最小值．熟知两点之间，线段最短是解答此题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
点与点关于直线对称，
如图，连接交于，
，
当三点共线时，最小，即线段的长就是的最小值，
，，
，，
在中，，
，
的最小值为10，
故选：B．
2．如图，正方形的边长是，点是边上的一个点，且，是对角线上的一个动点，连接和，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了最短路线问题，正方形的性质、勾股定理，连接，由正方形性质可得点与点关于对称，，，则，由，即有，当三点共线时，最小，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴点与点关于对称，，，
∴，
∵，
∴，
∴当三点共线时，最小，
如图，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
3．已知菱形的边长为2，，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，连接，由菱形的性质可得，当三点共线时，则有最小值，证明是等边三角形，由点为的中点，可得，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，点为对角线上一个动点，
∴垂直平分，
，
，
当三点共线时，则有最小值，
，，
是等边三角形，
又是的中点，菱形的边长为，
，，，
∴，
中，，
的最小值为，
故答案为：．
类型四、三点共线(最大值)
【解惑】如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 并延长交于P，则此时，的值最大，且的最大值为，根据全等三角形的性质得到，，得到，过M作于N，得到四边形是矩形，得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在矩形中，，，
，
连接并延长交于，
则此时，的最大，且的最大值为，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴
过作于，
四边形是矩形，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，四边形是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1），，直线过A、C两点，P是上一动点，当的值最大时，P点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质，点E关于直线l的对称点E′的坐标为（1，1），连接DE′，与直线l的交点即为P点，此时的值最大，根据待定系数法求得直线PD解析式，然后与直线l的解析式联立，解方程组即可求得P的坐标．
【详解】解：∵四边形是边长为6的正方形，
∴AC垂直平分OB，直线l为y=-x+6，
∴点E关于直线l的对称点在OB上，
∵，B（6,6），
∴，
∴（1,1），
连接，与直线l的交点即为P点，此时的值最大，如图，
设直线PD解析式为：y=kx+b，
将D（4，-1），（1,1）代入解析式得：
，
解得，
∴直线PD解析式为：，
解，得，
∴当的值最大时，P点的坐标为（13，-7），
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、正方形的性质、解题的关键是学会利用对称，根据两点之间线段最短，解决最小值问题，根据三角形的两边之差小于第三边，确定最大值问题，属于中考常考题型．
2．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与版比例函数（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求反比例函数的解析式为 ．
（2）根据图象直接写出kx＋b＜的x的取值范围为 ．
（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的动点，当|DE－PE|最大时，求点E的坐标为 ．
【答案】 0＜x＜4 E．
【分析】(1)由且，利用三线合一得到O是AB的中点，求出的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P坐标代入反比例解析式求出的值，即可确定出反比例解析式；
(2)观察图象即可求解；
(3)假设存在这样的D点，是四边形BCPD为菱形，根据菱形的特点得出D点的坐标，进而求解．
【详解】(1)∵，，，
∴O是AB的中点，即，
∴，，
将代入反比例解析式得：，
即反比例解析式为，
(2)观察图象可知：时的取值范围为，
(3)假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，
连接DC交PB于F，如图所示：
∵四边形BCPD为菱形，
∴，
∴，
将代入反比例函数，得，
∴D点的坐标为
∴则反比例函数图象上存在点D，是四边形BCPD为菱形，
此时D坐标为，
延长DP交轴于点E，则点E为所求，
则为最大，
设直线PD的表达式为：，
将点P、D的坐标代入上式得：
，
解得：，
故直线PD的表达式：，
令，则，
故点．
【点睛】此题属于反比例函数综合，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，等于三角形的性质，菱形的性质，正确读懂题意是解题的关键．
3．如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意可证明，得到，继而得到，，当三点共线（点与点）时，的值最大，即，根据勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，
，
在矩形中，
，
，
，
，
，
，
当三点共线（点与点）时，的值最大，即，
，，
，
在中，，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
类型五、中位线最值
【解惑】如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
当时，最小，得到最小值，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
【融会贯通】
1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4 B．4.5 C．4.8 D．5
【答案】C
【分析】由中位线定理可得点P的运动轨迹是线段P1P2，再由垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线，由勾股定理求出BP2、BP1、CE的长，由三角形中位线定理得出P1P2的长，设P′P2＝x，则P′P1＝﹣x，由勾股定理得BP22﹣P′P2＝BP12﹣P′P12，解得x＝，即可得出结果．
【详解】解：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，如图所示：
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∠DAB＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴CP1＝CD＝3，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝AB＝3，
连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，
则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线，
∴P2Q＝AD＝2，QE＝AQ＝AE＝，
∴BQ＝BE+QE＝3+＝，
在Rt△BP2Q中，由勾股定理得：BP2＝，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE＝，
∴P1P2＝CE＝，
在Rt△BCP1中，由勾股定理得：BP1＝，
设P′P2＝x，则P′P1＝﹣x，
由勾股定理得：BP22﹣P′P2＝BP12﹣P′P12，即（）2﹣x2＝52﹣（﹣x）2，
解得：x＝，
∴BP′2＝（）2﹣（）2＝，
∴BP′＝4.8，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确应用中位线的定理是解题的关键．
2．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是 ．
【答案】1.5
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识，利用垂线段最短求出的最小值是解题的关键．先利用菱形的性质求出，根据垂线段最短可知，根据中位线的性质可知从而得解．
【详解】解：连接、，与交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，，
又∵，
∴，
∵点G是线段上的动点，，
∴，
∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
3．如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查矩形性质、三角形中位线的判定和性质、垂线段最短等知识点，求得当P、D重合时，最小，即可求得有最小值是解题的关键．
如图：连接，根据矩形性质可得，根据三角形中位线的判定和性质可得，继而根据两点之间线段最短可得当P、D重合时，最小，即可求得最小值．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵E、F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最小时，有最小值，
∵当P、D重合时，最小，有最小值，
∴,
∴的最小值为3．
故答案为：3．
类型六、两动一定或三动(最小值)
【解惑】在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，角平分线性质定理，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键．
过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小，先将的最小值转化为线段的长度，在中由勾股定理求出，再由等面积法得到，即可求解．
【详解】解：过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小，
∵四边形是菱形，
∴且、互相平分，平分，
∴，
∵垂线段最短，
∴，即的最小值为线段的长度，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：B．
【融会贯通】
1．如图，已知菱形的边，对角线，点P、E、F分别是、、上的动点，则的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．6.5
【答案】B
【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，菱形的性质，作点E关于的对称点E′，过点作垂线，交于点P，交于点F，这时最小，，连接，交于点O，利用勾股定理求得，，利用，代入数据解答即可．
【详解】解：作点E关于的对称点E′，过点作垂线，交于点P，交于点F，这时最小，，连接，交于点O，
由菱形的性质和勾股定理得：，
解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴最小值为4.8，
故选：B．
2．如图，正方形的边长为4，点，点分别是边，边上的动点，且与相交于点 ，若点为边的中点，点为边上任意一点，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，轴对称的性质，首先证明，可得出；作M关于的对称点Q，取的中点H，连接，连接，，得，根据勾股定理，当H、P、N、Q四点共线时，的值最小，最小值为，从而得出的最小值为，即可得出结论．
【详解】解：作M关于的对称点Q，取的中点H，连接与交于点N，连接，，则；
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∴点在以点为圆心，为直径的半圆上，
∵M点是的中点,
∴,
∵，
∴当H、P、N、Q四点共线时，的值最小，最小值为，
∵
∴的最小值为，
∵，
∴的最小值为，
∵
∴的最小值为，
故答案为：．
3．如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，连接、，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最短路线问题以及菱形性质的运用．作点关于的对称点，则在上，连接，则，过作于，当，，在同一直线上且时，的最小值等于的长，求得的长即可得到的最小值．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，则在上，连接，则，过作于，
当，，在同一直线上且时，的最小值等于的长，
，，
，，
，
中，，
的长为，
的最小值是，
故答案为：．
类型七、两定一定长
【解惑】如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，首先求出，然后证明出，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N
∵正方形的边长为3，
∴
∵
∴
∴
∵四边形是正方形
∴，
∴四边形是矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度
∵
∴
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形．
【融会贯通】
1．如图，矩形中，，，点，分别是，上的动点，，则最小值是（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，延长，取点，使得，连接，根据全等三角形的判定得到，得到，故当，，三点共线时，的值最小，即为的值．
【详解】延长，取点，使得，连接，如图
∵，四边形是矩形
∴四边形和四边形是矩形
∵，，
∴
∴
∴
∵点，分别是，上的动点
故当，，三点共线时，的值最小，且的值等于的值
在中，
故选：B．
2．如图，在面积是的菱形中，，，分别为，上的点，，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定与性质，连接，过点A作于点H，延长至点，使得，连接，，易证，推出，可得，当共线时，有最小值，最小值为的长，利用菱形的面积等于，求出的长，再利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：连接，过点A作于点H，延长至点，使得，连接，，
∵菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由作图知是线段的垂直平分线，
∴
∴，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵菱形的面积是，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
3．如图，四边形 为菱形， 为上的两个动点，且，点是的中点，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，连接，取的中点，连接，可证四边形是平行四边形，则有，的最小值为的值，根据菱形的性质得到是等边三角形，由勾股定理得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，取的中点，连接，
∵点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴的最小值为的值，
∵四边形是菱形，，点为的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，线段和最小值的计算，掌握菱形的性质，平行四边形的判定方法，合理作出辅助线是关键．
类型八、两点最值
【解惑】如图，已知正方形的边长为2，点Q为边的中点，点P在正方形的外部，且满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．由正方形的性质可得，，，可证点，点，点，点四点共圆，则点，点，点三点共线时，有最大值，即可求解．
【详解】解：连接，交于点，连接，
四边形是正方形，，
，，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
∴
点，点，点三点共线时，有最大值，
点为边的中点，，
，
的最大值为，
故选：D．
【融会贯通】
1．如图1，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接、，设为，为，且关于的函数图象如图2所示，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．在函数图象中找到当时，，得出，进而得到，再利用图象的拐点得出，由图象知到达时得最长，由勾股定理即可求出其值．
【详解】解：由图知，当时，，即当在点时，
点为的中点，，
，
当在上运动时，慢慢增大，到点时，从图中的拐点可知，此时，
，
当在上运动时，先减小再增大，直到到达点时，此时最长
，
，
故选：B．
2．如图，点E是正方形的边的中点，点M是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接，若，点A，M之间的距离为2，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】 / /
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形三边的关系，根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由旋转的性质得到的长，根据即可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点E是正方形的边的中点，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴的最小值为，最大值为，
故答案为：；．
3．如图，正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，平分交射线于．在旋转过程中，线段的最大值为 ．
【答案】
【分析】先结合旋转性质，正方形的性质得出，根据角平分线的定义，得，证明，再得出，然后得出是的垂直平分线，即，当时，，此时面积最大，运用勾股定理算出线段的值，即可作答．
【详解】解：依题意，连接，过点作的延长线一点，如图所示：
∵正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，
∴，
∵平分交射线于．
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
在中，，
∵，，
∴是的垂直平分线，
当时，，此时面积最大，
则点E与点A重合，点F与点D重合，
∴，
此时有最大值，且．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
类型九、面积最值
【解惑】如图，在等腰中，，，是边上的中点，点，分别在，边上运动，且保持．连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①④⑤ C．①③④ D．①③④⑤
【答案】C
【分析】①连接，证明，得到是等腰直角三角形；②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；③当最小时，也最小，利用垂线段的性质求出的最小值，进行计算即可；④根据，得到；⑤由③的结论进行计算即可．
【详解】①连接，
∵是等腰直角三角形，且F是边上的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，①正确；
②当D、E分别为、中点，即、分别为和斜边上的中线，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，又，
∴四边形是正方形，②错误；
③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小，
当时，最小，此时．
∴，③正确；
④∵，
∴，
∴，
∵F 是边上的中点，
∴
∴四边形的面积保持不变，④正确；
⑤由③可知当最小时，也最小，的最小值是3，则的最小值为，
当面积最大时，此时的面积最小．
此时
，⑤错误．
综上，正确的是：①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，已知四边形是边长为1的正方形，点E、点F分别在边、上，，连接，连接分别交、于点G、点H．下列结论：
①；
②；
③；
④的面积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【答案】C
【分析】证，可得，，证明，可得，可得，故①正确；由勾股定理可求，可得，故③正确；先求出的最小值，可求的面积的最大值为，故④正确，即可求解．
【详解】解：①延长到点M，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②将绕点A顺时针旋转，得到，连接，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
③∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
作的外接圆，连接，，，过点O作于点H，
设，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，
∴的面积的最大值为．故④正确，
故选：C．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为，设点P为的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值 和最小值 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，旋转性质．连接，作于．当与共线，且时，面积最大，共线面积最小，利用，求出，再根据计算即可得出答案．
【详解】解：连接，作于，
，
当与共线，且时，面积最大，
由题意：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积最大值为，
共线，面积最小为0，
故答案为：；．
3．如图，矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为()，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，这个最大值＝ ．
【答案】/
【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，旋转性质．连接，作于．当与共线，且时，面积最大，利用，求出，再根据计算即可得出答案．
【详解】解：连接，作于，
，
当与共线，且时，面积最大，
由题意：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积最大值为，
故答案为：．
类型十、其他最值
【解惑】如图，在矩形中，，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点H在矩形内，连接，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点，连接，证明，得，，设，根据勾股定理用表示，利用解析式特点求得的最小值．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
四边是正方形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
，
，
当时，有最小值为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，关键是证明三角形全等，利用解析式特点求得的最小值．
【融会贯通】
1．如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质定理，勾股定理，等腰直角三角形正方形的性质，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可．
【详解】解：中，，如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
当A、D、E、C在同一直线上时，最小即为，
∵中，，
∴，
∴最小即为，
故选：A．
2．如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】先证明，得到，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定理解答即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
延长到点，使得，
，
，
，
连接，
，
当，，三点共线时，取得最小值，
，，
，，
，
，
，
故的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
3．如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点的运动轨迹是本题的关键．过点作于，过点作，由“”可证，可得，可得点在平行且到距离为1的直线上运动，则当与重合时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，过点作，
四边形是矩形，，，
，，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
点在平行且到距离为的直线上运动，
当与重合时，有最小值，此时，
的最小值，
故答案为：．
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第19章 矩形、菱形与正方形拓展之最值篇思维导图
【类型覆盖】
类型一、平行线之间的距离最短
【解惑】如图，已知平行四边形的顶点A、 C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【融会贯通】
1．如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在等边三角形中，，M为上一点（不与A，C重合），连接，以，为邻边作，则的最小值为
3．如图，在中，，，，为斜边边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为 ．
类型二、矩形的对角线最短
【解惑】如图，在中，，且，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为 （ ）
A．5 B．12 C． D．13
【融会贯通】
1．如图，在中，，点是斜边上的一个动点，于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8
2．如图，在中，，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，点为的中点，则的最小值为 ．
3．如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的长是 ，的最小值是 ．
类型三、将军饮马(最小值)
【解惑】如图，已知菱形的两条对角线分别为10和24，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则的最小值是（ ）
A．13 B．10 C．24 D．12
【融会贯通】
1．如图，点E为正方形的边上一点，且，F为上的一动点，连接和，若，则的最小值是（ ）
A．9 B．10 C． D．12
2．如图，正方形的边长是，点是边上的一个点，且，是对角线上的一个动点，连接和，则的最小值是 ．
3．已知菱形的边长为2，，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接，，则的最小值为 ．
类型四、三点共线(最大值)
【解惑】如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，四边形是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1），，直线过A、C两点，P是上一动点，当的值最大时，P点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与版比例函数（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求反比例函数的解析式为 ．
（2）根据图象直接写出kx＋b＜的x的取值范围为 ．
（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的动点，当|DE－PE|最大时，求点E的坐标为 ．
3．如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ．
类型五、中位线最值
【解惑】如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4 B．4.5 C．4.8 D．5
2．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是 ．
3．如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ．
类型六、两动一定或三动(最小值)
【解惑】在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，已知菱形的边，对角线，点P、E、F分别是、、上的动点，则的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．6.5
2．如图，正方形的边长为4，点，点分别是边，边上的动点，且与相交于点 ，若点为边的中点，点为边上任意一点，则的最小值等于 ．
3．如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，连接、，则的最小值是 ．
类型七、两定一定长
【解惑】如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，矩形中，，，点，分别是，上的动点，，则最小值是（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
2．如图，在面积是的菱形中，，，分别为，上的点，，连接，，则的最小值为 ．
3．如图，四边形 为菱形， 为上的两个动点，且，点是的中点，连接 ，则 的最小值为 ．
类型八、两点最值
【解惑】如图，已知正方形的边长为2，点Q为边的中点，点P在正方形的外部，且满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图1，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接、，设为，为，且关于的函数图象如图2所示，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点E是正方形的边的中点，点M是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接，若，点A，M之间的距离为2，则的最小值为 ，的最大值为 ．
3．如图，正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，平分交射线于．在旋转过程中，线段的最大值为 ．
类型九、面积最值
【解惑】如图，在等腰中，，，是边上的中点，点，分别在，边上运动，且保持．连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①④⑤ C．①③④ D．①③④⑤
【融会贯通】
1．如图，已知四边形是边长为1的正方形，点E、点F分别在边、上，，连接，连接分别交、于点G、点H．下列结论：
①；
②；
③；
④的面积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④
2．如图，在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为，设点P为的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值 和最小值 ．
3．如图，矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为()，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，这个最大值＝ ．
类型十、其他最值
【解惑】如图，在矩形中，，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点H在矩形内，连接，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【融会贯通】
1．如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是 ．
3．如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ．
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