第19章 矩形、菱形与正方形（基础类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）
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内容正文：
第19章 矩形、菱形与正方形思维导图
【类型覆盖】
类型一、添加条件证矩形、菱形、正方形
【解惑】在平行四边形中，添加一个条件使平行四边形成为矩形，添加正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐一判断即可，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，不符合题意；
、∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，符合题意；
、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，不符合题意；
故选：．
【融会贯通】
1．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键．
根据四边形是平行四边形，结合题意可证四边形是平行四边形，根据菱形的判定，矩形的判定方法证明即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵延长到，使，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当添加时，则有，设交于点，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，故A选项不能使四边形成为矩形，符合题意；
当添加时，则，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，故B选项能使四边形成为矩形，不符合题意；
当添加时，则有，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，故C选项能使四边形成为矩形，不符合题意；
当添加时，
∵，
∴点是中点，
∴，则，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，故D选项能使四边形成为矩形，不符合题意；
故选：A ．
2．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 （填一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，进行作答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，则四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）
3．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是 ．（只添一个条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了正方形的判定方法，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形解答即可．
【详解】添加条件（答案不唯一），那么该菱形是正方形．
理由：∵四边形是菱形，
又∵，
∴根据正方形判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形，可知菱形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
类型二、中点四边形——矩形
【解惑】顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．
【详解】如图：菱形中，分别是的中点，
，
故四边形是平行四边形，
又
∴四边形是矩形．
故选：C．
【融会贯通】
1．如图，在四边形中，，且，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…按此规律进行下去．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当时，四边形是正方形；
结论Ⅱ：当时，四边形的周长是10．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】A
【分析】根据中点四边形和可知四边形矩形，当时，可得即结论Ⅰ正确；求出四边形的对角线长，再根据三角形中位线的性质求得的各边长，进而求得周长，以此类推即可解答．
【详解】解：∵顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，
∴，
∵，
∴四边形矩形，
当时，
∴
∴四边形是正方形，即结论Ⅰ正确；
当时，，
∴,
∴,，
∴四边形的周长为20；
∴
∴，
∴四边形的周长为14；
∴,
∴，
∴四边形的周长为10，即结论Ⅱ正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查了中点四边形、正方形的判定、三角形中位线、勾股定理等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
2．顺次连接菱形的四边中点所得的图形为 ．
【答案】矩形
【分析】本题考查中点四边形，掌握三角形的中位线定理，菱形的性质，矩形的判定，是解题的关键．结合顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的，则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直，即可作答．
【详解】解：依题意，顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的，
则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直，
∴顺次连接菱形的四边中点所得的图形为为矩形；
故答案为：矩形
3．综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
原四边形对角线关系
中点四边形形状
数量关系、位置关系
特殊四边形
不相等、不垂直
平行四边形
【探究一】
（1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程）
【探究二】
（2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________．
【探究三】
（3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________．
【探究四】
（4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形．
【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直
【分析】本题考查中点四边形，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键：
（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证；
（2）根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，作答即可；
（3）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，作答即可；
（4）根据有一个角为直角的菱形是正方形，作答即可．
【详解】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，
∴分别为的中位线，
∴，
∴，
∴中点四边形是平行四边形．
（2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形；
由（1）知：中点四边形是平行四边形，，
∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴中点四边形是菱形；
（3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形；
由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴中点四边形是矩形；
（4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形；
由（2）可知：中点四边形是菱形；
由（3）可知：，
∴中点四边形是正方形．
类型三、中点四边形——菱形
【解惑】如图，顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】D
【分析】本题主要考查中点四边形，首先证明是菱形，再根据菱形的面积计算公式求解即可
【详解】解：连接如图，
∵四边形是矩形，
∴
∵分别是的中点，
∴
∴
∴四边形是菱形，
又
∵，
故选：D
【融会贯通】
1．已知矩形的长为20，宽为12，顺次连结四边中点所形成四边形的面积是（ ）
A．80 B．240 C．120 D．96
【答案】C
【分析】本题考查了中点四边形，菱形的判定，矩形的性质，，三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理，菱形的判定方法．由三角形中位线定理推出，得到四边形是菱形，即可求出四边形的面积．
【详解】解：如图，矩形中，点分别是各边中点，
连接，，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
同理，，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形，
四边形的面积，
故选：C
2．如图，在菱形中，边长为1，．顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形，顺次连接四边形各边中点，可得四边形；…；按此规律继续下去．四边形的面积是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解题的关键．根据菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，依次求出四边形的面积，得出规律，即可解答．
【详解】解：菱形，，
，为等边三角形，
，
等边的高为，
，
顺次连接菱形各边中点，可得四边形，
四边形为矩形，
,
同理可得，
，
……
．
故答案为：．
3．在中，，，E、F分别为边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）
(1)在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形．
(2)在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查菱形的判断：
（1）连接，则四边形是菱形；
（2）根据菱形的中点四边形是矩形，画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求．
（2）解：如图，矩形即为所求．
类型四、中点四边形——正方形
【解惑】如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：连接交于点O，
∵M，N，P，Q是各边中点，
，
，
∴四边一定为平行四边形，④说法正确；
时，四边形不一定为正方形，①说法错误；
时，
四边形为菱形，②说法正确；
时，，
四边形为矩形，③说法正确；
故选：C．
【融会贯通】
1．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定与性质，中点四边形的性质，由中点四边形的性质得出四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可判断①；由矩形的判定即可判断②；由平行四边形的性质即可判断③；由正方形的判定与性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：点分别是四边形边的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
①若，则，则四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意；
②若，则，则四边形为矩形，故原说法错误，不符合题意；
③若四边形是平行四边形，不能判定与互相平分，故原说法错误，不符合题意；
④若四边形是正方形，则，，则与互相垂直且相等，故原说法正确，符合题意；
综上所述，正确的有④，共个，
故选：A．
2．已知四边形ABCD为凸四边形，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），下列说法正确的是 （填序号）
①对于任意凸四边形ABCD，一定存在无数个四边形MNPO是平行四边形；
②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③如果四边形ABCD为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形；
④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形．
【答案】④
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，逐一判断各个选项，即可．
【详解】解：①对于任意凸四边形ABCD，当点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的中点时，四边形MNPO是平行四边形，故原说法错误；
②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是平行四边形，故原说法错误；
③如果四边形ABCD为任意矩形，不一定存在一个四边形为正方形，故原说法错误；
④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形，原说法正确．
故答案是：④.
【点睛】本题主要考查四边形综合，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，是解题的关键．
3．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：
如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；
问题解决：
如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：
如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．
【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：见解析；拓展应用：（1），理由见解析；（2）
【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
性质探究：由四边形ABCD是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；
问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行四边形，再证得△EAC≌△BAG（SAS），推出▱MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可证得结论；
拓展应用：（1）如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，可得四边形ENFM是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；
（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，再结合（1）的结论即可求得答案．
【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
故选：D；
性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD；
理由如下：如图1，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC，
∴AC⊥BD，AC=BD，
故答案为：AC⊥BD，AC=BD；
问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，
∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MNBG，MN=BG，
RLBG，RL=BG，
RNCE，RN=CE，
MLCE，ML=CE，
∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
又∵∠BAC=∠BAC，
∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，
即∠EAC=∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
又∵RL=BG，RN=CE，
∴RL=RN，
∴▱MNRL是菱形，
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°，
又∵MNBG，MLCE，
∴∠LMN=90°，
∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：（1）MN=AC，理由如下：
如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
∴四边形ENFM是正方形，
∴FM=FN，∠MFN=90°，
∴MN===FM，
∵M，F分别是AB，BC的中点，
∴FM=AC，
∴MN=AC；
（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
连接BD交AC于O，连接OM、ON，
当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，
∴2（OM+ON） 2MN，
由性质探究②知：AC⊥BD，
又∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB=2OM，CD=2ON，
∴2（OM+ON）=AB+CD，
∴AB+CD2MN，
由拓展应用（1）知：MN=AC；
又∵AC=2，
∴MN=，
∴AB+CD的最小值为2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．
类型五、矩形的性质求解
【解惑】如图，矩形的对角线、交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、等边对等角，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：矩形，
，
，
．
故选：D．
【融会贯通】
1．如图，在矩形中，，，将此矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题．设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2．如图，在矩形中，和相交于点，于点，若，则的度数为 （用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握矩形的性质．由矩形的性质可得：，，得到，，结合，推出，最后根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：在四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
3．如图，在长方形中，，，将长方形翻折，使得点落在边上的点处，折痕交于点，求的长．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，在中，，可得，，设，则，在中，，可得，解方程即可．
【详解】解：由折叠得：，
∴，
在矩形中，，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，，
∴．
类型六、菱形的性质求解
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵轴．
∴四边形是矩形
∴
∵菱形，对角线轴
∴
∵菱形的面积为，
∴
故选：D．
【融会贯通】
1．如图，菱形中，，垂足为，点在线段上，过点作，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
由菱形的性质以及已知条件可得，，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得、，进而得到，四边形是平行四边形，即，，，，再根据可得，再整理得，最后解一元二次方程即可解答．
【详解】解：∵菱形中，，垂足为，
∴，，
∴，，
∵点在线段上，过点作，
∴，四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：，
解得：或（不合题意舍弃）．
故选：D．
2．如图，已知菱形中，是对角线上的一个动点，作点关于的对应点，连接，当 时，三点共线．
【答案】或
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
如图所示，连接，可证，，设，分类讨论：第一种情况：，，，，由三角形内角和定理可得；第二种情况：设，则，，，当三点共线时，，，由平角的性质可得；由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，，是对角线，
∴，，即相互垂直平分，
∴，，，
∵折叠，
∴，且，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
当三点共线时，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
如图所示，
同理，，
设，则，，
∴，
当三点共线时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当是或时三点共线，
故答案为：或 ．
3． 如图，在菱形中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连结，先证明是等边三角形，然后根据菱形的性质证明即可；
（2）过作于点，由勾股定理求出，由（1）可知，，则，那么由即可求解．
【详解】（1）解：如图①，连结，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
即，
；
（2）解：如图②，过作于点，
四边形是菱形，
．
是等边三角形，，
，
由（1）可知，，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
类型七、正方形的性质求解
【解惑】在正方形中，E，F两点分别在边上，为的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．根据正方形的性质2求出，证明，得出，，根据G为的中点，得出点与点H重合，求出，即可得出结论．
【详解】解：连接，交于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵G为的中点，
∴点与点H重合，
∴，
∴点G为的中点，
∴，
∴．
故选：C．
【融会贯通】
1．如图，已知正方形的边长为4，以为边在正方形内部作等边，连接，交的延长线于点F，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】本题考查正方形、等边三角形性质及等腰直角三角形判定与勾股定理的应用．解题关键是利用图形性质求出 ，判定为等腰直角三角形；
利用正方形和等边三角形性质，求，进而得，计算出 ，结合 ，判定是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质及勾股定理求出答案．
【详解】在正方形中，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴．
∴
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
在等腰直角中，
根据勾股定理，
∴．
故答案为：B．
2．正方形中，点是边上一点，连接，，点是直线上的一点，，连接，则 度．
【答案】25或45
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等待，分点N在线段上和点N在线段延长线上，两种情况画出对应的示意图讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当点N在线段上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图所示，当点N在线段延长线上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
综上所述，的度数为25度或45度，
故答案为：25或45．
3．已知，四边形为正方形，连接，上有一点E在的垂直平分线上，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)如图3，射线交边于点，交的延长线于点，的周长为12，，连接交于点，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再设，分别求出，，则可得，然后根据等腰三角形的性质即可得证；
（3）如图，过点作，交延长线于，过点作于，于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，根据得出，可证明，得出，，根据角平分线的性质得出，的周长为12得出，利用勾股定理，设，则，，，利用勾股定理列方程求出，，，设，则，，利用勾股定理求出，，，利用面积法得出，即可得答案．
【详解】（1）证明：如图1，连接
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）已证：，
∴，
设，则，
∴，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴．
（3）解：如图，过点作，交延长线于，过点作于，于，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
类型八、证四边形是矩形
【解惑】如图，四边形是平行四边形，和分别是边、的点，且，有以下条件：
①，②点是边的中点．
请从以上①②中任选1个作为已知条件，再解决下列问题：
(1)你选择的已知条件是__________（填序号）；
求证：四边形是矩形；
(2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，线段中点性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判断和性质．
（1）①利用平行四边形的性质得出，再根据，得出四边形是平行四边形，利用有一个角是直角的平行四边形为矩形即可得出证明；
②利用平行四边形的性质得出对边平行且相等，根据有一组对边平行且相等的四边形，得出四边形是平行四边形，利用有一个角是直角的平行四边形为矩形即可得出证明；
（2）根据勾股定理求得，然后利用矩形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：若选①，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
若选②，
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知四边形是矩形，
∴．
【融会贯通】
1．如图，在中，，，点M在的延长线上，于N，交于点E，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)试确定的关系，并说明理由；
(3)作于点F，若，，直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)且；见解析
(3)
【分析】（1）证明，可得出四边形是矩形；
（2）先证明，可得到，再由，得出，从而得出，可得出结论；
（3）过点N作，并交于点P，设，则，可得出，，得出由勾股定理可得，列出方程，求得，最后由面积法求得结果．
【详解】（1）证明：，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D，
，
四边形是矩形；
（2）解：，，理由如下：
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点N作，并交于点P，
，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
，
，
，
中，，
，
（负值舍去），
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理，矩形的判定定理是解题的关键．
（1）可证明得到，再由三角形中线的定义得到，则可根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论；
（2）连接交于H，可证明四边形是平行四边形，得到，则，进而证明，得到，则可证明，进而可证明四边形是矩形．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
，
，
又，
，
，
又是的中线，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）证明：如图所示，连接交于H，
由（1）可得，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
3．如图，在中，，点是边的中点．
求作：矩形，且点在边上，点在边上．
(1)根据下面的步骤，使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）．
①作线段的垂直平分线，垂足为点；
②连接；
③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
④连接．
则四边形是所求作的矩形．
(2)完成下面的证明过程．
证明：
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线．
∴___________．
∵，
∴四边形是平行四边形（___________）（填推理的依据）．
又∵，
∴四边形是矩形（___________）（填推理的依据）．
【答案】(1)图见解析
(2)；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理．熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键．
（1）根据所给步骤，逐步作图即可求解；
（2）根据平行四边形和矩形的判定定理，结合证明过程，即可写出依据．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：补充后的证明过程如下：
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
又∵，
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
类型九、证四边形是菱形
【解惑】如图，是由在平面内绕点逆时针旋转得到的，且，，连接．
(1)求证：；
(2)四边形是什么特殊的四边形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)菱形，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定，旋转变换等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据旋转的性质及角度间的关系得出，，再根据“”即可证明结论；
（）根据全等三角形的性质及菱形的判定方法即可得出结果．
【详解】（1）证明：由旋转知，，，，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是菱形．
【融会贯通】
1．已知：如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若平分，，，求四边形的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)32
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，所以，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由，，推导出，则，所以四边形是菱形，而，则是等边三角形，所以，即可求得四边形周长是32．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形周长是32．
【点睛】此题重点考查等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明，以及在平分的条件下证明四边形为菱形是解题的关键．
2．由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点作的垂线，垂足为，交线段于点，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹）
四边形是平行四边形，
①__________
平分，
，
②__________
，
，
，
在和中
，
（③__________）
④__________，
，，
垂直平分线段，
⑤__________，
，
四边形是菱形．
【答案】作图见解析，
【分析】以点A为圆心，以为半径画弧，再分别以J，H为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点G，交于点F，连接；
先根据平行四边形的性质和角平分线的定义得，再根据证明，可得，然后说明 垂直平分线段，可得，进而得出答案.
【详解】解：如图所示，
证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
．
平分，
，
，
.
，
，
在和中
，
(），
.
，，
垂直平分线段，
，
，
四边形是菱形．
故答案为：；；；；．
【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
3．如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E、F．
(1)证明：；
(2)连接，证明：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
（1）根据矩形性质可知，即可得出，结合题意即可得出结论；
（2）根据（1）中得出的结论即可证明四边形是平行四边形，结合可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
．
∵点O是的中点，
．
又
；
（2）由（1）已证，
，
∵四边形是矩形，
，即，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
类型十、证四边形是正方形
【解惑】实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决：
(1)如图1，求证：四边形是正方形．
(2)如图2，若，求的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)6．
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论；
（2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理得，解得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形；
（2）解：如图，连接，，
由（1）知，，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得：，
即，
∴的面积 =．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，，连接．
(1)若，求证：四边形为正方形；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)6
【分析】（1）证明，推出，可得结论；
（2）过点P作，交的延长线于点G，连接．证明，推出，利用三角形面积公式进一步解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴．
∵，
∴在和中,
,
∴，
∴．
∵,
∴,
∴,
∵四边形为菱形，
∴四边形为正方形；
（2）解：如图，过点P作，交的延长线于点G，连接，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴， ，
∴，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形的面积，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．如图，中，对角线交于点O，点E在边上，延长交于点F，连接，与互余．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)再选择添加以下条件中的一个且只添加一个，能使菱形为正方形的是______（填序号），并请加以证明．
①；②；③，，．
【答案】(1)见解析
(2)②或③
【分析】（1）证明，得到，则四边形是平行四边形，证明，即可得到结论；
（2）分别添加②或③，根据正方形的判定写出证明过程即可．
【详解】（1）证明：∵中，对角线交于点O，
∴，
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵与互余．
∴与互余．
∴
即，
∴四边形是菱形；
（2）添加②；
证明：∵，
∴，
∵
∴，
解答,
∴，
∴，
∴菱形是正方形，
添加③，，
∵
∴是直角三角形，，
∴，
∴菱形是正方形
故答案为：②或③
【点睛】此题考查了菱形的判定、正方形的判定、勾股定理及其逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定定理是关键．
3．综合与实践
如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是菱形；理由见解析
(3)45
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形；
（2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形；
（3）当时，求出，结合菱形的性质求出即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在中，，过点C的直线，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是菱形；理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，D在的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：当时，四边形是正方形；理由如下：
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
答案为：45．
【一览众山小】
1．若一个菱形的边长为2，则该菱形的周长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【分析】此题主要考查菱形的性质；熟记菱形的四边相等是解决问题的关键．根据菱形的四边相等即可得出菱形的周长．
【详解】解：∵菱形四条边长相等，
∴该菱形的周长是，
故选C．
2．长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由矩形性质求面积，长方形的面积两个阴影小长方形的面积阴影小长方形的公共正方形的面积，即可求解；能根据图形列出面积是解题关键．
【详解】解：由题意得
空白部分的面积为；
故选：A．
3．如图，正方形的边长为6，点E在边上，点F在的延长线上，且，四边形是矩形，则矩形的面积y与的长x之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键．
由已知图形可以分析得到矩形的长为，宽为，由面积公式即可计算得到正确答案．
【详解】解：∵正方形的边长是，且
∴矩形的长的长为，宽的长为
∴矩形的面积为：
故选A．
4．已知菱形的边长是5，则菱形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边都相等，据此结合四边形周长计算公式可得答案．
【详解】解：∵菱形的边长是5，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
5．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了勾股定理，在由勾股定理得到，由题意得，，则，在中，根据勾股定理得出：，则阴影部分面积．
【详解】解：如图所示：
在中，根据勾股定理得出：，
由题意得，，
，
在中，根据勾股定理得出：，
阴影部分面积．
故答案为：9．
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．先证明是等边三角形，求出，进而求出，利用即可得解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，点E恰好为的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴，，
∴矩形的面积为；
故答案为：．
7．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
【答案】
【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，
，
菱形的面积为，
∴，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．
8．在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．
（1）如图1，试判断四边形PQMN怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）若在AB上取一点E，连接DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2），判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）平行四边形，证明见解析；（2）菱形，证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定，对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解．
（2）根据题意列出方程，数形结合证明平行四边形PQMN的临边相等，根据一组临边相等的平行四边形是菱形即可求解．
【详解】解：（1）四边形PQMN为平行四边形；
连接AC、BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ∥AC，PQ＝AC，
同理MN∥AC．MN＝AC．
∴MN＝PQ，MN∥PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形；
（2）四边形PQMN是菱形；
理由如下：设△ADE的边长是x，△BCE的边长是y，
∴DB2＝（x+y）2+（x）2＝x2+xy+y2，AC2＝（x+y）2+（y）2＝x2+xy+y2，
由（1）得MN＝AC与（1）同理可证MP＝BD
∴MN=MP，
∴平行四边形PQMN是菱形；
【点睛】本题考查中位线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握几何图形的性质，进行等量代换、数形结合即可求解．
9．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求．
【答案】(1)正方形，见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形．
（2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长．
本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
∵将点B按顺时针方向旋转，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）解：如图，过点D作于H，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
在中，．
10．如图，四边形中，，，，，点P从A点出发，以的速度向D点运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B点运动，规定一个动点到达端点时，另一个动点也停止，运动时间为t．
(1)当运动t秒时，线段______，______（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，四边形是矩形；
(3)在（2）的条件下，若四边形是正方形，请直接写出的值．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，列代数式，熟知正方形和矩形的性质是解题的关键．
（1）根据路程等于时间乘以速度可得，进而可得的长；
（2）根据矩形对边相等得到，则，解方程即可得到答案；
（3）根据正方形邻边相等得到，再根据（2）所求即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵矩形是正方形，
∴．
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第19章 矩形、菱形与正方形思维导图
【类型覆盖】
类型一、添加条件证矩形、菱形、正方形
【解惑】在平行四边形中，添加一个条件使平行四边形成为矩形，添加正确的是（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 （填一个即可）．
3．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是 ．（只添一个条件即可）
类型二、中点四边形——矩形
【解惑】顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【融会贯通】
1．如图，在四边形中，，且，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…按此规律进行下去．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当时，四边形是正方形；
结论Ⅱ：当时，四边形的周长是10．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
2．顺次连接菱形的四边中点所得的图形为 ．
3．综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
原四边形对角线关系
中点四边形形状
数量关系、位置关系
特殊四边形
不相等、不垂直
平行四边形
【探究一】
（1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程）
【探究二】
（2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________．
【探究三】
（3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________．
【探究四】
（4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形．
类型三、中点四边形——菱形
【解惑】如图，顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【融会贯通】
1．已知矩形的长为20，宽为12，顺次连结四边中点所形成四边形的面积是（ ）
A．80 B．240 C．120 D．96
2．如图，在菱形中，边长为1，．顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形，顺次连接四边形各边中点，可得四边形；…；按此规律继续下去．四边形的面积是 ．
3．在中，，，E、F分别为边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）
(1)在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形．
(2)在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形．
类型四、中点四边形——正方形
【解惑】如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【融会贯通】
1．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知四边形ABCD为凸四边形，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），下列说法正确的是 （填序号）
①对于任意凸四边形ABCD，一定存在无数个四边形MNPO是平行四边形；
②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③如果四边形ABCD为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形；
④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形．
3．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：
如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；
问题解决：
如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：
如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．
类型五、矩形的性质求解
【解惑】如图，矩形的对角线、交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，在矩形中，，，将此矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
2．如图，在矩形中，和相交于点，于点，若，则的度数为 （用含的式子表示）．
3．如图，在长方形中，，，将长方形翻折，使得点落在边上的点处，折痕交于点，求的长．
类型六、菱形的性质求解
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，菱形中，，垂足为，点在线段上，过点作，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．如图，已知菱形中，是对角线上的一个动点，作点关于的对应点，连接，当 时，三点共线．
3． 如图，在菱形中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
类型七、正方形的性质求解
【解惑】在正方形中，E，F两点分别在边上，为的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，已知正方形的边长为4，以为边在正方形内部作等边，连接，交的延长线于点F，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
2．正方形中，点是边上一点，连接，，点是直线上的一点，，连接，则 度．
3．已知，四边形为正方形，连接，上有一点E在的垂直平分线上，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)如图3，射线交边于点，交的延长线于点，的周长为12，，连接交于点，求的长．
类型八、证四边形是矩形
【解惑】如图，四边形是平行四边形，和分别是边、的点，且，有以下条件：
①，②点是边的中点．
请从以上①②中任选1个作为已知条件，再解决下列问题：
(1)你选择的已知条件是__________（填序号）；
求证：四边形是矩形；
(2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积．
【融会贯通】
1．如图，在中，，，点M在的延长线上，于N，交于点E，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)试确定的关系，并说明理由；
(3)作于点F，若，，直接写出线段的长．
2．如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果，求证：四边形是矩形．
3．如图，在中，，点是边的中点．
求作：矩形，且点在边上，点在边上．
(1)根据下面的步骤，使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）．
①作线段的垂直平分线，垂足为点；
②连接；
③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
④连接．
则四边形是所求作的矩形．
(2)完成下面的证明过程．
证明：
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线．
∴___________．
∵，
∴四边形是平行四边形（___________）（填推理的依据）．
又∵，
∴四边形是矩形（___________）（填推理的依据）．
类型九、证四边形是菱形
【解惑】如图，是由在平面内绕点逆时针旋转得到的，且，，连接．
(1)求证：；
(2)四边形是什么特殊的四边形？并说明理由．
【融会贯通】
1．已知：如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若平分，，，求四边形的周长．
2．由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点作的垂线，垂足为，交线段于点，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹）
四边形是平行四边形，
①__________
平分，
，
②__________
，
，
，
在和中
，
（③__________）
④__________，
，，
垂直平分线段，
⑤__________，
，
四边形是菱形．
3．如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E、F．
(1)证明：；
(2)连接，证明：四边形是菱形．
类型十、证四边形是正方形
【解惑】实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决：
(1)如图1，求证：四边形是正方形．
(2)如图2，若，求的面积．
【融会贯通】
1．如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，，连接．
(1)若，求证：四边形为正方形；
(2)若，求的面积．
2．如图，中，对角线交于点O，点E在边上，延长交于点F，连接，与互余．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)再选择添加以下条件中的一个且只添加一个，能使菱形为正方形的是______（填序号），并请加以证明．
①；②；③，，．
3．综合与实践
如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形．
【一览众山小】
1．若一个菱形的边长为2，则该菱形的周长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
2．长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，正方形的边长为6，点E在边上，点F在的延长线上，且，四边形是矩形，则矩形的面积y与的长x之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知菱形的边长是5，则菱形的周长为 ．
5．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是 ．
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为 ．
7．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
8．在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．
（1）如图1，试判断四边形PQMN怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）若在AB上取一点E，连接DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2），判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论．
9．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求．
10．如图，四边形中，，，，，点P从A点出发，以的速度向D点运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B点运动，规定一个动点到达端点时，另一个动点也停止，运动时间为t．
(1)当运动t秒时，线段______，______（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，四边形是矩形；
(3)在（2）的条件下，若四边形是正方形，请直接写出的值．
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