19.3 正方形 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

19.3 正方形 一、正方形的定义 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 二、正方形的性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边相等。 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分。 3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴，分别是两条对角线所在直线以及过每一组对边中点的直线。同时，正方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 三、正方形的判定 1.一组邻边相等的矩形是正方形。 2.对角线互相垂直的矩形是正方形。 3.一个角是直角的菱形是正方形。 4.对角线相等的菱形是正方形。 巩固课内例1:正方形的性质——四条边都相等 1．下列关于正方形的说法错误的是（    ） A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角 B．正方形有四条对称轴 C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等 2．正方形的性质∶ ①边∶ 都相等且 ； ②角：四个角都是 ； ③对角线：两条对角线互相 且 ，并且每一条对角线平分 ； ④正方形既是 图形，又是 图形，正方形有 对称轴． 3．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点 逆时针旋转 °得到． (2)猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想． 巩固课内例2:正方形的性质——四个角都是直角 1．菱形，矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．邻边相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形． 正方形的四条边都相等，四个角都是直角．因此， 既是矩形，又是菱形． 3．如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．      (1)在图（1）中，M是与网格线的交点，画出点M关于的对称点N； (2)在图（2）中，先将线段绕点A顺时针旋转，画对应线段AF，再在上画点G，并连接，使． 巩固课内例3:正方形的性质——对角线相等且互相平分 1．正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（   ）． A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 2．正方形既是矩形又是菱形，矩形的两对角线相互平分且相等，而菱形的两对角线互相平分且垂直，那么正方形的对角线具有性质 ． 3．【问题原型】如图，在中，对角线的垂直平分线交于点F，交于点E，交于点O，连接，．求证：四边形是菱形． 【甲同学的证法】证明：垂直平分 ，（第一步） （第二步） 四边形是平行四边形（第三步） 又（第四步） ∴四边形是菱形（第五步） 【老师评析】甲同学想先利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了． 【挑错改错】 (1)甲同学的证明过程在第______步出现了错误； (2)请你根据甲同学的证明思路写出此题正确的证明过程； (3)直接写出当中的______时，四边形是正方形．    巩固课内例4:正方形的判定——有一个角是直角的菱形 1．下列命题正确的是（   ） A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D．一组邻边相等的平行四边形是正方形 2．四边形 的对角线 和 相交于点 ，则下列几组条件中能判定它是正方形的是 ．（只需要填上序号） ① ，； ② ，，，； ③四边形 是矩形，并且 ； ④四边形 是菱形，并且 ． 3．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)求证：四边形是菱形． 证明：由知， ． ， 四边形是平行四边形（ ② ） 是斜边上的中线， ③ ． 平行四边形是菱形． 请进一步思考：若，则四边形是 ④ ． 巩固课内例5:正方形的判定——有一组邻边相等的矩形 1．在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（   ） A． B． C． D． 2．在平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，如果AB=BC,AC=BD,那么平行四边形ABCD一定是 ． 3．如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求证：四边形是正方形． 巩固课内例6:正方形中的角 1．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 3．【问题提出】 如图1， E是菱形边上一点， 是等腰三角形，，，探究 与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2， 当时，直接写出的大小：______； （2）再探究一般情形，如图1，求 与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，如图3，当时， ，．求菱形的面积． 类型一、添加条件证四边形为正方形 1．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 2．如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 3．如图，四边形为矩形，四边形为菱形． (1)求证：； (2)试探究：当矩形的边长_______时，菱形为正方形，请说明理由． 类型二、正方形的性质与判定求长度 1．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形和正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上点D在边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点，则的长为 ． 3．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当 时， S最大；当 时， S最小． 类型三、正方形的性质与判定求角度 1．如图，在正方形的外侧，作等边△，连接，则为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接、、，交于点，则的度数为 ． 3．如图，在正方形的内部作等边，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 类型一、正方形的性质与判定求周长 1．如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点G，H，若，下列判断：①E，F分别为边的中点；②当时，；③的周长不变；④．其中判断正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点C作轴，垂足为点F，交于点E，连接，则三角形的周长为 ． 3．如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在边和上，是由逆时针旋转得到的图形． (1)旋转中心是点________． (2)旋转角是________度，________度． (3)若，求证，并求此时的周长． 类型二、正方形的性质与判定求面积 1．正方形边长为4，上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积的最大值与最小值的和为（   ） A．32 B．8 C．16 D．64 2．如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是7，则的长为 ． 3．已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)连接，求的面积． 类型三、证四边形是正方形 1．四边形的对角线、相交于点，下面能判定是正方形的条件是（      ） A．， B． C．，， D．， 2．如图，以的三边为边在上方分别作等边，，，且点A在内部．给出以下结论：①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形； ④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）． 3．如图，A，C是菱形的对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的边长为3，，求菱形的面积． 类型一、正方形的最值问题 1．如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D．5 2．如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为 ． 3．如图1，正方形中，分别为上的点，，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，为的中点，交于点，连接． 求证：； (3)如图3，若正方形的边长为8，是上两动点，且，请直接写出的最小值． 类型二、坐标系中的正方形 1．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．若反比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A．6 B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是 ． 3．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 运用“坐标法”解决几何问题“坐标法”是一种重要的数学方法，常常用代数知识解决几何问题．其步骤如下：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案． 如图1，在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接，则的长为______． 解：如图2，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 四边形是正方形，边长为6， ，． ，， ， ，，，． 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的表达式为．   设直线的表达式为，则，解得， 直线的表达式为． 由得， ． 为中点， ， ． 通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系。 任务： (1)上面小论文中的分析过程，运用的数学思想有______（多选）． A．统计思想    B．数形结合思想    C．函数思想    D．转化思想 (2)请用“坐标法”解答以下问题：    如图，在正方形中，，点，分别在，的延长线上，且，为的中点，连接，相交于点，连接交于点，连接，求的长． 类型三、正方形的折叠问题 1．如图，在正方形中，点M为边的中点，将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为 ． 3．追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）： （1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称） 拓展应用 （2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求． 类型四、正方形的动点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点与坐标原点重合．动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，速度为每秒个单位长度，已知，设点的运动时间为秒，当存在且为锐角三角形时，的值可以是下列中的（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 3．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当 时，将的面积分成相等的两部分，此时 ； (2)若点P不与的顶点重合，问t为何值时，点P在的角平分线上？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当直线把的周长分成相等的两部分时，请直接写出此时t的值． 1．正方形和正方形如图摆放，边长分别为．若两个正方形的面积和为65，，则图中阴影部分面积和为（    ） A．15.5 B．16.6 C．31 D．33 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限．若一次函数（、为常数，且）的图象经过、两点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．如图，点A是直线在第一象限图象上一动点，以为边向左边作正方形，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为 ．    5．如图，正六边形与正方形的边长均为4，则正六边形与正方形的面积之差为 ．（结果保留根号） 6．如图，正方形的边长为4，E是的中点，将正方形沿翻折，点D落在点M处，延长交于点F，则的长为 ． 7．如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，连接、，．求证：． 8．如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 9．在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． (1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是________．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______ (2)点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，若正方形的边长为4，求周长的取值范围 10．【模型建立】 （1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________； 【模型应用】 （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.3 正方形 一、正方形的定义 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 二、正方形的性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边相等。 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分。 3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴，分别是两条对角线所在直线以及过每一组对边中点的直线。同时，正方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 三、正方形的判定 1.一组邻边相等的矩形是正方形。 2.对角线互相垂直的矩形是正方形。 3.一个角是直角的菱形是正方形。 4.对角线相等的菱形是正方形。 巩固课内例1:正方形的性质——四条边都相等 1．下列关于正方形的说法错误的是（    ） A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角 B．正方形有四条对称轴 C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，解题的关键是了解正方形的性质．利用正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，故A正确，不符合题意； B：正方形有四条对称轴，故B正确，不符合题意； C：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，故C正确，不符合题意； D：由于正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，所以正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离一定相等，故D错误，符合题意； 2．正方形的性质∶ ①边∶ 都相等且 ； ②角：四个角都是 ； ③对角线：两条对角线互相 且 ，并且每一条对角线平分 ； ④正方形既是 图形，又是 图形，正方形有 对称轴． 【答案】 四条边 对边平行 直角 垂直平分 相等 一组对角 中心对称 轴对称 四条 【解析】略 3．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点 逆时针旋转 °得到． (2)猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想． 【答案】(1)A，90 (2)数量关系是CD=BF，位置关系是CD⊥BF，理由见解析 【分析】（1）因为AD＝AB，AC＝AF，∠DAB＝∠CAF＝90°+∠BAC，故△ADC绕着点A逆时针旋转90°得到； （2）由（1）得△DAC≌△BAF，则CD＝BF，∠AFN＝∠ACD，在直角△ANF中，∠AFN+∠ANF＝90°，∠ANF＝∠CNM，得到∠ACD+∠CNM＝90°，即可证得∠NMC＝90°，可得CD⊥BF结论得证 【详解】（1）解：根据正方形的性质可得：AD＝AB，AC＝AF， ∠DAB＝∠CAF＝90°， ∴∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC， ∴△DAC≌△BAF（SAS）， 故△ADC可看作△ABF绕A点逆时针旋转90°得到． 故答案为：A，90； （2）CD＝BF，CD⊥BF． 理由：如图，     由（1）知，△DAC≌△BAF， ∴CD＝BF，∠AFN＝∠ACD， ∵在直角△ANF中，∠AFN+∠ANF＝90°，∠ANF＝∠CNM， ∴∠ACD+∠CNM＝90°， ∴∠NMC＝90° ∴CD⊥BF， 即CD与BF的数量关系是CD＝BF,位置关系是CD⊥BF． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、三角形全等的判定和性质，关键是根据图形中两个三角形的位置关系解题． 巩固课内例2:正方形的性质——四个角都是直角 1．菱形，矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．邻边相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查了菱形，矩形、正方形的性质，根据矩形、菱形、正方形都是平行四边形进行判定即可． 【详解】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互相平分． 故选：D． 2．有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形． 正方形的四条边都相等，四个角都是直角．因此， 既是矩形，又是菱形． 【答案】 相等 直角 正方形 【解析】略 3．如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．      (1)在图（1）中，M是与网格线的交点，画出点M关于的对称点N； (2)在图（2）中，先将线段绕点A顺时针旋转，画对应线段AF，再在上画点G，并连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点P，连接，则与网格线的靠近D的交点即为所求； （2）作正方形，连接正方形对角线，与交点即为所求． 【详解】（1）如图1所示点N即为所求； 取格点P，连接，与网格线的交点为N；      （2）所示线段和点G即为所求； 取格点F，连接AF，再取格点T，连接，连接交于G      【点睛】本题考查了作图-旋转变换，轴对称变换，正方形的性质，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． 巩固课内例3:正方形的性质——对角线相等且互相平分 1．正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（   ）． A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【答案】C 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，属于基础题型，熟练掌握矩形和菱形的性质是关键．根据菱形和矩形的性质依次判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； B、对角线相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； C、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，所以本选项符合题意； D、对角线互相平分且相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意． 故选：C． 2．正方形既是矩形又是菱形，矩形的两对角线相互平分且相等，而菱形的两对角线互相平分且垂直，那么正方形的对角线具有性质 ． 【答案】两对角线相互平分垂直且相等 【分析】根据正方形的性质即可得． 【详解】正方形的两对角线相互平分垂直且相等 故答案为：两对角线相互平分垂直且相等． 【点睛】本题考查了正方形的对角线性质，熟记正方形的性质是解题关键． 3．【问题原型】如图，在中，对角线的垂直平分线交于点F，交于点E，交于点O，连接，．求证：四边形是菱形． 【甲同学的证法】证明：垂直平分 ，（第一步） （第二步） 四边形是平行四边形（第三步） 又（第四步） ∴四边形是菱形（第五步） 【老师评析】甲同学想先利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了． 【挑错改错】 (1)甲同学的证明过程在第______步出现了错误； (2)请你根据甲同学的证明思路写出此题正确的证明过程； (3)直接写出当中的______时，四边形是正方形．    【答案】(1)二； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由是对角线的垂直平分线得，，即可得出结论； （2）证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （3）根据正方形的性质可得是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：题干中没有的条件， 甲同学的证明过程在第二步出现了错误， 故答案为：二； （2）证明：四边形是平行四边形 是的垂直平分线 ， 又 又 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形 （3）由（2）得，四边形是菱形， 若四边形是正方形 则 是等腰直角三角形， 当中的时，四边形是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形与正方形的判定是解题的关键． 巩固课内例4:正方形的判定——有一个角是直角的菱形 1．下列命题正确的是（   ） A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D．一组邻边相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键．根据矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以选项A不符合题意； B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以选项B不符合题意； C、两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，选项C符合题意； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以选项D不符合题意； 故选：C． 2．四边形 的对角线 和 相交于点 ，则下列几组条件中能判定它是正方形的是 ．（只需要填上序号） ① ，； ② ，，，； ③四边形 是矩形，并且 ； ④四边形 是菱形，并且 ． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分是正方形，对各个选项进行分析而从得到答案． 【详解】解：①能，根据对角线相等的菱形为正方形即可判定，故选项正确； ②能，因为对角线垂直且互相平分能得到是菱形，再根据邻边垂直的菱形为正方形即可判定，故选项正确； ③不能，只能判定为菱形，故选项错误； ④能，根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组领边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 3．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)求证：四边形是菱形． 证明：由知， ． ， 四边形是平行四边形（ ② ） 是斜边上的中线， ③ ． 平行四边形是菱形． 请进一步思考：若，则四边形是 ④ ． 【答案】(1)见解析； (2)(同位角相等，两直线平行)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，，正方形． 【分析】本题主要考查了尺规作图作、菱形的判定、正方形的判定． 利用尺规作图过点作即可； 根据同位角相等两直线平行可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形是菱形； 若，可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据有一个角是直角的菱形是正方形，可证四边形是正方形． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点， 以点为圆心，为半径，交前弧于点， 连接交于点， 即为所求； （2）证明：由知， (同位角相等，两直线平行)， ， 四边形是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)， 是斜边上的中线， ， 平行四边形是菱形； 若， 则, ， 点是的中点， ， ， 四边形是正方形． 故答案为：(同位角相等，两直线平行)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，，正方形． 巩固课内例5:正方形的判定——有一组邻边相等的矩形 1．在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．根据正方形的判定逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，，四边形可能是筝形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； B、，，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．在平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，如果AB=BC,AC=BD,那么平行四边形ABCD一定是 ． 【答案】正方形 【分析】先证出▱ABCD是菱形，再证出▱ABCD是矩形，即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， ∴▱ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形为菱形)， 又∵AC=BD， ∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)， ∴▱ABCD是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形)； 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键． 3．如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用菱形的性质，证明四边形是矩形，证明四边形是正方形． （1）根据，，判定四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，从而证得四边形是矩形； （2）当，可证明四边形是正方形，得到，据此可证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， 四边形是矩形． （2）证明四边形是菱形，， 四边形是正方形． ，，． ． 由（1）知四边形是矩形， 四边形是正方形． 巩固课内例6:正方形中的角 1．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 2．如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【答案】 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 3．【问题提出】 如图1， E是菱形边上一点， 是等腰三角形，，，探究 与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2， 当时，直接写出的大小：______； （2）再探究一般情形，如图1，求 与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，如图3，当时， ，．求菱形的面积． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）在上截取，易得为等腰三角形，进而求出，证明，得到，进而求出的度数即可； （2）在上截取，易得为等腰三角形，进而求出的度数，证明，得到，进而求出的度数即可； （3）过点作，设，证明为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的值，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）在上截取， ∵正方形， ∴， ∴，即：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）在上截取， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴设， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 类型一、添加条件证四边形为正方形 1．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理可排除选项． 【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意； D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意； 故选D． 2．如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，四边形为矩形，四边形为菱形． (1)求证：； (2)试探究：当矩形的边长_______时，菱形为正方形，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2，证明见解析 【分析】本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定及正方形的判定，熟练运用矩形、菱形的性质、全等三角形的判定及正方形的判定方法是解决问题的关键 （1）根据矩形的性质可得，，根据菱形的四条边都相等可得，然后利用“”证明即可； （2）时，菱形为正方形．根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，从而求出，同理可得，然后求出，最后根据有一个角是的菱形是正方形即可证得结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， 四边形为菱形， ， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，菱形为正方形． 理由：∵， ，， 又， ， ， 同理可得，， ， ， 菱形是正方形． 类型二、正方形的性质与判定求长度 1．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：C． 2．如图，正方形和正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上点D在边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正方形的性质，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，求出的值，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵正方形，， ∴轴， ∴， ∵正方形， ∴设， ∴， ∴， ∵点B、F落在反比例函数第一象限的图象上， ∴， 解得：或（舍去）； ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当 时， S最大；当 时， S最小． 【答案】(1)3 (2) (3)， 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）如图，连接，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，推出S的最大值．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小． 【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，作于Q，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴S与x的函数关系式； （3）解：①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大， 在中，， ∴S的最大值． ②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小， 此时易得， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题． 类型三、正方形的性质与判定求角度 1．如图，在正方形的外侧，作等边△，连接，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质等知识，由正方形性质得到，，由等边三角形性质得到，，进而得到，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．如图，在正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接、、，交于点，则的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，先由正方形的性质得，，再证明得，，进而可得，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45． 3．如图，在正方形的内部作等边，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （）根据等边三角形的性质得到，，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （）根据正方形的性质得到，由（）得，，，则，然后由得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是正方形的对角线， ∴， 由（）得，，， ∴， ∴． 类型一、正方形的性质与判定求周长 1．如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点G，H，若，下列判断：①E，F分别为边的中点；②当时，；③的周长不变；④．其中判断正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】当点E与点B重合时，点F与点C重合，可得E，F不一定为边的中点，故①错误；将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，．求出，，可得，故②正确；根据，求出的周长为为定值，故③正确；将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，推出，由勾股定理得，即，故④正确； 【详解】解：∵， 当点E与点B重合时，点F与点C重合， ∴E，F不一定为边的中点，故①错误； 将绕点顺时针旋转得到，此时与重合， 由旋转可得，， ，，， ， 因此，点，，在同一条直线上． ， ． ， ． 即． 在与中， ． ， 当时， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ， ∵， ∴，即，故②正确； ∵， ∴的周长为为定值，故③正确； 将绕点顺时针旋转得到，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在正方形中， ， ， ，即，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是通过旋转作图来解答． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点C作轴，垂足为点F，交于点E，连接，则三角形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，求一次函数与坐标轴的交点坐标，解本题的关键在熟练掌握相关的性质与判定定理． 首先通过一次函数解析式，得到点A和B的坐标，进而即可得出的长，再过点过点B作平行于，交于N，证明，得出，，再证明四边形为正方形，得到，则，再证明，进而得到，所以，即可算出三角形的周长． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 过点B作平行于，交于N， ∵轴 ∴轴 ∴， ∴； ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴周长． 故答案为：16． 3．如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在边和上，是由逆时针旋转得到的图形． (1)旋转中心是点________． (2)旋转角是________度，________度． (3)若，求证，并求此时的周长． 【答案】(1)D (2)90，90 (3)证明见解析，的周长为2 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识． （1）根据旋转的定义可得旋转中心是点D； （2）根据旋转的定义以及正方形的性质可得旋转角是90度，度； （3）利用证明，得出，进而求出的周长． 【详解】（1）解：∵是由逆时针旋转得到的图形， ∴旋转中心是点D． 故答案为D； （2）∵是由逆时针旋转得到的图形， ∴， ∴旋转角是90度，度． 故答案为90，90； （3）∵， ∴． ∵是由逆时针旋转得到的图形， ∴， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴的周长 ． 类型二、正方形的性质与判定求面积 1．正方形边长为4，上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积的最大值与最小值的和为（   ） A．32 B．8 C．16 D．64 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，证得矩形的面积是定值是解题的关键．连接，的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，则矩形与正方形面积相等． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴矩形与正方形的面积相等， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴矩形的面积是定值16， ∴矩形的面积的最大值与最小值的和为32， 故选：A． 2．如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是7，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形与三角形综合，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式，是解题的关键． 根据正方形的性质及，可证，得到，由此将将四边形的面积转换为等腰直角的面积，可求值，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积是7， 即， ∴， ∴， ∴， 在等腰直角中， ， ∴， 故答案为： ． 3．已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题涉及正方形的性质、反比例函数和一次函数的解析式求解以及三角形面积的计算，解题的关键是正确的求得反比例函数的解析式． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得； （2），过点作轴的平行线，过点分别作，交平行线于G、F． 证明，可得点C坐标，根据点的坐标求出直线解析式， （3）如图．连接，，由（2）可知，计算三角形面积． 【详解】（1）解：点恰好落在双曲线上， ．解得． A、B坐标为，． 将代入，得． 反比例函数的解析式为． （2）解：由（1）可知．如图，过点作轴的平行线， 过点分别作，交平行线于G、F． ； 可得，． 四边形是正方形， ，． ． ， ． ， ． 点C坐标为，即． 设直线的解析式为， 则解得 直线的解析式为． （3）解：如图．连接，，由（2）可知 ． 类型三、证四边形是正方形 1．四边形的对角线、相交于点，下面能判定是正方形的条件是（      ） A．， B． C．，， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形判定，掌握这些正方形的判定方法即可． 根据正方形的性质与判定，（1）对角线相等的菱形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形，（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，（4）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形，（5）一组邻边相等的矩形是正方形，（6）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，（7）四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形（8）有一个角为直角的菱形是正方形，（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形，逐个选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．；可判定四边形是平行四边形，不能判定它是正方形； B．；可判定四边形是矩形，不能判定它是正方形； C．，可判定四边形是平行四边形，再有可判定它是菱形，不能判定它是正方形； D．可判定四边形是矩形，再有又可判定它是菱形，所以可以判定它是正方形． 故选：D． 2．如图，以的三边为边在上方分别作等边，，，且点A在内部．给出以下结论：①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形； ④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）． 【答案】①②/②① 【分析】证明和即可判断；由得到即可判断②；当时，求出即可判断③；综合结论②③即可判断； 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理由， ∴， ∴， 由，即可得出四边形 是平行四边形，故结论正确； 由知，四边形 是平行四边形， ∴当时，， ∴平行四边形是菱形，故结论正确； 当时， ， 由知四边形是平行四边形， ∴平行四边形不是矩形，故结论错误； 根据结论②可知，当时，四边形是菱形，当时，四边形不是矩形， ∴四边形不是正方形，故结论错误； 综上分析可知，正确的结论为①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法． 3．如图，A，C是菱形的对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的边长为3，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接交于点，先证明四边形是菱形，结合即可得出结论； （2）根据正方形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴ 四边形是菱形， ∵， ∴， 即 ∴四边形是正方形． （2）解：∵正方形的边长为， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴． 类型一、正方形的最值问题 1．如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查正方形性质，勾股定理等．根据题意连接交于，连接，即为所求的点，则的长即为的最小值，根据正方形性质得是线段的垂直平分线，求出，后利用勾股定理得，即为本题答案． 【详解】解：∵正方形， ∴与关于直线对称， 连接交于，连接，即为所求的点，则的长即为的最小值， ∴是线段的垂直平分线， ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故选：D． 2．如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．延长交于点M，证明，则，得到，设，则，，在中，由勾股定理得到，进一步得到，即可得到的最小值． 【详解】解：延长交于点M， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵四边形都是正方形，E是延长线上一个动点， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 3．如图1，正方形中，分别为上的点，，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，为的中点，交于点，连接． 求证：； (3)如图3，若正方形的边长为8，是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，进而得到， 由此得证； （2）过点作交于点， 可证出，得， 解直角三角形即可得证； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长， ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，勾股定理，充分利用线段和角证明三角形全等、转化线段和角的关系式解题的关键． 类型二、坐标系中的正方形 1．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．若反比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，并利用正方形的性质证明三角形全等． 利用正方形的性质可得，进而求出点的坐标为可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ， ∵四边形是正方形， ∴， , , 又， ， ， ， ∴点的坐标为， 将点的坐标代入得， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是 ． 【答案】25 【分析】此题主要考查了正方形的性质，点的坐标，熟练掌握正方形的性质，点的坐标是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．过点作轴于点，证明和全等得，进而得点的坐标为，则，由此即可得出正方形的面积． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 点的坐标是， ， 在和中， ， ， 点的坐标为， ， 正方形的面积是：． 故答案为：25． 3．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 运用“坐标法”解决几何问题“坐标法”是一种重要的数学方法，常常用代数知识解决几何问题．其步骤如下：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案． 如图1，在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接，则的长为______． 解：如图2，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 四边形是正方形，边长为6， ，． ，， ， ，，，． 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的表达式为．   设直线的表达式为，则，解得， 直线的表达式为． 由得， ． 为中点， ， ． 通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系。 任务： (1)上面小论文中的分析过程，运用的数学思想有______（多选）． A．统计思想    B．数形结合思想    C．函数思想    D．转化思想 (2)请用“坐标法”解答以下问题：    如图，在正方形中，，点，分别在，的延长线上，且，为的中点，连接，相交于点，连接交于点，连接，求的长． 【答案】(1)BCD (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，正方形的性质，正确理解题意建立坐标系是解题的关键． （1）根据材料中分析过程可知：运用的数学思想有：数形结合思想，函数思想，转化思想即可解答； （2）仿照题意以B为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，先分别求出，，，，再根据两点中点坐标公式得到，，求出直线的解析式，进而求出点H的坐标，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据材料中分析过程可知运用的数学思想有：数形结合思想，函数思想，转化思想， 故选：BCD． （2）解：如图，以为原点，过点平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系． 正方形的边长为，， ，． 为的中点， ． 设直线的表达式为，将代入， 得，解得， 直线的表达式为． 令得， ． ． 类型三、正方形的折叠问题 1．如图，在正方形中，点M为边的中点，将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由正方形得到，，然后由折叠得到，，，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，，然后得到，然后得到，求出，，进而求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴， ∵将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处， ∴，， ∴ ∴ ∵点M为边的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图所示，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，连接交于点，由勾股定理可得，由翻折的性质易得，进而可证，可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接交于点， 由题意可知，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 又∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）： （1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称） 拓展应用 （2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求． 【答案】（1）正方形；（2）． 【分析】（1）由长方形的性质得，由折叠的性质得，，进而可证明四边形是正方形； （2）先证明和为等腰三角形，在中，求出，在Rt中，求出，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形； （2）四边形为正方形， ． ， ， ． 又沿着直线翻折到， ， ． 和为等腰三角形． 又四边形是长方形， ， ． 在中，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，掌握折叠的性质是解答本题的关键． 类型四、正方形的动点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点与坐标原点重合．动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，速度为每秒个单位长度，已知，设点的运动时间为秒，当存在且为锐角三角形时，的值可以是下列中的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查正方形的性质及相应的规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键； 根据选项中的时间，分别计算路程，确定点位置，根据规律，进而求解； 【详解】解：正方形的边，故周长为， 当秒时，动点运动的路程为 (个单位长度) ， 所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在点上，构不成，不满足题意； 当，动点运动的路程为， ， 所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在点上，此时为直角三角形，不满足题意； 当，动点运动的路程为； ， 所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在边上，满足题意； 当，动点运动的路程为， ， 所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在边上，此时为直角三角形，不满足题意； 故选：C 2．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 3．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当 时，将的面积分成相等的两部分，此时 ； (2)若点P不与的顶点重合，问t为何值时，点P在的角平分线上？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当直线把的周长分成相等的两部分时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)2， (2)或或 (3)2或6 【分析】（1）勾股定理求出的长，根据三角形的中线平分三角形的面积，得到当为的中线时，将的面积分成相等的两部分，进而得到，根据时间等于路程除以速度求出，勾股定理求出即可； （2）分平分，平分和平分三种情况进行讨论求解即可； （3）分两种情况讨论：当点在上，在上，当点在上，在上，分别画出图形，列出方程，求得t的值即可． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当为的中线时，将的面积分成相等的两部分， ∴， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，； （2）解：当平分时，如图，作，则：， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 当平分时，作，如图：则：， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴； 当平分时，作，则：， 同法可得：， ∴， ∴； 综上：或或． （3）解：如图6，当点在上，在上，    则， 直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为， ， ， ； 如图7，当点在上，在上，    则，， 直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了三角形的中线平分面积、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算，正方形的判定和性质等知识的综合应用，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论进行求解是解决问题的关键． 1．正方形和正方形如图摆放，边长分别为．若两个正方形的面积和为65，，则图中阴影部分面积和为（    ） A．15.5 B．16.6 C．31 D．33 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，数形结合是解题的关键． 结合图形可得，，结合，可得， ，最后根据利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】∵四边形，为正方形，且边长分别为． ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴， ∵，， ∴． 故选：B 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限．若一次函数（、为常数，且）的图象经过、两点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质、待定系数法求一次函数解析等知识，求出，利用待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】解：∵正方形的顶点，，顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限． ∴, ∴ ∴， 把，代入得到， ，解答 ∴ ∴的值为1， 故选：A 3．如图，点A是直线在第一象限图象上一动点，以为边向左边作正方形，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的图象上的点的坐标特征，全等三角形的判断与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作轴于E，过点B作于F，依题意设点，则，证与全等，可得，，进而得，，则，，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于E，过点B作于F，设点，如图 ∴， ∵点A是直线在第一象限图象上一动点， ∴，， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵ ∴，， ∴． 故选C． 4．如图，的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为 ．    【答案】48 【分析】本题主要考查了正方形的拼接，根据面积相等可得正方形的面积，进而得出正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：正方形的面积为， ∴正方形的边长为12， ∴周长为． 故答案为：48． 5．如图，正六边形与正方形的边长均为4，则正六边形与正方形的面积之差为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据正六边形可分成6个边长相等的等边三角形，再结合等边三角形的面积，正方形的面积计算即可． 本题考查了正六边形和正方形的面积计算，正确应用正六边形的面积是解题的关键． 【详解】∵正六边形可分成6个边长相等的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴正六边形与正方形的面积之差为：． 故答案为：． 6．如图，正方形的边长为4，E是的中点，将正方形沿翻折，点D落在点M处，延长交于点F，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，由正方形和折叠的性质，易证，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 正方形的边长为4， ，， 由折叠可知，，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即． 故答案为：． 7．如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，再证明即可得证． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 又∵， ∴， ∴． 8．如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定，先根据菱形的性质得，，，则，证明四边形是平行四边形，结合，，即可作答． 【详解】解：∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 9．在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． (1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是________．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______ (2)点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，若正方形的边长为4，求周长的取值范围 【答案】(1)， (2)①成立，理由见解析②周长c的取值范围是 【分析】（1）取的中点P，连接．先证，再证，，然后由证，即可得出结论； （2）①在上取一点P，使，连接，证，即可得出结论； ②过D作交于点H，连接，证是等腰直角三角形，则点H与D关于对称，得，当A、F、H三点共线时，即最短，此时，再由勾股定理得，此时；当与相等时，即A、D、F三点共线，此时，则；即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）如图1，取的中点P，连接． 则， ∵点E是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①成立，理由如下： 如图2，在上取一点P，使，连接， 则， 由（1）得：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图3，过D作交于点H，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称， ∴， ∴， 当A、F、H三点共线时，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得：， 此时； 当与相等时，即A、D、F三点共线， 此时， 则； ∴的周长c的取值范围是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 10．【模型建立】 （1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________； 【模型应用】 （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，证明，得出，，再证明，得出，即可得解； （2）在上截取，连接，由正方形的性质可得，，证明，得出，，证明，得出，即可得解； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，从而可得，，求出，证明，得出，最后由勾股定理即可得解． 【详解】证明：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合， ∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$