19.1 矩形 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）
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内容正文：
19.1 矩形
一、矩形的定义
矩形是有一个角为直角的平行四边形，即四个内角都是直角的平行四边形。
二、矩形的性质
1.矩形的对边平行且相等。
2.矩形的四个角都是直角。
3.矩形的对角线相等且互相平分。
4.矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。中心对称图形的对称中心是对角线的交点；轴对称图形的对称轴是过每一组对边中点的直线。
三、矩形与平行四边形的区别与联系
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分等。同时，矩形还具有它本身的特性，即四个角都是直角和对角线相等。
巩固课内例1:矩形的性质——四个角都是直角
1．下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
根据矩形的性质分析，进行作答，即可求解．
【详解】解：A. 对角线互相平分且相等，是矩形的性质，故该选项不符合题意；
B. 四个角相等，是矩形的性质，故该选项不符合题意；
C. 对角线互相垂直，不是矩形的性质，故该选项符合题意；
D. 是轴对称图形，是矩形的性质，故该选项不符合题意；
故选：C；
2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （填序号）．
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤4个角都是；⑥既是轴对称图形又是中心对称图形．
【答案】④⑤⑥
【分析】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，根据平行四边形的性质以及矩形的性质进而分析得出答案即可．
【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：
④对角线相等；
⑤4个角都是；
⑥既是轴对称图形又是中心对称图形．
故答案为：④⑤⑥．
3．如图是由小正方形组成的网格，矩形的顶点都是格点．先画的高，再过点C画的平行线．
【答案】见解析
【分析】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．根据网格的特点和相关判定和性质进行作图即可．
【详解】解：如图，即为所求，
证明：设正方形网格的边长为1个单位长度，
由网格特征可知，，，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为的高；
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴
巩固课内例2:矩形的性质——对角线相等
1．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对边相等
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解此题的关键．
【详解】解：矩形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分且相等；四个角都相等；
平行四边形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角相等；
故矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：A．
2．如图，在矩形中，，，对角线与相交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为，，则
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，连接，根据矩形的性质和勾股定理求出，从而求出，进而表示出，可得即可求解．
【详解】解：连接
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
3．规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．
(1)在图甲中画出一个以为边的平行四边形；
(2)在图乙中画出一个以为对角线的矩形，且它的面积为6．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图、平行四边形的性质、矩形的性质，勾股定理与网格问题；
（1）利用平行四边形的性质画出符合题意的图形；
（2）利用矩形的性质画出符合题意得图形即可．
【详解】（1）解：如图甲，平行四边形即为所求（答案不唯一）．
（2）解：如图乙，矩形即为所求（答案不唯一）．
∵
∴矩形的面积为．
巩固课内例3:矩形的周长
1．如图，在矩形纸片中，，．现将其沿折叠，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得,，，再根据折叠的性质可得，，则可得，．则可得四边形是矩形,进而可求出四边形的周长．
本题主要考查了矩形的判定和性质，以及折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解:∵四边形是矩形,
∴,，，
∵沿折叠，点B落在边上的点处，
∴，，
∴，，
∴四边形是矩形,
∴，，
∴四边形的周长．
故选：B．
2．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使得点B与点D重合，折痕是，连接，则四边形的周长是 ．
【答案】20
【分析】由矩形的性质得，，，证明得，结合折叠的性质可证，由勾股定理得，求得，进而可求出四边形的周长．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵将矩形纸片折叠，使得点B与点D重合，折痕是，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴四边形的周长是20，
故答案为：20．
【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出四边形F是菱形是解题的关键．
3．如图，四边形是矩形．以点B为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当时，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得，，，由作图可得，利用三线合一性质可得，再利用平行四边形的判定即可证明；
（2）利用勾股定理求出的长，结合（1）中的结论，利用平行四边形的周长公式即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
由作图可得，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
四边形的周长．
巩固课内例4:等积法
1．已知E为矩形的边的中点，，，那么点D到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，点到直线的距离．
由题意作出图形，作，则的长为点D到的距离，连接，根据勾股定理求出的长，再利用的面积即可求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，，则的长为点D到的距离，连接，
∵E为矩形的边的中点，，，
∴，，
∴在中，，
∵，
即，
∴，
∴点D到的距离为．
故选：D．
2．在矩形中，若，，则对角线 ，点A到的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积等，利用矩形性质和勾股定理即可求得，再运用面积法可求得点A到的距离．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：，．
3．在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到．
(1)如图1，若点F刚好落在上时，求的长；
(2)如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离．
【答案】(1)；
(2)M到的距离为8．
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）先由矩形的性质和折叠的性质得到，再利用勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可得到答案；
（2）过点作于，交的延长线于，交的延长线于．证明，推出，可得结论．
【详解】（1）解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点F刚好落在上，
∴，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
；
（2）解：如图，过点作于，交的延长线于，交的延长线于．
四边形是矩形，
，，，
，，
，
四边形是矩形，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
到的距离为8．
巩固课内例5:矩形的对角线与边长
1．如图，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，图形旋转的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及图形旋转的性质是解题的关键．
根据矩形的性质得，再根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质可得，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，
．
故先选：C．
2．如图，矩形中，为边上一点，，．若沿翻折后得到，点恰好在线段上，则的长为 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，即可得，，得到，再根据余角性质得到，即可证，得到，设，则，在中，由勾股定理得到，解方程求出即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠得，，，，
∴，，
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
3．如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质得到，，得到，根据，得到，证明，即可得出结论；
（2）过点A作，垂足为，四边形是矩形，由勾股定理得，进而得到，再根据三角形面积公式求出，由勾股定理得，进而得到，在求出 ，即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：过点A作，垂足为，
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵ 即 ，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
巩固课内例6:矩形的判定——有一个角是直角的平行四边形
1．一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板．这样做最直接的道理是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．两组对边分别相等的四边形是矩形
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形和矩形判定，掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键．
根据平行四边形和矩形判定即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴这样做最直接的道理是有一个角是直角的平行四边形是矩形，
故选：．
2．数学实践活动课上，小明用细木条制作了一个四边形木框（如图所示），经测量得知该木框的两组对边长度相等，且有一个内角是直角，则该木框是 ．（填“平行四边形”或“矩形”）
【答案】矩形
【分析】
本题主要考查平行四边形的判定和矩形的判定，根据它们的判定方法直接进行判断即可．
【详解】解：由两组对边长度相等可得这个木框的形状是平行四边形；
再由有一个内角是直角的平行四边形可知它是矩形，
故答案为：矩形．
3．如图，在中，，点D为的中点，以，为邻边的四边形为平行四边形，连接，．求证：四边形为矩形．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质得到，，证明四边形为平行四边形，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】证明：，点D为的中点，
，，
四边形为平行四边形，
且，
则且，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为矩形．
巩固课内例7:矩形的判定——有三个角是直角的四边形
1．在下列条件中，能够判定四边形为矩形的是（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定方法，由矩形的判定方法逐一判断，即可求解；掌握矩形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A.，可判定四边形为平行四边形，故不符合题意；
B.，可判定四边形为平行四边形，故不符合题意；
C.无法判定四边形为矩形，故不符合题意；
D.能够判定四边形为矩形，故符合题意；
故选：D．
2．如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ．
【答案】矩形
【分析】本题考查平行四边形的性质和矩形的判定．利用平行四边形的性质得出即可证明四边形是矩形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
∵分别平分，
∴，即．
同理可证，
∴四边形是矩形．
故答案为：矩形．
3．如图，在中，于点于点F，求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．证明，即可得出结论；
【详解】证明：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
巩固课内例8:矩形的判定——对角线相等的平行四边形
1．小明利用尺规作矩形，其中为矩形的对角线，其作图过程如下所示．如图，
①作的垂直平分线，交于点；
②作以点为圆心、长为半径的圆；
③在中画异于的直径；
④依次连接四点，得到四边形，四边形即为所求作的矩形．小亮根据小明的作图过程证明四边形是矩形，其证明过程如下所示．
证明：由作图可知，___________①___________，___________②___________，
四边形是___________③___________．
又四边形为矩形．
若小亮的证明过程正确，则（ ）
A．①中填
B．②中填
C．③中填菱形
D．小亮判定四边形为矩形的依据是对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质等知识，先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论．
【详解】解：由作图可知，，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
又，
四边形为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
故A、B、C选项错误，不符合题意，D选项正确，符合题意．
故选：D．
2．如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件 ，使四边形是矩形．
【答案】答案不唯一，
【分析】先证明四边形是平行四边形．结合，得证，即可证明四边形是矩形．
本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
3．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F，
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键．
（1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可．
（2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形是矩形，
，，
，
在直角三角形中，，
．
巩固课内例9:母子矩形
1．如图，矩形被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为，左右两个直角三角形的面积都为，中间小矩形的面积为，若对角线，则矩形的面积一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中心对称，矩形的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识．如图，延长交于点，连接．证明四边形是平行四边形，推出，推出，可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交于点，连接．
由题意，，
，
∵，，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：A．
2．将两张完全相同的矩形纸片按如图所示的方式叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握这些性质是解题关键．根据角平分线的逆定理可得，设，根据等角对等边得：，由勾股定理列方程可得的值，根据矩形的性质可得，，证明四边形的平行四边形，由平行四边形的面积公式可得重叠部分图形的面积．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
两张完全相同的矩形纸片，
，，
四边形是平行四边形，
重叠部分图形的面积．
故答案为：．
3．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理的证法多样，毕达哥拉斯用下图证明了勾股定理，他的思路是：已知图1是由边长为和的两个正方形，和宽、长分别是、的两个矩形组成；如图2，将两个矩形沿对角线剪开，得到编号分别为①②③④的直角三角形，直角三角形的两直角边分别为，，斜边为；如图3，将图2中的四个直角三角形拼成图3中的大正方形．由拼图过程可以看出图1与图3的面积相等，从而可以证明勾股定理．
任务一：请你根据材料中的思路证明勾股定理；
任务二：如图4，在矩形与矩形中，，，点在上，点在上，与交于点，则的长为__________．
【答案】任务一：见解析；任务二：
【分析】本题考查了勾股定理的证明，矩形的性质，勾股定理的应用；
任务一：由拼图过程可以看出图1与图3的面积相等，从而可以证明勾股定理．
任务二：勾股定理求得，进而勾股定理求得，根据相等建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：任务一：图1的正方形的面积为，
图3的面积为
∴
∴；
任务二：如图所示，连接，
设，则，
在中，，
∴，
在中，
在中，
在中，
∴
解得：
即，
故答案为：．
类型一、添加条件证四边形为矩形
1．如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，若所围成的四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点，能证出四边形为平行四边形和是解此题的关键， 由平行公理的推论求出，，推出平行四边形，证出即可得解．
【详解】解：添加的条件是，
∵，，
∴，
同理，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形，
故选：．
2．中，再添加一个条件 ，就可判定四边形为矩形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可解答，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：中，再添加，就可判定四边形为矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
3．如图，在中，，为外角的平分线，为底边上一点，连接，过点作交于点，连接，交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：_____，使得四边形为矩形．
【答案】(1)平行四边形，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，矩形的判定以及平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
（1）根据题意得到，以及三角形外角和定理得到，证明，证明，即可证明结论．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形添加条件即可．
【详解】（1）解：平行四边形，理由如下：
，
，
为外角的平分线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：在不增加辅助线和字母的前提下，令，
则四边形是矩形．
故答案为：．
类型二、矩形的性质与判定求长度
1．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且交于点F，则的长为（ ）
A．13 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
即，
故选：B．
2．如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一个动点（点不与点重合），连接，把沿折叠，使点的对应点总落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，一是，连接交于点， 即可得到四边形是平行四边形，然后根据正切，可得，根据勾股定理得，求得；二是，作于点H，则，四边形是矩形， 所以则 由勾股定理得 求得 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图， ， 连接交于点，
∵四边形是矩形，，，
∴， ，，，
∵把沿折叠，点的对应点落在边上，
∴， 点与点关于直线对称，
∴， 且， 垂直平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
，且，，
，
，
，
解得或，
∵当时， 则 ，
∴， 则点与点重合，
∴不符合题意，舍去；
如图，， 作于点， 则，
∴
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
解得
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．
3．如图，在矩形中，，点是上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，得到，由翻折的性质得到，得到，即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到，，由翻折的性质得到，，，设则，在中 ，即，求出，得到．
【详解】（1）证明：矩形，
，
，
由翻折的性质得到，
，
；
（2）解：矩形，
，，
由翻折的性质得到，，，
设则，
在中 ，即，
解得，
．
类型三、矩形的性质与判定求角度
1．如图，矩形中，为的中点，连接，过作交于点，连接，如果，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题延长，交的延长线于点，证明，进而进行角度的等量代换即可得出答案．
【详解】解：延长，交的延长线于点，如图所示：
在矩形中，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．
2．如图，将长方形纸带沿直线折叠，A，D两点分别与，对应．若，则的度数为 ．
【答案】/72度
【分析】本题考查矩形性质，翻折性质，平行线性质等．根据题意可得，再利用平行线性质列式即可求出本题答案．
【详解】解：∵长方形纸带沿直线折叠，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
3．如图：已知矩形，E，F分别为，边上的点，，的延长线交于点G，．
(1)求证：；
(2)如图2，Q，H分别是，边上的点，交于点P，，；
①求证：；
②连接，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据矩形的性质得出，根据，即可得出答案；
（2）①过点E作，交于点M，先证明，得出，根据，得出，证明，得出答案即可；
②连接，，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：①过点E作，交于点M，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行公理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
类型一、矩形的性质与判定求周长
1．如图，的对角线相交于点，是等边三角形，且，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理．由矩形和等边三角形，求得，再根据勾股定理求得的长，据此求解即可．
【详解】解：∵平行四边形是矩形，是等边三角形，
∴，
∵，
在中，由题意可知，，
，
∴的周长是．
故选：D．
2．如图，矩形的边与x轴平行，顶点A的坐标为，点B与点D都在反比例函数的图象上，则矩形的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查反比例函数与几何综合、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征、两点间的距离．解题关键是与x轴平行的直线上的点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的点的横坐标相同．
由边与x轴平行，顶点A的坐标为，可得B点的纵坐标，代入反比例函数解析式，得出B点坐标，从而求边的长；由边与y轴平行， 可得D点的横坐标，再代入反比例函数解析式，得出D点坐标，再得出的边长，最后求周长．
【详解】解：当时，
∴．
∴．
∴．
∴．
当时，
∴．
∴，
．
∴矩形的周长是．
故答案为：24．
3．【理解概念】
如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”．
(1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________；
(2)钝角三角形的“矩形框”有___________个；
(3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长；
【答案】(1)
(2)1
(3)或
【分析】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，清晰的分类是解本题的关键．
（1）利用面积公式可直接得到答案；
（2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案；
（2）当或与“矩形框”一边重合时， 利用矩形的性质直接可得答案；当与“矩形框”一边重合时，利用等面积法求解，从而可得答案；
【详解】（1）解：∵矩形为的“矩形框”
∴；
故答案为：
（2）解：由“矩形框”的含义得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，所以钝角三角形的矩形框只有1个，
故答案为：1
（3）解：当或与“矩形框”一边重合时，周长为；
当与“矩形框”一边重合时，如图，作交AB于D．
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴周长为．
综上，的“矩形框”的周长为或．
类型二、矩形的性质与判定求面积
1．点在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的3个阴影部分矩形面积从左到右依次记为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键．
利用反比例函数系数的几何意义，及求解，然后利用列方程求解即可得到答案．
【详解】解：由题意知：矩形的面积，
，
，
同理：矩形，矩形的面积都为，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
2．如图，现将四根木条钉成的矩形框变形为平行四边形木框，且与相交于边的中点E，若，，则原矩形和平行四边形重叠部分的面积是 ．
【答案】
【分析】根据矩形和平行四边形的性质可得：，，，，从而得出，根据中点的定义即可求出，然后根据勾股定理即可求出，进而求出，最后根据梯形面积公式进行求解即可．此题考查的是矩形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，掌握矩形的性质定理、平行四边形的性质定理、用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
【详解】解：∵矩形木框变形为平行四边形木框，
∴，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
故答案为：．
3．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，．
(1)求证 ；
(2)若，求矩形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．
（1）由得，即可由证，可得；
（2）证明是等边三角形，得，，进而得，再由直角三角形的性质可得，，，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
类型三、证四边形是矩形
1．已知四边形满足，则下列条件不能判定四边形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质以及等腰梯形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识和理解题意是解题关键．根据选项逐一判断每个四边形的形状看是否符合题意．
【详解】解：由题知，四边形满足，
A、当时，四边形是等腰梯形或平行四边形，当四边形是平行四边形时，不是轴对称图形，符合题意；
B、当时，四边形是矩形，是轴对称图形，不符合题意；
C、当时，四边形是矩形或者等腰梯形，是轴对称图形，不符合题意；
D、当时，四边形是矩形或者等腰梯形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
2．如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴．
即．
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
故答案为：（答案不唯一）．
3．如图，在平行四边形中，于点E，，的平分线交于F，连接．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定判定，平行四边形的性质，勾股定理，
对于（1），先根据平行四边形的性质和角平分线的定义得，进而得出，即可说明四边形是平行四边形，然后根据得出答案；
对于（2），根据平行四边形的性质得，再求出，可得，然后根据勾股定理求出答案．
【详解】（1）证明：
，
．
的角平分线交于F，
，
，
．
．
∵，
∴四边形是平行四边形.
，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：在中，
．
，
．
∵四边形是矩形，
，
．
∴在中，，
．
类型一、矩形的最值问题
1．如图，矩形中，点分别为边上两动点，且，．沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点为点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查折叠问题、勾股定理，连接，由翻折可得，则，要求的最小值，即求的最小值，以此得出当点G与点B重合时，最小，设则根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，
∵以翻折后，点D与点G重合，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，，
当的最小时，最小，
当点G与点B重合时，最长，最小，
设则
在中，，
∴，
解得，
∴的最小值为．
故选：C．
2．如图，在中，，，，为边上一动点，作于，于，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，连接，由勾股定理逆定理得出，证明四边形为矩形，得出，由垂线段最短可得当时，最小，此时也最小，由等面积法求出，即可得解．
【详解】解：如图：连接，
，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵于，于，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，最小，此时也最小，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
3．【问题发现】
（1）如图1，在矩形中，点P是矩形内一点，过点P作，分别交，于点E，F．则______．（填“>”“=”或“<”）
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，点P是矩形外一点，过点P作，分别交，的反向延长线于点E，F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，P是外一点，，，，则的最小值为______．
【答案】（1）；（2）成立，见解析（3）
【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
（1）由，，，，进一步可得，于是得到问题的答案；
（2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以（1）中结论成立；
（3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：（1）∵矩形，，
∴，，
∴，
∴，，，，
在矩形ABCD中，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
（2）成立，理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，作交的延长线于点M，则，
∴，．
作交的延长线于点N，作交的延长线于点T，连接，．
∵，
∴．
∵，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，而，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
∴的最小值为．
故答案为：．
类型二、坐标系中的矩形
1．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，
∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置，
,
,
，
∵点B的坐标为，
，，
设，则，
在中，，
解得，
∴点E的坐标为，
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当时，以及当时，分别进行讨论得出点的坐标．
【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，
∴，
过作于，
①当时，如图1所示：
，，
由勾股定理得：，
；
②当时，
如图2所示：
，，
由勾股定理得：，
，
；
如图3所示：
，，
由勾股定理得：，
，
；
综上，满足题意的点的坐标为或或，
故答案为：或或．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)点的坐标为或；
(3)点的坐标为或．
【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键．
（1）由一次函数得，把代入得，故反比例函数的表达式为；再联立计算即可；
（2）设点，过点C作轴平行线交直线于，得点，由，得，再计算即可；
（3）由点C位于点B左侧，得．①当四边形为矩形时，构造一线三垂直得，得，求出直线解析式为，再联立计算即可．②当为矩形时，由得直线解析式为再联立计算即可．
【详解】（1）解：一次函数过点，
，
，
，
把代入得，，
反比例函数的表达式为；
，
或；
（2）解：设点，过点作轴平行线交直线于，
点，
，
，
，
解得或，（负数已舍），
点的坐标为或；
（3）解：点位于点左侧，
，
①当四边形为矩形时，
如图：过作直线轴，过作直线，过作直线，
，
，
，，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
设直线解析式为，
代入，
得，
直线解析式为，
联立得，
，
或2，
，
移动到，
移动到，
，
②当为矩形时，
，
设直线解析式为，
代入，得，
直线解析式为，
联立得，
，
或1，
，
移动到，
移动到，
，
综上所述，点的坐标为或．
类型三、矩形的折叠问题
1．如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，熟练的掌握轴对称的性质结合方程思想解题是关键．先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据根据定理即可求出，即可得到结果．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．如图，矩形中，，点F在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处，若，那么的长为 ．
【答案】9
【分析】考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．
首先求出，由矩形的性质得出，，由平行线的性质得出，由翻折不变性可知，，证出，由等腰三角形的判定定理证出，再由勾股定理求出，可得，再利用翻折不变性，可知，由此即可解决问题．
【详解】解：，
，
∵将纸片折叠，使落在射线上，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：9．
3．如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点，点D是矩形边上的一点．
(1)如图①，当时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点D与点A重合时，沿折叠该纸片，得点B的对应点，与x轴交于E点，求点E和点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查矩形中的翻折变换及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得出，，再根据余角和含度角的直角三角形的性质得出，然后根据勾股定理求出的值，即可得出答案；
（2）过作轴于F，根据矩形的性质及勾股定理得出，再根据折叠的性质和勾股定理即可得出点的坐标，设，则，再次利用勾股定理即可得出答案．
【详解】（1），四边形是矩形，
，，
，
，
；
（2）过作轴于F，如图：
，四边形OABC是矩形，
，，
，
，
点D与点A重合时，沿CD折叠该纸片，得点B的对应点，
，，
，，
，，
，
，
；
设，则，
，
，
解得，
，
类型四、矩形的动点问题
1．如图1，四边形中，，，．动点P从点B出发沿折线方向以1单位／秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，①；②，③．则正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
【答案】B
【分析】本题考查了动点与函数图象，涉及到分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．根据图1和图2得当时，点到达处，即；当时，点到达点处，即可求解．
【详解】解：当时，点到达处，即，故①正确；
过点作交于点，则四边形为矩形，
，，
，故②正确；
当时，点到达点处，则，
则，故③正确；
故选：B．
2．如图，在矩形中，，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形为矩形时，t的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了矩形的判定和动点问题，解题关键是利用运动速度和时间表示出线段长，根据矩形的判定列出方程即可求解．
【详解】解：当时，四边形为平行四边形，
因为，
所以四边形为矩形，
点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．设运动时间为t秒，
则，，
，
解得，，
故答案为：2．
3．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒．
(1)若P，Q两点同时出发．
①时，用t分别表示出和的长：___________，___________；
②若运动过程中，当时，求t的值；
(2)若P点先运动2秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后立即停止运动，则是否存在t值，使得为直角三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①，；②4
(2)存在，或
【分析】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的性质和判定等知识，构造出直角三角形是解本题的关键．
（1）①由题意可得出答案；②由平行四边形的性质得出，则可得出答案；
（2）当时，，不可能为直角；分两种情况，当为直角时，当为直角时，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动，
由题意得，，，
故答案为：，；
②当时，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，，
由题意知不可能为直角，
当为直角时，四边形是矩形，
∴，如图1，
则，
∴；
当为直角时，如图，过点P作于点M，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
设，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
综上，或时，为直角三角形．
1．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可．
【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标
【详解】解：过点作于点，
∵矩形的顶点的坐标分别为，，点是的中点，
∴点
∵，，
∴，
即点
∴点，
故选：A
3．如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，为线段上一点，连结，并延长交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交线段于点．则下列两个命题中说法正确的是（ ）
为等腰三角形；
设长为，长为，则．
A．正确，正确 B．正确，错误
C．错误，正确 D．错误，错误
【答案】A
【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
由已知、根据“两直线平行， 内错角相等”得，由作图可知，从而得到，由“等角对等边”得到，即是等腰三角形，结论正确；由已知、根据证明，得到，从而得到，过点作 于点，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得四边形是矩形，从而得到，在中，由勾股定理得，整理得得出结论正确．
【详解】解：∵是矩形，
∴，
∴，
由作图可知：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，结论正确；
矩形中，，，，
∵点为对角线的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，如图：
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
由勾股定理， 得即，
∴，
，
，
∴，即结论正确，
故选：．
4．一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，这样的四边形可以是 ．（写出一个符合要求的四边形的名称即可）
【答案】矩形（答案不唯一）．
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形是矩形（答案不唯一）．
故答案为：矩形（答案不唯一）．
5．如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定的性质以，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
由矩形性质可知，，又旋转可知，，，然后通过勾股定理和线段和差即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转性质可知，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理；作于P，于Q，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，作于P，于Q，
∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转得，，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
故答案为： ．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，求的度数．
【答案】＝28°．
【分析】四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得到，又，由等腰三角形性质得到∠OBA＝62°，由得∠AEB＝90°，直角三角形两锐角互余得到的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∴．
∴△AOB是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
8．如图，是矩形的对角线，已知，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查矩形的性质，作角平分线，根据矩形的性质结合，得到，作的角平分线与交点即为，此时，则．
【详解】解：如图，作的角平分线与交点即为．
9．如图，点E是矩形的边上的一点，且，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，则______．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）求出，，证明，则，设，由得到方程，解方程即可．
【详解】（1）如图，即为所求，
（2）连接
∵点E是矩形的边上的一点，
∴，，
∴，
∴
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴，
设
则
∵
∴，
解得，
即
故答案为：
【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．
10．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．智慧小组发现，特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题．如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．
他们通过探究，提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形中，，D为上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，连接，分别延长，相交于点G，连接．
观察发现：（1）①与的数量关系为_______________；
②四边形的形状为_______________；
深入探究：（2）在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明．
拓展应用：（3）如图2，若射线恰好过的中点O，且，请直接写出的长．
【答案】（1），平行四边形；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）①利用证明即可得到；②证明，得到，即可证明四边形是平行四边形；
（2）证明和，根据等腰三线合一的性质即可得；
（3）连接，证明四边形是矩形，得到，再推出，得到是线段的垂直平分线，则，设，再列式计算即可求解．
【详解】解：（1）①；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②四边形是平行四边形；理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）；理由如下，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）②得，
∴，
根据等腰三线合一的性质得；
（3）连接，
∵点O是的中点，四边形是平行四边形
则点O也是的中点，
∵，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
由，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
设，
又，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
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19.1 矩形
一、矩形的定义
矩形是有一个角为直角的平行四边形，即四个内角都是直角的平行四边形。
二、矩形的性质
1.矩形的对边平行且相等。
2.矩形的四个角都是直角。
3.矩形的对角线相等且互相平分。
4.矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。中心对称图形的对称中心是对角线的交点；轴对称图形的对称轴是过每一组对边中点的直线。
三、矩形与平行四边形的区别与联系
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分等。同时，矩形还具有它本身的特性，即四个角都是直角和对角线相等。
巩固课内例1:矩形的性质——四个角都是直角
1．下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （填序号）．
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤4个角都是；⑥既是轴对称图形又是中心对称图形．
3．如图是由小正方形组成的网格，矩形的顶点都是格点．先画的高，再过点C画的平行线．
巩固课内例2:矩形的性质——对角线相等
1．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对边相等
2．如图，在矩形中，，，对角线与相交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为，，则
3．规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．
(1)在图甲中画出一个以为边的平行四边形；
(2)在图乙中画出一个以为对角线的矩形，且它的面积为6．
巩固课内例3:矩形的周长
1．如图，在矩形纸片中，，．现将其沿折叠，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
2．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使得点B与点D重合，折痕是，连接，则四边形的周长是 ．
3．如图，四边形是矩形．以点B为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当时，求四边形的周长．
巩固课内例4:等积法
1．已知E为矩形的边的中点，，，那么点D到的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．在矩形中，若，，则对角线 ，点A到的距离为 ．
3．在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到．
(1)如图1，若点F刚好落在上时，求的长；
(2)如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离．
巩固课内例5:矩形的对角线与边长
1．如图，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，为边上一点，，．若沿翻折后得到，点恰好在线段上，则的长为 ．
3．如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长
巩固课内例6:矩形的判定——有一个角是直角的平行四边形
1．一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板．这样做最直接的道理是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．两组对边分别相等的四边形是矩形
2．数学实践活动课上，小明用细木条制作了一个四边形木框（如图所示），经测量得知该木框的两组对边长度相等，且有一个内角是直角，则该木框是 ．（填“平行四边形”或“矩形”）
3．如图，在中，，点D为的中点，以，为邻边的四边形为平行四边形，连接，．求证：四边形为矩形．
巩固课内例7:矩形的判定——有三个角是直角的四边形
1．在下列条件中，能够判定四边形为矩形的是（ ）
A．， B．，
C． D．
2．如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ．
3．如图，在中，于点于点F，求证：四边形是矩形．
巩固课内例8:矩形的判定——对角线相等的平行四边形
1．小明利用尺规作矩形，其中为矩形的对角线，其作图过程如下所示．如图，
①作的垂直平分线，交于点；
②作以点为圆心、长为半径的圆；
③在中画异于的直径；
④依次连接四点，得到四边形，四边形即为所求作的矩形．小亮根据小明的作图过程证明四边形是矩形，其证明过程如下所示．
证明：由作图可知，___________①___________，___________②___________，
四边形是___________③___________．
又四边形为矩形．
若小亮的证明过程正确，则（ ）
A．①中填
B．②中填
C．③中填菱形
D．小亮判定四边形为矩形的依据是对角线相等的平行四边形是矩形
2．如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件 ，使四边形是矩形．
3．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F，
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的度数．
巩固课内例9:母子矩形
1．如图，矩形被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为，左右两个直角三角形的面积都为，中间小矩形的面积为，若对角线，则矩形的面积一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．将两张完全相同的矩形纸片按如图所示的方式叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为 ．
3．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理的证法多样，毕达哥拉斯用下图证明了勾股定理，他的思路是：已知图1是由边长为和的两个正方形，和宽、长分别是、的两个矩形组成；如图2，将两个矩形沿对角线剪开，得到编号分别为①②③④的直角三角形，直角三角形的两直角边分别为，，斜边为；如图3，将图2中的四个直角三角形拼成图3中的大正方形．由拼图过程可以看出图1与图3的面积相等，从而可以证明勾股定理．
任务一：请你根据材料中的思路证明勾股定理；
任务二：如图4，在矩形与矩形中，，，点在上，点在上，与交于点，则的长为__________．
类型一、添加条件证四边形为矩形
1．如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，若所围成的四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．中，再添加一个条件 ，就可判定四边形为矩形．
3．如图，在中，，为外角的平分线，为底边上一点，连接，过点作交于点，连接，交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：_____，使得四边形为矩形．
类型二、矩形的性质与判定求长度
1．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且交于点F，则的长为（ ）
A．13 B．10 C．8 D．6
2．如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一个动点（点不与点重合），连接，把沿折叠，使点的对应点总落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ．
3．如图，在矩形中，，点是上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
类型三、矩形的性质与判定求角度
1．如图，矩形中，为的中点，连接，过作交于点，连接，如果，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将长方形纸带沿直线折叠，A，D两点分别与，对应．若，则的度数为 ．
3．如图：已知矩形，E，F分别为，边上的点，，的延长线交于点G，．
(1)求证：；
(2)如图2，Q，H分别是，边上的点，交于点P，，；
①求证：；
②连接，求的度数．
类型一、矩形的性质与判定求周长
1．如图，的对角线相交于点，是等边三角形，且，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形的边与x轴平行，顶点A的坐标为，点B与点D都在反比例函数的图象上，则矩形的周长为 ．
3．【理解概念】
如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”．
(1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________；
(2)钝角三角形的“矩形框”有___________个；
(3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长；
类型二、矩形的性质与判定求面积
1．点在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的3个阴影部分矩形面积从左到右依次记为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，现将四根木条钉成的矩形框变形为平行四边形木框，且与相交于边的中点E，若，，则原矩形和平行四边形重叠部分的面积是 ．
3．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，．
(1)求证 ；
(2)若，求矩形的面积．
类型三、证四边形是矩形
1．已知四边形满足，则下列条件不能判定四边形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
3．如图，在平行四边形中，于点E，，的平分线交于F，连接．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)若，，求的长．
类型一、矩形的最值问题
1．如图，矩形中，点分别为边上两动点，且，．沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点为点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，在中，，，，为边上一动点，作于，于，则的最小值为 ．
3．【问题发现】
（1）如图1，在矩形中，点P是矩形内一点，过点P作，分别交，于点E，F．则______．（填“>”“=”或“<”）
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，点P是矩形外一点，过点P作，分别交，的反向延长线于点E，F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，P是外一点，，，，则的最小值为______．
类型二、坐标系中的矩形
1．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三、矩形的折叠问题
1．如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，，点F在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处，若，那么的长为 ．
3．如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点，点D是矩形边上的一点．
(1)如图①，当时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点D与点A重合时，沿折叠该纸片，得点B的对应点，与x轴交于E点，求点E和点的坐标．
类型四、矩形的动点问题
1．如图1，四边形中，，，．动点P从点B出发沿折线方向以1单位／秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，①；②，③．则正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
2．如图，在矩形中，，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形为矩形时，t的值为 ．
3．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒．
(1)若P，Q两点同时出发．
①时，用t分别表示出和的长：___________，___________；
②若运动过程中，当时，求t的值；
(2)若P点先运动2秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后立即停止运动，则是否存在t值，使得为直角三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
1．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，为线段上一点，连结，并延长交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交线段于点．则下列两个命题中说法正确的是（ ）
为等腰三角形；
设长为，长为，则．
A．正确，正确 B．正确，错误
C．错误，正确 D．错误，错误
4．一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，这样的四边形可以是 ．（写出一个符合要求的四边形的名称即可）
5．如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为 ．
6．如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则 ．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，求的度数．
8．如图，是矩形的对角线，已知，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
9．如图，点E是矩形的边上的一点，且，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，则______．
10．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．智慧小组发现，特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题．如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．
他们通过探究，提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形中，，D为上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，连接，分别延长，相交于点G，连接．
观察发现：（1）①与的数量关系为_______________；
②四边形的形状为_______________；
深入探究：（2）在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明．
拓展应用：（3）如图2，若射线恰好过的中点O，且，请直接写出的长．
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