专题18：平衡中的临界、极值问题 专项训练 --2026届高考物理一轮复习

平衡中的临界、极值问题专项练习 需要掌握的内容 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力． (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0. (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0. 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题． 3．解题方法和步骤 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小． (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)． (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值． 经典例题： 1.（单选）如图将质量为m的小球a用轻质细线悬挂于O点,用力F拉小球a,使整个装置处于静止状态,且悬线与竖直方向的夹角θ=30°,重力加速度为g,则F的最小值为 (　B　) A.mg　　　B.mg　　　 C.mg　　　D.mg 2.(单选)如图所示，两质量均为m的小球a、b(均可看成质点)固定在轻杆两端，用两条与轻杆等长的细线悬挂在O点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形，用力F缓慢拉动小球b，保持两细线绷紧，最终使连接a球的细线竖直，重力加速度大小为g，则连接a球的细线竖直时，力F的最小值是(　　) A.mg B.mg C．mg D.mg 3.（单选）如图所示为一种吊装装置,绕过光滑动滑轮C的轻绳A端固定在天花板上,B端固定在竖直墙面上,动滑轮C上吊着质量为m的小球,动滑轮C质量不计,给动滑轮C施加一个拉力(图中未画出),使小球缓慢上升,当AC段轻绳竖直时,动滑轮C两边的轻绳夹角为120°,重力加速度大小为g,则此时加在动滑轮C上的拉力最小值为( ) A. B. C.mg D. 4．(单选)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　) A. B. C. D. 5.如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动．已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2.求所需拉力F的最小值． 6.如图所示,质量为m的物体,放在一固定斜面上,当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F的水平向右的恒力,物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时,不论水平恒力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行,试求: (1)物体与斜面间的动摩擦因数; (2)临界角θ0的大小。 7.如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2) 8.（15分）如下图所示,小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上,设小球质量为m,斜面倾角α=30°,细绳与竖直方向夹角θ=30°,斜面体的质量m0=3m,置于粗糙水平面上。求: (1)当斜面体静止时,细绳对小球拉力的大小; (2)地面对斜面体的摩擦力的大小和方向; (3)若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍,为了使整个系统始终处于静止状态,k值必须满足什么条件? 9.如图所示，两个完全相同的球，重力大小均为G，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，且假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一根轻绳两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为α。问当F至少为多大时，两球将会发生滑动？ 参考答案 1.B 2.答案　B 解析：末状态时，左边小球a在最低点，细线Oa处于竖直方向，小球a处于平衡状态，合外力沿水平方向的分量为零，则此时轻杆上的弹力为零，故右侧小球b受到重力、细线Ob的拉力和力F作用处于平衡状态，如图所示，由几何关系可知，当拉力F方向与Ob垂直时拉力F最小，可得最小拉力Fmin＝mgsin 60°＝mg，选项B正确，A、C、D错误． 3.B 4.答案　C 解析　A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示． 对A：FT＝mgsin 45°＋μmgcos 45° 对B：2mgsin 45°＝FT＋3μmgcos 45°＋μmgcos 45° 整理得，μ＝，选项C正确． 5.答案　2 N 解析　设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cos θ＋μsin θ＝，sin(α＋θ)＝(其中sin α＝)，当θ＝－α时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝＝2 N. 6.（1）；（2）60° 分析：（1）物体匀速上滑和匀速下滑时受力都平衡，按重力、弹力和摩擦力顺序进行受力分析，根据匀速下滑的情形，运用平衡条件列方程，并结合摩擦力公式求解动摩擦因素μ． （2）物体沿斜面匀速上升，根据平衡条件列方程，可求得推力F的大小． （3）根据推力的表达式，结合数学知识，即可求解临界角大小． 解：（1）物体恰好匀速下滑时，由平衡条件有： FN1=mgcos30° mgsin30°=μFN1， 则  μ=tan30°=； （2） 设斜面倾角为α，由平衡条件有： Fcosα=mgsinα+Ff， FN2=mgcosα+Fsinα， 静摩擦力 Ff≤FN2， 联立解得 F（cosα-μsinα）≤mgsinα+μmgcosα； 要使“不论水平恒力F多大”，上式都成立，则有 cosα-μsinα≤0， 所以 tanα≥ ɑ≥60°，即θ0=60°； 答：（1）物体与斜面间的动摩擦因数为（2）这一临界角θ0的大小为60°。 7.答案　 N≤F≤ N 解析　设AB绳的拉力为F1，AC绳的拉力为F2，对物体受力分析，由平衡条件有 Fcos θ－F2－F1cos θ＝0， Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0， 可得F＝－F1，F＝＋. 若要使两绳都能伸直，则有F1≥0，F2≥0， 则F的最大值Fmax＝＝ N， F的最小值Fmin＝＝ N， 即拉力F的大小范围为 N≤F≤ N. 8.（1）（2），水平向左；（3）k≥ 【解析】（1）以小球为研究对象受力分析如右图所示：        （3分） 解得：      （2分）   （2）以小球和斜面整体为研究对象受力分析如右图所示： 由系统静止：     （3分） 方向水平向左      （1分） （3）对照第（2）题小球和斜面整体受力分析图： 由平衡条件：   （2分）        （1分） 又由题意可知： （2分） 由上式得  k≥ （2分） 9.[答案]　 [解析]　对O点受力分析，如图甲所示，由平衡条件得： 甲　　　　　乙 F1＝F2＝ 对任一球(如右球)受力分析如图乙所示，球发生滑动的临界条件是：F′2sin ＝μFN 又F′2cos ＋FN＝G，F′2＝F2 联立解得：F＝。 学科网（北京）股份有限公司 $$