精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

塘沽一中2024—2025学年度第二学期 高二年级期中考试数学学科试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共6页．卷Ⅰ答案用2B铅笔填涂在答题纸上，卷Ⅱ答案用黑色字迹的笔直接答在答题纸规定区域内． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：（本题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可. 【详解】由题意可得， 又因为 所以. 故选：B 2. 下列关于求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式，以及复合函数的求导法则，可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 3. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（ ）（实际值与预计值之差） A. B. C. 0.02 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心点，带入回归方程求出，在求出对应的月销量预测值，结合月销量求出残差 【详解】因为， 所以，所以关于的线性回归方程为， 2025年3月对应的，故此时残差为. 故选：B. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】令，求出的单调性，再结合充分性和必要性的定义即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，， 所以在上单调递增，所以“”能推出“”， 同理“”能推出“”. 故选：C. 5. 在展开式中，的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】利用的通项可得答案. 【详解】， 的通项为， 所以的系数是. 故选：D． 6. 随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布以及正态分布的定义可判断A、B项；根据二项分布分布列公式计算得出，可判断C项；根据正态分布的对称性可判断D项. 【详解】由二项分布和正态分布可知， ，，，. 故A正确，B错误； 对于C项，.故C错误； 对于D项，根据正态分布可知，， 所以，，， 所以有.故D错误. 故选：A. 7. 君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ） A 432种 B. 486种 C. 504种 D. 540种 【答案】A 【解析】 【分析】分“礼”与“乐”相邻和“礼”与“乐”中间插一艺，利用相邻和插空法求解. 【详解】当“礼”与“乐”相邻时，有种； 当“礼”与“乐”中间插一艺时，有种； 所以“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有种， 故选：A 8. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①若随机变量X服从正态分布，且，则； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强. ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． ⑤决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布对称性的应用可判断命题①；根据相关系数的定义判断命题②；根据残差图的性质判断命题③；根据独立性检验的知识判断命题④，根据决定系数性质判断命题⑤. 【详解】对于①. 已知随机变量服从正态分布，， 则，所以，故①错误； 对于②，线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，故②错误； 对于③，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高， 则回归方程的预报精确度越高，故③正确； 对于④，据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05， 故④正确. 对于⑤，因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好，命题⑤错误； 故选：B. 9. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 10. 已知函数，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当，时， 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用导数分析函数在上的单调性，可判断C选项；设，结合零点存在定理可判断D选项. 【详解】对于A，取，则，， 此时，， ，故A错误； 对于B，当时，，令，得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增，即若， 则，则，故B错误； 对于C，取，则，，故C错误； 对于D，令， 若则，此时， 令，，所以在上单调递增， 因为，， 所以在上存在一个零点，即在上存在一个零点， 若则，则， 令，， 所以函数在单调递增， 因为，， 所以函数在存在唯一零点，即函数在存在唯一零点， 又因为，所以函数有且只有三个零点， 一个零点在区间，一个零点为，一个零点在区间， 当，时，必有，故D正确. 故选：D. 11. 已知函数，若对于，总使的图像上与处的切线平行，则的取值范围是：（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意转化为求出函数在两段上导数的最大值，建立不等式求解即可. 【详解】当时，， 令，，当时，，单调递增； 当，，单调递减，故， 由题意，使， 因为时，单调递增，所以只需， 故选：B． 12. 已知，函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数和，求导，结合零点存在性定理可得为方程的两个实数根，所以，，．进而建立间的等量关系，化简，构造函数，求导即可求解.或者将不等式变形为，作出函数，，的大致图象，根据图象可得为方程的两个根，即可根据解法一求解. 【详解】由题意得的定义域为．设， 则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以在内有两个零点，设为， 则当时，，当时，． 设， 由，得当时，， 当时，，则为方程的两个实数根， 所以，，． 又，，所以，， 所以， 即，则，所以． 易知，，故， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故的最小值为． 解法二   由，，， 得． 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的大致图象， 数形结合可知，若， 则与，的图象的两个交点重合， 如图，设这两个交点分别为，则为方程的两个实数根， 所以，，． 易知为方程的两个实数根，所以，， 以下同解法一． 故选：C. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：（本题共8题，每题5分，共40分） 13. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则_______；展开式中的系数是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项式系数和公式可得，利用赋值法可得，即可利用二项式展开式的通项特征求解. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故答案为：；. 14. 已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩散点图对应如图： 根据以上信息，判断下列结论： ①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； ③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高. 其中正确的个数为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由散点图知两变量间是相关关系，不是函数关系；利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性． 【详解】对于①，根据散点图知，各点分布在一条直线附近，两变量间是线性相关关系，①正确； 对于②，根据散点图知，两变量不是确定一次函数关系，②错误； 对于③，利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，③错误， 所以正确的个数为1. 故答案为：1 15. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔，龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物.甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有________________． 【答案】70 【解析】 【分析】 根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论： 如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，此时的选法有种； 如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，此时的选法有种 则不同的选法共有种， 故答案为：70． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题． 16. 若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】因为函数在定义域的子区间上不是单调函数，所以根据题意可知函数的极值点在区间内，列出不等式，即可求解． 【详解】因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-， 由f'（x）=0，得x=1/2． 当x∈（0，1/2）时，f'（x）＜0，当x∈（1/2，+∞）时，f'（x）＞0 据题意，k-1＜1/2＜k+1，又k-1≥0， 解得1≤k＜3/2. 17. 第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为________；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率的计算公式求解. 【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为， 设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件， 则，， ， 该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为. 故答案为：，. 18. 若命题“，能成立”为假命题，则正数a的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】可将题意转化为，恒成立，即，令，可得在上单调递增，进而等价转化为对于恒成立.令，求出即可得出答案. 【详解】由题意可得：命题“，恒成立”（＊）为真命题， 所以（＊）式等价于，即， 令，则上式即为. 求导得对于恒成立， 所以在上单调递增，因此在上单调递增， 而当时，由于已知为正数，所以， 所以命题（＊）进一步等价于在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 当，在上单调递增； 当，在上单调递减. 所以， 所以. 故答案为：. 19. 若是函数的两个极值点，则的取值范围为________；若，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，转化为与有两个不同的交点，令，利用求得函数的单调性与极值，结合图象，求得的取值范围；由，转化为，令，再令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数有两个极值点，即是的两个根， 当时，方程不成立，所以与有两个不同的交点， 令，可得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，其中， 函数的图象如图所示， 要使得与有两个不同的交点，则满足， 即实数的取值范围为. 由图象可知，，且，因为，即， 由，可得，所以， 令，所以， 令，可得， 令，可得， 所以在区间上单调递减，所以， 所以在区间上单调递减，， 所以，又由，可得， 所以在上单调递减，则，所以实数的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 20. 若存在实数k和m使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“分离直线”．当和之间存在唯一的“分离直线”时，_______；若和之间存在“分离直线”，m的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意设出“分离直线”，转化为恒成立，利用二次函数的性质，分和，三种情况分类讨论，求得分离直线；再令，利用导数求得函数的单调性与极小值，求出；设函数和之间存在“分离直线”为，转化为对任意恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】解：因为函数和的图象在处有公共点， 若和存在“分离直线”，则该直线过公共点， 设“分离直线”的方程为，即， 由恒成立，即恒成立， （i）当时，则在上不恒成立，不符合题意； （ii）当时，令，对称轴为， 所以在上单调递增，且，故不符合题意； （iii）当时，令，对称轴为， 则， 当且仅当时，符合题意，即直线为； 下面证明：， 令，可得， 令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值，可得， 即， 所以函数和之间存在唯一的“分离直线”，此时. 设函数和之间存在“分离直线”为， 则对任意恒成立，即对任意恒成立， 由恒成立，可得， ①当时，则，符合题意； ②当时，令，对称轴为， 要使对任意恒成立， 只需，即，所以， 再令，对称轴为， 则需，即，所以，解得， 同理可得：，解得，所以的最小值为. 故答案为：；. 三、解答题：（本题共4题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7， （1）求甲同学到第三天才预约成功的概率； （2）记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的概率求和公式可得答案. （2）求出随机变量的可能取值和概率可得答案； 【小问1详解】 设甲同学到第三天才预约成功的事件为， 根据独立事件的乘法公式，； 【小问2详解】 随机变量的可能取值为， ， ， ， 2 3 ； 22. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】（1）答案见解析 （2）甲面试通过的可能性大 【解析】 【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可； （2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论. 【小问1详解】 设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； 小问2详解】 由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 23. 已知函数． （1）若函数的图象在点处的切线的斜率为2，求此切线方程： （2）若在上的最小值为，求实数a的值； （3）当时，求证． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求出的值，可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值. （3）令，要证，即证，令，对求导，可得在上恒成立，即可得证. 【小问1详解】 因为，则， 由导数的几何意义可得，解得，则， 所以，，故所求切线的方程，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 当时，对任意的，恒成立， 函数在区间上单调递增，则， 解得，不合乎题意； 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，合乎题意； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，，解得或，舍去； 当时，即当时，函数在区间上单调递减， 此时，，解得，舍去. 综上所述，. 【小问3详解】 当时，，， 令，要证，即证， 令，即证：在上恒成立， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以. 24. 已知函数．，． （1）若恒成立，求实数m的取值范围； （2）已知，设函数，讨论的单调性； （3）设函数，若函数的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数单调性，求得函数的最小值，解不等式即可得出结论； （2）对函数求导，对参数进行分类讨论，利用导函数符号即可得出其单调性； （3）根据交点坐标满足的关系式，构造函数，再利用导数和基本不等式证明即可得出结论. 【小问1详解】 易知 令，得，所以在上单调递增； 令，得，所以在上单调递减． 所以的最小值为 由恒成立知，， 故. 【小问2详解】 由题知，定义域为， 所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得， 所以在，上单调递增； 令，得，所以上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 所以在，上单调递增； 令，得，所以在上单调递减； 综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 【小问3详解】 显然， 因为函数的图象与的图象有两个不同的交点． 所以关于的方程，即有两个不同的根． 由题知①，②， 得③， 得④， 由得， 不妨设，记 令，则， 所以在上单调递增，所以, 则，即， 所以 因为，（利用基本不等式时，，故等号取不到）， 所以，即 令，则在上单调递增． 又， 所以， 即，所以； 两边同时取对数可得，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2024—2025学年度第二学期 高二年级期中考试数学学科试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共6页．卷Ⅰ答案用2B铅笔填涂在答题纸上，卷Ⅱ答案用黑色字迹的笔直接答在答题纸规定区域内． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：（本题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 2. 下列关于求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（ ）（实际值与预计值之差） A. B. C. 0.02 D. 0.04 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在展开式中，的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 40 6. 随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ） A. 432种 B. 486种 C. 504种 D. 540种 8. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①若随机变量X服从正态分布，且，则； ②可以用相关系数r刻画两个变量相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强. ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． ⑤决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 10. 已知函数，若，，则下列说法正确是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当，时， 11. 已知函数，若对于，总使的图像上与处的切线平行，则的取值范围是：（ ）． A. B. C. D. 12. 已知，函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：（本题共8题，每题5分，共40分） 13. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则_______；展开式中的系数是_______． 14. 已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩散点图对应如图： 根据以上信息，判断下列结论： ①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； ③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高. 其中正确的个数为__________. 15. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔，龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物.甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有________________． 16. 若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______. 17. 第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为________；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为________. 18. 若命题“，能成立”为假命题，则正数a的最小值为_______． 19. 若是函数的两个极值点，则的取值范围为________；若，则的最小值为________． 20. 若存在实数k和m使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“分离直线”．当和之间存在唯一的“分离直线”时，_______；若和之间存在“分离直线”，m的最小值为_______． 三、解答题：（本题共4题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7， （1）求甲同学到第三天才预约成功概率； （2）记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望. 22. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 23. 已知函数． （1）若函数的图象在点处的切线的斜率为2，求此切线方程： （2）若在上最小值为，求实数a的值； （3）当时，求证． 24. 已知函数．，． （1）若恒成立，求实数m的取值范围； （2）已知，设函数，讨论的单调性； （3）设函数，若函数的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $